Diffraction avec une source large (théorie classique)

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Diffraction avec une source large (théorie classique)

F. Wolfers

To cite this version:

DIFFRACTION AVEC UNE SOURCE LARGE

(THÉORIE

CLASSIQUE)

Par F. WOLFERS.

Laboratoire de

_Physique

Générale de la Faculté des Sciences

_d’Alger.

Sommaire. 2014 Une solution complète est donnée du _problème de la diffraction _par un bord _rectiligne,

la source _ayant une largeur quelconque ~. Le calcul peut être poussé jusqu’au bout avec une précision

d’un ordre très supérieur à celui des expériences actuellement _possibles.

M. Brelot ayant résolu les difficultés analytiques, nous avons _pu établir une fois pour toutes la courbe d’intensite J _(x1) relative à une : source de _largeur « _{infinie », c’est-à-dire limitée d’un seul côté par} un bord

rectiligne parallèle à celui de l’écran Dans tous les cas réels, l’intensité 1 (~,x1) à la distance x1p du bord 0

de l’ombre _{géométrique} est alors _égale à la différence _{J(x1) - J(x1)} 2014

~) des ordonnées de la courbe J,

relatives aux abscisses x1 et x1 2014 ~.

Des _franges de diffraction subsistent dans tous les cas, comme _{l’expérience} nous l’avait _montré, et pour une source assez large le _premier maximum seul reste important. Celui ci se trouve à la distance

fixe 0,778 p du bord extérieur K de la pénombre et correspond à un excédent fixe _{d’énergie (Imax} = ~

+0,180) par rapport à l’intensité (égale à _~) en pleine lumière. L’intensité en 0 étant 1/2 03C0 pour la source

infinie, elle est dans tous les cas _{égale, à ~ - 1/2 03C0} au bord K de la pénombre. Dans la pénombre, la courbe d’intensité présente toujours certaines sinucosités.

1. Introduction. - Dans

_plusieurs

_publications

antérieures, j’aï

donné une solution

_partielle

du

_problème

suivant : trouver la

_répartition

de lititensité lumineuse dans un

_plan

_{éclairé par} une source

_{large lorsque}

le

faisceau est _{limité par} un écran à bord

_rectiligne.

On se

représentera

la source S comme une fente

_parallèle

à ce

bord,

de

_longueur

_quelconque

de

_largeurs

_(a)

et de brillance uniforme. Dans un

_{premier travail, qui}

sera

désigné

par

(1),

nous avons

_publié

les

courbes,

obtenues

par

_{intégration graphique, qui}

donnent l’in-tensité I en fonction de la

distance zi

au bord

géomé-trique

de

l’oin bre,

pour les valeurs de 9 allant de 0 à 4

.

par dixièmes d’unité. Plus récemment

(2),

nous avons

développée

nos résultats dans un Mémoire

auquel

nous renverrons le lecteur sous le

_signe

_pour y

retrou-ver les définitions et les notations

_employées.

Nous sommes

_{aujourd’hui}

à même de donner une

solution

_complète

et

_pratique

du

_{problème, permettant}

de pousser

jusqu’au

bout le calcul

_numérique

_{pour des}

source; de

_largeur

_quelconque.

Les données

_qui

sui-vent

_comportent

au moins une ou deux décimales de

plus

que les meilleures mesures actuellement

_possibles.

La méthode consiste à déternzÍner une

_fois

_pour loutes

la une source de

_largeur

c’est-à-dire limitée d’un seul côté par un bord

_rectiligne

parallèle

à celui de l’écran E

_{(fig. 1).}

Pour éviter de considérer a et

_b,

_{ainsi que les}

inci-dences,

comne variables avec x, on

_{peut imaginer}

S et la surface éclairée P comme des

_cylindres

d’axe

E ;

mais en

_pratique

on pourra

toujours

confondre ces

surfaces avec les

_{plans tangents}

en S et en 0. Les

résul-(a) Rappelons que, F étant la largeur de S en mm, on a, avec

les notations habituelles: y = _(P.bja)lp, a-vec ~9 =?, b (a-~- b)/’2a. (1) F. WOLFER-,-. J

_Physique.

1925, t. 6, p 305.

(2) J. _Physique, 193i, t. 5 _{p. 585.} Ainsi _{(t~’h, 40)} renvoie à

l’équation (90) dans ce travail.

tats

_ci-après

ont été obtenus

_grâce

à la collaboration de M.

_Brelot,

_que

_je

tiens à remercier ici. Nous renverrons

dans la suite à un travail

_purement

_{mathématique}

de M.

Brelot, qui

sera

_désigné

_par

_(B)

et contient la solu-tion

_complète

des difficultés

_analytiques;

il doit

paraître

dans un autre

_périodique

_(~).

Fig. 1.

Ajoutons

encore _{que, si la solution exacte du}

pro-blème était désirable pour

elle-même,

elle

_permettra

aussi,

entre

_autres,

de discuter les effets de contraste que les sinuosités des courbes d intensité

peuvent

étre

susceptibles

de

_produire.

2.

_Quelques

_propriétés

de la

_spirale

de Cornu. - Nous introduirons les fonctions A/ et Lr de Gilbert

7),

reliées aux

_intégrales

de _{Fresnel par les}

égalités :

avec a

_{= -s’-’/?,}

s étant l’arc de la

_spirale.

Si S est un

point

de la

_courbe,

nous noterons :

(1) 31. BRELOT. Bull. Sciences J/ath. 937.

186

fln voit

_{(fig. 2)}

_{que 11 et N}

_{représentent}

les

_projections

de r

_{respectivement}

sur la normale N et sur la

tan-gente

T en

_S,

de sorte _que

k’ig. 2.

Le

_{symétrique r’}

de 7~ _par

_rapport

à 0 mesure _par son

carré le double de l’intensité i que

produirait

une

source fine

₍₉

=

₀₎

dans l’ombre

_{géométrique,}

à la distance xi de 0

correspondant

à s. Les Tables de Gilbert

permettent

donc de construire très exactement la courbe i

_{(- xi)}

=

1/2

(M2

+

N2).

Mais l’on ne

_peut

intégrer graphiquement

cette courbe

_del)uis

- 00 sans

grande

incertitude ; r

en effet est à peu

près égal

au

Fig. 3.

rayon de courbure

(pour s

assez

_grand);

et i

comme chacun

_sait,

_égal

à

_9/~?~~s~,

décroît très vite dans

l’ombre;

si l’on

intègre

pour passer au cas d’une

source

_large,

il ne reste que s au dénominateur et la décroissance est

_beaucoup

moins

rapide;

d’où la

néces-°W

site de trouver pour

l’intégrale

_Zn

_{/ x,}

une

expres--, sion

_{analytique (b).}

3. On démontre

_(B,

₃₉₎

que

l’angle

V de r avec la

tangente

décroît

_{régulièrement quand s}

_augmente;

cela résulte de

_tg

t’ _ - V varie

_{depuis 3?u/4}

en 0

jusqu’à

7t/2

à la limite en .T. Considérons maintenant toutes les

_tangentes

à la courbe

_parallèles

à une même direction

_quelconque

0~ et

_{construisons,}

avec _pour axes 0 x et

_{U ~}

normal à

_{0 x,}

la courbe

_{1’(M, ~V),}

dont l’allure est

_{représentée}

sur la

_figure

3 : tous les

points

de contact de ces avec la

_spirtrle

se

trouvent sur cette courbe r. De

_plus

menons en S la

tan-gente

SU à F : le centre de courbure C de la

_spirale

au

point

S se trouve sur la

_{perpendiculaire}

J K

_menée,

depuis

J,

à

_{SU(B, §}

9

_{b) ;}

de sorte _{que la}

_développée

de la

spirale

est une autre

_spirale

s’enroulant elle aussi dans le sens direct autour du

_{point asymptotique}

_{J ;}

_pour

s = 0 elle admet l’axe

Or,

_pour

asymptote.

Fig. 4.

4. Soit un

_point

P

_quelconque

du

_plan,

de

coor-données a et b

_(fig.

