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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Gillet, J. (1965). Pieux verticaux sollicités horizontalement (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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■

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

ECOLE POLYTECHNiaUE

FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

PIEUX VERTICAUX SOLLICITES

HORIZONTALEMENT

PAR

JEAN GILLET

Ingénieur Civil A.I.Br.

AVANT PROPOS

Le présent travail a été réalisé deins un état d'esprit qui est à la base de toute recherche en science appliquée. C'est-à- dire que les résultats pratiques qui devaient être atteints, n'ont jamais été perdu de vue. Ce but nous a parfois imposé certaines approximations dans les raisonnements; nous les avons acceptées avec discernement csur elles sont le lot de toute recherche en science appliquée.

Nous estimons que ce préambule devait être fait car il est la clef de cette recherche; celle-ci n'aurait pu être menée à bonne fin sans cet état d'esprit pragmatique. Nous le devons à

Monsieur le Professeur Jacques VERDEYEN qui a bien voulu patronner ce travail et nous prodiguer ses conseils au cours de l'élaboration de cet ouvrage. Nous l'en remercions bien vivement.

Nous remercions également bien sincèrement Monsieur

TABLE DES MATIERES

NOTATIONS ET SYMBOLES.

INTRODUCTION.

CHAPITRE I. - MODE DE RUPTURE D»UN SYSTEME SOL-PIEU. 1. Ruptvire par le boI.

2, Rupture par le pieu.

CHAPITRE II.- RELATION ENTRE LES PRESSIONS ET LES DEFORMTIONS - LE COEFFICIENT DE REACTION HORIZONTAL.

1. Généralités.

2. Influence des pressions p et des déformations y correspondsintes sur k.

3. Influence de l’effort horizontal H en tête sur k. U, Influence de la vitesse et de la durée d'application

de la force H sur k.

5. Influence de la répétition de l'effort en tête sur k. 6. Influence sur k des vibrations au voisinage du pieu. 7. Influence sur k de la forme et de la dimension de la

surface du pieu en contact avec le sol.

8. Influence sur k de la fatigue des pieux battus. 9. Influence sur k de la nature du sol.

a. Les sables. b. Les argiles.

10. Influence prépondérante sur le comportement des pieux, des terrains proches de la surface,

11. Influence de la profondeur z sur la valeur de k. a. Cas des sols pulvérulents.

12. Formules pour calculer k,

13. Valeurs numériques du coefficient de réaction horizontal.

lU. Le coefficient de réaction horizonted k ; conclusions.

CHAPITRE III.- LES PIEUX RIGIDES ET LES PIEUX FLEXIBLES. 1. Généralités.

2. Différence entre pieu rigide et flexible. Nécessité d*\ine classification précise.

3. Le coefficient de raideiir C d’un pieu par rapport au sol environnant.

Formule pour le coefficient de rigidité relative C d'un pieu par rapport au sol environnant.

5. Critère de raideur d'un système sol-pieu. Valeur critique du coefficient de rigidité relative C. 6. Conclusions - Différence entre pievtx rigides et

flexibles - Critères.

CHAPITRE IV.- CALCUL DES PIEUX RIGIDES.

1. Généralités - Différents, principes de calcul. 2. Critère pour la détermination des pieux rigides. 3. Quelques exemples de pieux rigides et semi-rigides. U. Evolution des pressions dans le sol et du processus

de rupture lorsque H augmente.

5. Position du centre instantané 0 de rotation.

ff

6. Remarque sur l'utilisation de la méthode de BRICH HANSEN 7. Evaluation de "l'effet pieu".

8. Charge limite applicable horizontalement en tête d'un pieu rigide.

10. Déformée et déplacement horizontal en tête 11. Exemple : calcul d’un pieu rigide.

CHAPITRE V.- CALCUL DES PIEUX FLEXIBLES.

1. Généralités - Principes de calcul.

2. Critère pour la détermination des pieux flexibles. 3. Quelques cas de pieux flexibles.

Différence fondamentale entre le comportement des pieux flexibles et rigides.

5. Solution mathématique pour le calcul des pieux flexibles.

6. Solution de l’équation différentielle de la déforma­ tion élastique lorsque k est indépendant de la profondeur z.

7. Solution de l’équation différentielle de la déforma­ tion élastique lorsque k est une fonction de la profondeur z.

8. Influence de la longueur î, des pieux flexibles -Hypothèse î. * «.

9. Détermination d’un coefficient de réaction horizontal moyen dans le cas des sols pulvérulents.

10. Déformation d’un pieu flexible sollicité horizontalement 11. Les moments de flexion dans un pieu flexible solli­

cité horizontalement.

12. Effort horizontal maximum H^^^ que peut supporter un pieu flexible.

13. Evolution du diagramme des moments lorsque H augmente à partir de zéro.

lU. Les efforts trancheuits dans un pieu flexible sollicité horizontalement.

. Exemple : calcul d’\in pieu flexible.

CHAPITRE VI LES ESSAIS EN LABORATOIRE

I. Essais relatifs à l'étude du coefficient de réaction horizontal.

1, Description du dispositif expérimental. 2. Mesures effectuées.

II. Essais relatifs à l'étude proprement dite des pieux sollicités horizontalement.

1. Description des essais.

2. Description des dispositifs expérimentaux. 3. Mesures effectuées.

CHAPITRE VII.- SYNTHESE ET COnCLUSIOHS.

1. Introduction. 2. Principes de base.

3. Calcul du coefficient de réaction horizontal k. U. Le coefficient de rigidité relative C.

5. Différence entre pieu flexible et pieu rigide.

/=,i

NOTATIONS ET SYMBOLES. ■*

i

%

-j

La plupart des notations et symboles présentés ci-dessous -* et utilises dans cet ouvrage ont été choisis en accord avec la nomenclature proposée par Monsieur J. KERISEL au Ve Congrès International de Mécanique des Sols et des Travaux de Fondations (32) le 19 juillet 196l à Paris.

La figure 1 aidera à comprendre la signification de certaines notations.

b (cm) ; largeur du pieu mesurée à la surface du sol perpendiculaire­ ment à la force horizontale appliquée en tête (si le pieu est rond, b est le diamètre, si le pieu est rectangulaire, b est le côté).

c (kg/cm2) ; cohésion.

coefficient de raideur d'un pieu par rapport au massif environnant.

valeur critique du coefficient de raideur correspondant au passage de l'état flexible à l'état semi-rigide.

C" valeur critique du coefficient de raideur correspondant au passage de l'état semi-rigide à l'état rigide.

"R consisteuice relative des sols cohérents

V » V

L

V •• V

L P

densité relative des sols pulvérulents

e - e max

e - e . max mm

2

-max : indice des vides maximum.

min indice des vides minimum.

E (kR/cm ) : module d'élasticité d'un matériau.

h (cm) ; hauteur du point d'application de H au-dessus de la surface du sol.

H (kg) : effort horizontal appliqué latéralement au pieu.

“max : effort H maximum applicable au pieu dans la théorie des pieux flexibles.

H. . (kg) : effort H maximum applicable au pieu dans la théorie des tôt max

pieux rigides.

I ( cra^ ) : moment d'inertie de la section transversale du pieu au niveau de la surface du sol.

k (kg/cm3) : coefficient de réaction horizontal du sol, en chaque point, le long de la surface verticale du pieu.

k^ (kg/cm ) ; coefficient de réaction vertical du sol relatif à une surfa­ ce horizontale de largeur b et de longueur £.

k^Q (kg/cm ) : coefficient de réaction horizontal relatif à une surface verticale de 30cm de largeur et de longueur 1.

