Dérivée de fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

6.1 Rappel

Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont indispensables à l’étude des phénomènes périodiques.

mesure d’angles

’θ

figure 6.1.1

θ ’

figure 6.1.2

360°

figure 6.1.3

La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point d’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle est positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).

Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle- même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il est essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radian comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé- triques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques.

définition 6.1.1 le radian lorsque r = 1, la mesure en radians de l’angle AOB correspond à la longueur de l’arc AB

On mesure un angle θ en radians en traçant d’abord un cercle centré sur le sommet de l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc de cercle s qu’il sous-tend et le rayon r du cercle. L’unité «radian» est habituellement omise.

θ s

r A

B

O

θ = s r

θA s r

A

secteur angulaire

une révolution = longueur de l’arc

circonférence = aire du secteur aire du cercle θ

2π = s

2πr = A πr²

⇒ s = rθ et A = ¹ 2r²θ

relation entre

degrés et radians Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r est πr et que θ

= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de θ = s

r = πr r = π Par conséquent 180° = π radians . exemple 6.1.1

pour convertir des degrés en radians, on multiplie la mesure en degrés par π

180

Convertir 30° en radians.

____________

Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Si θ est la quantité cherchée,



 180° = π

30° = θ ⇒ θ = 30°×π 180° = π

6 exemple 6.1.2

pour convertir des radians en degrés, on multiplie la mesure en radians par 180 π

Convertir π/4 radians en degrés ____________

Si θ est la quantité cherchée,



 180° = π θ = π/4

⇒ θ = π/4× 180°

π = 45°

exemple 6.1.3

π/3 r = 6

s = ?

figure 6.1.4

Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.

____________

On a S = rθ (où θ est un angle en radians)

= 6(π/3)

= 2π (6,28) définition 6.1.2

les six rapports trigonométriques

(x, y) θ r

x y P

O

hypoténuse côté adjacent

côté opposé

θ

Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une distance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.

sinus: sin θ = y

r ; cosécante: cosec θ = r y cosinus: cos θ = x

r ; sécante: sec θ = r x tangente: tg θ = y

x ; cotangente: cotg θ = x y Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angle aigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les six rapports trigonométriques de la manière suivante.

sin θ = côté opposé

hypoténuse ; cosec θ = hypoténuse côté opposé cos θ = côté adjacent

hypoténuse ; sec θ = hypoténuse côté adjacent tg θ = côté opposé

côté adjacent ; cotg θ = côté adjacent côté opposé

trigonométriques fonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg), sécante (sec) et cosécante (cosec). L’étude de ces fonctions est grande- ment simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.

le cercle trigonométrique

On considère d’abord un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un plan cartésien que l’on nomme cercle trigonométrique. On trace un angle de θ radians ayant pour sommet le point (0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axe positif des x. L’autre côté rencontre le cercle en un point (x, y). On appelle

r = 1 (0, 0)

θ

(cos θ, sin θ)

• sin θ la valeur de y, • cosec θ la valeur de 1/y,

• cos θ la valeur de x, • sec θ la valeur de 1/x,

• tg θ la valeur de y/x, • cotg θ la valeur de x/y.

exemple 6.1.4

π/2 (0, 1)

Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).

__________________________________

L’angle de π/2 est associé au couple(x, y) = (0, 1) ;

⇒ sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( ∃/ ) ; sec(π/2) = 1/0 ( ∃/ ) cos(π/2) = 0 ; cotg(π/2) = 0/1 = 0 ; cosec(π/2) = 1/1 = 1 exemple 6.1.5

θ

4 5

5² - 4² = 3

Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ

__________________________________

sin θ = côté opposé hypoténuse = 4

5 , par la relation de Pythagore on a côté adjacent =

√

⇒ ^cos θ = côté adjacent hypoténuse =

3

5 ; sec θ = hypoténuse côté adjacent =

5 3 tg θ = côté opposé

côté adjacent = 4

3 ; cosec θ = hypoténuse côté opposé =

5 4 cotg θ = côté adjacent

côté opposé = 3 4

angles remarquables Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeur exacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3.

sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = √^3/2 sin(π/4) = √^2/2 cos(π/4) = √^2/2 sin(π/3) = √^3/2 cos(π/3) = 1/2

1/2 1

π/6

π/3

( 3/2,1/2)

3/2

1

π/4

π/4

( 2/2, 2/2)

2/2

2/2

1

π/3

π/6

(1/2, 3/2)

3/2

1/2

exemple 6.1.6 Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) , cosec(π/6).

____________

L’angle de π/6 est associé au couple (x, y) = (√3/2, 1/2) ;

⇒ sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = √3/2

cotg(π/6) , sec(π/6) et

π/6

( 3/2, 1/2)

tg(π/6) = 1/2

√3/2 = 1

√3 = 1

√3 √3

√3 = √3 3 cotg(π/6) = √3/2

1/2 = √3 sec(π/6) = 1

√3/2 = 2

√3 = 2

√3 √3

√3 = 2√3 3 cosec(π/6) = 2

1 = 2

II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques sur le cercle trigonométrique.

