Matière: Mathématique / Statistique

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Mathématique / Statistique

Solutions: Série d’exercices N°03 Réalisé par:

Dr: Maifi Lyes

Exercice : 02 (énoncé de l’exercice)

Une expérience a été entreprise sur 250 personnes pour étudier la relation qui existe entre l’âge X et le temps de sommeil Y.

Le tableau ci-dessous a été obtenu.

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [

1 [1 -3 [ 0 0 2 36

2 [3 -11 [ 0 3 12 26

3 [11 -19 [ 2 8 35 16

4 [19-31 [ 9 26 22 3

5 [31 -59 [ 29 15 6 0

I-Calcule les moyennes marginales les écarts types marginaux de X et de Y.

II-Déterminer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire.

III-Déterminer la droite d’ajustement de Y en X.

I-1-Calculer les moyennes marginales

- Suivant x:

Avec n_T c’est l’effectifs total égale à 250 à partir de l’exercice.

Initialement il faut calculer n_i (i=1 :5).

On a : n_i c’est la somme des effectifs qui ont le même caractère x_i Donc :

n1=n11+n12+n13+n14=0+0+2+36=38 n2=n21+n22+n23+n24=0+3+12+26=41 n3=n31+n32+n33+n34=2+8+35+16=61 n4=n41+n42+n43+n44=9+26+22+3=60 n5=n51+n52+n53+n54=29+15+6+0=50 Remarque:

Et xi c’est le centre des classes i de forme [e_i-1 -e_i[ ,

Résultat:

e₁= (1+3)/2=2 e₂= (3+11)/2=7 e₃= (11+19)/2=15 e₄= (19+31)/2=25 e₅= (31+59)/2=45

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [ x_i n_i n_i. X_i

1 ^{[1 -3 [ 0} 0 2 36 2 38 76

2 ^{[3 -11 [ 0 3 12} 26 7 41 287

3 ^{[11 -19 [} 2 8 35 16 15 61 915

4 ^{[19-31 [} 9 26 22 3 25 60 1500

5 ^{[31 -59 [} 29 15 6 0 45 50 2250

- Tableau 01:

- Suivant y:

Avec n_T c’est l’effectifs total égale à 250 à partir de l’exercice.

Initialement il faut calculer n_j (j=1 :4).

On a : n_i c’est la somme des effectifs qui ont le même caractère yj Donc :

n1=n11+n21+n31+n41+n51=0+0+2+9+29=40 n2=n12+n22+n32+n42+n52=0+3+8+26+15=52 n3=n13+n23+n33+n43+n53=2+12+35+22+6=77 n4=n14+n24+n34+n44+n54=36+26+16+3+0=81 Remarque:

Et y_j c’est le centre des classes i de forme [e_j-1–e_j[ ,

Résultat:

e₁= (5+7)/2=6 e₂= (7+9)/2=8 e₃= (9+11)/2=10 e₄= (11+15)/2=13

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [ X_i n_i n_i. Xi

1 ^{[1 -3 [} 0 0 2 36

2 38 76

2 ^{[3 -11 [} 0 3 12 26 7 41 287

3 ^{[11 -19 [} 2 8 35 16 15 61 915

4 ^{[19-31 [} 9 26 22 3 25 60 1500

5 ^{[31 -59 [} 29 15 6 0 45 50 2250

Y_j 6 8 10 13

n_j 40 52 77 81

n_j.y_j 240 416 770 1053

- Tableau 02:

I-2-Calculer les écarts types marginaux de X et de Y

- Suivant x:

On a: L’écart type suivant (x)

Donc pour calculer L’écart type suivant x il faut d’abord calculer la variance (var(x))

Résultat:

- Tableau 03:

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [ X_i n_i n_i. Xi n_ix_i²

1 ^{[1 -3 [} 0 0 2

36

2 38 76 152

2 ^{[3 -11 [} 0 3 12 26 7 41 287 2009

3 ^{[11 -19 [} 2 8 35 16 15 61 915 13725

4 ^{[19-31 [} 9 26 22 3 25 60 1500 37500

5 ^{[31 -59 [} 29

15 6 0 45 50 2250 101250

Y_j 6 8 10 13

n_j 40 52 77 81

n_j.y_j 240 416 770 1053

- Suivant y:

On a: L’écart type suivant (y)

Donc pour calculer L’écart type suivant y il faut d’abord calculer la variance (var(y))

Résultat:

- Tableau 04:

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [ X_i n_i n_i. Xi n_ix_i²

1 ^{[1 -3 [} 0 0 2

36

2 38 76 152

2 ^{[3 -11 [} 0 3 12 26 7 41 287 2009

3 ^{[11 -19 [} 2 8 35 16 15 61 915 13725

4 ^{[19-31 [} 9 26 22 3 25 60 1500 37500

5 ^{[31 -59 [} 29

15 6 0 45 50 2250 101250

Y_j 6 8 10 13

n_j 40 52 77 81

n_j.y_j 240 416 770 1053

n_jy_j² 1440 3328 7700 13689

II-1-Calculer la covariance cov(x,y)

- Tableau 05:

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [ X_i n_i n_i. Xi n_ix_i²

1 ^{[1 -3 [} n11 0

n12 0

n13 2

n14

36 2 38 76 152

2 ^{[3 -11 [} n21 0

n22 3

n23 12

n24

26 7 41 287 2009

3 ^{[11 -19 [} n31 2

n32 8

n33 35

n34

16 15 61 915 13725

4 ^{[19-31 [} n41 9

n42 26

n43 22

n44 3

25 60 1500 37500

5 ^{[31 -59 [} n51 29

n52 15

n53 6

n54

0 45 50 2250 101250

Y_j 6 8 10 13

n_j 40 52 77 81

n_j.y_j 240 416 770 1053

n_jy_j² 1440 3328 7700 13689

- Tableau 06:

j I

1 2 3 4

y_j X_i

[5 -7 [ [7 -9 [ [9 -11 [ [11 -15 [ X_i n_i n_i. Xi n_ix_i²

1 ^{[1 -3 [ 0}

0

0 0

40 2

936

36 2 38 76 152

2 ^{[3 -11 [ 0}

0

168 3

840 12

2366

26 7 41 287 2009

3 ^{[11 -19 [} 180 2

960 8

5250 35 3120

16 15 61 915 13725

4 ^{[19-31 [ 1350}

9

5200 26

5500 22

975

3 25 60 1500 37500

5 ^{[31 -59 [ 7830}

29

5400 15

2700 6 0

0 45 50 2250 101250

Y_j 6 8 10 13

n_j 40 52 77 81

n_j.y_j 240 416 770 1053

n_jy_j² 1440 3328 7700 13689

II-2-Calculer le coefficient de corrélation linéaire (x,y) ε

III-1-Trouver la droite d’ajustement de Y par variable X ou Y=f(X)

On a:

Avec:

Résultat: