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Modélisation 3D des perturbations géomagnétiques induites. Validation du modèle éléments finis

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(1)

HAL Id: jpa-00249683

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00249683

Submitted on 1 Jan 1997

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Modélisation 3D des perturbations géomagnétiques induites. Validation du modèle éléments finis

J. Vatry, J. Berthier, P. Massé, R. Blanpain

To cite this version:

J. Vatry, J. Berthier, P. Massé, R. Blanpain. Modélisation 3D des perturbations géomagnétiques induites. Validation du modèle éléments finis. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (9), pp.1821-1828. �10.1051/jp3:1997225�. �jpa-00249683�

(2)

Mod41isation 3D des perturbations g40magn4tiques iuduites.

Validation du modAle 414ments finis (*)

J. Vatry (**), J. Berthier, P. Mass4 et R. Blanpain

LETI (CEA Technologies Avanc4es) D4partement Systbmes, CEA Grenoble,

17 rue des Martyrs, 38054 Grenoble Cedex 9, FYance

(Regu le 20 mars 1997, rdvisd le 5 mai 1997, acceptd le 13 juin 1997)

PACS.02 70.Dh Finite-element and Galerkin methods

PACS.91 25.Qi Geoelectricity; electromagnetic induction and conductivity

R4sumd. L'environnernent magndtique trAs basse frdquence des zones c6tiAres rdsulte d'in-

fluences multiples Entre autres, les phdnomknes d'induction dlectromagndtique, fortement tri- dimensionnels, sont provoqu4s par les variations temporelles du champ magn4tique terrestre.

Nous proposons une m6thode de rdsolution avec des dldments finis nodaux en formulation qua- drivecteur complexe pour des gdomdtnes tridimensionnelles, en utilisant le logiciel gdndrateur

Flux Expert. La premikre dtape de validation de notre modkle est effectu6e par comparaison

avec d'autres m4thodes pour des g40m4tries simples de r4f4rence.

Abstract. Three dimensional electromagnetic induction, due to time variations of geomag- netic field, is a part of low frequency electromagnetic environment of coastal areas. In this paper,

a 3D nodal finite element modelling using complex scalar and vector potentials is presented. This model, implemented in Flux Expert software, is first checked against other numerical methods for various simple geometries to determine its accuracy.

1. Introduction

L'environnement magndtique des zones c6tiAres peut Atre dAcomposA en quatre contributions distinctes. Le champ magndtique dipolaire terrestre, ou champ de Gauss, est de loin le plus important en terme d'amplitude. Dans la bande de frAquence qui nous intAresse, entre 0,001

et 1 Hz, ce champ est constant dans le temps et dans l'espace. Le champ gdologique est dfi aux

propriAt4s magnAtiques des roches, source d'anomalies spatiales. Le champ hydrodynamique est le rAsultat des mouvements de l'eau de mer conductrice dans le champ magnAtique terrestre [lj.

Enfin, le champ gdomagndtique, sujet de cette dtude, est provoqud par les variations tempo- relles des sources de courant magndtosphAriques et ionosph4riques qui crAent par induction des courants Alectriques dans les parties conductrices de l'Acorce terrestre et dans les ocAans [2].

Les trois demikres contributions ont des valeurs typiques allant de la dizaine h la centame de nano-Teslas.

(* Le contenu de cet article a dtd prdsentd h NUMELEC 97

(** Auteur auquel doit Atre adressde la correspondance (e-mail: jvatry©cea.fr)

© Les Editions de Physique 1997

(3)

1822 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°9

Dans les zones c6tikres, les forts contrastes de conductivitA Alectrique entre l'ocdan et le conti-

nent sont h l'origine de l'elfet c6tier : les courants Alectriques induits circulent principalement le

long de la c6te dans l'eau de mer beaucoup plus conductrice et provoquent une augmentation importante de la composante verticale de l'induction magnAtique [3].

Ce phAnomkne a AtA modAlisA dans des cas simples de manikre analytique [4] et par des mAthodes numdriques pour des gAomAtries 2D [5,6]. La principale diilicultA rAside dans la prise

en compte simultanAment de la grande complexitA de la bathymAtrie r6elle d'une zone c6tibre qui est purement 3D, d'un modkle adaptA pour la g4010gie du sous-sol qui se situe h la frontibre

entre la crofite continentale et la crofite oc4anique et d'un modAle rAaliste pour la nature des

sources externes du champ gAomagnAtique. Des modkles 3D commencent h appareitre, utilisant

la m4thode des diIf4rences finies [7]. Des m4thodes int4grales permettent 4galement de tenir compte d'inhomog4n4it4s 3D locales dans un milieu tabulaire r4gional [8].