π (180°) _{→ (−1, 0)} 0 (0°) _{→ (1, 0)}

3π/2 (270°) →(0, -1)

π/3 (60°) →(1/2, 3/2) π/4 (45°) →( 2/2, 2/2)

π/6 (30°) →( 3/2, 1/2)

11_π/6 (330°) →( 3/2, -1/2) 7π/4 (315°) →( 2/2, - 2/2) 5_π/3 (300°) →(1/2, - 3/2) 4_π/3 (240°) →(-1/2, - 3/2)

5_π/4 (225°) →(- 2/2, - 2/2) 7π/6 (210°) →(- 3/2, -1/2)

5_π/6 (150°) →(- 3/2, 1/2) 3π/4 (135°) →(- 2/2, 2/2)

2_π/3 (120°) _→(-1/2, 3/2)

(+,+) (-,+)

(-,-) (+,-)

π/2 (90°) → (0, 1)

trigonométriques une fonction ƒ(x) est périodique de période p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x) pour toute valeur de x

(k est un nombre entier) 1. sin(_θ ± 2k_π) = sin _θ

2. cos(_θ ± 2k_π) = cos _θ

(cos θ, -sin θ) (cos θ, sin θ)

−θθ

La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.

3. sin(-θ) = -sin θ 4. cos(-_θ) = cos _θ

Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires et celles permettant les translations horizontales.

5. sin _θ = cos

( )

( )

6. cos _θ = sin

( )

(

)

Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.

7. sec θ = 1

cos _θ 10. tg _θ = sin _θ cos _θ 8. cosec _θ = 1

sin _θ 11. cotg _θ = cos _θ sin _θ 9. tg _θ = 1

cotg _θ

cos θ r = 1

θ

(cos θ,sin θ) sin θ

En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a 12. sin²θ ⁺ cos²θ ^{= 1}

Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos²θ on obtient l’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 par sin²θ on obtient l’identité 14,

13. tg²θ + 1 = sec²θ 14. 1 + cotg²θ ⁼ cosec²θ

mais attention!

sin(θ1+θ2) ≠ sinθ1 + sinθ2

sin(θ1 -_θ2) ≠ sinθ1 - sinθ2

cos(θ1+θ2) ≠ cosθ1 + cosθ2

cos(θ1 -_θ2) ≠ cosθ1 - cosθ2

Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont:

15. sin(θ1+θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1

16. sin(_θ1–_θ2) = sin _θ1 cos _θ2 – sin _θ2 cos _θ1 17. cos(_θ1+_θ2) = cos _θ1 cos _θ2 – sin _θ1 sin _θ2 18. cos(_θ1–_θ2) = cos _θ1 cos _θ2 + sin _θ1 sin _θ2

À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur le sinus et le cosinus d’angles doubles.

19. sin 2θ ^{= 2 sin}θ ^cosθ 20. cos 2θ ^{= cos2}θ ^{- sin2}θ

En utilisant l’identité 12 dans la dernière, on obtient

21. sin²θ ⁼ 1 - cos 2θ 2 22. cos²θ ⁼ 1 + cos 2θ

2

résolution d’équations trigonométriques

On résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigono- métriques de la même façon que l’on résout les équations algébriques.

exemple 6.1.7

on s’assure d’abord que les arguments des fonctions trigonométriques sont les mêmes puis, si c’est possible, on transforme tout en sinus ou en cosinus

Résoudre l’équation sin 2x = sin x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________

sin 2x = sin x

2 sin x cos x = sin x (identité 19) 2 sin x cos x - sinx = 0

(sin x)(2 cos x - 1) = 0

⇒ sin x = 0 ou cos x = ¹ 2 Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a

sin x = 0 ⇒ 

 x →^{(1, 0)} ⇒ x = 0 x → ^{(-1, 0)} ⇒ x = π

cos x =¹

2 ⇒

 



x →^{(1/2, -}√^3/2) ⇒ x = ^5π 3

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont

{

}

3 .

exemple 6.1.8 Résoudre l’équation sin² x - cos² x + sin x = 0 pour x ∈ [0, 2π[ . ____________

sin² x - cos² x + sin x = 0

sin² x - (1 - sin² x) + sin x = 0 (identité 12) sin² x - 1 + sin² x + sin x = 0

2 sin² x + sin x - 1 = 0 (2 sin x - 1)(sin x + 1) = 0

⇒ sin x = ¹

2 ou sin x = -1 Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a

sin x =¹

2 ⇒

 



x →^(-√^{3/2, 1/2)} ⇒ x = ^5π 6 sin x = -1 ⇒ x →^{(0, -1)} ⇒ x = ^3π

2

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont

{

}

2 , 5π

6 .

exemple 6.1.9

il n’est pas toujours nécessaire de tout exprimer en sinus ou en cosinus

Résoudre l’équation cos² x = sin² x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________

rép:

