Mathématiques
Unités modèles
pour le niveau intermédiaire
Ministère
de l'Éducation
de la Saskatchewan 1996
Ce document est conforme à la politique de rédaction non sexiste adoptée par le ministère de l'Éducation de la Saskatchewan: le masculin et le féminin y sont utilisés en alternance d'une section à l'autre, commençant à la page 1.
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Remerciements
Le ministère de l'Éducation de la Saskatchewan tient à remercier de leur contribution les membres du Comité de référence pour le programme d'études de mathématiques pour l'intermédiaire.
Membres du Comité de référence (1993-1996):
David Bale
Professeur de pédagogie des mathématiques Université de Regina
Ed Bourassa Enseignant
C.S. No 54, Tiger Lily Marcel D'Eon
Enseignant
C.S. No. 13, Saskatoon
Jay Dolmage Enseignant
C.S. No. 19, Indian Head Jack Hope
Professeur de pédagogie des mathématiques Université de la Saskatchewan
Connie Rosowski Enseignante
C.S. No 35, Kamsack Membres du Comité de référence (1993-1995):
James Beamer
Professeur de pédagogie des mathématiques Université de la Saskatchewan
Anand Ramanjooloo
Professeur de pédagogie des mathématiques Université de Regina
Le ministère de l'Éducation de la Saskatchewan remercie également:
• les enseignants, enseignantes et leurs élèves, ainsi que les conseillers et conseillères pédagogiques qui ont participé à la mise à l'essai;
• les membres du comité interne de programmation pour les mathématiques;
• les conseillers et conseillères du ministère de l'Éducation de la Saskatchewan.
Ce document a été élaboré, d'une part, par le BMLO, et d'autre part, par la Direction des
mathématiques et des sciences naturelles, Secteur des programmes et de l'enseignement, ministère de l'Éducation de la Saskatchewan. Les parties non élaborées par le BMLO ont été traduites et adaptées par le BMLO du ministère de l'Éducation de la Saskatchewan.
Table des matières
Introduction ... 1Page
La planification ... 2
• La planification à longue échéance ... 2
• La planification à courte échéance ... 2
• L'intégration... 3
• Les instruments de planification... 5
Sixième et septième année: Les fractions en action ... 15
Septième année: M. C. Escher, le poète de l'impossible ... 37
Huitième année: Les sports ... 81
Neuvième année: Un coup d'oeil sur les loisirs... 115
Introduction
Ce document offre aux enseignantes des modèles d'unités qui peuvent être élaborées pour
l'enseignement des mathématiques au niveau intermédiaire. Il existe une variété de façons de planifier des unités; ce document ne peut en offrir que quelques unes. C'est à espérer que ces unités, de même que les suggestions offertes aideront les enseignantes dans leur planification.
Les unités modèles présentées dans ce document appuient la philosophie et les objectifs du
programme d'études de mathématiques pour le niveau intermédiaire. Les enseignantes doivent donc se référer à Mathématiques, Programme d'études pour le niveau intermédiaire, ministère de l'Éducation de la Saskatchewan, 1996, pour les aider dans leur planification.
De même, les enseignantes auront beaucoup d'intérêt à consulter:
• Mathématiques, Liste de ressources, Niveau intermédiaire, ministère de l'Éducation de la Saskatchewan, 1996;
• Formulaire de commande de manuels scolaires, envoyé chaque année à toutes les écoles d'immersion et les écoles fransaskoises;
• Nouveautés: Matériel didactique recommandé pour les programmes des écoles d'immersion et des écoles fransaskoises, envoyé chaque année à toutes les écoles d'immersion et les écoles fransaskoises.
Ces documents pourront les aider dans leur sélection de ressources disponibles pour l'enseignement des mathématiques. Les ressources disponibles prennent différentes formes:
• les objets de manipulation;
• les ressources imprimées;
• le matériel audiovisuel;
• les logiciels;
• les sites sur Internet.
De nouvelles ressources s'ajoutent chaque année.