_{4) ;}

on a

_{toujours (B,4,8) :}

Cette

_intégrale

ne

_dépend

_{donc pas de} l’abscisse

de P. En

_plaçant

P en

_J,

en 0 et en

_J’,

la relation

₍₃₎

donne

_{respectivement :}

et

D’ailleurs ces résultats s’obtiennent à l’aide de :

(Cf.

B,

~~

10 à

_{12) ;}

_{enfin, signalons}

encore à toutes fins utiles les relations

_{(B, 52) :}

5. La courbe J

_(x,).

- Nous _savons

que l’iuten-sité à la distance x, du bord 0 de l’ombre

géométrique

/"ri

source,. Nous cherchons la courbe limite .I vers

_laquelle

tend Î

_{lorsque 9}

devient infini. Un

_{premier procédé}

pour cela

consiste

à utiliser les courbes

déjà

connues

~W2,

fig.

4) :

en effet

OÙ o

Le deuxième terme du second membre

peut

être tiré de nos réseaux de courbes si l’on choisit des valeurs

appropriées

de x, et

_{de 9;}

_{pour trouver}

_J(xi)

il suffit donc de connaître

_{J (x,}

-

~),

ce

qui

se

_peut

dans deux cas :

1 0

Quand

~; la relation

(4) signifie

~en effet _que

2°

Quand

xi

G -1, 7 ;

on

_applique

alors la formule

_{(B, 32) :}

cette relation s’obtient en dérivant

₍₂₎

et

~n utilisant les relations connues :

il vient ainsi :

-Resie à

_remplacer

son

développe--ment (limité)

en -

(B,

il et

_i2)

et à

_intégrer.

s

Comme d’autre

part

(Xl

0) :

»+.

on trouve en

_{intégrant :}

Le dernier terme détermine une limite de l’erreur commise par

défaut, laquelle

atteint

0,5

pour 100 pour

.~1=-

1,6

et

augmente

très vite avec xi. Il convient

due remarquer que

l’expression (11 )

n’est pas le début t d’un

_{développement}

en série et ne

_peut

_guère

être

améliorée : en effet les termes

_qui

suivraient finiraient

toujours

par croître

et,

pour

1 xi

petit,

la

_précision

sur J irait en diminuant si l’on

_ajoutait

des termes. Le tableau A

_(p.

₁₉₀₎

donne les valeurs de J calculées par la formule

(11).

;;. A l’aide des résultats ci-dessus et des courbes

anciennes,

nous avons construit la courbe limite.

C’elle-ci, après

quelques

oscillations,

devient indiscer-nable de la J = .x, que nous nommerons la (b) L’extrapolation graphique nous avait donné comme esti-mation p. 312) : J (0) = _0,145; l’erreur était donc de 10 _pour 100. On voit combien les présents calculs étaient nécessaires.

~c droite ». Le fait que

l’énergie

lumineuse

se conserve dans la diffraction

_{indique qu’il}

doit bien

en être ainsi, et NI Brelot en a donné la démonstration

analytique (B. § 12) :

en effet

qui, d’après (6),

tend vers zéro

_{quand xi}

tend vers l’infini.

’

Fig. 5.

Nous ne _{donnerons pas les résultats de} nos

construc-tions,

mais seulement ceux,

beaucoup plus précis,

des calculs. On constate _{que les résultats}

_graphiques

sont

légèrement

trop grands,

l’écart étant maximum et

_égal

à

_0,014

_(soit

_0,7

_{pour 100 de la valeur de}

_J)

vers

xi _

2,0,

inférieur à

0,001

au-dessous de

1,~

et

cons-tamment

_égal

à

_0,011

environ au-delà de

2,6.

La méthode ne

_permettait

_pas

_d’espérer

mieux. Comme

conclusion,

nous _{pouvons affirmer que les courbes}

déjà publiées (loc. cit.)

donnent avec la

_précision

que nous venons

_{d’indiquer,}

_déjà

_supérieure

à celle des

mesures actuellement

_possibles.

