Méthodes des éléments nis. De la théorie à la programmation En cours de rédaction

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De la théorie à la programmation En cours de rédaction

François CUVELIER

Université Paris 13, Institut Galilée, CNRS, UMR 7539 LAGA, 99, Avenue Jean-Baptiste Clément,

F-93430 Villetaneuse, France 28 janvier 2013

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Table des matières

1 Rappels 7

1.1 Espace vectoriel . . . . 7

1.2 Espaces vectoriels normés . . . . 8

1.3 espacesL^ppΩq . . . . 9

1.4 Notations et résultats . . . 10

1.4.1 Dérivation faible dansL²pΩq . . . 10

1.4.2 Espaces de Sobolev . . . 11

1.4.3 Résultats généraux . . . 15

2 En dimension1 17 2.1 Dénitions et résultats . . . 17

2.1.1 Espaces de Hilbert et autres ... . . 17

2.1.2 Relèvements . . . 17

2.1.3 Etude de l'applicationL^λ_f^a^,λ^b . . . 18

2.1.4 Etude de l'applicationA^α_m,p,q,c^a^,α^b . . . 19

2.2 Problème mixte Robin-Dirichlet . . . 26

2.2.1 Formulation variationnelle . . . 26

2.2.2 Quelques résultats préliminaires . . . 29

2.2.3 Existence et unicité . . . 33

2.3 Problème mixte Robin-Dirichlet . . . 34

2.3.1 Formulation variationnelle . . . 34

2.4 Discrétisation . . . 39

3 En dimensiond 41 3.1 Problème modèle . . . 41

3.2 Dénitions et résultats . . . 41

3.2.1 ... . . 41

3.2.2 Etude de l'applicationL^g_f . . . 42

3.2.3 Etude de l'applicationA^µ M,ppp,qqq,a₀ . . . 43

3.3 Formulation variationnelle . . . 48

4 En dimension2 53 4.1 Problème modèle . . . 53

4.2 Formulation variationnelle continue . . . 53

4.2.1 Problème homogène associé . . . 56

4.3 Eléments nis de degré un pP¹q . . . 57

4.3.1 Triangulation . . . 57

4.3.2 Structure de données associée au maillage . . . 58 3

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4.4 Formulation variationnelle discrétisée . . . 64

4.5 Ecriture matricielle de la formulation variationnelle discrétisée . . 68

4.5.1 calcul sur un triangle . . . 69

4.6 Assemblage de matrices du type ³ Ω_hfi,jpx, yqdxdy . . . 70

4.6.1 Application :f_i,jpx, yq ϕ_ipx, yqϕ_jpx, yq . . . 74

4.6.2 Application :f_i,jpx, yq cpx, yqϕ_ipx, yqϕ_jpx, yq . . . 75

4.6.3 Application :f_i,jpx, yq x∇∇∇ϕ_ipx, yq,∇∇∇ϕ_jpx, yqy . . . 77

4.6.4 Application :fi,jpx, yq x∇∇∇ϕipx, yq,Mpx, yq∇∇∇ϕjpx, yqy . 78 4.6.5 Application :fi,jpx, yq cpx, yq^B_B^ϕ_xⁱpx, yqϕjpx, yq . . . 81