{

}

4 , 5π 4 , 7π

4

graphiques des fonctions trigonométriques

la fonction sinus est une fonction impaire de période 2π la fonction cosinus est une fonction paire de période 2π

y

π/2 π 3π/2 x

−π/2

−π

−3π/2

1

−1

−1

ƒ(x) = sin x

y

π/2 π 3π/2 x

−π/2

−π

−3π/2

1

−1

−1

ƒ(x) = cos x

dom sin: R ima sin: [-1, 1] dom cos: R ima cos: [-1, 1]

la fonction tangente est une fonction impaire de période π la fonction cotangente est une fonction impaire de période π

y

π/2 π 3π/2 x

−π/2

−π

−3π/2

−3π/2

ƒ(x) = tg x

y

π/2 π 3π/2 x

−π/2

−π

−3π/2

−3π/2

ƒ(x) = cotg x

dom tg: R \ { ±π/2 , ±3π/2…} ima tg: R dom cotg: R \ { 0 , ±π , ±2π ...} ima cotg: R

la fonction sécante est une fonction paire de période 2π la fonction cosécante est une fonction impaire de période 2π

y

π/2 π 3π/2 x

−π/2

−π

−3π/2

1

−1

−1

ƒ(x) = sec x

y

π/2 π 3π/2 x

−π/2

−π

−3π/2

1

−1

−1

ƒ(x) = cosec x dom sec: R \ { ±π/2 , ±3π/2…}

ima sec: ]-∞^{, -1]} ∪ [1, ∞^[ dom cosec: R \ { 0 , ±π , ±2π …}

ima cosec: ]-∞^{, -1]} ∪ [1, ∞^[

grande majorité des phénomènes étudiés en sciences sont périodiques.

Les ondes cérébrales ou les battements du coeur sont périodiques. Le courant électrique, le champ électromagnétique produit par un micro- onde, les mouvements des planètes, les saisons ou encore la température sont autant de phénomènes périodiques. On n’a qu’à penser à un phénomène et on a de fortes chances qu’il soit périodique.

Même si tous ces phénomènes semblent totalement différents, ils ont un point en commun leur périodicité. Il a été démontré que

« tout phénomène périodique quel qu’il soit peut être représenté comme une combinaison algébrique de fonctions sinus ou cosinus ».

Par conséquent, une bonne compréhension des fonctions sinus et cosinus, permet de créer des modèles mathématiques pour tout phé- nomène à caractère périodique.

caractérisques du graphique du sinus lorsqu’on multiplie l’argument par une quantité supérieure à 1 ou inférieure à -1, la courbe se contracte

1

Si l’on multiplie l’argument de sin x par une quantité

B > 1 ou B < -1 la période de cette fonction diminue; elle devient

2π B

y

x

y = sin x y = sin(2x)

π/2 π 3π/2

−π/2

−π

−3π/2

1

−1

−1

lorsqu’on multiplie l’argument par une fraction, la courbe s’allonge

2

Si l’on multiplie l’argument de sin x par une quantité

-1 < B < 1 la période de cette fonction augmente; elle devient

2π B

y

x

y = sin x y = sin(x/2)

π/2 π 3π/2

−π/2

−π

−3π/2

1

−1

−1

l’amplitude correspond à la moitié de la différence entre le maximum et le minimum de la fonction

3

Si l’on multiplie sin x par une quantité

A ≠ 0

l’amplitude de cette fonction devient |A|.

y

x y = sin x

y = 2 sin x

π/2 π 3π/2

−π/2

−π

−3π/2

1 2

−1

−2

−2

le déplacement horizontal (vers la droite ou vers la gauche) de la courbe du sinus détermine le déphasage de cette courbe

4

Si on soustrait une quantité C positive à l’argument du sinus, le graphique subit une transla- tion horizontale de C unités vers la droite tandis que si on soustrait une quantité C négative à l’argument du sinus le gra- phique subit une translation horizontale de C unités vers la gauche.

y

x y = sin x

y = sin(x+ /2)π

−1 1

π/2 π 3π/2

−π/2

−π

−3π/2

−3π/2

5

Si on ajoute une quantité D positive à la fonction sin x, le graphique subit une translation verticale de D unités vers le haut tandis que si on ajoute une quantité D négative à la fonction sin x, le graphique subit une translation verticale de D unités vers le bas.

y

x y = sin x

y = sin x + 1

π/2 π 3π/2

−π/2

−π

−3π/2

1

−1 2

−2

−2

en physique, tous les mouvements vibratoires simples, telles les ondes électromagnétiques et les cordes vibrantes, peuvent être représentés par des sinusoïdes; on les utilise aussi pour représenter les mouvements oscillatoires d’un pendule ou d’un ressort

En résumé

ƒ(x) = A sin B(x - C) + D correspond à une fonction sinusoïdale

la période est 2π

|B|

l’amplitude est |A|

le déphasage est C déplacement vertical de D

D + |A|

D - |A|

D

C

(C > 0 et D > 0) y = A sin B (x - C) + D y

x

|B| x C + 2π

exemple 6.1.10 Tracer le graphique de ƒ(x) = 2 sin 3x.