(kg/cm^) : coefficient de réaction horizontal relatif à vine surface verticale carrée de 30 cm de côté.

k (t/ft^) : 1

coefficient de réaction vertical relatif à iine surface horizontale de largeur 1 pied et de longueur i.

y~' (t/ft^) :

1

coefficient de réaction vertical relatif à une surface horizontale carrée de 1 pied de coté.

k* : est defini par k' “ k . z^ (n = 0 pour les sols cohérents, n = 1 pour les sols pulvérulents).

K

a coefficient de poussée active * tg^ (-ç - •^)

K :

P coefficient de poussée passive = tg^ (4

t(cm ) : longueur du pieu mesurée entre la surface du sol et la pointe.

l* (cm) : longueur critique pour un pieu (si i, > l* le pieu est

flexible; si t < £' le pieu est semi-rigide ou rigide;.

£.” (cm) : longueur critique pour iin pieu (si l > t"; le pieu est flexible ou semi-rigide; si 2, < t", le pieu est rigide).

(cm) ; distance entre la surface du sol et le centre instantané de rotation dans le cas des pieux rigides; distance entre la surface du sol et l'endroit du moment maximum dams le pieu, (cas des pieux flexibles).

^2 (cm) : complément de par rapport à t ; c'est-à-dire que S * ‘2 =

^ (cm) ; e

/. 1+ E I „ 5/ U E longueur élastique ^ ^ k' b

L (cm) : longueur toteile du pieu.

U

-n {%) : pourcentage de vide (porosité volumétrique : rapport entre le volume total des vides et le volume total du sol).

n : nombre généralement égal à zéro (sol cohérent) ou un

(sol pulvérulent) dams l'expression de k (voir chapitre II, § 11).

2

P (kg/cm ) : pression horizontale transmise à toute profondeur peur un pieu aux terres environnamtes.

t (min ou heures) : temps.

T (kg) : effort tranchant dans le pieu.

T : = tg^ ( 'V+ •!•) - tg^( 4); des valeurs de cette expression sont données en fonction de ^ au § 8 du chapitre IV.

w i%) : teneur en eau.

Wp {%) : limites de plasticité.

Wl (?) : limite de liquidité.

Z (cm) : profondeur (mesurée à partir de la surface du sol).

Z : variable sans dimensions proportionnelles à la profondeur.

y (cm) : déplacement horizontal du pieu au niveau de la surface du

sol.

a

.

5

-Y J (R/cm'^) : poids spécifique apparent sec du sol = y (1 - n)

V* S

y' (g/cm^) : poids spécifique apparent du sol iramergé » (l - n) (y -y )

y (g/cm ) : poids spécifique de l'eau.

's V

Y_ (g/cm'^) : poids spécifique des grains solides.

5

y • J

min («f/cw ) : poids spécifique apparent minimum possible pour un sol.

^max ^ * poids spécifique apparent maximum possible pour im sol.

♦ (°) : angle de frottement interne.

n

: 3,1^16

(kg/cm',2) log

10

résistance à la compression simple d'un échantillon de sol non maintenu latéralement.

logarithmes décimaux.

Vue en plan

_b

H

Z

0 = CENTRE INSTANTANE DE ROTATION (QUAND LE PIEU EST RIGIDE)

6

-INTRODUCTION.

Le but du présent travail est de contribuer d'une manière pratique et utile à l'étude des pieux enfouis dans un sol quelconque et sollicités par une charge horizontale en tête.

On s'est limité au cas où cette sollicitation est suffisamment proche de la surface du sol que pour pouvoir supposer qu'il n'y a pas de couple transmis au pieu à la surface même du sol. C'est le cas des pietix supportant des fondations soumises à des efforts horizontaux, tels par exemple des pieux sous des culées de ponts, sous des semelles de portiques ou sous des ouvrages de défense en bordure de mer subissant l'effet du vent et des vagues. C'est également le cas des pieux d'auicrages pour les rideaux de palplanches. Par contre, il ne peut être question ici de problèmes tels que ceux relatifs au dux d'Albes.

Jusqu'à ce jour, l'ingénieur s'est toujours trouvé désarmé devant le problème des pieux sollicités horizontalement. En effet, relativement peu d'auteurs ont apporté une contribution efficace à la résolution de ce problème. Déjà, en 1953, G.P. Tschebotarioff affirmait, au"symposium on Latéral load tests on Piles" à Atlantic City, que les théories classiquement utilisées conduisent à un gaspillage de matière. Dans ces théories on suppose que sous l'effort horizontal en tête le pieu reste rectiligne et oscille autour d'un centre instantané de rotatxon se trouveuit à une profondeur fixe dans le sol.

T

-Depuis longtemps déjà, le calculateur est réduit à utiliser ces procédés qui conduisent à des résultats peu sûrs. C’est bien pourquoi la confiance qui leur est accordée n'est-elle que relative en ce qui concerne les

problèmes de résistances transversales et inexistant® pour les problèmes de déformations latérales.

Certains auteurs conscients de cette lacune ont considéré le pieu comme une poutre sur appui élastique en s'inspirant de ce qui est fait pour les fondations reposant sur les sols. Dans ce cas, on est amené à résoudre l'équation différentielle.

A

El ^ + k b y = 0

Malheureusement, si le coefficient de réaction du sol k est constant en général dans le cas des poutres horizontales, il n'en est pas toujours de même dans le cas des pieux. L'intégration se complique

d'une manière inouie lorsque k devient une fonction de la profondeur z. Ceci n'a pas empêché certains chercheurs de recommander l'utilisation de telles méthodes. Nous ne les suivrons pas car ce serait tomber dans un travers si perspicacement mis en évidence par K TERZAGHI dEuis la préface de son célèbre ouvrage "Soils Mechanics in Engineering Practice"*

8

-C*est ainsi qu'on fut amené à accorder une importance excessive aux

problèmes susceptibles de recevoir une solution exacte qui ne se justifie que rarement. Dans l'immense majorité des cas, on peut se contenter de prévisions approximatives et l'on peut tenir pour illusoires celles qu'il n'est pas possible de faire à partir de moyens simples. Ignorer cet état de choses c'est détourner la mécanique du sol de son véritable objet.

Ces phrases nous les avons constamment eues à l'esprit tout au long de l'accomplissement de ce travail; elles nous ont conduit à effectuer, lorsque la nécessité s'en fit sentir, et dans la mesure du possible, des hypothèses ou simplifications afin de rendre les théories dévelopnées accessibles à la pratique journalière. Cela est entre autres le cas dans le chapitre oue nous avons consacré à l'étude du coefficient de réaction k du sol. Ce chapitre est d'une importance fondamentale car nous y avons élaboré une méthode permettant la prêdéterraination du

coefficient k, ce oui est indispensable pour le calcul des pieux considérés comme pièce longue appuyée dans un sol élastique.

Jusqu'à présent, en effet, aucun auteur n'a donné une solution satisfaisante à ce problème; tout au plus, quelques uns d'entre eux se sont-ils contentés de donner des valeurs de k correspondant à des cas isolés. La raison majeure du peu d'attention apportée aux valeurs de k est due au fait que deuis les calculs k intervient par sa racine quatrième. Par conséquent, on a pris la mauvaise habitude d'estimer cette racine peut sensible aux variations des valeurs de k qui peut donc être estimé sans soins exagérés.

> 9

-Plusieurs obstacles restent encore à franchir principalement celui relatif au domaine d'applicabilité des méthodes de calcul. Quand peut-on considérer le pieu comme suffisamment rigide et lui appliquer des méthodes de calculs basées sur l'hypothèse d'une déformée rectiligne ? Quand, au contraire, n'en est-il pas ainsi et quand faut-il appliquer les méthodes de calculs supposant le pieu comme déformable î Autant de questions auxquelles il n'a jamais été répondu jusqu'ici. Nous avons donc été amenés à consacrer un chapitre à ces questions; nous avons aboutit à un critère qui permet de définir si le pieu est rigide ou flexible et d'observer la différence de comportement qui en résulte sous l'effet des sollicitations transversales. Il a été ainsi possible de définir la méthode de calcul à adopter en fonction du cas considéré. Ce n'est qu'ensuite que nous nous sommes consacrés au calcul proprement dit des pieux sollicités horizontalement. A aucxan moment nous n'avons perdu de vue les problèmes pratiques qui se posent ;

1. Problème de résistance

- résistemce et stabilité d'ensemble ! détermination de l'effort maximum applicable horizontalement en tête du pieu sans que ne soit rompu la stabilité d'ensemble.