Nous proposons une mod41isation purement 3D de l'elfet c6tier en utilisant la mAthode des AlAments finis, bien adapt4e h la description fine de la gAomAtrie. La formulation et la r4solution du problAme sont eIfectu4es avec le logiciel g4n4rateur Flux Expert [9]. Devant la complexit4 des ph4nomAnes 4tud14s, it semble n4cessaire d'apporter un soin particulier it la validation

de notre modAle en elfet, dans des cas 3D, la direction des courants 41ectriques est a priori

quelconque par rapport aux sauts de conductivitA Alectrique. La prise en compte des conditions de continuitA des champs au niveau de ces interfaces est alors essentielle. Dans un premier

temps, nous testons notre modAle pour un milieu tabulaire dans lequel les couches g4010giques

sont parallAles, horizontales et s'4tendent h l'infini une solution analytique existe [10]. Nous traitons ensuite le cas d'un milieu 2D, pour lequel nous comparons les rAsultats de notre modkle

avec ceux issus d'une mAthode dilfArences finies ill] et d'une m4thode spectrale [12]. Pour les deux g4omAtries, les sources sont assimi14es h des ondes planes en incidence verticale.

Cette premiAre (tape dans la validation de notre modAle 3D nous permettra ensuite d'envi-

sager des calculs purement 3D, qui seront testAs soit expArimentalement, soit h l'aide d'autres

mAthodes num4riques 3D

2. ModAle

2. I. fIQUATION DE DIFFUSION. Pour un milieu homogAne de conductivitA Aiectrique a, de

permAabilit4 magnAtique ~t

= ~to, avec des hypothkse de quasi-stationnaritA et en l'absence de courants et de charges externes, les Aquations de Maxwell s'Acrivent

L'hypothkse dD fat

= 0 est parfaitement justifiAe dans la mesure oh nous travaillons h des

frAquences inf4rieures h 1 Hz et avec des conductivitAs Alectriques infArieures h 10 S m~~.

2.2. POTENTIELS tLECTROMAGNLTIQUES. La rAsolution du systbme (I) en termes (E, B)

comporte six inconnues complexes non continues aux interfaces. Par contre, l'utilisation du quadrivecteur potentiel AlectromagnAtique (A, V) permet de passer h quatre inconnues conti-

nues sur tout le domaine, ce qui permet l'utilisation d'414ments nodaux

B

= rot A

,

E

= -grad V ~

et rot rot A) = -juJaA agrad V. (2)

t tl

L'unicit4 du potentiel vecteur A est assur4e par la condition de jauge de Coulomb et le choix d'une r4f4rence nulle pour A h l'infini. Finalement, les relations (2) et la loi de conservation

(4)

du courant nous conduisent au systAme classique sous forme discrbte

/urotB

j rot A + n (urot A A Bj) + Pdiv B

j div A n PB jdiv A

~~ ~~ ~~~ ~~

+ juJaBj A + juJaBj grad u

=

/ Bj JS

~~~ ~~~ ~~

gradfly juJaA n flyjuJaA + gradfly juJagrad u (3)

~~~ ~~ ~~~

n fly juJagrad u

= 0

~~

oh u

= II~t, is repr4Sente les sources de courant extemes et B

j et fly les fonctions de pro jection.

Afin de sym4triser la matrice, le potentiel scalaire V est exprim4 h l'aide d'un potentiel auxiliaire

u d4fini par V

= du/dt [13]. Le coefficient P reprAsente la pAnalitA. Ii permet d'introduire

explicitement la condition de jauge dans la premikre relation du systkme (3) et permet de mieux conditionner la matrice.

Cette formulation a AtA dAcrite h l'aide du logiciel gAnArateur Flux Expert [9].

3. Validation

La premikre Atape de la validation de notre modAle est eIfectu4e pour des cas de r4f4rence

sjmples : milieu tabulaire et g40m4trie bidimensionnelle. La validit4 des hypothAses physiques simplificatrices admises ainsi que la formulation discrAte imp14ment4e sont ainsi test4es. N4an- moins, seul un vAritable calcul 3D permettra de v4rifier la capacit4 de notre modAle h simuler

un milieu r4el. Une telle validation est actuellement en cours de r4alisation.