Les enseignantes qui enseignent en situation d'immersion voudront consulter Enseignement et apprentissage en langue seconde, Maternelle à 12e année, ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de la Saskatchewan, 1994. Ce document: «a pour but de fournir un appui au personnel enseignant des écoles d'immersion de la maternelle à la 12e année, soulignant les pratiques pédagogiques qui:
• facilitent le développement de la langue seconde dans le cadre des divers domaines
d'étude;
• facilitent l'apprentissage des concepts en langue seconde;
• rendent les ressources utilisées plus accessibles aux élèves;
• visent à faire acquérir aux élèves des stratégies qui augmentent leurs chances de devenir des apprenants efficaces et
autonomes» (p.3).
Ce document contient des directives
pédagogiques, des stratégies de compréhension et de nombreux exemples de méthodes
d'enseignement dans les divers domaines d'étude.
Pour les mathématiques en particulier, les enseignantes voudront s'inspirer des activités suivantes de ce document:
• mathématiques intégrées à d'autres matières, en situation d'apprentissage coopératif, pages 78-81;
• mathématiques et français, dans une activité de classification, pages 84-87;
• mathématiques et l'utilisation du journal de bord, pages 136-138;
• mathématiques, dans des activités de visualisation guidée, pages 201-207.
Les enseignantes tireront aussi avantage des livrets de la série Stratégies d'enseignement, élaborés par le «Saskatchewan Professional Development Unit» et le «Saskatchewan
Instructional Development and Research Unit», et disponibles au Book Bureau.
De même, l'évaluation étant une partie
importante de la planification, les enseignantes pourront utiliser les nombreuses suggestions et fiches du document Évaluation de l'élève: manuel de l'enseignant, ministère de l'Éducation de la Saskatchewan, 1993.
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La planification
Comment commencer?
L'implantation d'un nouveau programme d'études représente un défi pour les enseignantes. Chaque enseignante apporte à l'étape de l'implantation un caractère particulier et des besoins très variés.
Afin de faciliter l'implantation du nouveau programme d'études en mathématiques, une variété de façons d'aborder le nouveau
programme sont offertes à titre de suggestions.
Ces suggestions tiennent compte des différents antécédents et expériences des enseignantes, des besoins et intérêts des élèves et de la disponibilité des ressources.
Les suggestions suivantes sont proposées afin de faciliter la planification à longue échéance et à courte échéance.
La planification à longue échéance (annuelle)
On suggère aux enseignantes de:
• se familiariser avec le programme d'études, en particulier:
‘ les objectifs généraux;
‘ les objectifs spécifiques (le tableau) pour leur(s) niveau(x) ainsi que pour les niveaux qui précèdent;
‘ les volets pour leur(s) niveau(x) avec les exemples, les activités, les ressources et les suggestions pédagogiques;
‘ les composantes du tronc commun et les initiatives complémentaires, telles que:
- les apprentissages essentiels communs;
- la dimension adaptation;
- l'équité des sexes;
- le contenu et perspectives indiens et métis;
- l'apprentissage à base de ressources;
‘ l'évaluation;
‘ les approches pédagogiques;
• déterminer quelles ressources sont disponibles au niveau de la classe, de l'école, et de la commission scolaire:
‘ les objets de manipulation;
‘ les manuels scolaires;
‘ les guides pédagogiques;
‘ les revues;
‘ les vidéos;
‘ les logiciels;
‘ les sites d'Internet;
‘ les personnes, etc;
• se familiariser avec le tableau des objectifs spécifiques et les volets en plus grand détail, en vue de planifier un apprentissage continu:
‘ les enseignantes peuvent photocopier le tableau des objectifs spécifiques et mettre en lumière les objectifs spécifiques pour leur(s) niveau(x), et aussi l'utiliser comme liste de contrôle ou feuille de pointage durant l'année;
‘ les enseignantes peuvent aussi mettre en lumière les objectifs spécifiques du tableau, rencontrés dans les années précédentes, qui ne sont plus notés mais qui doivent faire partie d'un apprentissage continu;
• se familiariser avec les programmes d'études des autres domaines d'étude obligatoires pour identifier les sujets, les thèmes, les objectifs et les périodes de l'année scolaire qui se prêtent à l'intégration;
• préparer un plan d'enseignement pour l'année en utilisant un des formats suivants:
‘ noter ce qui sera enseigné chaque mois;
‘ noter tous les objectifs spécifiques ou tous les sujets mathématiques et à quels mois ceux-ci seront enseignés;
‘ noter tous les thèmes ou objectifs spécifiques en commun avec les autres domaines d'étude obligatoires.
