Résolution des équations de transport par linéarisation

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Résolution des équations de transport par linéarisation

J.-C. Manifacier, J. Jimenez-Lopez, J. Gasiot, J. Bonnafe, J.-P. Fillard

To cite this version:

RESOLUTION

DES

_ÉQUATIONS

DE TRANSPORT PAR

LINÉARISATION

J. C.

_MANIFACIER,

J.

JIMENEZ-LOPEZ,

J.

GASIOT,

J. BONNAFE et J. P. FILLARD Université des Sciences et

_Techniques

du

_Languedoc,

Centre d’Etudes

d’Electronique

des Solides

_(*),

place E.-Bataillon,

34060

_Montpellier

Cedex,

France

(Re _Cu

le 24

avril 1978,

revise le 22 mai

1978,

accepte

le 29 mai

₁₉₇₈₎

Classification

Physics Abstracts 72.15 - 72.20

Résumé. 2014 Les

équations de _{transport classiques} dans les semiconducteurs sont en général

résolues au _moyen

_{d’hypothèses}

_{simplificatrices} ou _{par des méthodes} numériques

spécifiques.

Une

troisième _méthode,

_qui

consiste à linéariser les

_équations

de _{départ (méthode} des

_{petits signaux),}

permet d’obtenir les solutions sous forme _analytique.

Nous donnons les résultats obtenus dans deux cas

_{particuliers :}

_(i)

_{l’injection}

de porteurs minori-taires dans un _{semiconducteur;}

_(ii)

l’effet Hall dans un échantillon de dimensions finies.

Les

_{conséquences}

de cette _analyse sont

_importantes

pour

l’interprétation

des mesures

électriques

mettant en 0153uvre des contacts.

Abstract. 2014 The

transport

relationships

are

_generally

solved _by means of

_simplifying

_hypotheses

or _by

_using

numerical _analysis. A third method, within the framework of small _{signal theory,} enables solutions to be obtained in closed form.

We _give results for two

_particular

cases : _{(i) minority} carrier

_injection

in semiconductors; (ii) Hall effect in a

_sample

of finite

_length.

The consequences of this

_analysis

are believed to be of _general

_importance

in connection with the

interpretation

of electrical measurements on solids

_involving

contacts.

1. Introduction. - Dans les

dispositifs

électroni-ques

(diodes,

transistors,

structure

MOS,

etc...)

les

grandeurs

physiques,

telles _que les densites d’electrons

ou _{de trous, le}

_{champ electrique,}

_etc..., sont reliees

entre _{elles par l’intermédiaire des}

_equations

de

trans-port.

Ces

_equations

sont la loi de Poisson

_(Eq.

_(1)),

les

_equations

du courant

_(Eqs.

_(2,

₃₎₎

et les

_equations

de conservation des

_particules

_(Eqs.

_(4,

_5)).

Nous nous sommes

_places

ici dans le cadre d’une

analyse

unidimensionnelle et en

_{regime independant}

du

_temps.

Si l’on considere la

_presence

d’un centre

recombinant dans la bande interdite obeissant au

modele de

_Schockley

Read

_[1],

_l’equation

₍₆₎

donne

1’exces de

_charge

_{positive ~Qt}

se trouvant sur ce

piege

en fonction des densites de

_charge

libres en exces

A~ = ~ 2013 ~ et A/? = /? 2013 j9~

L-240 JOURNAL DE _{PHYSIQUE -} LETTRES

Dans ces

equations n,

_{p, ne, pe, gn, ~cp,} E ont leur

signification

habituelle,

et _{Tno’ T Po’} n, et _PI sont des

paramètres caracteristiques

au centre recombinant

[1],

me etant la densite d’electrons dans ce centre a

1’equi-libre

_thermique.

A ces six

_equations,

il faut

_ajouter

les

conditions aux limites _propres au

problème

particulier

étudié. I

Les difficultés de la résolution du

systeme

d’equa-tions

_proviennent

du fait que ces

_equations

ne

_peuvent

pas etre résolues

explicitement

meme si les conditions

aux limites sont connues

(ce

qui

n’est pas souvent le

cas en

_pratique).

Les deux methodes utilisées a ce

_jour

ont ete :

(A)

L’introduction

_{d’hypotheses}

_{simplificatrices}

(neutralite

électrique,

absence de

_pièges,

courants de

diffusion

_negligcabtes

devant les courants de conduc-tion ou

_{reciproquement,}

_etc...).

(B)

L’utilisation de methodes de calcul

_numerique,

les conditions aux limites

_manquantes

etant

deter-minees par une

technique

iterative sur la base de tests

self consistants

_[2].

La

_premiere

methode est

dange-reuse car les

_consequences

exactes des diff6rentes

approximations

sont difficiles a

_prevoir,

la deuxième

est

_longue

et

_spécifique

du cas

_particulier

etudie.