4.6.6 Application :f_i,jpx, yq cpx, yq^B_B^ϕ_yⁱpx, yqϕ_jpx, yq . . . 83

4.6.7 Application :f_i,jpx, yq _B^B^c_xpx, yqϕ_ipx, yqϕ_jpx, yq . . . 85

4.6.8 Application :fi,jpx, yq _B^B^c_ypx, yqϕipx, yqϕjpx, yq . . . 87

4.6.9 Application :fi,j xppp,∇∇∇ϕiyϕj . . . 88

4.6.10 Application :fi,jdivppppqϕiϕj . . . 90

4.6.11 Application :fi,jdivppppϕiqϕj . . . 91

4.7 composante du type³ Γ_hgi,jpx, yqdγpx, yq . . . 92

4.7.1 Application :g_i,jpx, yq ϕ_ipx, yqϕ_jpx, yq . . . 95

4.7.2 Application :g_i,jpx, yq wpx, yqϕ_ipx, yqϕ_jpx, yq . . . 97

4.8 Assemblage de vecteurs . . . 100

4.8.1 Composantes du type³ Ωhfpx, yqϕ_ipx, yqdxdy . . . 100

4.8.2 Composantes du type³ Γ_hgpx, yqϕipx, yqdΓhpx, yq . . . 101

4.8.3 Condition de Dirichlet . . . 102

4.9 Validations des algorithmes . . . 103

4.9.1 MatricesMetM^epTq . . . 104

4.9.2 MatricesM^r^c^s et M^e,^r^c^spTq . . . 105

4.9.3 MatricesRet R^epTq . . . 106

4.9.4 MatricesR^rMs et R^rMs^,epTq . . . 107

4.9.5 MatricesK^rx^c^s etK^e,x^r^c^spTq . . . 109

4.9.6 MatricesK^ry^c^s etK^e,y^r^c^spTq . . . 110

4.9.7 MatricesGx^r^c^s etGx^e,^r^c^spTq . . . 111

4.9.8 MatricesGy^r^c^s etGy^e,^r^c^spTq . . . 113

4.9.9 MatricesK^r_∇_∇_∇^p^p^p^s etK_∇_∇_∇^e,^r^p^p^p^spTq . . . 114

4.9.10 MatricesG_div^r^p^p^p^s etG_div^e,^r^p^p^p^spTq . . . 115

4.9.11 MatricesD_div^r^p^p^p^s et D_div^e,^r^p^p^p^spTq . . . 117

4.9.12 MatricesBetB^e . . . 119

4.10 Résumé . . . 120

4.10.1 I´ Ωupx, yqvpx, yqdxdy . . . 120

4.10.2 I´ Ωcpx, yqupx, yqvpx, yqdxdy . . . 121

4.10.3 I´ Ωx∇∇∇upx, yq,∇∇∇vpx, yqydxdy . . . 121

4.10.4 I´ ΩxMpx, yq∇∇∇upx, yq,∇∇∇vpx, yqydxdy . . . 121

4.10.5 I´ Ωcpx, yq^B_B^u_xpx, yqvpx, yqdxdy . . . 122

4.10.6 I´ Ωcpx, yq^B_B^u_ypx, yqvpx, yqdxdy . . . 122

4.10.7 I´ ΩBc Bxpx, yqupx, yqvpx, yqdxdy . . . 123

4.10.8 I´ ΩBc Bypx, yqupx, yqvpx, yqdxdy. . . 123

4.10.9 I´ Ωxppppx, yq,∇∇∇upx, yqyvpx, yqdxdy . . . 124

4.10.10I´ Ωdivpppppx, yqqupx, yqvpx, yqdxdy . . . 124

4.10.11I´ Ωdivpppppx, yqupx, yqqvpx, yqdxdy . . . 124

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4.10.12 Matrices globales . . . 125

1

1. Version provisoire du 28 janvier 2013 à 12:49

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Chapitre 1

Rappels

1.1 Espace vectoriel

Denition 1 Soit KR ouC. un espace vectoriel sur K est un ensemble non videV dont les éléments sont appelés vecteurs muni d'une opération binaire appelée addition :V V ÑV et d'une multiplication scalaire .:KV ÑV tel que pV, q est un groupe commutatif, i.e.,

@x, y, zPV, px yq zx py zq, D0PV tel que @xPV, x 0x,

@xPV, D xPV tel quex pxq 0,

@x, yPV, x yy x la multiplication scalaire satisfaisant @x, yPV, α, βPK

pα βq.xα.x β.x, α.px yq α.x α.y,

α.pβ.xq pαβq.x, 1.xx.

Denition 2 Soient U et V deux espaces vectoriels sur K et une application L : U Ñ V. Le noyau de L noté kerL est l'ensemble tu P U tel queLpuq 0u. L'image de L noté ImpLq est l'ensemble tLpuq P V tel queu PUu. Cette application est linéaire si

@x, yPU, @α, βPK, Lpαx βyq αLpxq βLpyq.

Denition 3 Soit E, F et Gtrois espaces vectoriels sur un corps K. Soitϕ: EF ÝÑGune application. On dit queϕest bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est à dire : @px, x¹q PE²,@py, y¹q PF²,

@λPK:

ϕpx x¹, yq ϕpx, yq ϕpx¹, yq ϕpx, y y¹q ϕpx, yq ϕpx, y¹q ϕpλx, yq λϕpx, yq

ϕpx, λyq λϕpx, yq 7

(8)

Denition 4 SoitV un espace vectoriel surK.Nous dirons qu'un sous-ensemble W deV est un sous-espace de V s'il est stable pour les opérations deV,c'est à dire si @x, yPW,@αPK

x yPW αxPW.

W est alors un espace vectoriel pour l'addition et la multiplication scalaire hé- ritée deV.

