Modèles de comportement pour matériaux polymères soumis au crash

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Modèles de comportement pour matériaux polymères soumis au crash

Romain Balieu, Franck Lauro, Bruno Bennani, Benjamin Bourel

To cite this version:

Romain Balieu, Franck Lauro, Bruno Bennani, Benjamin Bourel. Modèles de comportement pour

matériaux polymères soumis au crash. 10e colloque national en calcul des structures, May 2011,

Giens, France. pp.Clé USB. �hal-00592851�

CSMA 2011

10e Colloque National en Calcul des Structures 9-13 Mai 2011, Presqu’île de Giens (Var)

MODELES DE COMPORTEMENT POUR MATERIAUX POLYMERES SOUMIS AU CRASH

R. Balieu

, F. Lauro

, B. Bennani

, B. Bourel

K. Nakaya

, H. Enda

1Univ Lille Nord de France, F-59000 Lille, France, {romain.balieu,franck,lauro,bruno.bennani,benjamin.bourel}@univ-valenciennes.fr

2UVHC, LAMIH, F-59313 Valenciennes, France, {romain.balieu,franck,lauro,bruno.bennani,benjamin.bourel}@univ-valenciennes.fr

3CNRS, FRE 3304, F-59313 Valenciennes, France, {romain.balieu,franck,lauro,bruno.bennani,benjamin.bourel}@univ-valenciennes.fr

4TOYOTA MOTOR EUROPE, B-1140 Brussels, Belgium

Résumé — Les polymères sont aujourd’hui très utilisés dans le domaine du transport avec des cahiers des charges de plus en plus sévères. La modélisation du comportement et la détection de la rupture deviennent une priorité. Ce travail propose un modèle de comportement compressible avec endommage- ment en dynamique permettant de représenter les différents comportements observés.

Mots clés — polymère, modèle de comportement, éléments finis, méthode non locale, crash.

1 Introduction

Les simulations au crash ont été un axe de recherche majeur qui a permis aux industries automobiles d’atteindre des réductions de 30 à 50% en termes de temps de développements et de coûts. Aujour- d’hui, ces technologies sont matures et ont fait leurs preuves notamment pour le développement d’aciers ductiles, très fréquemment utilisés dans l’industrie automobile, où le mécanisme prédominant de l’ab- sorption d’énergie est le flambement local plastique. Toutefois la recherche permanente de diminution des masses et la protection des occupants ont poussé à la recherche de matériaux plus légers qui pos- sèdent souvent une grande ductilité, et des ruptures complexes. Les matériaux polymères sont généra- lement de bons candidats pour atteindres ces objectifs. Les études sur le comportement des matériaux polymères sont nombreuses en particulier pour des sollicitations quasi-statiques. Deux approches sont généralement utilisées : une phénoménologique, basée sur des modèles auparavant développés pour les matériaux métalliques pour introduire la viscoplasticité [1] [2], une plus physique où l’écrouissage du polymère semi-cristallin est lié à des forces entropiques nécéssaires pour orienter les chaines macro- moléculaires connectées par des liens croisés [3] [4]. Une déformation isochorique est classiquement employée par ces auteurs à cause de la difficulté d’obtenir des résultats expérimentaux avec de l’extenso- métrie classique sur des matériaux où la striction apparait très tôt. Pour prendre en compte la dépendance à la pression hydrostatique de la matrice polymère, des développements ont été réalisés afin d’introduire des modèles d’endommagement. Le modèle d’endommagement le plus couramment utilisé est le modèle de Gurson qui décrit la croissance de cavités sphériques sous un état de contraintes hydrostatique [5].

De cette introduction resulte des modèles complexes aux paramètres difficilement identifiables, tels que, la longueur de chaines macromoléculaires, le nombre de liens rigides par chaîne, les porosités initiales, etc... . L’approche phénoménologique est plus appropriée dans un contexte industriel, si la déformation non-isochorique est prise en compte et si une nouvelle technique est utilisée pour identifier les lois de comportement à vitesses de déformation constantes, pour une large gamme de vitesses de déformation [6].

2 Critère de plasticité de Drucker-Prager

Le critère de plasticité le plus utilisé pour modéliser un matériau isotrope est le critère de von Mises.

Ce modèle défini sa surface de charge comme égale à la contrainte équivalente au sens de von Mises.

Cependant, les matériaux polymères ont un comportement différent en traction, compression et cisaille-

ment (Fig. 1), la surface définie par le modèle de von Mises ne fait pas représenter ces différences de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 10

30 50 70

ε

σ (MP a)

Traction Compression Cisaillement

F

1 – Influence du type de sollicitation sur le comportement d’un polypropylène.