(C)

Une troisieme methode

_{[3, 4]}

a ete récemment

explorée,

elle consiste a Hneariser les

_{equations (1)-(6)}

sans aucune

_hypothese

_{simplificatrice.}

La validite des résultats est alors restreinte au cas des courants

faibles,

mais les conclusions sont en dehors de cela

gencrales.

L’analyse

meme sous forme linéarisée est

_complexe

et les détails en sont donnes _par ailleurs

_[3,

_4],

nous nous _proposons

_simplement

ici de donner un _aperçu

des

_{possibilités}

de cette

_analyse.

2. Resolution des

_equations

de

_transport

_par

Mnearisation. - A

partir

des seules

_hypotheses

Ap

Pe et

L1 n _ne, on

_peut

montrer

_[3]

_que les

equations (1)-(6)

se reduiscnt a un

_{couple d’equations}

differentielles du deuxième ordre a coefficients

cons-tants, reliant entre elles

_Ap(x)

et

_{An(x) :}

dans le cas

particulier

ou la densite de

_pieges

est

_nulle,

_rne = 0

on obtient :

Les solutions obtenues sont dans Ie cas

_general

ou _{me =1=} 0 de la forme :

avec des

_expressions

_identiques

_pour

_Ap(X)

et a

_partir

de

_{1’equation (1)}

pour

E(X).

On a normalise x à la

longueur

de

Deby~‘X

=

xl LD ;

A =

~,p/zo

Da. D.

etant la

longueur

de diffusion

ambipolaire; 11

6tant un

parametre

caractéristique

du

centre recombinant X.

Les

_figures

_{2, 3,}

4

_{correspondent}

au cas

particulier

ou la densité de

_pièges

est nulle : _me =

0; ~

= 1.

Les resultats

_precedents

sont établis dans le cas

général,

nous allons donner les resuttats

_{correspondant}

a deux cas

_{particuliers : (i) l’injection}

dans un

échan-tillon

semi-infini ;

(ii)

1’etude de 1’effet Hall dans un

échantillon de dimension finie.

3.

_Injection

dans un semiconducteur. -

L’injection

de

_porteurs

minoritaires est a la base du

fonctionne-ment des

_composants

_{électroniques}

_{tels que transistors}

ou diodes éIectroluminescentes.

Supposons

un semiconducteur de

_type

n, muni

d’un contact

_{injectant métallique (Fig.}

_1).

Les

condi-tions aux limites seront

_prises

en X = 0 ou le

_champ

électrique

E =

0,

a l’infini ou An = 0 et

Ap

=

0,

FIG. 1. - Schema de bande d’un contact métal-semiconducteur

de _type n, polarise dans le sens direct, _{regime d’injection}

[Band scheme at a _{metal-(n-type)} semiconductor interface, with a

positive voltage applied to the metal : injection regime

on introduit de

_plus

un taux

_{d’injection}

_y(X)

_qui

est le

rapport

entre le courant des

_porteurs

minoritaires et

le courant

total,

la valeur de

_y(O)

=

y etant fix’

arbitrairement

_(dans

le cas de

_{l’injection,}

_y varie entre yo =

y(oo)

_et

1).

11 est couramment admis _que

_{l’injection}

de

_porteurs

minoritaires dans un semiconducteur du

_{type à}

duree

de vie

_[5]

_(defini

comme etant un semiconducteur _pour

lequel la

duree de vie To est tres

superieure

au

_temps

de

relaxation

_{diéIectrique}

_TD =

£/(1)

diminue Ia resistance

totale du

_systeme.

En fait cela est

_vrai,

mais seulement

pour des densités de courant suffisamment

impor-tantes. Pour des densites de courant faibles une

augmentation

de la resistance

_peut

etre

_observee,

associée a un maximum du

_{champ electrique,}

voir

figure

2. Cette

_{figure correspond}

au cas d’un semî-conducteur

_intrinseque

FiG. 2. -

AN(X), AP(X), E(X) dans le cas de _{l’injection} dans

un semiconducteur a duree de vie,

L’encadre montre les variations des concentrations et du _{champ E}

pres de l’origine. E est normalise a _~Ty~Lp, ~C a L" et

[A~O,

AP(X), E(X) for _injection in a lifetime semiconductor

Insert shows the variations of field E and carrier concentrations in the _vicinity of X = _{0. E is} normalized _to ~T/qL~, X _to Lo and

J =

jL~/~p

kT(ne ₊ jpe) where j is the current density.]

L’origine physique

de ce maximum du

_champ

électrique s’explique

facilement ;

l’augmentation

de la densite des

_porteurs

minoritaires

_AP(X)

est neutralisée

parunexcesdeporteursmajoritaircsA~V(~) ~

AP(X),

les

_gradients

etant ainsi sensiblement

_egaux

Le courant de diffusion des electrons

_s’oppose

au courant de conduction

lorsque

la mobilite des

elec-trons est

_superieure

a cette des trous

_{(b > 1),}

1’effect des

gradients

de concentration

_peut

dominer 1’effet de

l’augmentation

de la dcnsite de

_porteurs

et conduire

ainsi a une

augmentation

de la resistance du

systeme.