1.2 Espaces vectoriels normés

Denition 5 Une norme sur un espace vectoriel E est une application notée généralement }}_E deE dansR,possédant les propriétés suivantes :

}x}E¥0 @xPE }x}E0Øx0

}λx}E }λ} }x}E @xPE,@λPC }x y}E¤ }x}E }Y}E

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme.

Proposition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f une application de E versF . Alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

1. L'applicationf est continue.

2. L'image réciproque parf de tout ouvert deF est un ouvert deE. 3. L'image réciproque parf de tout fermé deF est un fermé de E.

Proposition 2 Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f une application linéaire de E versF, f est continue si et seulement si DC¡0 tel que

@xPE, }fpxq}_F ¤C}x}_E.

Remarque 1 Si E est de dimension nie et si g est une application linéaire deE dansF alors g est continue.

Denition 6 SoitEun espace vectoriel muni de la norme }.}E.On dit qu'une suite pxnqn¥0deEest une suite de Cauchy si elle vérie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :

@ε¡0, DN PN; @pp, qq PN², p¥N etq¥N ùñ }xpxq}_E ε. (1.2.1) Denition 7 On dit qu'un espace vectoriel normé pE,}.}Eq est complet si toute suite de Cauchy deE est convergente.

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.

Théorème 1 Un sous-espace vectoriel d'un espace complet est complet si et seulement si il est fermé.

Corolaire 2 Un sous-espace vectoriel de dimension nie d'un espace complet est complet.

Corolaire 3 Un espace vectoriel normé de dimension nie est complet.

(9)

Denition 8 SoitV un espace vectoriel. On appelle produit scalaire surV une forme bilinéaire xu, vy de V V dans R, dénie positive :

xu, uy ¥0 @uPV et xu, uy 0ôu0.

Théorème 4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) SoitV un espace vectoriel muni du produit scalaire x., .yV . L'inégalité de Cauchy-Schwarz est alors vériée :

| xu, vyV | ¤ xu, uy¹V^{²xv, vy¹V^{² @u, vPV. (1.2.2) Denition 9 On appelle espace de Hilbert un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, complet pour la norme associée.

1.3 espaces L^ppΩq

Denition 10 On dénit l'espaceL^ppΩq pour1¤p 8 comme étant l'espace des fonctions mesurables de puissancepème intégrable sur Ω.

On dénit l'espaceL⁸pΩq comme étant l'espace des fonctions mesurables f es- sentiellement bornées surΩ (i.e. DC ¡0 telle que |fpxq| C presque partout dansΩ).

Théorème 5 Muni du produit scalaire xf, gyL²pΩq

»

Ω

fpxqgpxqdx, l'espaceL²pΩq est un espace de Hilbert.

Muni de la norme

}f}L^ppΩq

»

Ω

|fpxq|^p 1{p

,

l'espaceL^ppΩq est un espace de Banach.

Muni de la norme

}f}_L8pΩqinfpCPR tel que |fpxq| C p.p. dansΩq, l'espaceL⁸pΩq est un espace de Banach.

Théorème 6 SiΩest un ouvert borné de R^d alors L^ppΩq L^qpΩq, pour1¤q¤p¤ 8

Théorème 7 (Inégalité de Hölder) SoitΩ un ouvert de R^N. Soit 1¤p¤ 8. On désigne par p¹ l'exposant conjugué de p, déni par ¹_p _p¹1 1. Soient f PL^ppΩq etgPL^p¹pΩq.Alorsf gPL¹pΩq et

}f g}_L1¤ }f}_Lp}g}_L^p1. (1.3.1)

(10)

1.4 Notations et résultats

SoitΩun ouvert borné deR^d dont la frontièreΓest C¹par morceaux. Soit Γ^D et Γ^R deux partie complémentaires deΓ :

ΓΓ^DYΓ^R, Γ^DXΓ^R H.

Soit α pα1, . . . , αdq PN^d et v une application sur AR^d. On note alors

|α| °d i1αi et

D^αv B^αv B^α1¹. . .B^α_d^d.

1.4.1 Dérivation faible dans L²pΩq

Denition 11 On dit que deux fonctions mesurables sont égales presque partout s'il existe un ensembleEΩtel que la mesure de Lebesgue deE est nulle etfpxq gpxq @xPΩzE.

Denition 12 On note C⁸_c pΩq (ou DpΩq) l'espace des fonctions C⁸ à support compact dans Ω.