3.I. MILIEU TABULAIRE. ConsidArons un repbre orthonormd (O, x, y, z) oh z est vertical et positif vers le haut. Dans le cas simple d'une g40m4trie tabulaire, pour laquelle les couches du

sous-sol Sont horizontales, parallAles entre elles et s'4tendent h l'infini, une solution analytique

existe c'est la formulation de Lipskaya qui sert de base h l'algorithme rAcursif de Kunetz pour

un milieu h n couches [10]. La forme gAn4rale des solutions de l'Aquation d'Helmholtz pour la couche n est

f = fte~~~ + fke~~~~ 14)

oh k(

= juJ~tan et ff et fj sont des constantes calculables h partir des conditions de continuit4 de l'induction magn4tique, des composantes tangentielles du champ 41ectrique et du courant

normal

La continuit4 des champs 41ectromagn4tiques aux interfaces entraine la continuit4 de l'im-

p4dance normale Z d4finie par le rapport entre Ex et By ou entre Ey et B~ Nous obtenons finalement une relation de r4currence en exprimant l'imp4dance de l'interface sup4rieure de la couche n en fonction de l'imp4dance de l'interface sup4rieure d'une couche m plus profonde.

3.2. GLOMLTRIE BIDIMENSIONNELLE. Dons le cas d'une gAomdtrie 2D, la conductivitA

41ectrique a, le champ 41ectrique E et l'induction magn4tique B sont ind4pendants de z. Les composantes des champs E et B se dAcomposent en deux modes totalement ddcoup14s, le mode

transverse dlectrique (TE) qui correspond h des courants source circulant suivant la direction

transverse Ox et permet de calculer les composantes E~, By et Bz, et le mode transverse

magndhque (TM) qui correspond h des courants source circulant dans le plan de calcul suivant la direction Oy et permet de calculer les composantes B~, Ey et Ez.

(5)

1824 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°9

3.2.1. Dilldrences finies. En mode TE,l'inconnue est la composante transverse E~. Les com- posantes non nulles de l'induction magn4tique B sont calcu14es par d4rivation. Nous obtenons

~~§ + ~~§

= jkE~ et B

=

I (~~~y ~~~z) (5)

dl/ dz uJ dz dy

oh k = uJpa. En mode TM, l'inconnue est la composante transverse B~, h laquelle on a rajoutA

le terme en grada A rot B, tenant ainsi compte des contrastes de conductivit4 41ectrique. Les

composantes non nulles du champ 41ectrique E sont calcu14es par d4rivation. Nous obtenons

d~Bx d~B~ I da dBx da dBx

,~ ~ ~

l dB~ dBx

~~ dz2 ~~~

a dy dy ~ dz dz ~ ~ ~ pa dz ~ dy ~

Notre objectif est la rAsolution des 4quations (5) et (6) dans le demi-espace z < 0 d4fini par

une distribution de k donn4e ii Ii. Dans l'air, l'induction magn4tique sera consid4r4e uniforme et horizontale.

Nous faisons l'hypothAse que lorsque y ~ +cc, la conductivit4 Alectrique a ne varie plus qu'en fonction de la profondeur, c'est-h-dire que nous imposons des conditions aux limites

tabulaires h l'infini [14].

3.2.2. M4thode spectraJe. La m4thode employ4e est bas4e sur la d4composition en s4ries de Fourier spatiales des interfaces entre couches, et permet de d4crire de faqon simple les problAmes

2D h couches non interrompues [12,15].

Les interfaces doivent Atre sym4triques par rapport h l'axe vertical Oz et p4riodiques. Afin de pouvoir n4gliger cette p4riodicit4, il est n4cessaire que la p4riode spatiale I Soit largement sup4rieure h la plus grande des pAriodes des interfaces. Les sAries de Fourier sont 4galement tronqu4es h partir d'un nombre L de coefficients tel que la plus petite p4riode des interfaces soit prise en compte. Ces hypothAses conduisent h un systAme lin4aire dont les inconnues sont les coefficients des s4ries de Fourier tronqu4es. Ii est r4solu pour chaque mode en utilisant les

conditions de continuit4 des grandeurs 41ectromagn4tiques entre les couches successives.

