À PROPOS D'UNE HYPOTHÈSE GAUSSIENNE EN ACOUSTIQUE

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HAL Id: jpa-00230472

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Submitted on 1 Jan 1990

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À PROPOS D’UNE HYPOTHÈSE GAUSSIENNE EN ACOUSTIQUE

M. Maurin

To cite this version:

M. Maurin. À PROPOS D’UNE HYPOTHÈSE GAUSSIENNE EN ACOUSTIQUE. Journal de

Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-729-C2-732. �10.1051/jphyscol:19902169�. �jpa-00230472�

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n02, Tome 51, Février 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990

Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité, INRETS-LEN, Case 24, F-69675 Bron Cedex, France

Résumé

-

L'hypothèse que les niveaux de pression sonore suivent une distribution gaussienne est courante dans le cas des bruits routiers. La validité et la pertinence de cette hypothèse sont discutées dans le cadre d'un processus à accroissements indépendants pour la puissance acoustique.

Abstract

-

Among a mode1 of independant increments for noise power, we discuss pertinency of usual gaussian hypothesis related to noise levels, (see road noise levels for instance, [Beranek, Migneron,.

.

.J). It is easily shown this hypothesis is useless.

INTRODUCTION.

Récemment il a été proposé une modélisation intéressante de bruit stable en Acoustique [Bastide] qui repose en substance sur un processus à accroissements indépendants et homogène dans le temps [Cox Miller, Girault]

pour la puissance rayonnée, notée ici V(t). Cela se traduit par le fait que sur tout intervalle de temps At l'accroissement AV(t) est de la forme K At

+

AU(t), avec K une constante positive, AU(t) une variable aléatoire centrée de variance égaie à oM2 At , AU(t) et AU(t1) deux variables indépendantes lorsque les intervalles At et At' sont disjoints. Ce cadre permet de discuter commodément l'hypothèse complémentaire que les niveaux de pression suivent une distribution gaussienne, hypothèse fréquente en acoustique des niveaux de bruit routiers [Aubrée et col., Beranek, Liénard, Migneron].

1 - L E CONTEXTE ACOUSTIOUE ET STATISTIOUE.

1 - Sur toute durée Atl2 = [tl t2] correspond l'accroissement AViz =

JAt,,

V(t) dt, les sonomètres indiquent des niveaux de bruit équivalents Leq12 = 10 log (AV1dAtt2), y compris pour les mesures "instantanées" sur des intervalles de temps de l'ordre de grandeur de la constante de temps des appareils (modes Slow, Fast ou impul- se). L'introduction du logarithme décimal pour les niveaux de pression apparaît ici comme un changement de variable biunivoque L = f(V) entre la variable aléatoire AVIAt (notée V pour simplifier) et le niveau correspon- dant Le%, (noté L), changement qui s'exprime par L = llc Log V, V = eCL, avec c = 1/10 Log 10 = 0,23 (*).

2

-

Sur une longue période [O Tlle Leq est pratiquement égal à 10 log K = l/c Log K, et de manière générale il s'agit de Sévaluer à partir de ou Li sur des intervalles d'amplitude At en des instants $

.

Dans le modèle ci-contre les AV(ti)lA$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi d'espérance Ev = K et de variance ( 3= ~o M 2 / ~ t ~ , (les paramètres K et oM2 du modèle à accroissements indépendants), tandis que

*

nous pouvons aussi bien considérer les mêmes quantités pondérées avec une courbe de pondération fréquentielle A, B, C ou D ; les calculs et développements s'appliquent de la même façon à pA(t), VA(t), LA(t), L e q ~ ,

. . .

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902169

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

les Li indépendants suivent une même loi d'espérance et de variance notées EL et oL2. Sur le plan statistique il s'agit d'estimer f(EV) à partir de mesures Li ; c'est dans ce contexte que des hypothèses sur la loi que suivent les I+ peuvent présenter (ou non) de l'intérêt.

n -

DISCU~~ION.

1 - Avec l'hypothèse complémentaire que les niveaux de pression sont gaussiens, c L6, =Log (AVIAt) suit la loi normale q c EL, c2 0 2 ) et nous disposons des relations exactes suivantes entre les deux premiers moments des deux distributions de L et V :

Ev = exp(c EL

+

c2 O&) ilal c EL = Log Ev

-

l/2 Log(l+ oV2fi2) [2a]

ov2 = E~~ (exp(c2 02)

-

1) [lbl c2 oL2 = Log(1

+

ov2/Ev2) Pb1 On en déduit que Leq = l/c Log Ev est égal à EL

+

c o 3 2 [Aubrée et col., Liénard], et que z + cl2

s2

est un estimateur

&

exprime directement à partir des statistiques = l/n Li et

s2

⁼^l/(n-1)^C;^(Li

-

de l'échantillon des niveaux mesurés [Bastide]. suit la loi normale m L , oL2/n), (n-1) s2/oL2 la loi du chi2 avec n-1 degrés de liberté e t c et

s2

sont indépendantes, par conséquent cet estimateur est sans biais et sa variance est égale à oL2/n

+

2(cn)'ol4/(n-l). Quand elle est techniquement utilisée dans la littérature cette hypothèse permet en substance de retrouver les relations [l] et [2], [Aubrée Auzou Rapin].