6. - La

figure 5 reproduit

l’aspect général

de la courbe

J;

on la construira avec la

_précision

_qu’on

voudra à l’aide des tableaux A à D et de ce

_qui

suit.

Un certain nombre de détails

_peuvent

être

_prévus

directement.

7) Les

poillts

(P. I.)

correspondent

aux

abscisses x oii a est maximum ou

_minimum,

car

_{~«’°’,10),}

avec 7’

=

x , donne

dJ,~dx =

i. Le tableau 1

rappelle

188

1. - Points

d’inflexion

b) La pente

de la courbe aux P. 1. est _{donnée par les} valeurs

_{correspondantes}

de

_{i, portées}

elles aussi dans le tableau 1: leur

_comparaison

est utile à l’estimation des effets de contraste

_{qui pourraient}

résuller des sinuosités. Les flèches

_portées

sur la

_{figure 5}

facilite-ront cette

_comparaison.

TABLEAU II.

’

c)

Les

_poials

oÙ la

_pente

_égale

l’unité sont aussi ceux

où 1(1 courbe ’~’

_parallèle

à la droite de

_pénombre

et où

[J

(.r)

-

:t; J

(-,, L maximum ou minimum. Les valeurs

correspondantes

de x, pour

lesquelles i

= 1, se dédui

sent de la courbe

_classique

de Fresnel

_fig.

_5);

Fig. 6.

elles sont

_reproduites

dans le tableau II. Si x devient

grand

elles tendent vers x

= ~(~ I~ -~-

_{9 )/~,}

Nous

verrons _{que J} ne

_dépasse

la droite de

_pénombre

_que deux

fois,

d’abord pour

1,44

x C

1,84,

puis

(à

peine)

de

_2,a2

à

_{2,60 (fig. 5a);}

_au-delà, J est

_toujours

plus petit

que x, ainsi

qu’on peut

d’ailleurs le démon-trer directement.

d)

On trouve _{facilement le rayon de}

_-couî-bitre

R aux

points

ci-dessus : dans I?

1

. le

numéra-teur est

_égal

à 2

V2

_puisque

J’ = 1.

Quant

au

déno-minateur,

on

_peut

l’écrire :

Sur la

_spirale

de

Cornu,

les

_points

considérés

A,

B,

B’ (fig. 6)

se trouvent aux intersections avec le cercle de centre J’ et _{de rayon p}

_{== 2 ;}

_{l’angle ?}

des droites telles que

J’A’,

J’B... avec les

_tangentes

aux mêmes

points

est très

petit

et tend vers _{zéro pour les}

_grandes

valeurs

_{de s,}

de sorte _que 1 avec une erreur

qui

tend vers zéro à mesure

_qu’on

sc

_rapproche

de J-R est donc

_{é9al à 2}

avec une erreur

_qui

n’est

appré-ciable que pour le

premier point,

A

_(c).

7. Calcul

_précis

de J -

o)

Pour ,x.i ~ 2013

1,7

la

_question

est résolue

_{par la formule}

_{(11 ) etle}

tableau A. a

b) 2013 1.7~.ri~-~-2.~.

Dans ce domaine on ob-tient aisément des

_{développements}

en série. Posons :

on

_peut

_développer

cosx et sin x suivant les

_puissances

de s ; une

_{première intégration}

donne ~. et 1) ;

ainsi :

une deuxième

_intégration

donne A et Y :

Ce sont là des séries alternées

convergentes,

très commodes tant _que xi

2 ;

au delà leur

_emploi

devient

vite

_pénible,

les termes successifs

_augmentent

avant de

_décroître,

et il faut bientôt en utiliser

_plus

d’unes

dizaine.

Quand

à

_L,

on

_{l’exprimera}

en utilisant les fonctions U et V de Knochenhauer

₍₁₎

dont les

dévie-loppements

sont connus et

_qui

satisfont aux relations :

(C) On a _{(fig. 6) :} = x -- 6, si 6 est l’angle de _p avec l’axe

- 1/2 -t.

0 ;

et cos 0

_{== -}

puisque p = 2. Pour A (s = _08.,.