En mode TM, dans l'air, nous obtenons Bx

= Bo et Ey

= Ez

= o. Dans les milieux conducteurs (z < 0), les trois composantes pr4c4dentes sont dAfinies par la relation (6). Pour

chaque couche n, l'induction magnAtique est dAfinie par

L

B](y, z, uJ)

= Bo ~ (Ale~/~ + Ble~~/~j cos(k<y) (7)

oh RI

= k/ juJpan et k< =

~~~. Les composantes E] et E] sont calculAes par dArivation I

suivant la relation (6).

La rAsolution pour le mode TE se fait de maniAre similaire. Les composantes E~, By et Bz

sont d4finies par les relations (5). Dans l'air, nous avons maintenant

~

L

Ex = juJpBo ~ A<cos(k<y) (8)

1=o

et les composantes By et Bz correspondantes. Dans les milieux coljducteurs, nous obtenons

~

E](y, z, uJ)

= juJpBo ~ (Ble~/~ + Cle~~/~j cos(kiy). (9)

1=o

(6)

Les composantes B] et B] sont obtenues par dArivation suivant la relation (5).

Pour chaque mode, les coefficients Al et B/ d'une part et A<, B/ et Cl d'autre part sont calcu14s grice aux conditions de continuitA aux interfaces. En mode TM, nous utilisons la

continuitA de Bx et de la composante tangentielle du champ 41ectrique que nous 4crivons

ET = Ey + Ez ~(~~~ = 0 (10)

l/

oh zn

= Fn(y) dAsigne l'Aquation de l'interface n. Pour le mode TE, nous Acrivons la continuitA de Ex et de By.

4. R4sultats

4.I. MILIEU TABULAIRE. Pour ies validations, nous avons fait ie choix d'une structure inteme du globe simplifiAe nous modAlisons un milieu h trois zones. La premiAre est constitu4e par l'eau de mer, la deuxikme par des s4diments rAsistifs, la troisikme et derniAre 4tant plus

conductrice Les valeurs de la conductivitA 41ectrique dans chaque zone sont respectivement 3, 0,001 et 20 Sm~~. Enfin, les Apaisseurs des couches sont respectivement 0,5, 20 et 30 km. Le

calcul, r4alis4 pour une fr4quence de 0,01 Hz, est en accord avec le modAle analytique avec une pr4cision sup4rieure h un pourcent.

4. 2. G LoMLTRIE BIDIMENSIONNELLE. La gAomAtrie de rdfArence, reprAsentAe sur la figure I, correspond au milieu tabulaire pr4c4dent dans lequel nous avons introduit une fosse Sous marine de longueur infinie.

Pour le mode TE, les courants Source circulent dans le plan horizontal z

= 50 km Suivant la direction Ox. Par consAquent, les courants Alectriques induits darts la mer et le Sous-sol circulent parallklement h la direction de la fosse et aux gradients de conductivitA Alectrique.

Comme pour le cas tabulaire, seule la composante Ax est non nulle. Les calculs ont AtA rAalisAs h la frAquence de 0,01Hz. Les composantes Ex, By et Bz sont continues aux interfaces entre les milieux. Cela se traduit par une trks bonne prAcision du calcul AlAments finis 3D par rapport au

calcul 2D dilfArences finies et au calcul 2D mAthode spectrale. Nous prAsentons sur la figure 1 les rAsultats obtenus pour Bz au niveau du talus de la fosse sous-marine La concentration de courant Alectrique circulant dans la direction transverse Ox principalement dans l'eau de mer

conductrice produit une augmentation importante de Bz c'est l'elfet c6tier.

Pour le mode TM, les courants source circulent dans le plan horizontal z

= 50 km suivant la direction Oy. Les courants induits, qui circulent perpendiculairement h la direction de la fosse,

rencontrent des gradients de conductivit4 Alevds, ce qui provoque l'apparition de courants

de conduction au niveau du talus et donc de forts gradients de potentiel scalaire 41ectrique V. Il faut Agalement permettre le rebouclage des courants dans le domaine de calcul il est donc nAcessaire de conserver de part et d'autre de l'inhomogAnAitA 2D une zone tabulaire sur laquelle nous sommes capables d'imposer des conditions aux limites (CAL). Finalement, seule la composante Ax est nulle. Les CAL sont les suivantes r4gion Haut : Ay = I, Az

= 0, rAgion Bas : Ay = Az

= 0, r4gions Est et Quest Az

= V

=

0 (Fig. I). Pour tout le reste, on

impose des conditions de Neumann homogAne. La figure 2 pr4sente les r4sultats pour B~ et

Ey. La continuit4 de B~ illustre la bonne pr4cision atteinte par le calcul dldments finis 3D par rapport aux mAthodes 2D de rAfArence. Par contre, les rAsultats obtenus pour la composante

horizontale Ey du champ Alectrique, discontinue au niveau du talus de la fosse sous-marine, montrent un (cart beaucoup plus important entre les dilfArentes m4thodes. Il en est de mAme pour la composante Ez.

(7)

1826 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°9

' EST

~<

j A><

50km ,."(_____~~

,"j,"'~ ,"' ~~~

km( ,'

' "'

>~---~

20km ' S6d>mems

,,"

,, ~

C0uche conduciwe X

~

m~

