Montrer que Nil(A

ALG`EBRE L3A - EXAMEN FINAL, 1`ERE SESSION (DUR´EE: 4H)

DOCUMENTS, PORTABLES ET CALCULATRICES INTERDITS

Exercice 1. Soit A un anneau commutatif. On dit que a ∈ A est nilpotent s’il existen ≥1 tel que aⁿ= 0.

On note Nil(A) l’ensemble des ´el´ements nilpotents deA.

Dans cet exercice, on propose de d´emontrer que Nil(A) est l’intersection des id´eaux premiers de A.

1. Montrer que Nil(A) ⊂ \

p

p, o`u p parcourt l’ensemble des id´eaux premiers de A.

2. Soit α∈A. On suppose queαX + 1∈A[X] est inversible. Montrer que α∈Nil(A).

Indication. Si P ∈A[X] v´erifie (αX+ 1)P = 1, ´ecrire P =a_nXⁿ+· · ·+a₁X+a₀, et identifier les coefficients.

3. On suppose que α∈A\Nil(A).

(i) Justifier l’existence d’un id´eal maximalmdeA[X] contenantαX+1.

(ii) Soit p le noyau du morphisme d’anneaux f: A −→A[X]/m

a 7−→a.

Montrer que p est un id´eal premier de A ne contenant pasα.

Indication. Pour montrer que α ∈A\p,proc´eder par l’absurde.

4. Conclure.

Exercice 2. Soit A=Z[i√

3] = {a+ib√

3|a, b∈Z}.

Pour tout z ∈A, on pose N(z) =|z|². On a doncN(z)∈N pour tout z ∈A, ainsi que

N(z₁z₂) = N(z₁)N(z₂) pour tous z₁, z₂ ∈A.

1. Pour tout z ∈A,montrer les ´equivalences suivantes : z ∈A^× ⇐⇒ N(z) = 1 ⇐⇒ z =±1.

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2. Montrer que 2,1 +i√

3 et 1−i√

3 sont des ´el´ements irr´eductibles de A, non associ´es deux `a deux.

3. Exhiber un ´el´ement deA qui admet deux d´ecompositions distinctes en produit d’un inversible et d’´el´ements irr´eductibles.

4. L’id´eal de A engendr´e par 2 est-il premier ?

5. En utilisant la question 2., montrer que 2 et 1 +i√

3 sont premiers entre eux.

6. Montrer que 4 et 2(1 +i√

3) n’ont pas de pgcd dans A.

Indication. On pourra commencer par montrer que si δ ∈ A est un pgcd de4 et 2(1 +i√

3), alorsδ = 2z, avecz ∈A.

7. Soit I = (2,1 +i√ 3).

a. V´erifier que I ={a+ib√

3|a≡b [2]}. En d´eduire que I 6=A.

b. Montrer par l’absurde que I n’est pas principal.

Indication. Si I = (α), α ∈A, justifier queα|2 et α |1 +i√ 3.

8. Donner quatre raisons distinctes qui justifient que A n’est pas prin- cipal.

Exercice 3. Dans cet exercice, on pourra utiliser sans d´emonstration le fait suivant :

Fait. Soit ` un nombre premier. Alors, tout groupe d’ordre `² est iso- morphe `a Z/`²Z ou `a Z/`Z×Z/`Z.

Soient p, q deux nombres premiers distincts tels que p- q²−1 et que q - p−1. D´eterminer tous les groupes G d’ordre pq² `a isomorphisme pr`es.

On prendra bien soin de montrer que tous les groupes obtenus sont bien deux `a deux non isomorphes.

Probl`eme.

Soit Gun groupe. On dit qu’un sous-groupe H est maximalsi H 6=G et pour tout sous-groupe H⁰ deG, on a

H ⊂H⁰ =⇒H⁰ =H ouH⁰ =G.

A.

1. On suppose que G est fini. Montrer que G poss`ede au moins un sous-groupe maximal H.

2. Soit G un groupe quelconque, et soit H un sous-groupe de G tel que [G:H] soit fini, et soit un nombre premier. Montrer queH est un sous-groupe maximal de G.

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B.

1. On suppose que G agit non trivialement sur un ensemble non vide E, et que pour tous x, x⁰, y, y⁰ ∈ E, avec x 6= y et x⁰ 6= y⁰, il existe g ∈G tel que g·x=x⁰ etg·y =y⁰.

1. Soit a∈E, et soit H = Stab_G(a).

(i) Si g1, g2 ∈G\H, montrer qu’il existeh∈H tel que g⁻¹₂ hg1 ∈H.

(ii) Pour tout g₀ ∈G\H,montrer que hH, g₀i=G.

(ii) En d´eduire que H est un sous-groupe maximal de G.

2. Soit n ≥3, et soit H_n ={σ ∈S_n|σ(1) = 1}.

(i) Montrer que H_n est un sous-groupe maximal de S_n d’indicen.

(ii) Tout sous-groupe maximal de Sn est-il d’indicen? C.

1. Soit G un groupe non trivial, dont les seuls sous-groupes sont {1_G} et G. Montrer queG est cyclique d’ordre p, o`up est premier.

Indication. On pourra commencer par d´emontrer que Gest monog`ene.

2. Soit G un groupe quelconque. On suppose que G poss`ede un sous- groupe maximal H.

(i) Montrer que si H est distingu´e dans G, alors [G:H] est fini, et est un nombre premier.

Indication. On pourra d´eterminer tous les sous-groupes de G/H, et utiliser la question 1.

(ii) On ne suppose plus que H est distingu´e dans G. On suppose que [G:H] est fini. Est-il n´ecessairement premier ?

3. Soit H un sous-groupe de Q d’indice fini. Montrer que H = Q. En d´eduire que Qn’a pas de sous-groupe maximal.

Indication.Montrer qu’il existe n≥1 tel quenx∈H pour toutx∈Q.