____________________

période: 2π

|3| = 2π 3 amplitude: |2| = 2 déphasage: aucun déplacement vert.: aucun

y

π/3 2π/3 x

2

−2

−2

exemple 6.1.11 Tracer le graphique de ƒ(x) = ¹

3 sin

( )

____________________

période:

amplitude:

déphasage:

déplacement vert.:

exemple 6.1.12 Tracer le graphique de ƒ(x) = cos(4x + π) + 1 .

____________________

les mêmes considérations s’appliquent à la fonction cosinus

période:

amplitude:

déphasage:

déplacement vert.:

exemple 6.1.13 Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit la courbe ci-dessous.

____________________

période:

amplitude:

déphasage:

déplacement vert.:

équation:

y

π 2π x

3

−3

−3

la variable x représente le nombre de jours écoulés depuis le début de l’année ainsi le 31 janvier la température moyenne à Fairbanks en Alaska est 37 sin

[

]

= -9,6 °F

L’exemple qui suit nous montre comment on peut utiliser la fonction sinus comme modèle pour approximer un phénomène concret.

À partir de données expérimentales recueillies entre 1941 et 1970 sur la température moyenne de l’air (en degrés Fahrenheit) à Fairbanks en Alaska,

Température (°F)

jan févmars

avril mai

juin juillet

août

sept nov déc oct

jan févmars avril -20

-10 10 20 30 40 50 60 70

on a utilisé la fonction

ƒ(x) = 37 sin 

 2π

365 (x - 101) + 25 pour approximer le phénomène étudié.

1. Convertir en radians la mesure d’angle donnée.

a) 135° d) -240°

b) 15° e) 540°

c) -150° f) 1°

2. Evaluer si possible sans l’aide de votre calculatrice.

a) sin(π/3) h) tg(π/2) o) sec(-3π/4) v) tg(3π/2)

b) cos(3π/2) i) cotg π p) cotg(-5π/4) w) cotg(5π)

c) tg(5π/6) j) cotg(π/2) q) cosec(7π/6) x) sec(9π/4) d) sin(4π/3) k) sec(5π/2) r) cotg(-2π/3) y) cosec(23π/6)

e) sec(5π/4) l) cosec π s) sin (5π) z) tg(-25π/4)

f) tg(3π/4) m) cosec(-π/4) t) sin(-3π) g) cosec(π/3) n) sin(-2π/3) u) tg(5π/4) 3. Soit un triangle rectangle en C. Les angles A, B et C sont

opposés respectivement aux côtés a, b et c. Trouver a) c si a = 3 et b = 4,

b) b si a = 1 et c = 3,

c) sin A , cos B , tg A , sec B si a = 6 et b = 8, d) sin A , sin B , cotg A , cosec B si a = 2 et b = 2, e) a et b si c = 1 et A = π/6.

A

B

C a

b c

4. A l’aide des identités trigonométriques montrer que

a) cos⁴ x - sin⁴ x = 1 - 2sin² x d) (cos x + sin x)² = 1 + sin 2x

b) sec θ - cos θ = sin θ . tg θ e) cos 2x . cos x + sin 2x . sin x = cos x

c) 1

1 + sin u + 1

1 - sin u = 2 sec² u f) sec(π - x) = -sec x 5. Résoudre pour x ∈ [0, 2π[ .

a) 2 sin x - 1 = 0 f) sin² x - cos² x + 3 sin x = 1

b) sin x cos x = 0 g) sin 2x + sin x = 0

c) sin² x + sin x - 2 = 0 h) tg x = 2 sin x d) 4 cos x = 3

cos x i) 2 cos² x = sin 2x

e) 2 cos² x + sin x = 1 j) sin² x - 3 cos² x = 0

6. Tracer le graphique des fonctions suivantes sur une période.

a) y = sin ¹

4x c) y = ¹

4 cos

(

)

b) y = 4 sin(3x + 2π) d) y = 3 sin

(

)

5

7. Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit les courbes suivantes.

a)

y

2π x 5

−5

−5

d)

y

4π/3 x 22

b)

y

3π/4 x 1

−1

−1

e)

y

π/3 x 1/2

−1/2

−1/2

c)