- résistance du pieu proprement dit : détennination des diagrammes des moments de flexion et des efforts tranchants.

2. Problème de déformation

- déplacement horizontal du pieu à la surface du sol.

On trouvera ces problèmes résolus dans tous les cas au chapitres IV et V.

Nous espérons par le présent travail avoir contribué à la réali­ sation du soulaait que formulait M. GLESER en 1953 au "Symposium on Latéral Load Tests on Piles" à Atlemtic City. Ce chercheur estimait que le

problème du pieu sollicité horizontalement par une force en tête serait résolu lorsqu'une corrélation serait établie entre d'une par les carac­ téristiques du sol et du pieu et d'autre part le comportement de ce dernier

10

-CHAPITRE I.- MODE DE RUPTURE D’UTI SYSTEME SOL-PIEU.

Lorsque l'on étudie iin système sol-pieu soumis à un effort H en tête, il est d'uneimportance fondamentale de connaître avant tout calcul, le processus de la rupture.

La rupture peut en principe avoir lieu de deux manières ;

1°- par le sol 2°- par le pieu.

1. Rupture par le sol.

Dans ce cas, sous les efforts transmis par le pieu au sol, la résistance contraintes tangentielles de ce dernier est vaincue. Le sol cède dans des directions bien psirticulières correspondant aux lignes de glissement qui se développent au sein du massif.

On observe différents états. Avant l'application des charges, lorsque le pieu n'a encore subi aucun déplacement et qu'il peut être considéré comme immobile, il règne sur le pieu le long de la surface de contact sol-pieu une pression de terres au repos. Si on applique une charge horizontale H en tête et que, de ce fait, le pieu se dérobe fai­ blement latéralement, le sol se dilate pour suivre le pieu dans son mouvement.

11

On sait que les pressions passives des terres se développent pour des déplacements d'un ordre de grandeur 100 fois supérieur à ceux corres­ pondant au développement des pressions actives.

De nombreuses méthodes de calculs basées sur ces considérations ont été développées pour l'étude des ouvrages de soutènement. Certains auteurs ont ensuite estimé pouvoir appliquer cette théorie à l'étude des pieux en considérant que, sous l'effet d'une charge horizontale anolinuée en tête, le massif de terrain environnant passe à un état d'équilibre limite.

Le principal intérêt de ces méthodes de calcul basées sur l'hypothèse d'vine rupture par le sol réside dans le fait que les calculs sont relativement simples.

Malheureusement, l'hypothèse de la rupture par le sol corres­

pond très peu à la réalité car pour qu'elle soit fondée, il faut que, a'une peurt, le pieu soit suffisamment massif et rigide que pour déformer et

rompre le sol le long de toute la hauteur du pieu sans subir le même sort, et que d'autre part, le sol soit suffisamment déformable que pour pouvoir se rompre sous l'action du pieu.

Le Dr Ir W, Loos a signalé que la résistance du sol est rarement vaincue et que même dans les cas les plus défavorables, le pieu avait toujours dépassé sa limite élastique au moment de la rupture du sol.

Ces cas correspondent à des pieux qui peuvent être considérés comme raides par rapport au sol qui les entoure. Il en est ainsi lorsque :

- les pieux ont une faible longueur,

- les pieux ont un faible module de Young, - les pieux ont un faible module d'inertie,

DEFORMEE

DIAGRAMME DES PRESSIONS

Dans ce cas, la déformée du pieu sollicité par un effort en tête H est rectiligne et passe toujours par \in même point 0; le pieu

but on fait des hypothèses simplificatrices. On néglige le poids du pieu, la réaction verticale au pied de ce dernier et la résistance au frottement en sens inverse du mouvement sous le pied du pieu. En outre, on suppose que le pieu est lisse et que, par conséquent, l'emgle de frottement terre sur pieu est nvil (cela revient à admettre que les pressions sxir le pieu lui sont normales alors qu'elles sont inclinées et qu'il y a par conséquent de légères composantes tangentielles de frottement; leur effet est cepen­ dant négligeable, étant donné le faible bras de levier avec lequel elles agissent, en cas de rotation par rapport à Oj. On peut écrire, en faisant appel aux expressions de l'équilibre limite linéaire,de Rankine :

tourne d'un certain angle par rapi>ort à un centre instsintané de rotation 0 comme on peut le voir à la figure 2. Le sol est dans un état d'équilibre limite et on peut étudier le problème à l'aide de la statique; dams ce

Z . K

a

où P ® pression active agissant sur le pieu à une profondeur z &

P = pression passive agissant sur le pieu à une profondeur z

= poids spécifique apparent sec du sol avix environs du pieu pour un sol sec. (Quauit le sol est immergé, doit être remplacé par y' poids spécifique des terres immergées pour un sol

imbibé d'eau)

z * la profondeur

13

-“ coefficient de poussée des terres

K « coefficient de butée des terres P

La différence

P “ Pp ” Pg “ (Kp - K^) entre les pressions passives et actives sur les faces opposées du pieu correspond au diagramme des "pressions résistantes" ou "contrebutée". Il est communément appelé "diagramme des pressions"; c*est ce diagramme qui définit avec H l'état de sollicitation d'un pieu soumis à un effort latéral en tête (voir figure 2), lorsque l'on adopte les hypothèses énoncées en haut de la page 12.

On notera que, lorsque la rupture se fait par le sol, les particules entrent en mouvement et les théorires basées sur les lignes de glissement et les zones de rupture qui en résultent sont alors appli­ cables.

rare.

Le cas de mipture par le sol, comme on l'a indiqué, est très

2. Rupture peur le pieu.

Ce mode de rupture est beaucoup plus fréquent.

Dès 1901 E. Wendel (65 jconstatait que "en général, les pieux soumis à un effort de traction en tête excessif se rompent et cela, à une profondeur comprise entre la surface du sol et deux mètres".

Il*

-On peut observer les différents stades suivants ;

Initialement H est nul et il règne sur le pieu une pression au repos p O correspondant au poids des terres à la profondeur considérée. Si H augmente et prend de faibles vcileurs telles que les déformations horizon­ tales restent inférieures à environ 0,0002£ ( *■ : longueur de pieu enfoncée dans le sol), il se développe en toiit point sur le pieu une pression de contact terre-pieu p'^ légèrement supérieure à la pression au repos p^. A ce moment, le pieu résiste seul dans sa partie supérieure COTune s’il était ancré profondément dsins le sol à partir d'une certaine profonde\ir.

Ensuite, si H augmente, les déformations du pieu augmentent et le sol par sa résistance aide le pieu et contribue à maintenir la stabilité d'ensemble. Il se développe alors en tout point siir le pieu une pression totale p correspondant à la pression de contact p' augmentée de la

~ O

pression p due à l'action résistante des terres; on peut écrire :

En pratique, la pression de contact p'^ est négligeable par rapport a p et on peut la négliger. La pression totale sur le pieu est alors égale à la pression p.

Si H augmente encore au-delà d'une ultime limite, le pieu est trop déformé et trop sollicité principalement en tête et.malgré la résistance du sol, le pieu dépasse sa limite élastique et finailement se rompt dMS une zone peu éloignée de la sxirface comme le constatait E. Wendel, Quant au sol, sa résistance n'est pas vaincue sauf dans une zone proche de la surface et il ne passe pas à iin état d'équilibre limite général.