0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

ε

ν

= − ε

ε

F

2 – Coefficient de Poisson plastique me- suré lors d’un essai de traction sur un polypropy- lène.

comportement. Il est nécessaire d’utiliser un critère de plasticité dépendant de la pression hydrostatique pour modéliser l’influence du type de sollicitation. La déformation plastique des polymères ne se dé- roule pas à volume constant, le coefficient de Poisson plastique introduit dans le modèle associatif de von Mises (ν

= 0,5) n’est donc pas valable pour ces matériaux. Afin de représenter la dissymétrie de la phase de transition élastique-plastique, le critère de Drucker-Prager est utilisé avec un potentiel plas- tique non-associatif afin de prendre en compte la variation de volume durant le processus de déformation plastique (Fig. 2).

2.1 Modèle constitutif

Le critère est une modification du critère de von Mises, où un terme additionnel est utilisé pour introduire la sensibilité à la pression hydrostatique [7]. Dans ce modèle, le tenseur total des déformations ε

e est une décomposition additive du tenseur des déformations élastiques ε e

e

et du tenseur des déformations plastiques ε

e

p

:

ε e = ε

e

e

+ ε e

p

. (1)

Le tenseur des contraintes est donc de la forme suivante : σ

e = D ee

e

: ε e = 2Gε

e

e d

+ Kε

e

e v

I

e . (2)

D ee

e

est le tenseur élastique isotrope du quatrième ordre standard, G et K sont respectivement les modules de cisaillement et d’élasticité isostatique, I

e est le tenseur unité du second ordre. ε e

e

v

, le tenseur volumique des déformations élastiques et ε

e

e

d

, le tenseur déviatorique des déformations élastiques sont donnés par : ε

e

e v

= tr ε

e

e

I e , ε

e

e d

= ε

e

e

− 1 3 ε

e

e

v

, (3)

où tr(.) défini la trace d’un tenseur.

2.2 Définition de la surface de charge

Le modèle de Drucker-Prager considère que le seuil de plasticité commence lorsque la contrainte équivalente au sens de von Mises σ

et la pression hydrostatique p atteignent une combinaison critique.

La surface de charge définie dans le modèle de Drucker-Prager est de la forme suivante : f σ

e ,r

= σ

+ ηp − ξr = 0, (4)

σ

, la contrainte équivalente au sens de von Mises est donnée par : σ

=

r 3 2 S

e : S

e , (5)

f

F

3 – Représentation de la surface de charge du critère de Drucker-Prager dans l’es- pace des contraintes principales.

F

4 – Représentation de la surface de charge du critère de Drucker-Prager dans le plan σ

− σ

.

avec S

e le tenseur déviatorique des contraintes : S e = σ

e − pI

e . (6)

La pression hydrostatique p est calculée de la façon suivante : p = tr σ

e

. (7)

Dans l’espace des contraintes principales, la surface de charge est un cône à base circulaire avec un axe dépendant de la pression hydrostatique (Fig. 3). r, η et ξ sont des paramètres matériaux, r est la loi de comportement en traction et η et ξ sont des ratios entre les limites élastiques en traction σ

et en compression σ

:

η = 3 σ

/(σ

− 1)

σ

/(σ

+ 1) , ξ = 1 + η

3 . (8)

2.3 Plasticité non-associée

Dans le Modèle de Drucker-Prager, un potentiel plastique différent de la surface de charge est utilisé.

Celui-ci permet de modéliser la compressibilité du matériau. Le potentiel plastique g est défini par la relation suivante :

g σ e

= σ

+ α p. (9)

Le potentiel plastique donne la direction n

e du flux plastique. Avec une plasticité non-associée le tenseur des vitesses de déformation ˙ ε

e

est donné par : ε ˙ e

= λn ˙

e , (10)

λ ˙ est le du multiplicateur plastique instantané. La direction de flux est calculée à partir du potentiel plastique :

n e = ∂g

∂σ e

. (11)

Le paramètre α est fonction du coefficient de Poisson plastique ν

: α = 3

2

1 − 2ν

1 + ν

(12)

0 ≤ ν

≤ 0,5 donc 0 ≤ α ≤

. Si le paramètre de flux α est égal à 0, cela signifie qu’il n’y a pas de

changement de volume durant la plasticité. Le coefficient de Poisson plastique est un paramètre matériau

qui n’est pas systématiquement constant. En effet pour les polymères, ν

n’est pas constant au cours de la

déformation plastique, il est généralement compris entre 0,4 et 0, 5 au début du processus de déformation

plastique puis décroît au fur et à mesure que la plasticité augmente (Fig. 2).