y

x 2

−−2

π/4 5π/45π/4

1. a) 3π/4 d) -4π/3

b) π/12 e) 3π

c) -5π/6 f) π/180

2. a) √3/2 h) ∃/ o) -√2 v) ∃/

b) 0 i) ∃/ p) -1 w) ∃/

c) -√3/3 j) 0 q) -2 x) √2

d) -√3/2 k) ∃/ r) √3/3 y) -2

e) -√2 l) ∃/ s) 0 z) -1

f) -1 m) -√2 t) 0

g) 2√3/3 n) -√3/2 u) 1

3. a) 5 b) 2√2 c) ³

5 , 3 5 , 3

4 , 5

3 d) √²

2 , √²

2 , 1 , √² e) ¹ 2 , √³

2

5. a) { π/6 , 5π/6 } f) { π/6 , 5π/6 }

b) { 0 , π , π/2 , 3π/2 } g) { 0 , π , 2π/3 , 4π/3 }

c) { π/2 } h) { 0 , π/3 , π , 5π/3 }

d) { π/6 , 5π/6 , 7π/6 , 11π/6 } i) { π/4 , π/2 , 5π/4 , 3π/2 } e) { π/2 , 7π/6 , 11π/6 } j) { π/3 , 2π/3, 4π/3, 5π/3 } 6. a)

y

4π 8π x

1

−1

−1

c)

y

π/4 3π/4 5π/4 x

1/4

−1/4

−1/4

b)

y

−2π/3 −π/3 x 4

−4

−4

d)

y

−3π/5 12π/5 27π/5 x

3

−3

−3

7. a) y = 5 sin(x - π) d) y = sin

(

)

2 + 1

b) y = sin

( )

2 sin(3x - π) c) y = 2sin

(

)

6.2 Limites et continuité

proposition 6.2.1 Si lim

x→^aƒ(x) = b ( a ∈R _

et b ∈R ) alors a) lim

x→^a sin ƒ(x) = sin 

 lim

x→^a ƒ(x) = sin b, b) lim

x→^a cos ƒ(x) = cos 

 lim

x→^a ƒ(x) = cos b.

exemple 6.2.1 prop. 6.2.1 et prop. 1.2.3

Évaluer chacune des limites si elles existent dans R _ . ____________

a) lim

x→⁰ sin x = sin 

 lim

x→⁰ x = sin 0 = 0, b) lim

x→⁰ cos x c) lim

x→⁰ cos(x + π) d) lim

x→^3π/4

(

)

e) lim

r→^-π sec(3r) f) lim

x→^π/2+ tg x g) lim

u→π + cosec u h) lim

x→^- ∞sec

( )

θ→⁰

√

rép: b) 1 ; c) -1 ; d) ₄¹ ; e) -1 ; f) -∞ ^{; g) -}∞ ; h) 1 ; i) 0

les formes

sin(±∞∞∞∞^{) et cos(±}∞∞∞∞⁾ Si lim

x→^aƒ(x) =

∞

x→^aƒ(x) = -

∞

) alors lim

x→^a sin ƒ(x) ∃/ et lim

x→^a cos ƒ(x) ∃/ .

Dans chacun des cas les fonctions ne s’approchent d’aucune valeur précise, ils oscillent indéfiniment entre -1 et 1.

exemple 6.2.2 cos(∞) ne s’approche d’aucune valeur précise

Évaluer chacune des limites si elles existent dans R _ . ____________

a) lim

x→∞ cos x = cos 

 lim

x→∞ x = cos

∞

b) lim x→^- ∞ 

 sin x

x

rép: b) 0

Pour obtenir la dérivée de y = sin x ou de y = cos x nous aurons à utiliser les deux limites suivantes:

lim x→⁰ sin x

x et lim

x→⁰ cos x - 1 x Penchons-nous d’abord sur le premier problème.

on doit s’assurer que la calculatrice est en mode radian

lim x→⁰

sin x x = 0

0 IND.

Pour lever l’indétermination, on doit transformer l’expression. Il n’est pas possible présentement de procéder de cette façon étant donné la nature de la fonction. Contentons-nous seulement d’estimer la limite en question en utilisant une calculatrice.

En examinant les tableaux du bas,

x 1 0,5 0,1 0,05 0,001

0,84147 0,95885 0,99833 0,99958 0,99999 sin x

x

x -1 -0,5 -0,1 -0,05 -0,001

0,84147 0,95885 0,99833 0,99958 0,99999 sin x

x

lim

x→→→→⁰ sin x

x

on obtient



 

lim x→⁰⁺

sin x x = 1 lim

x→⁰- sin x

x = 1

⇒ lim x→⁰

sin x x = 1

Si le tableau avait été complété en mode degré, on aurait obtenu une valeur limite de 0,01745... On verra à la section 3 que les dérivées des fonctions trigonométriques ont une forme beaucoup plus simple lorsque la limite précédente vaut 1 plutôt que 0,01745... Pour cette raison, le radian sera préféré au degré comme mesure d’angle dans le calcul différentiel.

exemple 6.2.3 Sachant que lim x→⁰

sin x

x = 1 évaluer dans R _

lim x→⁰

sin²x 4x² . ____________

lim x→⁰ sin²x

4x² = 1 4 

 lim

x→⁰ sin x x

.