DEFORMEE

DIAGRAMME DES PRESSIONS

FIG. 3a

H

DEFORMEE

DIAGRAMME DES PRESSIONS

15

-Differents types de déformée et de répartition des pressions sur le pieu sont possibles suiveuit les caractéristiques relatives du pieu par rapport au sol ou inversement. La figure 3a schématise la déformée et la répartition des pressions dans le cas d*un pieu peu déformable dans un sol dur; la figure 3b schématise les mêmes éléments pour un pieu

plus défomable.

Dans de tels cas, il faudra, si l’on veut serrer la réalité de près, non plus utiliser des théories basées sur les équilibres limites, nais bien des thérories tenant compte des actions réciproques des déforma­ tions élastiques du pieu et du sol.

Des théories faisant intervenir une telle action réciproque existent pour l'étude des massifs de fondation portant sur le sol. On pose que le rapport entre la pression verticale exercée par la fondation et le déplacement vertical correspondant du sol est égal au "coefficient de réaction vertical"; sa détermination permet de résoudre de nombreux problèmes.

Cette notion peut être étendue aux pieux sollicités horizonta­ lement; on définit eLLors un "coefficient de réaction horizontale du sol" qui est le rapport entre la pression horizontale p exercée par le pieu et le déplacement horizontal y correspondant du sol.

l6

FIG.4a

FIG.4b

17

-CHAPITRE II.- RELATIOM SMTRE LES PRESSIONS ET LES DBFORMATIOx^S

LE COEFFICIENT DE REACTION HORIZONTAL.

1. GENERALITES.

Conune nous l'avons vu au chapitre I, l'étude des pieux au moyen des théories tenant compte des actions élastiques réciproques du pieu et du sol s'avère dans certains cas indispensable.

Si nous appelons p la pression horizontale, à la profondeur z, tremsmise localement par un pieu axix terres qui subissent de ce fait un déplacement horizontal y, la valexir du rapport ■ k est représentative

y de l'action réciproque mentionnée plus haut.

La connaissance de k, coefficient de réaction horizontal du sol, s'avère de première importance.

Les nombreuses recherches faites jusqu'à ce jour, ont mis en évidence le fait que le coefficient de réaction horizontal n'est pas une constante pour un sol donné. Il varie avec vm nombre considérable de paramètres que l'on étudie séparément dans les pairagraphes qui suivent.

2. INFLUENCE DES PRESSIONS y ET DES DEFORMATIONS y CORRESPONDANTES SUR k.

18

-Cette courbe est asymptotique à une horizontale correspondant a la pression ultime de capacité portante. Terzaghi définit comme telle la pression pour laquelle les déformations dans un massif sont réelle­ ment infinies. Le coefficient de réaction horizontal correspond

géométriquement au coefficient angulaire de la courbe; il diminue d'une manière continue et progressive avec l'accroissement de p ou de y. Cette variation est représentée schématiquement à la figure Ub.

Le coefficient de réaction horizontal k n'est donc pas constant avec la pression appliquée p; on est cependant amené à devoir supposer k indépendemt de p afin de pouvoir mener à bien les études par calculs des pieux sollicités horizontalement. D'après Terzaghi (55] et Gerhard Scheuch (l*8-p82} entre autres, cette hypothèse est acceptable tant que la pression appliquée ne dépasse pas ou peu la moitié de pression ultime de capacité portante p^; la droite k » constante (voir figure i+a) est une bonne approximation de la courbe k = k (p) pour les valeurs de p comprises entre 0 et . Scheuch a entre autres, fait des essais sur des argiles non saturées et est arrivé à la conclusion que la droite et la courbe sont pratiquement confondues jusqu'à ^ .

2

Les essais que nous avons faits sur des sables et des argi­ les et qui sont décrits au chapitre VI, nous ont conduits à des résultats qui corroborent ceux de Scheuch; les courbes p - y n'ont pas tout à fait la forme de la figure (i+a) mais plutôt celle de la figure 5, c'est-à-dire des courbes confondues avec une droite passant par l'origine. L'écart entre les deux apparaît et s'accentue pour les pressions supérieures à

pu . . ^ ^ ^

19

-Au delà de k n'est plus constant lorsque p varie et ce fait a amené Frevuid ^1 J à proposer une relation tenant compte de la diminution de k quand p > . Cela complique fort les calculs. Hevireusement, en pratique, d'après Terzaghi, les contraintes p dans le sol restent en général inférieures à ^ . Nous pensons cependant qu'il faut envisager ^ 2

deux cas :

1®- le système sol-pieu est du type "rupture par le pieu", dans ce cas, effectivement, les contraintes p restent inférieures à et, par conséquent l'hypothèse k constante est valable.

2®- le système sol-pieu est du tyi>e "rupture par le sol"; dans ce cas, pour une forte sollicitation horizontale, les contraintes p dans le sol peuvent atteindre en certains endroits p^; l'hypothèse k ■ constante n'est valable que pour autant que les sollicitations ne soient pas trop élevées et reste en tout cas éloignée des sollicita­ tions p =» p .

u

Lors des calculs qui sont développés dans les chapitres qui suivent, il sera tenu compte de ces considérations dont la conclusion est que k = consteuite peut être adoptée en tout cas pour les calculs des systèmes sol-pieu où la rupture a lieu par le pieu (cas des pieux flexibles en général)et pour les systèmes sol-pieu où la mpture à lieu par le sol

(cas des pieux rigides) uniquement si les sollicitations p restent< 2 S'il n'en est pas ainsi, il faudra utiliser d'autres méthodes de calcul; c'est ce qui sera fait.

Lorsqu'il s'agit de sol exceptionnellement déformable (c'est, par exemple, le cas des alluvions très peu compacts), l'alltire de ces courbes peut être fortement modifiée. Ainsi, J. FOLQUE et D. de CASTRO

- 20

On voit que dans ime première phase, correspondant à de faibles pressions p, le sol a un coefficient de réaction horizon­ tal très grand et constant. Ensuite, celui-ci diminue très rapidement et rejoint le domaine des valeurs usuelles que l’on rencontre fréquem­ ment. On atteint alors une zone où k varie beaucoup moins avec p ou y. Dans ce cas, exceptionnel, Folque et Castro ont observé des variations de 1 à 100 du coefficient de réaction horizontal, toutes choses res­ tant égales hormis la pression p.

3. Influence de l’effort horizontal H en tête sur k.

Le coefficient k dépend de H. Lorsque H V6u*ie, les pres­ sions et les déformations varient en chaque point le long du pieu. De ce fait, on est ramené aux considérations du 1°. On constate donc qu’il existe en chaque point le long du pieu un coefficient de réaction horizontal du sol qui varie avec l’état de charge en tête. Mais,selon Terzaghi, l’effort H ne conduit pas en général à des pressions le long du pieu supérieures à , et k peut être supposé indépendant de H.

U, Influence de la vitesse et de la durée d’application de la fores H sur k.

a. Généralités.

Lorsqu’un sol peut être sujet au phénomène de consolidation, tels les sols cohérents, les pressions qui s’y développent sous l’effet d’un pieu chargé latéralement provoque une déformation correspondante.

Si la mise en charge est rapide, la consolidation n’a pas le teTr.T)s de se développer et on aura immédiatement après la mise en charge un coefficient k^ »* correspondant aux pressions p et défor- mà,tions y^. Après un temps correspondant à la consolidation primaire, on aura une déformation y^ supérieure à y^ sous la même pression laté­ rale et le coefficient de réaction horizontale vaudra :

^2 < k.

21

Donc sous l’effet de la consolidation après une mise en charge rapide, le coefficient de réaction horizontale diminue jusqu’à ce qu’il y ait stabilisation. Si au contraire les conditions de mises en charge sont lentes, la consolidation peut se développer pendant l’applica­ tion progressive de l’effort en tête;le coefficient de réaction hori­ zontal k après mise en charge reste alors constant.