E = 0,’710), on trouve R = 1 ,850 ; et en B (s = 1,62~, 5 = 0 353):.

R - 1,99~ (cf. fig. 5).

On vérifie d’ailleurs que

Il en résulte

_{(B, § 2)}

_que

On en tire :

une deuxième

intégration

donne :

TABLEAU III. Séries

L,

X et Y.

des

_coefficients

des termes en sll.

Nous avons ainsi une nouvelle série

_alternée,

mais dont

_l’emploi

est encore

_plus

_pénible

_{que pour ~’} et Y dès que ~x1

dépasse

2, Pour

2,5

(L

=

f,2JS)

la

somme des termes de chacun des deux

_signes

dont il faut faire la différence est environ

130 ;

de sorte

_qu’il

(d) dotons à toutes fins utiles que :

faut

_employer

des

_logarithmes

à

_sept

décimales pour les

premiers

termes et en calculer

_plus

d’une douzaine

si l’on cherche une

_précision

élevée, Au delà de

2,5

le calcul devient

_{impraticable.}

TABLEAU li. - Valeurs de

L,

X et Y.

En raison de ces

_{difficultés,}

il n’est

_peut-être

_pas inutile de

_reproduire

ici

_quelques

résultats numéri-ques : le tableau III donne les

logto

des coefficients

_qui

multiplient

les

_puissances

de xi dans

X,

Y et

L;

le

tableau IV

_reproduit

les valeurs de ces _{fonctions pour}

quelques

valeurs de xi.

A l’aide de ces données il est maintenant facile de calculer

J;

en effet :

d’oil

D’ailleurs :

et

_d’après

₍₁₎

le

_premier

terme n’est _{autre que}

/’t"

de sorte _{que, si} xi C 0 :

Si au contraire xi ~

0,

190

d’où :

et enfin :

et

A r aide des formules

_{~18), (~19)}

et

₍₂₀₎

nous avons

calculé

_{I entre -1,7}

et

₊

_1,7;

les résultats

figurent

dans le tableau B.

Entre +

I , ï

et

+

2,5

on

_peut

éliminer ~’ et

_Y,

puis-que .l

(2013

i

est

déjà

connu dans cet

_intervalle;

la

formule

(20)

donne alors J. Le tableau C

_reproduit

les

résultats,

l’erreur n’atteint pas 10-~.

e)

xi

j 9, 5 .

- Au delà de

2,f)

les formules données deviennent inutilisables. Nous en

_emploierons

une

autre,

indiquée

elle aussi par

Brelot,

et

_{qui présente}

l’avantage

de donner directement la distance

_(x

-

J)

entre J et la droite de

_pénombre.

TABLEAU

_{A. - x L -}

1,7.

Il convient

d’introduire,

au lieu des fonctions U et V

qui

se

_développent

en

_puissances

_{de s,}

les fonctions gJf et IQT

_qui

se

_développent

en de

₍₁₎

et

₍₂₎

on tire :

d’autre

_part

La

_{première intégrale,}

égale

à

+ 1 /~ ;

la

_seconde,

_{d’après (6),}

vaut :

Î

En

_remplaçant

dans la troisième 2J

_(-

_x1

_1),

on trouve au tolal :

par

Dans les deux dernières sommes on

_remplacera

_{M, iBT,.}

le sinus et le cosinus par leurs

développements

et l’on

procédera

à toute une série

_{d’intégrations}

_par

_parties

en

_multipliant

haut et bas

s)

pour faire

apparaître

(zs sin 2)

et

_{(1tscosa), qu’on intègre.}

En

_groupant

finale-ment tous les termes suivant les

_{puissances n}

de

jusqu’à >1

_-_

_8,

en

_remplaçant

enfin

_{J( -}

_{1 .Ti 1 )}

_par

sa valeur

_{(11 ),}

on trouve :

L’erreur commise est inférieure en valeur absolue à

_{T;’’,xl~,}

_,2;)

_pour

_2,5

et T _C

_0,9

six

> 3.

1

Fig. 7.