2

-

Cependant l'hypothèse de nomalité est pratiquement inutile ; en effet dans le cas général d'un changement de variable défini par Y = f(X) et X = &Y), (avec g l'application réciproque de f), les formules suivantes sont des approximations classiques enQe les moments d'ordre 1 et 2 des lois de X et de Y, (sous la seule réserve de leur existence) [Johnson Kotz] :

Ces relations sont d'autant plus précises que les variances 0: et oy2 sont faibles. Avec le changement de variables V = exp(c L) ou L = l/c Log V de l'acoustique nous obtenons (sans hypothèse gaussienne donc) des relations qui sont équivalentes à [l] et [2] :

Ev exp(c E d (1+ c2 oL2/2) [sa] EL

-

llc Log Ev

-

1/2c ov2/Ev2 [6a]

ov2 = c2 oL2 exp(2 c ~ i ) Pb1 oL2 ^-;1/c2 o v 2 ~ v 2 [6bl A partir d'une vingtaine de mesures la statistique suit une loi proche de la loi normale w L , o h ) , la statistique

s2

une loi proche de la loi nomale MG:, n (p4L

-

oL4)/(n- 112) et la covariance entre les deux est égaie à kL/n [Fourgeaud Fuchs] sous réserve que la loi des niveaux de bruit possède des moments d'ordre 3 et 4. Par conséquent l'estimateur reste sans biais et sa variance diftêre de la variance indiquée dans le cas gaussien de la quantité [c kL

+

( ~ 1 2 ) ~ (pdL

-

3 oL4)1/n

+

o(l/n), (**). Tout cela rend l'hypothèse gaussienne des niveaux L et la "commodité analytique" des relations [l] et [2] inutiles, d'autant plus que o v est faible ; c'est précisément ce qui se produit quand on augmente At puisque ov2 décroît en l/At.

**

p 3 ~ et pdL moments centrés d'ordre 3 et 4 de la distribution des Ldti, p 3 ~ et p 4 ~

-

3 oL4 nuls dans le cas gaussien.

(4)

3

-

A tout prendre il est bien mieux fondé d'appliquer l'hypothèse de normalité aux incréments de puissance AV puisque le modèle de Wiener-Lévy est le modèle à accroissements indépendants sans impdsions Ie plus simple [Cox Miller, Girault]. Dans ces conditions la variable AVlAt suit la loi normale N&,oM2/~t), auquel cas il est malencontreux de revendiquer un comportement gaussien pour les niveaux LA, = l/c Log(AV1At).

On sait aussi que d'une manière générale lorsque Y = Log X, Y normale et X log-nomiale, les premiers moments centrés de X

tendent vers les valeurs O et 3 0: des moments correspondants d'une loi normale quand O: et oy2 tendent simultanément vers zéro. Cela montre que lorsque les premiers moments de la loi d'une variable X tendent vers les moments correspondants d'une loi n o d e et que la variance tend vers zéro, la variable Y = Log X se rap- proche égaiement d'une loi normale (puisque les moments de la loi de X tendent également vers les moments d'une loi log-normale).

Ceci est précisément ce qui se passe en acoustique avec le modèle de Wiener-Lévy (c'est à dire sans bruits im- pulsifs) lorsque on augmente la durée At d'enregistrement des niveaux mesurés (des constantes de temps des

sonomètres à la seconde, la minute,

. .

.). Ceci explique que les niveaux de bruit mesurés présentent une apparence de normalité qui a pu être reprise dans la littérature [Beranek, Liénard, Migneron, Bastide].

4

-

On note par ailleurs le peu de cas qui est fait de l'hypothèse gaussienne quand elle pourrait intervenir, par exemple dans le calcul des intervalles de confiance [IO log Ev- 10 log EvmJ (***) du L q o n B panir d'in- tervalles symétriques

&-

Evmax] pour Ev et du coefficient de variation yv =

av/Ev

(les tables de Rock pastide]). Nulle part il n'est fait mention du caractère gaussien des niveaux hormis en dernier pour évaluer yv.