La fugure 7 donne une idée de l’importance de ces consi­ dérations. Elle est établie à partir d’essais effectués par

S.M. OLESER (23 page 23) . On voit comment diminue le coefficient de réaction horizontal en surface lorsque l’effort H augmente rapide­ ment puis reste constauit. Cette courbe est relative à un sol limoneux et sableux à fraction importante d’argile; le comportement de ces terres est ccsnpris entre celui des sables et celui des argiles.

La courbe(a)montre que le coefficient de raideur a diminué de 22Ï en 10 heures environ et Gleser a observé que l’allure de la courbe (A) est indépendante de la raideur du pieu.

Pour les sols cohérents, les réductions de k auxquelles il faut s’attendre et le temps pendant lequel elles ont lieu sont beaucoup plus importantes.

Pour les sols pulvérulents, au contraire, ces phénomènes ont moins d’amplitude. En effet, dans ce cas, sous l’application même rapide d’une charge, le drainage se fait presque instanténément; la stabilisation du système pieu-sol est immédiate et k varie peu.

- 22

Dans les argiles, outre la vitesse, la durée de l’appli­ cation de la charge H a également une importance; en effet, si les durées sont courtes et peu fréquentes, la consolidation n'a pas le temps de s'effectuer et le coefficient de réaction horizontale n'a pas le temps de diminuer.

Il faut donc prendre soin d'utiliser des valeurs de k correspondant au cas étudié; en pratique, il s'agira presque toujours du coefficient de réaction horizontale correspondant à la répartition des pressions après drainage et consolidation.

GLECER (24 p.83 )a monté l'importance de ces phénomènes en effectuant des essais sur des pieux enfoncés dans des sables de granu­ lométrie moyenne (module de finesse = 2,5). Il a relevé d'une part

les déformations immédiatement après l'application d'une charge 11 = tiT et d'autre part sous la mise en charge appliquée pendant une neure; ces déformations sont indiquées à la figure 8.

On peut déduire de ce graphique les variations relatives de k par rapport à sa valeur observée immédiatement après une mise en cnarge. En effet, soit p la pression résultante à une profondeur z quelconque; immédiatement après la mise en charge, il en résulte une ueformation horizontale au meme niveau, et on à : k^ = ^

Après une heure, cette déformation est devenue :

V- ~ y. + Av•,

f 1 ‘ 1 ’ d'où

y = £_ = ____E_____

^f y, - Ay^

La variation relative du coefficient de réaction horizontal car rapport à sa valeur initiale k. est donc :

1

Ak

23

-^ .____2--- ) -i y£ ♦ P

et

^

Cette relation, valable quelciue soit z, p»emiet à partir de la figure 8 de tracer la figure 9«

On peut distinguer deux zones !

1® 0 k5%

au voisinage de la surface du sol et jusqu’à une profondeur de de la ]ongueur du pieu sous la surface du sol, la diminution, pour un sable, du coefficient de réaction horizontale apres xa mise en charge est de l'ordre de 10 à 15^.

L'équation de la droite (l) permet d'écrire :

« 0,23 \ + 0,08

d'où

k après stabilisation “ instantané ^

On remarque que lorsque dépasse 30? il existe \ine zone de transition où l'amplitude des mouvements est faiblej de ce fait, le calcul des ay est entaché d'incertitude. Dès que Ion

Z V + y

2l»

-Pour cette raison et dans un but de simplification on admet que la formule (l) est valable pour 0^ 50%.

2° 50% < I < i00%

Dams ce cas, la réduction du coefficient k pendant la nériode de consolidation est appréciable et peut atteindre 60 % aux environs de la base du pieu.

Nous verrons, pau" la suite (n° 9 du chapitre II) que c'est le comportement du sol et par conséquent les valeurs de k au voisinage de la surface qui importent et seules les fluctuations des valeurs du coefficient de réaction horizontaJe k dans la zone

0% < — < 50% sont importantes au point de vue de la résistance latérale . î,

du pieu. Par conséquent, on peut évaluer k ^ ^ • par apres stabilisation la formule donnée plus haut ou par une expression moyenne pour les sols pulvérulents ;

b. Conclusions.

Nous pouvons conclure des considérations développées au paragraphe a que ;

•i

1°- pour un sable : le coefficient k décroît faiblement entre T'instant de l'application de la charge horizontale H en tête du pieu et le moment de la stabilisation. Les variations moyennes de k sont de l'ordre de 10%. On peut adopter l'expression moyenne :

25

-2°- pour un sol intermédiaire entre les sables et les arp;iles : (sable argileux, limon, silt,...) les diminutions de k dans la moitié supérieure du pieu sont de l'ordre de 20 à 25

!S.

3°- Pour une argile susceptible de consolider, le phénomène décrit plus haut est le même, mais prend plus d'ampleur; on ne peuc- le chiffrer à l'avance. Une étude particulière devra être effectuée dens chaque cas afin de déterminer la valeur du coefficient dans l'expression :

après stabilisation = n kinst.

A titre indicatif mentionnons qu'il faut s'attendre à des valeurs de n inférieures à 0,5 et pouvant atteindre 0,1.

Remarque ; Dans ce qui suit les valeurs du coefficient de réaction horizontale sont celles de k après stabilisation.

5. Influence de la répétition de l^fort en tête sur k.

a. Généralité.

27

-si la den-sité relative est fcrande, c’est-à-dire -si le sol pulvé­ rulent est fort compact, le coefficient de réaction horizontal est tombé à la moitié de sa valeur initiale : = _1 .

^ 2

2®- si la densité relative est petite, c'est-à-dire si le sol pulvéru­ lent est peu compact, le coefficient de réaction horizontal décroît jusqu'à = ^1.

T

b. Conclusions.

On en conclut que lorsqu'im pieu est enfoncé dans un sol pulvér\zlent et soumis à un effort latéral répété, on peut admettre qu'après UO réapplications de la charge :

1°- si Dp < 35Ï on a : k = 0,25 k initial 2°- si 63% < Dp < 35Ï k = 0,33 k initial 3°- si R > 65% k = 0,5 k initial

28

-b. Influence sur k des vibrations au voisinage du pieu»

Une source de vibrations proche d'un pieu sollicité horizontalement peut modifier l'état du sol au voisinage de celui-ci et particulièrement réduire l'angle de frottement interne pendant la durée de ces vibrations. C'est ainsi que des essais publiés en 1953 ont été effectués au barrage n® 11 sur le Mississipi en

1935 (23-p.2U) ; ils consistent à battre un autre pieu à une distance d d'un pieu (t = 4o ft =12,20 m)déjà en place et sollicité horizon­ talement par un effort H. Ue ce fait, les déformations latérales y de ce pieu augmentent à la surface du sol d'un accroissement Ay^. A la figure l£) on a représenté l'accroissement des déformations av

O mesuré à la surface du sol résultant du battage d'un pieu à une distan­ ce d. On a pu observer que lorsque un pieu est battus à une distance d supérieure à la longueur i du pieu étudié, les vibrations qui en résultent n'ont que peu d'influence. Mais si on bat un pieu à une distance d < t, le pieu sollicité par H subit un accroissement Ay des déformations latérales y assez importantes.

On constate donc pondant la durée des vibrations trans­ mises au sol une chute momentanée de l^fort H repris horizontalement.

On en déduit que le coefficient de réaction horizontal k est réduit momentanément pendeint la période de vibrations transmises au sol à une distance horizontale d < Cet effet est d'autant plus marqué que l'effort H est important, que la fréquence des vibrations est importante, que le sol est sableux et sec et que la densité rela­ tive de celui-ci est forte.