~~~,~---

~""'

sokm

~

50km

Mode TE

Bz normalis6 1'

Z

ModUle

Y loo

~ 078

~

." 056

034

El6rnentS ~~~;

~

Do 05 ,o >5 20 25 30

Yjkmj '

( Ecart/FE [_i Ecart/FE

w w ,,

@k@)~ 0 .,

; 0179

0 [~ 0139

~ 0

., ~' 0 099

0 0 MO

~

Dlfl6renCeS 0 M6thOde 0020 ~

DO OS '0 '5 2 0 2 5 30 00 0 5 10 15 2 0 2 5 3 0

ylkml yjkmj

Fig. 1 Gdomdtrie 2D. Domaine de calcul dldments finis et module normalisd de Bz en mode TE h proximitd de la fosse sous-marine pour une frdquence de 0,01 Hz. Rdsultats dldments finis (Flux Expert) et dcart par rapport aux mdthodes diffdrences finies et spectrale.

[2D geometry. Finite element domain and normalized modulus of Bz in TE mode at the vicinity of the underwater trough for a frequency of 0.01 Hz. Finite element results (Flux Expert) and gap with finite difference and spectral methods.]

(8)

I Ecdrt/FE Module Ecart/FE I

0 132 094 0 047

0 106 082 0 038

0 079 070 0 028

0 053 0 59 0 019

Dlfl finies 0

26'

El. finis BX 0

47'

'Mdth. Spectrale 0

09~

00 05 lo 15 20 30 00 05 lo 15 20 25 30 00 05 lo 15 20 25 30

Y(km) Y(km) Y(km)

(,i Ecart/FE Module Ecart/FE

N

0 61 092 0 403

0 49 075 0 322

0 37 0 59 0 242

~.- 024 042, 0161

Dlfl. finies

12~

fjnls 0

6~

Mdth. Spectrale 0

81'

00 05 lo 15 20 25 30 00 05 lo 15 20 25 30 00 05 lo is 20 25 30

Y km Y km Y km

Fig. 2. G40m4tne 2D. Module normahs6 de Bx et E~ en mode TM h proximit6 de la fosse sous- marine pour une fr6quence de 0,01 Hz. R6sultats 616ments finis (Flux Expert) et (cart par rapport aux

m6thodes diff6rences finies et spectrale.

[2D geometry. Normalized modulus of B~ and E~ in TM mode at the vicinity of the underwater trough for a frequency of 0.01 Hz. Finite element results (Flux Expert) and gap with finite difference and

spectral methods.]

4.3. CoNcLusIoN. Cette 6tude a permis une validation partielle de notre modble AlAments finis tridimensionnel des elfets gAomagnAtiques induits dans une zone c6tibre. Nous avons vArifiA,

pour des g60m6tries ID et 2D, la validit6 de la formulation (A, V) utilisAe et des conditions

aux limites imposAes.

Nous avons entrepris la r4alisation d'un modAle 3D complet, comprenant une description fine

de la g40m4trie sur un domaine de quelques dizaines de kilomAtres et un modAle r4aliste pour la structure g4010gique du sous-sol (s4diments conducteurs, couche rAsistive, couche conductrice).

Ce modAle devra nous permettre une comprAhension globale de la circulation des courants

41ectriques dans la zone AtudiAe et des perturbations magnAtiques associAes.

La validation expArimentale complkte d'un tel modkle 3D est actuellement en cours de rAa- lisation. L'utilisation des enregistrements magn4tiques et 4lectriqueS r4alis4s au large de la c6te Est des (tats Unis lors de l'exp4rience SEA nous permettra de tester la validit4 de nos

hypothAses et l'influence des paramAtres du modAle [16]. Cette validation fera l'objet d'une publication ult4rieure.

(9)

1828 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°9

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Références

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