3 Implémentation numérique du modèle de Drucker-Prager

Le modèle de Drucker-Prager est implémenté dans une sous-routine matériau pour le code explicite LS-DYNA

. A chaque incrément de temps la sous-routine accède aux variables suivantes : ∆ε

e

, σ e

et κ

, où l’indice n représente le pas de temps courant. ∆ε

e

est l’incrément du tenseur des déformations totales, σ

e

est le tenseur des contraintes courant et κ

la déformation plastique équivalente cumulée.

L’algorithme consiste à calculer le nouveau tenseur des contraintes σ

e

, et la nouvelle déformation plastique équivalente cumulée κ

à l’aide d’une prédiction élastique et une correction plastique, lorsque le critère de Drucker-Prager f

> 0 est verifié. La correction plastique est réalisée avec un algorithme de type Newton-Raphson jusqu’à ce que la relation de consistance soit nulle ( f

= 0).

3.1 Prédiction élastique

Lors de la phase de prédiction élastique, les incréments de déformations sont considérés comme purement élastiques. Le tenseur des déformations élastiques issu de la prédiction élastique est donné par :

ε e

etr n+1

= ε

e

+ ∆ε

e

. (13)

Le tenseur des contraintes correspondant est calculé avec : σ

e

tr n+1

= D

ee

e

: ε e

etr

n+1

. (14)

La surface de charge issue de la prédiction élastique est décrite par : f

σ

e

tr n+1

,r

= σ

+ η p

− ξ r(κ

). (15)

Si f

≤ 0, la déformation est purement élastique et les tenseurs calculés lors de la prédiction élastique sont solutions :

σ

e

= σ e

tr n+1

, ε

e

= ε e

etr n+1

.

Sinon la déformation est élasto-plastique et une correction plastique est nécessaire afin de respecter la condition f

= 0.

3.2 Correction plastique

La correction plastique consiste à évaluer la partie plastique de la déformation. La déformation plas- tique équivalente cumulée devient :

κ

= κ

+ ∆κ

. (16)

Le tenseur des déformations plastiques est calculé avec le potentiel plastique non-associatif, en utilisant les équations 10 et 11, le nouveau tenseur des incréments de déformations plastiques est ainsi calculé :

∆ε e

p

n+1

= ∆λ 3

2 S e σ

+ α

3 I e

. (17)

L’incrément de déformation plastique équivalente est donné par :

∆κ = r 2

3 ∆ε e

p n+1

: ∆ε

e

p

n+1

, (18)

ce qui est équivalent à :

∆κ = k∆λ ; k = p n e

: n

e

. (19)

Le schéma de mise à jour du tenseur des contraintes en élasticité linéaire est : σ

e

=σ e

tr

n+1

− ∆λD ee

e

: n e

=σ e

tr

n+1

− ∆λ 2Gn

e

+ Kn e

, (20)

appliqué au modèle de Drucker-Prager le tenseur des contraintes devient : σ

e

= σ e

tr

n+1

− ∆λ 3GS

e

tr n+1

+ α

3 KI e

. (21)

La nouvelle surface de charge s’écrit de la façon suivante : f

σ

e

,r(∆κ)

= σ

− 3G∆λ + ηp

− ηαK∆λ − ξr (κ

+ ∆κ) = 0. (22) Cette équation est résolue itérativement à l’aide d’un algorithme de type Newton-Raphson. Le but étant de trouver la valeur de ∆κ qui respectera la condition f

= 0. L’évaluation de ∆κ est réalisée par :

d∆λ = f

f

, avec f

= ∂ f

∂∆λ

(23)

Le multiplicateur plastique est mis à jour à chaque itération par la relation suivante :

∆λ

= ∆λ

− d∆λ. (24)

Lorsque la relation de consistance est vérifiée ( f

= 0), la déformation plastique équivalente et le tenseur des contraintes sont mis à jour avec les équations 16, 19 et 21.

3.3 Implémentation pour les éléments coques

Pour implémenter ce modèle de plasticité avec des éléments de type coque, il est nécessaire de modifier le schéma classique de résolution afin de satisfaire l’état de contraintes planes.Les tenseurs des contraintes et des déformation pour un état de contraintes planes sont donnés par :

σ e =





σ

σ

0 σ

σ

0

0 0 0



 , ε e =





ε

ε

0 ε

ε

0 0 0 ε



 . (25)

Contrairement aux éléments solides, la déformation dans l’épaisseur ε

n’est pas connue au début de l’itération. Il est donc nécessaire de la calculer tout en s’assurant que la contrainte normale à la surface moyenne σ

soit nulle. Cette déformation permet au code de calculer l’épaisseur réelle de la coque. Dans le domaine élastique, la déformation dans l’épaisseur satisfait la loi de Hooke :

ε

= − ν

1 − ν

(ε

+ ε

), (26) où ν est le coefficient de Poisson du matériau.

