derivable

D´ erivabilit´ e

A retenir du cours :

• la d´efinition de la d´eriv´ee ;

• le th´eor`eme des accroissements finis ;

– cas particulier & ´etape de la preuve usuelle (facile) : th´eor`eme de Rolle ; – g´en´eralisations (plus dures `a se rappeler) : les formules de Taylor.

I Quelques pathologies

a) Donner un exemple de fonction d´erivable sur R dont la d´eriv´ee n’est pas continue.

b) Etudier selon la valeur de n ∈ N la d´erivabilit´e de la fonction d´efinie par 0 7→ 0, x 7→

xⁿsin(x⁻¹) (x 6= 0).

c) On pose f (x) = x + 2x²sin(x⁻¹) si x 6= 0, f(0) = 0. Montrer que f est d´erivable sur R, que f^′(0) > 0 mais que f n’est pas monotone au voisinage de 0.

d) (Dur.) Quelle est l’image de l’intervalle [0, 1] par la d´eriv´ee de f : x 7→ x³(1−x) sin(x⁻²) ? e) On pose f (x) = e^−1/x2 si x 6= 0 et f(0) = 0. Montrer que f est de classe C^∞ sur R et que toutes les d´eriv´ees de f sont nulles en z´ero.

II Du local au global

Ces exercices exploitent souvent l’id´ee de la d´emonstration du th´eor`eme de Rolle : signe du taux de variation au voisinage d’un extremum.

1^◦ Avatars du th´eor`eme de Rolle

a) Soit f d´erivable sur R⁺ avec f (0) = lim_+∞f . Montrer que f^′ s’annule au moins une fois.

b) Soit f d´erivable de [a, b] dans R. On suppose que f admet un maximum local en deux points x₁ et x₂ de [a, b]. Montrer que f^′ s’annule en un point de ]x₁, x₂[.

c) Soit f continue sur [a, b], d´erivable en a et b, telle que f (a) 6= f(b) et f^′(a) = f^′(b) = 0.

Faire un dessin ; apr`es avoir interpr´et´e g´eom´etriquement cette condition, montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que

f (c) − f(a)

c − a = f (b) − f(a) b − a .

d) Soit f d´erivable sur [a, b] avec f^′(a) = f^′(b). Montrer qu’il existe une corde issue de (a, f (a)) qui est tangente `a la courbe.

(Indication : consid´erer d’abord le cas f^′(a) < (f (b) − f(a))/(b − a) : prendre alors c tel que (f (c) − f(a))/(c − a) soit maximal. Magouiller.)

2^◦ Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires pour la d´eriv´ee

a) Soit f d´erivable sur [a, b] telle que f^′(a) > 0 et f^′(b) < 0. Faire un dessin. Montrer qu’il existe x₁, x₂ ∈]a, b[ tels que f(x1) > f (a) et f (x₂) > f (b). En d´eduire qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f^′(c) = 0.

b) Soit g d´erivable sur [a, b]. Montrer que toute valeur comprise entre g^′(a) et g^′(b) est atteinte par g^′. (Ajouter une fonction affine `a g pour se ramener au cas pr´ec´edent.)

3^◦ Formule d’Euler-Mac Laurin

Soit f de classe C² sur [a, b] et trois fois d´erivable sur ]a, b[. On pose, pour x ∈ [a, b] : ϕ(x) = f (x) − f(a) − x − a

2 ¡f^′(x) + f^′(a)¢ +(x − a)³ 12 α, o`u α est le r´eel tel que ϕ(b) = 0.

V´erifier que ϕ est C

b) Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que ϕ^′(c) = 0, puis qu’il existe d ∈]a, b[ tel que ϕ^′′(d) = 0.

V´erifier qu’on a alors :

f (b) − f(a) = b − a

2 ¡f^′(b) + f^′(a)¢ +(b − a)³ 12 f^′′′(d).

4^◦ Applications du th´eor`eme des accroissements finis a) R´esoudre l’´equation diff´erentielle : y^′ = 0.

b) Soit f continue sur [a, b] et d´erivable sur [a, c[ et ]c, b] (o`u a < c < b). On suppose que f^′ a une limite en c. Montrer que f est d´erivable en c.

c) Une fonction C¹ sur un intervalle compact est lipschitzienne.

III D´eriv´ees successives

a) Formule de Taylor-Reste Int´egral. D´emontrer et retenir que l’on a :

∀f ∈ Cⁿ⁺¹([a, b]), f (b) =

n

X

k=0

(b − a)^k

k! f^(k)(a) + 1 n!