Théorème 8 L'espace C_c⁸pΩq est dense dansL²pΩq, c'est à dire que pour tout f PL²pΩq il existe une suiteϕnPC_c⁸pΩq telle que

nlimÑ8}fϕn}L²pΩq0. (1.4.1) Corolaire 9 Soitf PL²pΩq.Si

»

Ω

fpxqϕpxqdx0, @ϕPC_c⁸pΩq (1.4.2) alors fpxq 0 presque partout dansΩ.

Denition 13 ([All03, Page 83]) Soit Ω un ouvert de R^d. Soit v P L²pΩq. On dit que v est dérivable au sens faible dans L²pΩq s'il existedfonctions pwiq^di1P pL²pΩqq^d,telles que, , @ϕPC_c⁸pΩq,@iP t1, . . . , du,

»

Ω

vpxqBϕ Bx_ipxqdx

»

Ω

wipxqϕpxqdx. (1.4.3) Chaquewi est appelée laième dérivée faible dev et notée désormais _B^B_x^v_i. Lemma 1 ([All03, Page 86]) SoitvPL²pΩq.S'il existe une constanteC¡0 telle que, @ϕPC_c⁸pΩq,@iP t1, . . . , du,

»

Ω

vpxqBϕ Bxi

pxqdx

¤C}ϕ}_L2pΩq, (1.4.4) alors v est dérivable au sens faible.

Denition 14 SoitσσσP pL²pΩqq^d.On dit queσσσadmet une divergence au sens faible dansL²pΩq s'il existe une fonction wPL²pΩq telle que, @ϕPC_c⁸pΩq,

»

Ω

xσσσpxq,∇∇∇ϕpxqydx

»

Ω

wpxqϕpxqdx. (1.4.5) La fonctionw est appelée divergence faible deσσσ et notée désormaisdivσσσ.

(11)

Lemma 2 Soitσσσ P pL²pΩqq^d. S'il existe une constante C ¡0 telle que, @ϕ P C_c⁸pΩq,

»

Ω

xσσσpxq,∇∇∇ϕpxqydx

¤C}ϕ}L²pΩq, (1.4.6) alorsσσσadmet une divergence au sens faible.

Denition 15 SoitΩun ouvert deR^d, α pα1, . . . , αdq PN^detvPL²pΩq.On dit quev estα-dérivable au sens faible dans L²pΩq s'il existe une fonction wPL²pΩq, telles que, , @ϕPC_c⁸pΩq,

»

Ω

vpxqD^αϕpxqdx

»

Ω

wpxqϕpxqdx. (1.4.7) La fonctionwest appelée laα-ème dérivée faible de v et notée désormaisD^αv.

Remarque 2 De la même façon, on peut dénir les dérivées faibles dansL^ppΩq.

1.4.2 Espaces de Sobolev

Denition 16 Pour tout entierm¥1,on appelle espace de Sobolev d'ordrem sur Ωl'espace

H^mpΩq vPL²pΩq t.q. @αPN^d, |α| ¤m; D^αvPL²pΩq au sens faible ( . (1.4.8) Plus généralement, on note W^m,ppΩq l'espace déni pour tout entierm¥0 et pP v1,8w par

W^m,ppΩq vPL^ppΩq t.q. @αPN^d, |α| ¤m; D^αvPL^ppΩq au sens faible ( . (1.4.9) Théorème 10 Muni du produit scalaire

xu, vyH^mpΩq ¸

|α|¤m

»

Ω

D^αuD^αvdx (1.4.10) et de la norme associée

}u}_HmpΩq xu, uy¹_H^{²mpΩq (1.4.11) l'espaceH^mpΩq est un espace de Hilbert.

Théorème 11 Muni de la norme }u}W^m,ppΩq ¸

|α|¤m

}D^αu}L^ppΩq (1.4.12) l'espaceW^m,ppΩq est un espace de Banach.

Théorème 12 (Produit [Dro01, Page 35]) SoitΩun ouvert deR^det pp, q, rq P v1,8v³ tels que ¹_p ¹_q ¹_r.L'application

W^1,ppΩq W^1,qpΩq Ñ W^1,rpΩq

pu, vq ÞÑ uv (1.4.13)

est bien dénie, bilinéaire continue et on a, @pu, vq P W^1,ppΩq W^1,qpΩq et

@iP v1, dw

B

Bx_ipuvq Bu

Bx_iv uBv

Bx_i. (1.4.14)

(12)

Résultats en dimension d1 SoitΩsa;br,8 a b 8.