7. Influence sur k de la forme et de la dimension de la surface du pieu en contact avec le sol.

La section tremsversale des pieux peut être soit de forme circulaire, soit de forme carrée. De nombreux auteurs (9)

0.50

29

-Cela nous eunène à conclure que nous ne conservons ccanme seule carac­ téristique de la section que b, qui est indifféremment le diamei-re du pieu s'il a une section circulaire où le côté du pieu si celui-ci a une section carrée.

On peut approcher le problème de l'influence de la largeur b sur le coefficient de réaction horizontal par analogie, en considérant une plaque plane posée sur le sol et soumise à des contraintes verticales.

On sait que, dans ce cas, le coefficient de réaction du sol varie avec la grandeur de la plaque : ainsi, pour une plaque circulaire (62-p.96 ) k diminue lorsque le diamètre ou la surface de la plaque augmente.

On voit à la figure 11 comment varie le rapport k

^^5 * coefficient de réaction horizontal pour une plaque de 75 cm de diamètre) en fonction de la dimension b de la plaque.

(Lorsque b atteint 75 cm, k ne diminue plus car les essais ont été effectués sur des plaques dont la plus grande dimension avait 75 cm de diamètre).

f (^)-. D

De cette figure, on a déduit la figure 12 donneint Cette figure montre comment varie k par rapport a la

valeur de référence ^5*

30

-TSCHEBOTARIOFF (60-p.Ul) a attiré l'attention sur l'influence du "facteur de forme" ^ en 195^. sans pouvoir cependant le définir quantitativement. Cela a été fait au laboratoire, pour

des pieux relativement peu flexibles enfoncés dans des sols pulvérulents. Il a été établi par FRANCHIMONT (l9) que tout pieu de largeur b

résiste latéralement comme s'il intéressait une tranche de terrain de largeur fictive :

b' = b (3,82 - 10,81* b )

T

supérieure à la largeur réelle du pieu. A toute profondeur, la pres­ sion qui se développe dans le sol au contact du pieu vaut par consé­ quent

P ^ * P (3,82 - 10,81* ^ )

Cette relation permet de tracer la figure 13 qui donne en ? la variation k pour les valexirs du rapport y comprises entre 0 et 0,1. On cons­ tate que k décroit linéairement lorsque b augmente et que des écarts ae 40 % environ sont possibles.

L'introduction du facteur de forme — par Tschebotarioff est une excellente idée, mais qui manque de généralité. En effet,

pour les pieux flexibles, on verra ultérieurement que seule contribue a la résistance latérale la partie haute du pieu (proche à la surface du sol). Dès lors, la longueur totale î, du pieu devient sans impor­ tance au point de vue de la résistance latérale et le rapport ~ perd toute signification. Pour cette raison, nous estimons qu'il faut écarter toutes considérations basées sur le facteur de forme — •

7.

A notre avis il est préférable de raisonner en se basant sur la théorie des bulbes de pressions développée par Terzaghi

(

1

)

31

-D'après Terzaghi, si sous un effort F (voir figure 1*+), il se développe dans un plein horizontal quelconque sur la face active d'un pieu, de largeur B, un bulbe de pression d'épaisseur d, un pieu

T

de largeur b * n x B aura sous le même effort un bulbe d'épaisseur nd. Les déformations y du pieu en contact avec le sol sont proportionnel­ les à la plus grande dimension du bulbe. Le coefficient de propor- tionnaJ-ité est le module d'élasticité E du sol. Pour un même sol et dans un plan horizontal celui-ci reste le même.

Dès lors, on peut écrire que :

32

-Le coefficient de réaction horizontal pour un pieu de largeur b est ainsi égal au coefficient de réaction horizontal pour un pieu de largeur 1 pied multiplié par l'inverse de la largeur du pieu considéré. En système métrique (longueur = cm) cette relation devient :

(

)

oü k

30 = coefficient de réaction horizontal pour un pieu de largeur 30 cm.

b = largeur du pieu en cm.

Remarque : nous aurions pu écrire en système métrique que ^

avec k^ = coefficient de réaction horizontal pour un nieu de largeur b = 1 cm, mais cela revient implicitement à admettre qu'il y a proportionnalité entre k et -g aux environs des valeurs de b = 1 cm; or, cela n'est pas vrai comme nous allons le voir ci-après. Par contre, aux environs de b = 30 cm - 1 pied, il y a propoxijionnalité entre k et ^ et c'est la raison pour laquelle nous conservons la forme (l).

On trouve donc que le coefficient de réaction horitontal k est proportionnel à l'inverse ^ de la largeur du pieu enfoui dans le sol. Cette considération est à rapprocher de ce qui est trouvé par d'autres auteurs pour une plaque horizontale appuyée sur le sol. Ainsi, rappelons que l'on trouve à la figure 12 l'évolution en fonction de

1 ■ k

— des valeurs du rapport où k est le coefficient de réaction pour

D ^ ^ ^75

_k_ k7iî

O

O

'I»

-*

STRATTOÎJ (62-P.96] sur des plaques dont la plus grande dimension a

1 1 k

75 cm de diamètre (— = 0,013). Au vu de la courbe (— - ---) or.

déduit : ^

1° que si 0,013 ^ ^ ^ 0,0U (cfest-à-dire 25< b < 75 cm), la partie correspondante de la courbe "essais" (figure 12) est assimilable à une droite et on peut admettre que k est proportionnel à ^ .

2" que si des essais sur des plaques de diamètre supérieure à 75 cm avaient été faits, c'est-à-dire que si -^ < 0,013, on peut admettre que la courbe "essais" se serait prolongée suivant une droite vers l'origine. Donc on peut encore admettre que k est proportionnel à ~ lorsque ^ < 0,013 ou b >75 cm.

De ces deux obseivations on déduit que, dès que < 0,0U ou b > 2i> cm, k est proporitionnel à — » Comme la majorité des pieux oit en pratique

(28) une dimension b supérieure à 20 cm., nous admettrons que :

k - “ dès que b > 20 cm.

En déplaçant la limite de 25 cm à 20 cm, on peut constater à la figure 12 que l'on introduit pas d'erreur importante.

Lorsque b devient inférieur à 20 cm, il n'est plus possible d'accepter la loi k - } en effet, l'écart entre la courbe "essais" et la droite passant par l'origine à la figure 12, devient trop important.

On utilise alors la figure 15 déduite de la figure 12; à la figure 15, est porté en échelle logarithmique. On voit que pour ^ > 0,û5, 'est-a-dire pour b < 20 cm il existe une relation de linéaire entre

3k

-Ces considérations nous conduisent à admettre que lorsque b varie de zéro à l'infini, le coefficient de réaction horizontal varie selon les lois suivantes :

b < 20 cm k = k (logj^Q i)

b > 20 cm k = k (è) b

Ces expressions s'explicitent comme suit, à partir des figures 12 et 15.

Lorsque b < 20 cm : la partie linéaire de la courbe à la figure 15 a pour équation ;

(2) kg/cm^ (b en cm)

Lorsque b ^ 20 cm : la partie linéaire de la courbe à la figure 12 a pour équation :

k = (i+,6 - 2,ii6 log^Q b) k^Q

6,92 1 b

et comme sur la même figure on peut lire :

= 0,23

on déduit par élimination de k

75

é O?

(b en cm)

k =

35

-d'on

(3) )nf^/cra (b en cm)

On remarque que l'on retrouve l'expression (l) proposée par ïerzaghi; la concordance est donc parfaite.

Les formules (2) et (3) conduisent à de bons résultats ainsi au'on peut s'en rendre compte en considérant un exemple donné par W. LOOS et M. BRETH. Ceux-ci ont trouvé que pour un pieu de lar­ geur b = 6,2 cm enfoncé dans un sable, le coeffficient de reaction

3

horizontal vaut : p = 0,3»z kg/cm à la profondeur z.