= 1 4



 lim

x→⁰ sin x x 

 lim

x→⁰ sin x x

= 1

4 (1) (1) = 1 4

exemple 6.2.4

lim

θ→⁰

3sin θ - 5θ 2θ + sin θ =

lim

θ→⁰ 





 3 sin θ

θ - 5 2 + sin θ

θ

Sachant que lim θ→⁰

sin θ

θ = 1 évaluer dans R _

limθ→⁰

3sin θ - 5θ 2θ + sin θ ____________

rép: - 2 3

exemple 6.2.5

on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de (cos x - 1)

sin²x + cos²x = 1 ⇒ cos²x - 1 = -sin²x

la limite d’un produit est égale au produit des limites si chacune des limites existe

x lim→⁰

[ ]

Sachant que lim x→⁰

sin x

x = 1 évaluer dans R _

limx→⁰

cos x - 1 x ____________

lim x→⁰

cos x - 1

x = lim

x→⁰

cos x - 1

x . (cos x + 1) (cos x + 1)

= lim

x→⁰ cos²x - 1 x (cos x + 1)

= lim

x→⁰ -sin²x x (cos x + 1)

= lim x→⁰ 

 sin x

x 

 -sin x cos x + 1

= lim x→⁰ 

 sin x

x . lim x→⁰ 

 -sin x cos x + 1

= 1 . 0 2

= 0

exemple 6.2.6 Sachant que lim x→⁰

sin x

x = 1 évaluer dans R _

limx→⁰

x sin x 1 - cos x . ____________

rép: 2

proposition 6.2.2 sin x et cos x sont deux fonctions continues sur R

Si g(x) est continue sur l’intervalle ouvert I alors la fonction a) ƒ(x) = sin g(x) est continue sur I,

b) ƒ(x) = cos g(x) est continue sur I.

exemple 6.2.7

Étudier la continuité de ƒ(x) = cos√1 - x sur ]0, 2π[.

____________

ƒ(x) = cos 1 - x 678 continue sur ] -∞, 1[

(forme irrationnelle)

14444244443 la fonction ƒ(x) est donc

continue sur ]-_∞, 1[

(prop. 6.2.2)

ƒ(x) = cos 1 - x

La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.

exemple 6.2.8 Étudier la continuité de ƒ(x) = tg x sur ]0, 2π[.

____________

ƒ(x) = tan x = sin x cos x

123 678

la fonction cosinus est continue sur

14444444244444443R (prop. 6.2.2) la fonction ƒ(x) est donc continue sur (l'intersection des deux réponses du haut)

sauf pour les valeurs qui annulent le dénominateur c'est-à-dire sauf pour { ±_π/2, ±3_π/2, ... } (prop.2.2.3)

R (prop. 6.2.2)

la fonction sinus est continue sur R

La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.

exemple 6.2.9

Étudier la continuité de ƒ(x) = 1

sin x - cos x sur ]0, 2π[.

____________

rép: la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle présente deux discontinuités une en x = π/4 et une en x = 5π/4)

exemple 6.2.10 Étudier la continuité de ƒ(x) = √2 sin x + 3 sur ]0, 2π[.

____________

rép: la fonction est continue sur ]0, 2π[

Exercices 6.2

1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R _

. a) lim

x→¹ (3x + 2) cos πx n) lim

x→⁰ 

 cos x - 2 1 - cos x b) lim

x→π/3

sec 2x o) lim

x→⁰ 3 sin x 4x

c) lim

x→-πsin²

( )

x→⁰ tg² x x² d) lim

x→π (tg x - sec x) q) lim

x→⁰ sin 2x x

e) lim

x→⁰ cosec² x r) lim

x→⁰ 

 cos² x - 1

x sin x

f) lim

x→π/2-^{sec x s)} _x^lim_{→0 }^ _^

x - sin x x

g) lim

x→π- ^{cotg x t)} _x^lim_{→∞ }^ _^

x - sin x x

h) lim

x→π+ cosec x u) lim

x→⁰ 

 x + tg x

sin x i) lim

x→∞ cotg

( )

x→⁰ 

 sin x x² + 3x j) lim

x→∞

(

)

x→⁰ 

 cos x - 1

5x sin x

k) lim x→∞

x

sin x x) lim

x→⁰ 

 sin² x 1 - cos x

l) lim x→^- ∞

sin x

x y) lim

x→⁰ (1 + cos x) sin² x 3x²

m) lim

x→π/2√sin x - 1 z) lim

x→⁰ (cosec x - cotg x)

a) ƒ(x) = x + sin x d) h(x) = cotg x 1 + 2 sin x b) g(x) = 1 - cos x

sin x e) ƒ(x) = √cos x

c) ƒ(x) = sec x + tg x f) ƒ(x) = √1 - sin x cos x + 2

Réponses aux exercices 6.2

1. a) -5 n) -

∞

b) -2 o) 3/4

c) 1/2 p) 1

d) 1 q) 2

e)

∞

f)

∞

g) -

∞

h) -

∞

i)

∞

j) ∃/ w) -1/10

k) ∃/ x) 2

l) 0 y) 2/3

m) ∃/ z) 0

2. a) la fonction est continue sur ]0, 2π[.

b) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π).

c) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π/2 et x = 3π/2).

d) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π , x = 7π/6 et x = 11π/6).

e) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est continue sur ]0, π/2[ ∪ ]3π/2, 2π[ ).

f) la fonction est continue sur ]0, 2π[.

proposition 6.3.1 d

dx sin x = cos x

par définition

sin(x + ∆x) = sin x cos ∆x + sin ∆x cos x

la limite d’une somme est égale à la somme des limites et la limite d’un produit est égale au produit des limites

* les deux limites ont été évaluées à la section précédente

d

dx sin x = lim

∆x→⁰

sin(x + ∆x) - sin x

∆x

= 0 0 IND.