Z _b

a (b − x)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(x) dx.

b) Montrer que cos(1) est irrationnel. En d´eduire que tan(1/2) aussi.

c) Montrer que l’´egalit´e

Z _{f (x)}

x

e^t2dt = 1

d´efinit une unique fonction f : R → R. Montrer que f est C^∞. Montrer que f est mˆeme d´eveloppable en s´erie enti`ere.

d) Soit f de classe C^∞ sur R⁺, telle que f (0) > 0, f^′(0) > 0 et lim+∞f = 0. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante (x_n)_n∈N telle que f⁽ⁿ⁾(x_n) = 0.

e) Soit h de classe C^∞ sur R telle qu’il existe une suite (x_n)_n∈N de limite nulle telle que h(x_n) = 0 pour tout n. Montrer que pour tout k ∈ N il existe (yn)_n∈Nde limite nulle telle que h^(k)(yn) = 0 pour tout n. En d´eduire que toutes les d´eriv´ees de h s’annulent en 0.

f ) (Application.) Soit f de classe C^∞ sur R telle que f (n⁻¹) = n²/(n²+ 1). Calculer f^(k)(0) pour tout k.

IV Une ´equation fonctionnelle

Soit a, b ∈ R, a /∈ {0, 1}. On cherche les fonctions f d´erivables sur R telles que

∀x ∈ R, f ◦ f(x) = ax + b.

a) Montrer que f est monotone. Quel est le sens de variation de f ◦ f ? En d´eduire que si a < 0, il n’y a pas de solution.

b) On note g : R → R, x 7→ ax + b. Quelle est la nature g´eom´etrique de g ? c) En d´eduire deux solutions lorsque a > 0.

d) V´erifier que g poss`ede un unique point fixe c. En d´eduire qu’il en est de mˆeme de f . e) Pour x ∈ R quelconque, exprimer gⁿ(x). (Ici, gⁿ= g ◦ g ◦ · · · ◦ g (n fois).)

f ) D´eterminer limn→+∞g^±n(x) selon les valeurs de a.

g) On suppose d´esormais a ∈]0, 1[. On fixe x ∈ R. Montrer que f(gⁿ(x)) = f (c) + (f^′(c) + ε_n)(gⁿ(x) − c) avec limn→+∞ε_n= 0.

h) V´erifier que f = g⁻ⁿ◦ f ◦ gⁿ pour tout n ∈ N.

i) En d´eduire que f est une application affine et conclure.

D´ eveloppements limit´ es Premi` ere s´ erie

1^◦ Calculs de limites a) lim

x→0

(1 − cos x) arctan x

sh x sin x tan x b) lim

x→0⁺(sin x)^{tan x} c) lim

x→0(1 + sin x)^1/x d) lim

x→0(cos x)^1/x2 e) lim

x→0

ln(cos 2x)

ln(cos 3x) f) lim

x→0

1 − cos(arcsin x) ln(1 + x²) g) lim

x→0⁺ln x ln(1 + ln(1 + x)) h) lim

x→0

³ x sin x

´_x^{sin x}

−sinx

i) lim

x→0(sin x + cos x)^1/x j) lim

x→0(cos x)^{cotan 2x} k) lim

x→+∞(tanh x)^x2 l) lim

x→+∞

µ 2x + 1 2x − 1

¶2x

m) lim

x→+∞

1

x lne^x− 1

x n) lim

x→+∞sh x e^{−x tanh x}. 2^◦ D´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 4

a) ch(2x) sh(3x) b) (ln(1 + x²))² c) q

1 +p 1 + x² d)√

1 + sin x e) ln(1 + x +√

1 + x) f) e^{cos x}. 3^◦ D´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 3

a) tan x b) x

sin x c) (cos 2x)^3/x2.

4^◦ D´eveloppement asymptotique en +∞ `a l’ordre 2 a) f (x) =p

x⁴+ x + 1 b) f (x) = arctanr x + 1 x + 2. 5^◦ Equivalent simple en 0 de 1 − cos x + ln cos x 6^◦ Une pathologie r´ep´etitive

a) La fonction f : 0 7→ 0, x 7→ x³sin(x⁻¹) (x 6= 0) est d´erivable en 0 et donc admet un DL d’ordre 1.

b) Elle admet mˆeme un DL d’ordre 2 en 0. Mais elle n’est pas deux fois d´erivable en 0.