Lemma 3 ([All03, Page 87]) Pour toute fonction v P H¹pa, bq et pour tout x, yP ra;bs,on a

vpyq vpxq

»y x

v¹psqds. (1.4.15) Plus généralement, pour tout x P ra;bs, l'application v Ñ vpxq, dénie de H¹pa, bq dans R, est une forme linéaire continue sur H¹pa, bq. En particulier, toute fonction v P H¹pa, bq est continue sur ra;bs et il existe une constante CpΩq ¡0 telle que @vPH¹pa, bq

|vpxq| ¤CpΩq }v}H¹pa,bq, @xP ra;bs (1.4.16) Proposition 3 (Inégalité de Poincaré) Soit Ω sa;br, 8 a b 8 et v P H¹pΩq vériant vpaq 0 ou vpbq 0. Alors, il existe une constante CPpΩq ¡0 telle que

»b a

|vpxq|²dx¤CPpΩq

»b a

|v¹pxq|²dx. (1.4.17) Théorème 13 (de trace) Soit Ωsa;br, 8 a b 8. Les applications traces

γ_a : H¹pa, bq Ñ R

v ÞÑ vpaq , (1.4.18)

γ_b : H¹pa, bq Ñ R

v ÞÑ vpbq (1.4.19)

et γ₀ : H¹pa, bq Ñ R²

v ÞÑ pvpaq, vpbqq (1.4.20) sont des applications linéaires continues. En particulier, il existe une constante CcpΩq ¡0 telle que @vPH¹pΩq

|γapvq| ¤CcpΩq }v}_H1pa,bq, (1.4.21)

|γbpvq| ¤CcpΩq }v}H¹pa,bq (1.4.22) et |γ₀pvq| pvpaq² vpbq²q¹^{²¤?

2C_cpΩq }v}_H1pa,bq. (1.4.23) Théorème 14 Si u, vPH¹pa;bq alors

»b a

u¹pxqvpxqdx

»b a

upxqv¹pxqdx rupxqvpxqs^b_a (1.4.24) Si uPH²pa;bq etvPH¹pa;bq alors

»b a

u²pxqvpxqdx

»b a

u¹pxqv¹pxqdx

u¹pxqvpxqb

a (1.4.25)

(13)

Résultats en dimension d

Théorème 15 Soit Ω un ouvert borné de R^d dont la frontière Γ est C¹ par morceaux. Alors, si m ¡ ^d₂, l'espace H^mpΩq est un sous-espace de C0pΩ¯q et l'injection canonique deH^mpΩq dansC₀pΩ¯q est continue.

Théorème 16 [All03, Page 90]Si Ω un ouvert borné de R^d de classe C^m, ou bien siΩR^d, alors C⁸_c pΩ¯q est dense dans H^mpΩq

Théorème 17 (Théorème de trace) Soit Ωun ouvert borné de R^d dont la frontièreΓ estC¹ par morceaux. Alors l'application traceγ_Γ dénie par

γΓ : H¹pΩq Ñ L²pΓq

v ÞÑ γΓpvq v_|_Γ (1.4.26) est une application linéaire continue. Il existe donc une constanteC ¡0 telle que }γ_Γpvq}_L2pΓq¤C}v}_H1pΩq. (1.4.27)

Denition 17 PourαPs0,1s etA partie deR^d, C^0,αpAq est l'espace des fonc- tionsα-höldériennes bornées sur A, muni de la norme

}u}_C0,αpAqsup

A

|u| sup

px,yqPA²,xy

|upxq upyq|

|xy|^α . Plus généralement, on

Théorème 18 (Théorème de trace[Dro01, Page 49]) SoitΩun ouvert borné deR^d dont la frontière Γ est C¹ par morceaux. Alors les applications traces γΓ

dénies pourpP v1,8v par

γΓ : W^1,ppΩq Ñ L^ppΓq

v ÞÑ γ_Γpvq v_|_Γ (1.4.28) et pourp 8 par

γΓ : W^1,⁸pΩq Ñ C^0,1pΓq

v ÞÑ γΓpvq v_|Γ (1.4.29) sont linéaires continues.

Théorème 19 (Théorème de trace) Soit Ωun ouvert borné de R^d dont la frontière Γ est C¹ par morceaux. Soit Γ^D et Γ^R deux parties complémentaires deΓ:

ΓΓ^DYΓ^R, Γ^DXΓ^R H, avec mespΓ^Dq ¡0.

Alors, l'application traceγ_ΓD dénie par

γ_ΓD : H¹pΩq Ñ L²pΓ^Dq

v ÞÑ γ_ΓDpvq v_|_ΓD (1.4.30) est une application linéaire continue. Il existe donc une constanteC ¡0 telle que }γ_ΓDpvq}L²pΓ^Dq¤C}v}H¹pΩq. (1.4.31)