= lim

∆x→⁰

(sin x cos ∆x + sin ∆x cos x) - sin x

∆x

= lim

∆x→⁰

(sin x cos ∆x - sin x) + sin ∆x cos x

∆x

= lim

∆x→⁰

sin x (cos ∆x - 1) + sin ∆x cos x

∆x

= lim

∆x→⁰ 

 sin x



 cos ∆x - 1

∆x + 

 sin ∆x

∆x cos x

= lim

∆x→⁰sin x . lim

∆x→⁰ 

 cos ∆x - 1

∆x + lim

∆x→⁰   sin ∆x

∆x . lim

∆x→⁰cos x

= sin x . (0)^* + (1)^* . cos x

= cos x

La dérivée de la fonction sinus en x = c correspond à l’image de la fonction cosinus en x = c.

Si ƒ(x) = sin x alors ƒ’(-π) = cos(-π) = -1, ƒ’(-π/2) = cos(-π/2) = 0, ƒ’(0) = cos 0 = 1, ƒ’(π) = cos π = -1, etc.

ƒ(x) = sin x

π/2 π 3π/2 -π/2

-π -3π/2

-

π/2 π 3π/2 -π/2

-π -3π/2

ƒ'(x) = cos x

proposition 6.3.2 d

dx cos x = -sin x démonstration

exemple 6.3.1

toutes les formules de dérivation déjà vues s’appliquent ainsi que les deux nouvelles règles:

d

dx sin x = cos x d

dx cos x = -sin x

Trouver d dx 

 sin x 1 - cos x . ____________

cos x sin x

678 64748 d

dx 

 sin x 1 - cos x =

(1 - cos x) d

dx sin x - sin x d

dx (1 - cos x) (1 - cos x)²

= (1 - cos x) cos x - sin x sin x (1 - cos x)²

= cos x - cos² x - sin² x (1 - cos x)²

= cos x - 1 (1 - cos x)²

= - (1 - cos x) (1 - cos x)²

= -1

(1 - cos x) ou 1 cos x - 1

proposition 6.3.3 d

dx tg x = sec² x démonstration

sin² x + cos² x = 1

1

cos x = sec x d

dx tg x = d dx 

 sin x cos x

cos x -sin x

678 678

=

cos x . d

dx sin x - sin x . d dx cos x cos² x

= cos² x + sin² x cos² x

= 1

cos² x ou sec² x

proposition 6.3.4 d

dx cotg x = - cosec² x démonstration

proposition 6.3.5 d

dx sec x = sec x tg x démonstration

proposition 6.3.6 d

dx cosec x = - cosec x cotg x démonstration

exemple 6.3.2 Trouver d dθ 

 tg²θ

2 . ____________

sec²θ 678 2 (tg θ) d

dθ tg θ 64748 d

dθ   tg²θ

2 = 1 2 d

dθ (tg θ)²

= 1

2 (2 tg θ sec²θ)

= tg θ sec²θ

Lorsque l’argument est composé on aura recours à la règle de dérivation en chaîne.

exemple 6.3.3

puisque u = 2x

Trouver d

dx sin 2x ____________

y = sin 2x est le résultat de la composition de 

 y = sin u u = 2x Par la règle de dérivation en chaîne, dy

dx = dy du . du

dx

⇒ d

dx sin 2x = d

du sin u . d dx 2x

= cos u . (2)

= 2 cos 2x

trigonométriques.

règle 14 d

dx sin ƒ(x) = cos ƒ(x) . ^d dx ƒ(x)

règle 15 d

dx cos ƒ(x) = - sin ƒ(x) . d dx ƒ(x)

règle 16 d

dx tg ƒ(x) = sec² ƒ(x) . ^d dx ƒ(x)

règle 17 d

dx cotg ƒ(x) = - cosec² ƒ(x) . ^d dx ƒ(x)

règle 18 d

dx sec ƒ(x) = sec ƒ(x) tg ƒ(x) . ^d dx ƒ(x)

règle 19 d

dx cosec ƒ(x) = - cosec ƒ(x) cotg ƒ(x) . ^d dx ƒ(x)

exemple 6.3.4

par la règle 14

Trouver d

dx sin (3x² + 5) . ____________

64474486x d

dx sin (3x² + 5) = cos(3x² + 5) . d

dx (3x² + 5)