L’algorithme de plasticité en contraintes planes est divisé en deux parties dépendantes l’une par rapport à l’autre :

1. Un retour à la surface de charge axisymétrique (σ

6= 0).

2. Une correction de l’incrément de déformation dans l’épaisseur ∆ε

afin de satisfaire σ

= 0.

Lors de la première itération, le schéma prédiction/retour (3.1 et 3.2) réalisé en axisymétrique renvoi le nouveau tenseur des contraintes σ

e . L’incrément de déformation dans l’épaisseur ∆ε

est calculé avec l’équation 26 lors de la prédiction élastique. Si la condition σ

= 0 n’est pas respectée, l’incrément de déformation est corrigé avec la relation suivante [8] :

∆ε

= ∆ε

− σ

D

, (27)

où D

est une composante de l’opérateur consistant tangent axisymetrique D ee

ep

:



 

 dσ

dσ

dσ

dσ



 

 =



 



D

D

D

D



 





 

 dε

dε

2dε

dε



 

 . (28)

Un nouveau schéma prédiction/retour (3.1 et 3.2) en axisymetrique est alors réalisé jusqu’à ce que la condition σ

= 0 soit respectée. l’opérateur consistant tangent D

ee

ep

est calculé par [9] : D

ee

ep

= D ee − D

ee

e

: ∆λ : N ee : D

ee , (29)

Loi incompressible

Loi compressible

F

5 – Différences sur les lois de comporte- ment en fonction des hypothèses utilisées.

l

F

6 – Influence du paramètre l sur le calcul de la quantité non locale.

où N

ee , avec une plasticité non-associée est donné par : N

ee = ∂

g

∂

σ e

, (30)

et D

ee est l’opérateur continu tangent qui se calcule avec la relation suivante : D

ee = D ee

e

− D

ee

e

: n e

⊗ m e : D

ee

e

m

e : D ee

e

: n

e + H . (31)

H, est le module d’écrouissage donné par :

H = ∂r(κ)

∂κ . (32)

Le tenseur m

e est calculé à partir de la surface de charge avec : m

e = ∂ f

∂σ e

. (33)

Avec cette méthode, une itération est ajoutée par rapport à un algorithme de plasticité classique, mais présente l’avantage ne pas avoir de modification des équations dans le schéma de retour à la surface de charge.

4 Intégration d’un endommagement non local

Les matériaux comme le polypropylène ont un comportement isotrope transverse, c’est à dire, que lors d’un essais de traction, la déformation transverse est égale à celle dans l’épaisseur. De plus, la non- conservation de volume implique que la trace du tenseur des déformations n’est pas nulle comme pour les matériaux isochores. Les hypothèses prises pour calculer les contraintes vraies ont donc un effet très important sur la loi de comportement. Si le matériau est considéré comme incompressible, la contrainte vraie se calcule avec la relation suivante (en considérant − → y l’axe de traction) [10] :

σ

= F S

exp (ε

). (34)

Alors que en utilisant l’hypothèse d’isotropie tranverse (ε

= ε

) et de compressibilité tr(ε e ) 6= 0

, la contrainte σ

devient :

σ

= F S

exp (−2ε

). (35)

La loi de comportement incompressible calculée par la relation 34 présente un écrouissage

, tandis que celle calculée par la relation 35 présente un adoucissement (Fig. 5). Afin de modéliser le comportement réel du matériau (compressible), la loi de comportement utilisée est celle de l’imcompressibilitée, elle est ensuite corrigée par un endommagement afin d’obtenir la loi réelle du matériau. L’adoucissement

1. Hormis l’adoucissement après la limite élastique appelé aussi crochet.

obtenu dans la loi de comportement pose des problèmes numériques connus qui se traduisent par une localisation des déformations dans une zone restreinte. La solution numérique obtenue à partir d’une simulation éléments finis utilisant une plasticité continue standard, où l’adoucissement du matériau est modélisé, conduit au phénomène de dépendance du maillage. Afin de régulariser la solution, un modèle non local est proposé dans lequel l’endommagement est défini avec une pondération spaciale.

4.1 Principe de la moyenne non locale

Le principe de la moyenne non locale est de calculer une quantité en prenant en compte les éléments environnants. La pondération spaciale d’une variable locale κ(x) se calcule par l’integrale

κ ¯ = 1 Ψ(x)

Z

Ω

α(x, ξ)κ(ξ)dΩ, (36)

où α est une fonction de poids de type Gauss ou Bell-shaped, Ω est le domaine spacial qui représente le corps (fini ou infini), et la barre placée sur la variable signifie qu’elle représente une quantité non locale.