7^◦ Calcul de limites a) lim

x→0⁺

arctan(x²− x²cos x) (1 −√

cos x) ln^{sin x}_x b) lim

x→0⁺

ln ch x + ln cos x

√ch x +√

cos x − 2 c) lim

x→0⁺

e^{sin x}− e^{tan x}

sin x − tan x d) lim

x→+∞

µ ln(x + 1) ln x

¶x ln x

8^◦ Etude d’une fonction

Etudier la fonction d´efinie pour x ∈ ]−∞, −2] ∪ ]0, +∞[ par f (x) = e^1/xpx(x + 2).

(Limites et ´equivalents aux bords du domaine, d´erivabilit´e, variations, graphe.)

R´ eponses premi` ere s´ erie

1^◦ Calculs de limites a) 1

2 b) 1 c) e d) e^−1/2 e) 4 9 f) 1

2 g) 0 h) e i) e j) 1 k) 1 l) e² m) 1 n) 1 2 2^◦ D´eveloppements limit´es

a) 3 x +21

2 x³+ o(x⁴) b) x²− x³+11

12x⁴+ o(x⁴) c)√

2 +

√2

8 x²−5√ 2

128 x⁴+ o(x⁴) d) 1 + 1 2x −1

8x²− 1

48x³+ 1

384x⁴+ o(x⁴) e) ln(2) +3

4x −11

32x²+ 7

32x³− 163

1024x⁴+ o(x⁴) f) e − e 2x²+ e

6x⁴+ o(x⁴) 3^◦ D’autres d´eveloppements limit´es

a) x +1

3x³+ o(x³) b) x +1

6x²+ o(x³) c) e⁻⁶− 4 e⁻⁶x²+ o(x³) 4^◦ Des d´eveloppements asymptotiques

a) x²+1 2

1 x+ 1

2 1

x² + oµ 1 x²

¶

b) π 4 −1

4 1 x +3

8 1

x² + oµ 1 x²

¶ 5^◦ Un ´equivalent

(1 − cos x + ln cos x) ∼ −1 4x⁴. 6^◦ Un exemple pathologique

D´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 : f (x) = o(x²). (Le d´eveloppement est nul.)

Cependant, on calcule : f^′(x) = 3x³sin(x⁻¹) − x cos(x⁻¹). On a vu que cette fonction n’´etait pas d´erivable en 0.

7^◦ Limites

a) − 12 b) 8 c) 1 d) e 8^◦ Etude d’une fonction

f est d´efinie et continue sur ] − ∞, −2]∪]0, +∞[, f (x) ∼ |x| quand x → ∞

f est d´erivable sur ] − ∞, −2[∪]0, +∞[, f^′(x) = x²− 2

xpx(x + 2)e^1/x

x→−2lim⁻f^′(x) = −∞

minimum local en√ 2

D´ eveloppements limit´ es Deuxi` eme s´ erie

1^◦ Mise en jambes

1 + x + 3x², ordre 4 en 0, 1 + x + 3x², ordre 4 en 1, nos ln(x), ordre 2 en 0, ln(x), ordre 2 en 1,

ln(1 + x). cos(x), ordre 4 en 0, (e^x2− 1)x sin(x), ordre 7 en 0, ln(cos(x)), ordre 5 en 0, cos√

1 + x, ordre 1 en 0, (1 + ch(x))⁻¹, ordre 4 en 0, sin(x), ordre 5 en π/6, tan(x), ordre 5 en 0, tan²(x), ordre 5 en 0.

2^◦ Un rien plus dur

ptan(x), ordre 3 en π/4,

q 1 +p

1 +√

1 + x, ordre 2 en 0, ln(1 + x)

1 + 2x , ordre 4 en 0, tan³(x).((cos x)^x2− 1), ordre 10 en 0, (tan(x))^cos(2x), ordre 4 en π/4, ln(tan(x

2 +π

4)), ordre 8 en 0, µ sin(x)

x

¶cos(x)

, ordre 5 en 0, (sin(x))^x, ordre 4 en π/2, x

e^x− 1, ordre 4 en 0, px(e^x− 1), ordre 3 en 0, x²− x

√x −⁴√

x, ordre 2 en 1, tan(sin(x)) − sin(tan(x)), ordre 7 en 0, e√

1+sin(x)− e

tan(x) , ordre 3 en 0, 1

tan(x)− 1

x, ordre 5 en 0.

3^◦ Calcul de limites√ 1 + 2x + 3x²−³√

1 + 3x + 2x²

x² en 0, (1 + sin(x))^x1 en 0, x^a− a^x

x − a en a,

√x −√ a

ln(x) − ln(a) en a, µ tan(x)

x

¶¹_x

en 0, 1

1 − cos(x) − 1

1 − cos(πx) en 0, x^x− x

1 − x + ln(x) en 1, e^sin(x)− e^tan(x) sin(x) − tan(x) en 0, (2^x+ 3^x− 12)^tanπx4 en 2, sin(x)

x en 0.