Le tableau D donne une série de valeurs de

_{(x -}

_J}

ainsi calculées pour des valeurs de xi

(et

de

_a)

com-modes,

correspondant

en

_particulier

à des maxima et

minima

(i

== 1,

_{Cf. §}

_{6c). x}

-

J)

tend

asymptotique-ment vers zéro comme la courbe J

_(-

_{1 Xi 1}

₎

_déjà

connue

_{(tableau A),}

avec des oscillations

_périodiques

en x 1 2

et

_{d’amplitude}

décroissante autour de cette

courbe. Le

phénomène

est

_représenté

_{quantitativement}

par la

figure 7,

où

_(xi

-

J)

est

_porté

en ordonnées à une

TABLEAU B.

d’une sinuosité étant mesuré par la différence entre les

(x

-

J)

pour un maximum et un minimum

voisins,

on

trouve pour la

première

0,075 environ,

soit moins de 4 pour 100 de

_{./ ;}

et

_1,2

_{pour t0O pour la seconde.}

TABLEAU C.

- a, ï 1

X 1 2,5.

8. Cas d’une source finie. - Le

principal

intérêt

de la courbe

J,

c’est

_{qu’elle permet}

de construire direc-tement par

points,

avec la

précision qu’on

veut,

la courbe

_{1 (If,}

_ri)

relative à une source finie de

_largeur

quelconque.

En effet

de la

sorte,

pour

chaque

point

il suffit de retrancher de l’ordonnée

_{correspondante}

de J celle relative à

(x1

- On retrouve ainsi _nos anciens réseaux de

courbes;

il est d’ailleurs facile de

_prévoir

leur allure

générale.

Supposons j

assez

_{grand, plus}

de 5 ou 6 unités

par

exemple;

vers le début de la

_pénombre,

_près

du

point

0

_{(fig. 1),}

J (x

-

sera

extrêmement

_petit

et la courbe I sera à

_peine

au-dessous de

J ;

elle s’en écartera

lentement,

et

_(bord

K de la

_pénombre)

o~c aura

A

Lorsque

xi devient assez

_grand

_{pour que}

_(x,

-

9)

dépasse

quelques

unités,

les deux ordonnées se tron-vent à très peu de chose

près

sur la droite de

_pénombre

de sorte _que

_{1 =F}

x, -

(x,

-

p)

= cp : c’est la

région

« de

_pleine

lumière », d’éclairement uniforme.

Quant

192

TABLEAU D. -

x ~

2,50 (x2

=== 7. en

_angles

_droits).

tout cas _{sentir par} l’intermédiaire de J

_(x,

-

pour 0 x, _{- y}

_{ï, ~,}

f

_(x,

-

~)

est

_beaucoup

_plus

Fig. 8.

peuit:que

(~x1-

et

par suite I est de la même

quantité

!Jrand

que 9: il y a donc

_toujours

un _pour

XI _~=1~

_{+ 0,778,}

où l’intensité est

₊

_0,180

(fig. 5

et

_{8) ;}

ces valeurs se déduisent directement du tableau B. Pour des valeurs moins

_grandes

_{de ~,} ce maxi-mum subira des fluctuations en

_{position et}

en intensité.

Quant

aux autres

_franges

de

_diffraction,

elles subsistent a-issi

_{en principe,}

mais leurs effets sont

_{insignifiants}

_{si o} est

_{grand. Enfin,}

dans la

_{pénolnbl’e,}

il subsiste

_toujours

de

_faibles

_fluctuations

d’irztensitë,

très voisines de celles de la courbe

J,

9 sur

_lesquelles

nous aurons à revenir.

Ainsi, quelle

que soit la

largeur

de la source, le

pre-mier maximum de diffraction existe

_toujours;

il

corres-pond,

pour de

grandes

valeurs de c~, à un excédent

_fi.xe

d’énergie

luïiîiîieiise par

rapport

à la

_région

de

_pleine

lumière. Si l’on définit le contraste _par

_(Imax

-

p)/p,

celui-ci est inversement

_{proportionnel}

_{à t. Nous}