Dans Ie cas des semiconducteurs a

relaxation,

de6nis par Van Roosbroeck

~f, 7]

comme ceux _pour

ksqucb

iq

~~, c’est te cas en

général

des

isolants,

rinjection

de

_porteurs

minoritaires se traduit _par un

appauvrissement

de ]a densite des _porteurs

majori-taires ainsi que Fen

peut

1’observer sur la

_figure

3.

FIG. 3. 2013 A~(JT), AP(X) et E(X) dans Ie cas de _{l’injection} dans

un semiconducteur à relaxation _{(voir figure 2 pour les conditions}

de _{normalisation).}

[AN(X), AP(X), ~0 for injection in a relaxation semiconductor

(sec figure 2 for the normalization _{conditions).]}

FiG. 4. -

Rapport VHIVHO en fonction de

_alF-r;-D-.

pour

ditIé-rentes valeurs de S =

~,/5’p et b =

_~~/~cp,

_aN = a/L~, BN =

_/J¡JfI’

B etant Ie _{champ magnetique (voir figure} 2 _pour les conditions de normalisation).

[Ratio VH/VHO versus

~/ io ~38

for different values of S =

SnIS~

and b =

_{~, J~~,}

aN = a/7.D and BN =

L-242 JOURNAL DE _{PHYSIQUE -} LETTRES

4. Etude de I’effet Hall. -

L’analyse simplifiee

traite le

_specimen

en

_supposant

qu’il

est en tout

_point

a

_{1’equilibre}

_(duree

de vie To =

0).

En ecrivant

que le courant total r=

_Yn

+

_Jp

dans la direction du

_champ

de Hall

_{(axe OZ)}

est nul et en

_ajoutant

la

_composante

des courants due a la force de

_Laplace

dans les

equa-tions

₍₂₎

et

₍₃₎

on obtient

_{1’expression classique}

de la

tension de Hall

2 a etant la dimension laterale de 1’echantillon dans la direction

OZ,

le

_{champ magnétique B}

etant

_applique

dans la direction OY et le courant circulant dans la

direction OX. Les

_equations

de

_transport

linéarisées

permettent

de traiter le

_probleme

sans les

_hypotheses

simplificatrices

qui

conduisent a

_1’equation

_(10).

Les conditions aux limites font intervenir les vitesses

de

_{recombinaisons Sn}

et

_Sp

des electrons et des trous en Z = :t a.

On obtient ainsi

_[4]

la tension de Hall

_qui

s’ecrit

sous la forme :

dans

_{laquelle A VH}

est un terme correctif faisant inter-venir la dimension de l’échantillon et la nature des

surfaces,

ainsi _que le mecanisme de recombinaison. La

_figure

4 donne

_{VHI VHO en}

fonction de

_{~/~/To D~.}

io

Da

qui

est la

_longueur

de diffusion

_ambipolaire

est le

_parametre

_important,

si a >

_{.J 1:0}

Da,

alors

~H ~ VH 0

-Dans 1’autre cas, celui d’un semiconducteur a duree

de vie

_importante,

le terme correctif

_peut

devenir

important ;

de

_plus

il _peut etre

_positif

ou

negatif

et

conduire ainsi a une

_{interpretation}

totalement erronee des resultats

_{experimentaux.}

D’une maniere

_identique,

les

_equations

linearisees

peuvent

etre

_appliquees

a d’autres mecanismes de

conduction par

exemple

1’exclusion

_[8],

_{definie par}

y(O)

Yo, ou a des structures finies du

_type

P-I-N. Ces courbes sont en accord

_complet

avec les solutions

exactes obtenues

_{numeriquement}

_{[2, 9] correspondant}

au domaine de validite de la methode des

_petits

signaux.

Bibliographie

[1] SCHOCKLEY, W. and READ, W. T., Phys. Rev. 77 (1952).

[2] POPESCU, C. and HENISCH, H. K., Phys. Rev. B 11 (1975) 1563.

[3] MANIFACIER, J. C. and HENISCH, H. K., to be _{published, Phys.} Rev. B 15.

[4] MANIFACIER, J. C. and HENISCH, H. K., to be _{published, Phys.}

Rev. B 17.

[5] SCHOCKLEY, W., Electrons and Holes in Semiconductors _(Van Nostrand _Company, New _York) 1950.

[6] VAN ROOSBROECK, W., Phys. Rev. 123 (1961) 474.

[7] VAN ROOSBROECK, W. and CASEY Jr., H. C., Phys. Rev. B 5

(1972) 2154.

[8] Low, G. G. E., Proc. Phys. Soc. London B 68 (1955) 310.