4^◦ D´eveloppements g´en´eralis´es

(1 + x)^1x en −1 (3 termes), (t − 1)e^t+11 en +∞ (loin) (argsh(t))^1t en +∞ (2 termes), e^−x21 en +∞ (4 termes).

5^◦ Encore des limites, mais en +∞

x^x+1x − (x − 1)^xx−1 x¹⁵¹⁵+√

xe^x− 1789 ln(x) (√

x³+ x²−√

x³) ch(x) µ ln(x + 1)

ln(x)

¶x ln(x) Ã

2^x1 + 3^x1 + 5^1x 3

!x

On pose

un=

n

X

k=1

1

k et vn= Z n

1

dx

x = ln n.

a) Montrer que u_n ∼ vn au voisinage de l’infini. (Il s’agit d’interpr´eter u_n et v_n comme des aires, et de les comparer avec l’id´ee de la c´el`ebre “m´ethode des rectangles” ; de fa¸con plus terre-`a-terre, on se contentera d’utiliser la monotonie de x 7→ ¹_x sur [k, k + 1].)

b) On pose wn= un− vⁿ. Trouver un ´equivalent de wn+1− wⁿ. c) En d´eduire que la suite w_n converge.

On notera γ la limite de w_n. Sa valeur approximative est 0, 577, elle est l’objet de bien des questions : est-elle rationnelle ? transcendante ? Nul ne le sait. Mais poursuivons.

d) Soit α ∈ R, on pose zn= w_n− γ −^α_n. Trouver un ´equivalent de z_n+1− zn, puis d´eterminer α de mani`ere que zn+1− zⁿsoit un O(_n¹3) (alors qu’en g´en´eral, c’est un O(_n¹2)).

e) (Apart´e.) Supposons que ε_n= O(_n¹d), avec d ≥ 2. Montrer (toujours avec la m´ethode des rectangles) que l’on a : P_+∞

k=nε_k= O(_nd¹

−1).

f ) V´erifier que −zn=P_+∞

k=n(z_n+1−zn), puis appliquer l’apart´e pr´ec´edent avec ε_n= z_n+1−zn

et d = 3. Il vient donc : z_n= O(_n¹2).

g) Un cran plus loin : Soit β ∈ R, on pose : tn = z_n+ _n^β2. D´eterminer β de mani`ere que t_n+1− tn= O(_n¹4) et en d´eduire que l’on a :

n

X

k=1

1

k = ln n + γ + 1 2n− 1

12n² + Oµ 1 n³

¶ .

h) Poursuivre ad libitum.

i) Application. A l’aide de ce qui pr´ec`ede, ´etudier la convergence et la convergence absolue de la s´erie de terme g´en´eral a_n=Qn

k=2(2 − 2^1/k) (n ≥ 2).

7^◦ Une application des DL `a une suite r´ecurrente On fixe un r´eel u0 ∈]0, π[, et on pose : uⁿ⁺¹= sin un.

a) Montrer que la suite u_nest `a valeurs dans [0, 1], d´ecroissante et donc convergente. Quelle est sa limite ?

On voudrait calculer un ´equivalent de un.

b) D´eterminer un r´eel α > 0 tel que sin^−α(x) − x^−α poss`ede une limite ℓ finie et non nulle lorsque x tend vers 0. Calculer ℓ.

c) On pose w_n= u⁻_n^α. V´erifier que la suite (w_n+1− wn)_n∈N converge vers ℓ.

d) D´eterminer un ´equivalent de wn au voisinage de l’infini. (On ((re)d´emontrera et on) appliquera le th´eor`eme de C´esaro `a la suite de c) : si lim_n∞z_n= ℓ, alors lim_n∞n¹P_n

k=1z_n= ℓ.) e) D´eterminer un ´equivalent de un au voisinage de l’infini.

8^◦ Un ´equivalent asymptotique

a) Montrer que tan x = x a une unique solution x_n dans l’intervalle ¤−^π₂ + nπ,^π₂ + nπ£.

b) V´erifier que xn∼ nπ.

c) V´erifier que x_n= nπ + arctan x_n et en d´eduire que lim_n→+∞x_n− nπ = ^π₂.

d) On pose yn = xn− nπ − ^π₂. Injecter dans sin xn = xncos xn et en d´eduire un ´equivalent de y_n de la forme ^α_n.

e) On pose zn= yn− ^α_n. Injecter dans l’´egalit´e et en d´eduire un ´equivalent de zn.