3n appliquant nos formules pour passer au coefficient de réaction d'une paroi de 1 m de large, on a :

= 4,6 - 2,46 log^Q 6,2 = 2,64 30 ÎÔÔ 0,3 d'où ^'6.2 _2.64 k 100 ■ 0,3 8,7

Donc, d'après notre formule pour un pieu de largeur b = 100 cm le coef­ ficient de réaction horizontal devient :

^100

0.3 Z .

k

^30

36

-Cette valeur est très proche de celle donnée par Rifaat. Celui-ci O

donne k » 0,0U2 kg/cra ; cette valeur pouvant monter à 0,08 z avec certain type de sol [36-p.273).

Nous avons résumé l'influence de b sur k en donnajit à la figure l6 une représentation graphique des relations (2) et (3); on a porté en ordonnées le rapport et en abscisse l'inverse ^

30 b

de la largeur des pieux.

8. Influence s\ir k de la fatigue des pieux battus.

Lorsqu'\in pieu est battu jusqu'au refus, et qu'ensuite on continue à le battre en déployant une grande énergie on fatigue inutilement le pieu. Des mesures (6U-p.65] effectuées sur des pieux sollicités horizontalement ont montré que les pieux qui ont été anorma­ lement fatigués résistent moins bien latéralement. Ainsi pour deux pieux enfoncés de l6 m dans le sol (b = 27,5 cm) Wagner a constaté

moyen

que k pouvait varier du simple à plus du double suivant que le pieu avait subi après avoir été battu au refus, un battage supplémentaire ou non, toute chose étant égale par ailleurs : on observe une chute de la résistance latérale pour les pieux fatigués. Cela s'explique comme suit : lorsque un pieu à atteint le refus et qu'on le soumet à une énergie importante de battage supplémentaire, celle-ci est reprise par fléchissement du pieu. Ce fléchissement correspond à une diminution de la résistance latérale. Il en résulte des valeurs de k inférieures à celles que l'on pourrait normalement escompter.

Des mesures de la déformation y^ en surface du sol en fonction de l'effort en tête H ont été effectuées sur des pie\ix en bois en Califomi^ le sol était constitué de sable limoneux, les piexix avaient 18 ra de long et 27,5 cm de diamètre à la surface du sol.

37

-On a relevé les courbes (y^ , H) pour d'une part, un pieu battu jusqu'au refus et fort fatigué (A) et d'autre part, un pieu non fatigué (b). Ces courbes sont rapportées à la figure 17. On voit que le pieu fatigué prend des déformations atteingnant environ deux fois et demie les déformations du pieu non battu jusqu'au refus. Le coefficient de réaction horizontal diminue donc d'autant.

En pratique le cas des pieux fatigués est rare; en effet lorsque le refus est obtenu on arrête en général le battage.

9. Influence sur k de la nature du sol.

Le coefficient de réaction horizontale d'un sol k vaj*ie avec la nature de celui-ci. On peut, pour ce problème, classer les sols en deux groupes ; les massifs pulvérulents tels que les sables et les massifs cohérents tels que les argiles.

a. Les massifs pulvérulents.

Pour les sols pulvérulents, k varie avec la répartition granulcMnétrique des grains, l'état de ccmpacité du sol et d'anotle 3e frottement réel ^ qui se développe dans le sol au voisinage du pieu. L’influence de ces paramètres peut se ramener à un seul. En effets iJ.B. GHFISTEIÎSEN ( 12-p.l6 ) propose une corrélation basée sur des essais entre l'angle de frottement ^ qui se développe dans le sol au voisinage d'un pieu sollicité horizontalement et l'indice de vide e du

sable. On trouve à la figiire 18 la représentation de cette corrélation.

Or, et où cOTune on a e = --- - ■' 1 - n n =* (1 - ~ ) 100 ^5

cotg

0

/2T (» )

38

-et si on adm-et que le poids spécifique absolu des grains du sable vaut :

Y =2,65 T/m^

8

on a 1

On peut alors tracer un diagramme donnant une relation plus explicite entre 4> et (voir figure 19).

Nous avons, sur la même figure, rapporté des points correspondant à des résultats de PRAKASH ( ^ ) et à des valeurs données par TEKZAGHI

)

.

Quant à 1*influence de la répartition granulométrique, on peut admettre que pour des sables courants elle est sans influence sur

cette corrélation. Par contre, si un sable a une courbe granulométrique* de forme discontinue, sa compacité peut être nettement différente ne celle d'un sable courant. Par conséquent,y ^ peut €ü.ors s'écarter des valeurs moyennes qui sont retenues par CiîRISTENGEN pour établir sa corrélation. Ces cas sont rares en pratique, spécialement en Belgique.

Dans les cas courants l'influence de la courbe granulométrioue n'est donc pas à prendre en considération, et le coefficient de réaction horizontal k ne déi>end que d'une seule caractéristique du sol, par

-39-Si l'on admet qu'un sable peu compact à un poids spécifique apparent sec de Yj ~ 1,^0 g/cm^ correspondant à hT% de vide et que un sable

“ ^ . 3

compact a un poids spécifique apparent sec de 1,77 g/cra correspondant à 33% de vide, ce qui sont des valeurs moyennes admissibles, on

constate à la figure 19 une bonne concordence.

Ces condidérations justifient amplement que TERZAGHI ait donné (55-n.317) des valeurs du coefficient de réaction horizonteLL, pour des pieux de 30 cm de largeur enfoncés dans des sables, ne dépendant que de l'état de ccmpacité du sol.

Cet auteur propose, pour les sables secs ou humides : A

\ ~ i,35

où : est directement proportionnel à k^Q

A : une variable sans dimension, fonction de l'état de compacité du sol : A = 200 sable non compact.

A = 600 sable moyennement compact. A = 1.500 sable fort compact.

^d : poids spécifique apparent sec du sable exprimé en tonnes/pied“ (1 tonne _{nied 3} = 35,7 g/om^)

Si le sable est immergé, le poids spécifique apparent sec Y^ est à remplacer par le poids spécifique du sol immergé y' ~ Y,! ”

(l - n) Y,^ oû n est le pourcentage de vide et le poids spécifioue de l'eau.

En partique, selon ROSE (46) , K0LBUSZ2WSGKI (33) et flUTCHISON (3l) , ces poids spécifiques ont des valeurs comprises entre :

1,40<y^ < 1,07 g/cra^

Ymin

Ymax

1*0

-Or, si nous ndortons la notion de densité relative définie par HUrMir,'?PH T on a :

e i;iax e - e .

max r.in

où e est l’indice de vide du sol considéré dans i'iitat où il se trouve. e est la valeur maximum que peut prendre l'indice des vides pour

lil&X

le sol considéré.

e . est la valeur mirimum lue peut prendre l'indice des vides r.our nn le sol considcr.'. On a aussi 1 1 Y . Y mm nax

ou Y, "St le poids spécifique vlu sox considcr.- dans l'otat ou i] se

G

trouve,

Y • ' poinr. sp'ci'licuc :r.inir..um du sol conJi....r- , mm

Y est ie poids srécifinae maximum du sol considéré. met. X

La û-nsité relative caractérisé donc [our enaque soi consiaéré l'état de compacité dans lequel il s“ tT-rujero pa-r ^-neport. aux valeurs* extrêrces nu" T-cut prendre son poids gpecifinue. Oette densité relativ

peut s'ott-mir eramniqueinent en construisant un dia-;ramne (y^^, ) en écliell* s''fi-loP’*.rie .'!.iq le. On obtient ai.qsi la '’i pire 20; un sable V est earact^risé nar une droite.

■'approchant déduire nue pour

ces considérations des valeurs de A on peut on

Dp = 0^ A = 200

Dj, = 50,1 A = 600

A

1*1

-Ces valexirs ont été portées en graphique à la figure 21; on a également dessiné la zone de dispersion possible selon TERZAGHI.