L'abandon du cas gaussien et la poursuite de [3] dans le cas général nous donne une autre expression (Annexe)

pour remplacer le

yv,

= (exp(c2 oL2)

-

l)ln du cas gaussien. On peut encore remarquer qu'à proximité de la normalité (hL et p 4 ~

-

3 oL4 faibles) elle se réduit à c (1 + c2 oL2/4) inférieur à yvg , ce qui peut laisser supposer que les tables de Rock avec yv, sur-évaluent légèrement les effectifs de mesures à faire.

C O N C L U . .

Les modèles homogènes à accroissements indépendants pour la puissance acoustique fournissent un cadre d'étude intéressant en acoustique, lequel permet notamment de discuter sans peine l'hypothèse de normalité des niveaux de pression. Cette hypothèse se révèle inutile puisqu'on retrouve les mêmes résultats sans eue, voire malencontreuse quand elle contredit formellement le modèle de Wiener-Lévy, mais également peu néfaste puisque les résultats n'en dépendent guère et que les niveaux présentent malgré tout une certaine apparence de nor- malité. On peut donc continuer à l'introduire si on le désire mais à condition de ne pas se méprendre sur sa por-

***

le choix d'intervalles non symbtriques est en soi singulier pour une dismbution L gaussienne donc symétrique. Cela souligne l'intérêt mineur de l'hypothèse et la primauté accordée à la distribution de AV/At.

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C2-732 COLLOQUE DE PHYSIQUE

tée, c'est à dire à condition de la considérer simplement comme une éventuelle commodité de circonstance et non pas comme un ingrédient de base.

Aubrée D., Auzou S., Rapin J.M., Etude de la gène due au trafic automobile urbain, 1971, CSTB.

Bastide J.C., Estimation et mesure du niveau acoustique continu équivalent, Revue de Statistique Appliquée, vol XXXVL no 3, 1988,5-14.

Beranek L.L., Criteria for noise and vibration in communities, buildings and vehicles, in Beranek L.L., Noise and vibration control, chap. 18, 1971, Mc Graw Hill.

Cox D.R., Miller H.D., The theory of stochastics processes, 1965, Chapman and Hall.

Fourgeaud C., Fuchs A., Statistique, 1967, Dunod.

Girault M., Processus aléatoires, 1965, Dunod.

Johnson N.L., Kotz S., Discrete dismbutions, 1969, J. Wiley.

Lienard P., Décibels et indices de bruit, 1978, Masson.

Migneron J.G., Acoustique urbaine, 1980, Masson, Presses de l'université Laval

-

Québec.

ANNEXE, Poursuite des développements [3] et [4], autre approximation de -&

Soit le développement de Taylor de g, application réciproque de f

x = g P y ) + (y

-

Ey)"/n! g ( n ) ( ~ y ) , puis Ex = g(Ey) +

LZ1

FnJn! g(n)(~y), (sachant que ply = O), et x

-

Ex = [(Y

-

EYln - / n! g(")(Ey).

En se limitant aux premiers termes (d'ordre inférieur ou égal à 4) nous avons (X

-

Ex)' = (Y

-

Ey12 g " ( ~ ~ ) + [(Y

-

Ey14 +

&L?yZ -

2 (Y

-

Ey12 g"2(~y)/4

+ (Y

-

^{E ~ ) ~}gt(Ey) g"(Ey>

-

pZy (Y

-

Ey) gt(Ey) gM(Ey) + (Y

-

Ey14 gt(Ey) gn'(EY)/3 - ky (Y - Ey) gl(Ey) g"'(Ey)/3 +

...

Avec la transformation V = g(L) = exp(c L) de l'acoustique : i) Ev = exp(c EL) [ l

+

c2 s2/2

+

c3 p3J6

+

c4 p4L/24

+ . . .

]

ii) ov2 = exp(2 c EL) [c2 oL2

+

c3

hL +

c4 (pdL

-

oL4)/4

+

c4 p4L/3

+ . . .

] d'où yv = o ~ / E ~ = c cL [ l

+

c

p3L/02 +

c2 (7 p4L

-

3 02)/12

(TL2 + . ..

^]ID

[1- c2 0 3 2 - c3 h L / 6 - c4 ~ ~ ~ 1 2 4 + c4 o>/4

+ . . .

^]

2 4 2

C o ~ C 5 ~

p4L-30L C C L P 3 L Z soit 'yv = c oL [l

+ -

₂

-

₃

+ -

₄ ⁽⁷--4- + i l - - 8 ( + ] + ...

OL OL OL