1

Ψ(x)

est appelé le volume représentatif défini par : Ψ(x) =

Z

Ω

α(x,ξ)dΩ. (37)

Dans le modèle, la fonction de poids α(x,ξ) utilisée est une fonction de type Gauss, qui, dans le cas 2D, est défini par :

α

(x,ξ) = 1 2πl

exp

− r

2l

, (38)

r = ||x − ξ|| représente la distance d’un point x à un point ξ et l est un paramètre appelé “longueur interne”. Ce dernier paramètre détermine la taille du volume, ou de la surface qui contribue au calcul de la variable non locale (Fig. 6).

4.2 Modèle d’endommagement non local

Le modèle d’endommagement non local est basé sur les travaux de Roy A.B Engelen et al [11], dans lequel l’endommagement est calculé avec une approximation de type gradient implicite. Dans ce Modèle, la loi de comportement r(κ) est remplacée par une loi endommagée R(ω,κ) de la forme suivante :

R(ω, κ) = (1 − ω( κ))r(κ). ¯ (39) La variable d’endommagement ω est fonction de la moyenne non locale de la déformation plastique équivalente ¯ κ. Cette fonction est de forme exponentielle :

ω( κ) = ¯ 1 − exp

− κ ¯ κ

(40) avec κ

un paramètre matériau. La surface de charge endommagée dans le modèle de Drucker-Prager devient donc

f σ e , r,ω

) = σ

+ ηp − ξ(1 − ω( κ))r(κ) = ¯ 0, (41) 4.3 Implémentation du modèle d’endommagement non local

En accord avec la définition de la variable non locale, l’intégrale donnée par l’équation 36, sur tout le volume Ω de la structure, est égale à la somme des intégrales de tous les éléments de la structure :

κ(x) = ¯ 1 Ψ(x)

ne

∑

n=1 ng

∑

i=1

α(x,ξ

)κ(ξ

)A

, (42) avec ne le nombre d’éléments, ng le nombre de points d’integration de chaque élément et A

l’aire de l’element. Ψ(x) est discrétisé de la même manière par :

Ψ(x) =

ne n=1

∑

ng i=1

∑

α(x,ξ

)A

. (43)

Le calcul de ¯ κ(x) peut donc être réalisé sous forme matricielle : κ(x) = [Ξ] ¯ κ, avec Ξ = 1

Ψ(x)

ne

∑

n=1 ng

∑

i=1

α(x,ξ

)A

. (44) D’un point de vue numérique, la matrice Ξ est calculée au premier pas de temps puis stockée pour toute la suite du calcul. En effet, Le matériau étant implémenté en petite déformation, il n’est pas nécessaire de recalculer Ξ à chaque pas de temps. La résolution de l’equation 41 étant devenue fortement non-linéaire et dépendante des éléments environnants, le problème est découplé en deux parties :

1. La résolution de l’équation 41 par le schéma classique de plasticité locale avec la variable d’en- dommagement ω constante, dont la valeur est issue du pas de temps précédent.

2. Une fois les incréments de déformations plastiques locaux ∆κ trouvés pour tous les points d’inté- grations de la structure, la variable ω est mise à jour pour le pas de temps suivant grâce à Ξ.

5 Conclusions

Le modèle de comportement décrit permet de modéliser un matériau de type polymère. L’influence du type de sollicitation sur le comportement est modélisé en utilisant une surface de charge dépendante de la pression hydrostatique. L’utilisation d’un potentiel plastique non-associatif permet de prendre en compte le changement de volume durant la déformation plastique. La variation réelle de l’épaisseur ainsi que le comportement isotrope transverse sont pris en compte, tout en utilisant des éléments coques, grâce à un algorithme supplémentaire introduit pour satisfaire l’état de contraintes planes. Le problème bien connu de localisation, et donc de dépendance de maillage, du à l’adoucissement présent dans la loi de comportement en traction des polymères, a été réduit en utilisant une régularisation non locale de l’endommagement. Cette régularisation est basée sur la moyenne spaciale de la déformation plastique équivalente, prenant en compte les éléments environnants.

Par la suite, un modèle de rupture prenant en compte le taux de triaxialité et la vitesse de déformation, sera ajouté au modèle existant. Le modèle complet permettra de modéliser le processus de déformation jusqu’à rupture, dans une structure complexe sollicitée à une grande vitesse de déformation.

Références

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