Nous pouvons établir une expression mathématique de la fonction A = A (D ). A cet effet, exprimons A (D ) sous la forme de NEWTON ( 2b )

R ^

^ ^o ^01 * “ °Rq^ ^^R " ^R 1^ ^012

Le calcul des coefficients P^, P^g. se fait en adoptant la disposi­ tion des calculs suivants ;

On trouve : 200

800

012 = 1000

d'où A = 200 + . 800 + . (D^ - 0,5) 1.000

100

2

4

6

8

1000

2

4

6

8

10.000

A

1+2

-et finalement

>1

(^)

On peut également représenter la courbe (A - en diagramme semi- logarithmique (log^Q A - Dp)*

Cela a été fait à la figure 22 nui montre une relation linéaire entre et log^^ A. On a avec une très bonne approximation :

n xU OU encore log^Q A = 0.9 * 2.32 0 9 A = 10 + 2.32 K (5)

D'après BÜKMISTER pour un sol en place non défait et n'ayant subi aucun compactage, la densité relative la plus probable vaut iJ = 40>.

n

Pour un tel sable on aura donc :

A = 1.000 . 0.1+^ + 300 . 0.1+ + 200 = l+80

soit A = 10°’^ . 0.1+ + 2.32 = 10^’^® = 1+80

Nous constatons en même temps la concordance des formules (1+) et (5)*

Reprenant la formule proposée par TER21AGHI (p.3 9) . pour exprimer le coefficient de réaction horizontal d'un pieu de 30 cm de large, on peut donc écrire :

_ 1*3

-d'où * (7U0 + 222 Dp + IU8) (6)

D'autre part, on aurait aussi pu écrire :

0 1* 10 ’ D„ + 2,32 _________ I\ _______ 1.35 (7) 3

Dans ces expressions, s'exprime en T/ft ; on passera ultérieurement aux unités décimales.

Rappelons que si le sable est immergé, il faut remplacer par y' = y^ _ (1 _ n) y^.

Outre l'influence de la compacité des sables, il faut aussi tenir compte de la profondeur; en effet, la plupart des auteurs

admettent que, dans les sables, le coefficient de réaction horizontal k augmente avec la profondeur z.

Nous verrons au paragraphe 11. qu'elle fonction k = k (z) on peut valablement adopter.

!

b. Les massifs crtiérents.

Il faut distinguer le cas des argiles qui ont été normaieiaent consolidées et celui des argiles surconsolidées.

Pour les argiles surconsolidées c'est-à-dire ayant subi une pression de consilisation supérieure à la pression naturelle des terres, le coeffbient de réaction hozizontal k peut, d'après TERLaGHI (55I , être considéré comme égal au coefficient de réaction vertical k du même sol, pris dans les mêmes conditions. En pratique ces argiles ont une consistance raide, très raide ou dure.

UU

-Le coefficient de réaction vertical k^, correspondant à tme surface rectangulaire de côté t et b (t > b), peut être déduit du coefficient correspondant à une svirface de côté l et b = 1 pied, par la formule :

et comme

k

V 1* _1

b

où k^^ = coefficient de réaction vertical pour une plaque carrée de côté = 1 pied (30 cm)

on en déduit pour les plaques dont le côté î- est grand par rapport à la largeur b = 1 pied : k vl k vl 1.5 Dès lors on a k = k V 1, b _1____ 1,5 b

les unités étant la tonne et le pied.

Pour les argiles surconsolidées, le coefficient de réaction vertical et par conséquent horizontal, varie avec la consistance des argiles.

D’après TERZAGHI (55) , on peut adopter les valeurs moyennes suivantes :

^ = 75 T/ft pour les argiles raides (stiff) O

= 150 T/ft^ pour les argiles très raides (very stiff) O

= 300 T/ft pour les argiles dures (hard).

Ce qui devient, en système métrique ;

_ 3

k^Q =2,35 kg/cm pour les argiles raides 3

= ^»75 kg/cm pour les argiles très raides

3

= 9,^0 kg/cm pour les argiles dures.

Or, la terminologie en vigueur pour le classement des argiles en fonction de leur consistance, est basée (voir page 38) par différents auteurs sur leur résistance à la compression simple oV (valeur de la

r

contrainte de rupture d’un échantillon cylindrique comprimé sans maintien latéral).

Nous donnons dans le tableau suiveuit, une synthèse de ces differents éléments.

Consistance des argiles Terminologie Terminologie française

américaine (kg/cm )

Very soft Très molle ou très défaite < 0,25

Soft Molle ou défaite 0,25 à 0,5

Medium Mi-consistante ou faiblement

compacte 0,5 à 1

Stiff Consistante, ou raide, ou compacte 1 à 2 Very stiff Très consistante ou très raide ou

très compacte 2 à il Hard Dure ou extrêmement consistante

-146-Ce tableau et les valeurs qui y figtirent permettent d'établir une corrélation entre k^Q et Pour ce faire nous avons adopté les valeurs moyennes suivantes :

Consistecîce o'p (kg/cm^) —, k^Q (kg/cm )2

Argiles raides _{1,5 2,35}

Argiles très raides 3 ^.T5

Argiles dures 6 _9,1*

Nous avons rapporté à la figure 23 la fonction

( o’o)

Donc nour les argiles surconsolidées non remaniées, cette fonction étant linéaire, on est conduit à l'expression analytique suiveuite :

= 1,6 (unité ; kg et cm)

On trouvera en outre représenté sur la figure 23 la zone de dispersion maximum pour les valeurs de

Pour obtenir une analogie avec la densité relative = R C * 6

raax_________ des sables, nous pouvons introduire ici la notion de

consis-0 0 • max min

CJ

(kg/cm2)

1*7

-où w = teneur en eau maximum au-delà de laquelle l'argile perd Li

toute consistance par excès d'humidité, c'est-à-dire la limite de liquidité,

Wp» teneur en eau minimum en-deça de laquelle l'argile n'a pas de consistance par défaut d'humidité, c'est-à-dire la limite de plasticité,

w =» teneur en eau réelle de l'surgile.

Suivant les valeurs de cette consistance relative C_, la résis-n

tamce à la compression o'p d'une argile sera plus ou moins grande.

Lorsque la teneur en eau est supérieure à la limite de liquidité (C^ < 0) toute trituration de l'argile en place la trans­ forme en une boue é^paisse et visqueuse dont la résistance à la

compression peut être considérée comme nulle. Lorsque, au contraire, la teneur en eau est inférieure à la limite de plasticité w (C_ > 1)

P F l'argile ne peut être triturée et sa résisteuice à la compression o'p est relativement élevée.

Pour des argiles non remaniées, on peut admettre qu'il y a correspondance entre les valeurs moyennes suivantes dcsmées par TERZAGHI : S o'p (kg/cm^) 0 0 0,22 0.65 1 3 2 6

48

-Des écarts assez sensibles avec cette équivalence peuvent être constatés pour des argiles spéciales. Ainsi, par exemple, les "quick clays” en place <»it une certaine résistance à la compression o'd alors que leur tenur en eau v est supérieure à la limite de liquidité (C„ < 0). Nous ne retiendrons pas ici

K

ces cas spéciaux peu rencontrés en Belgique.

Pour les argiles courantes surconsolidées qui consti­ tuent de tr^s loin le cas le plus fréquent ainsi que nous le verrons plus loin, la teneur en eau à l’état naturel est proche de la limite de plasticité et par conséquent la consistance relative est voisine de un.

Ces cas est particulièrement fréquent en Belgique où l’on rencontre souvent des argiles de consistance raide, très raide ou dure suivant le degré de la consolidation. Ces constatations sont renforcées par les résultats qui suivent.

Nous avons utilisé les caractéristiques (teneur en eau naturelle et limite) données par différents auteurs pour des argiles

üelges et américaines afin de calculer la consistance relative de 6l argiles. Celle-ci figure aux tableaux ci-dessous.