= 6x cos(3x² + 5)

exemple 6.3.5

par la règle 16

Trouver d

dx tg (5 - 2x)³ . ____________

678-2

3(5 - 2x)^{2 d} dx (5 - 2x) 6447448 d

dx tg (5 - 2x)³ = sec²(5 - 2x)³ . d

dx (5 - 2x)³

= - 6 (5 - 2x)² sec²(5 - 2x)³

exemple 6.3.6 Trouver d

dt sec⁴ (5 - 2t). ____________

rép: -8 sec⁴(5 - 2t) tg(5 - 2t)

exemple 6.3.7 Trouver d

dv cos⁴ (5 - 2v)³ . ____________

rép: 24(5 - 2v)² sin(5 - 2v)³ cos³(5 - 2v)³

exemple 6.3.8 Trouver d³⁹

dx³⁹ sin x . ____________

rép: - cos x

exemple 6.3.9

on trouve y’

implicitement

Trouver dy

dx si sin² y = y - cos x.

____________

sin² y = y - cos x (sin y)² = y - cos x cos y dy

678dx

2 sin y d

dx sin y = dy

dx - (- sin x) 2 sin y cos y dy

dx = dy

dx + sin x 2 sin y cos y dy

dx - dy

dx = sin x dy

dx (2 sin y cos y - 1) = sin x dy

dx = sin x

2sin y cos y - 1 ou sin x sin 2y - 1

1. Trouver dy dx .

a) y = sin 3x n) y = cotg

√

b) y = cos(1 - 2x) o) y =

√

c) y = 3 sin x² p) y = sec³(2x - 1)²

d) y = cos³(4x - 1) q) y = sec x

cosec x e) y = sin²(1 - 3x)³

18 r) y = sec⁷ x

7 - sec⁵ x 5

f) y = 4

√

h) y = sin x - x cos x u) y = cos x

1 + sin x i) y = (cos x + 2x sin x)³ v) y = cos² x

1 + sin² x

j) y = sec 3x w) y =

√

1 - sin x k) y = 2 tg √x x) y = cotg⁴ x - cosec⁴ x

l) y = cosec² 5x y) y = x cos² x sin³ x

m) y = sec³ 2x

3 z) y = sin x - x cos x

cos x + x sin x

2. Trouver y’.

a) y = e^{2 sin 5x} d) y = ln|cosec 2x - cotg 2x|

b) y = sec e^3x e) y = ln(cos² e^3x)

c) y = ln|sec x|

3. Trouver d y dx² .

a) y = (1 + cos x) sin x c) y = 3x² sin x - 6 sin x - x³ cos x + 6x cos x b) y = cos² 2x - sin² 2x

4. Trouver a) d³⁶

dx³⁶ sin x b) d⁶¹

dx⁶¹ cos x

5. Trouver dy

dx implicitement.

a) x sin x + y cos y = 0 c) x cos y = sin(x + y) b) cos 3y = tg 2x

6. Trouver dy

dx en utilisant le procédé de dérivation logarithmique.

a) y = x sin³ x

√

1. a) 3 cos 3x n) - 3x cosec²

√

√

b) 2 sin(1 - 2x) o) - x cotg x²

√

c) 6x cos x² p) 12(2x - 1) sec³(2x - 1)² tg(2x - 1)² d) -12 sin(4x - 1) cos²(4x - 1) q) sec² x

e) - (1 - 3x)² sin(1 - 3x)³ cos(1 - 3x)³ r) sec⁵ x tg³ x f) cos √x

√

s) x² sin x g) -4 sin 2x sin(cos 2x) cos(cos 2x) t) 3 cos x cos 2x

h) x sin x u) -1

1 + sin x i) 3(sin x + 2x cos x) (cos x + 2x sin x)² v) - 4 sin x cos x

(1 + sin² x)²

j) 3 sec 3x tg 3x w)

√

1 + sin x cos x (1 - sin x)² k) sec²√x

√x x) 4 cotg x cosec² x

l) -10 cotg 5x cosec² 5x y) sin² x cos x (sin x cos x - 2x sin² x + 3x cos² x )

m) 2 sec³ 2x tg 2x z) x²

(cos x + x sin x)²

2. a) 10 e^{2 sin 5x} cos 5x d) 2 cosec 2x

b) 3 e^3x sec(e^3x) tg(e^3x) e) -6 e^3x tg(e^3x) c) tg x

3. a) - (4 cos x + 1) sin x c) x²(3 sin x + x cos x) b) -16 cos 4x ou -16(cos² 2x - sin² 2x)

4. a) sin x b) - sin x

5. a) sin x + x cos x

y sin y - cos y c) cos y - cos(x + y)

x sin y + cos(x + y) b) - 2 sec² 2x

3 sin 3y

6. a) x sin³ x

√

1

x + 3 cotg x - sec² x tg x 1 + sec² x

b) (sin x)^x

[

]