La planification à courte échéance (1 à 8 semaines)
Puisque chaque situation est unique on propose plusieurs manières d'aborder la planification à courte échéance. Afin d'assurer un apprentissage réussi, il faut tenir compte, tout au long de l'étape de planification, des intérêts et des besoins des élèves. Les enseignantes sont encouragées à choisir ce qui leur convient, à ajouter à la liste suivante ou à adapter les suggestions à leurs besoins. Il est suggéré de:
• identifier ce qu'elles ont fait dans les domaines tels que la résolution de problèmes, le calcul mental, l'estimation, l'apprentissage actif, les objets de manipulation, l'intégration, les calculatrices, et les ordinateurs, en vue de leur accorder l'importance nécessaire pour se conformer au programme;
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• suite à l'identification, faire un choix afin de se concentrer sur un domaine en particulier;
• se concentrer sur l'intégration d'un des
apprentissages essentiels communs (autre que l'analyse numérique) dans l'apprentissage des mathématiques;
• se concentrer sur l'emploi d'une catégorie d'objets de manipulation et planifier des leçons et des activités qui incorporent ces objets dans tous les volets;
• planifier des centres d'apprentissage (ces centres peuvent être reliés à un thème ou être simplement des boîtes d'activités de
mathématiques) pour exploiter davantage ce qui est enseigné dans la salle de classe;
• adapter selon les objectifs du nouveau programme d'études une unité utilisée auparavant;
• choisir une stratégie ou méthode
d'enseignement que l'enseignante n'a pas utilisée auparavant.
Au début, l'enseignante doit planifier de façon à s'assurer un succès, en s'assurant que les activités choisies peuvent facilement être accomplies.
Afin de promouvoir un partage d'expertise et d'expérience et de faciliter le développement de nouvelles méthodes d'instruction, il est suggéré de faire, dans la mesure du possible, la
planification du programme de mathématiques en conjonction avec une ou plusieurs enseignantes.
L'enseignante peut aussi avoir recours aux parents des élèves de sa salle de classe pour l'aider à diverses étapes de sa planification.
L'intégration
L'intégration est un terme qui apparaît de plus en plus dans la littérature pédagogique
professionnelle. Sous sa forme la plus simple, l'intégration veut dire faire des connexions ou des liens.
En faisant un enseignement intégré il y aura les avantages suivants:
• l'intégration aide les élèves à faire des connexions puisque les liens entre divers concepts, habiletés et attitudes sont clairement explicités;
• puisque les élèves font des connexions, le transfert de l'apprentissage à de nouvelles situations est plus à même de se faire;
• l'intégration favorise une compréhension profonde de concepts, les idées liées
permettant aux élèves de revoir, de tester des hypothèses et d'assimiler des concepts d'une façon plus efficace;
• l'intégration permet aussi aux élèves de voir la vue d'ensemble puisque les situations
d'apprentissage se situent dans un contexte plus large;
• les élèves peuvent ensuite faire les liens entre les situations d'apprentissage et les
expériences de la vie courante, et
l'apprentissage devient ainsi plus pertinent et plus motivant;
• puisque les chevauchements inutiles sont évités, l'intégration gagne du temps (un facteur important pour les classes à années multiples et les écoles désignées);
• les enseignantes qui planifient des unités intégrées avec leurs collègues bénéficient de l'expertise et des connaissances de ceux-ci.
À longue échéance, tous ces bénéfices semblent l'emporter sur les problèmes initiaux et les contretemps qui font partie de l'expérience des enseignantes s'initiant à la planification d'unités intégrées.
Pour l'enseignement qui se fera en se servant du nouveau programme d'études de mathématiques, on peut identifier plusieurs façons de faire l'intégration:
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• l'intégration simple où l'enseignante fait des liens entre 2 ou 3 sujets en mathématiques: le lien entre le système en base de dix et notre système monétaire, par exemple, ou le lien entre les formules d'aire et les équations en algèbre;
• l'intégration d'un sujet de mathématiques et d'une compétence pour la vie: un exemple est le lien entre la résolution de problèmes en mathématiques et le travail coopératif;
• l'intégration à l'intérieur du programme de mathématiques: la résolution de problèmes, la gestion et l'analyse de données, les nombres et opérations, la géométrie et la mesure, le rapport et la proportion, et l'algèbre sont les six volets du programme d'études de
mathématiques à l'intermédiaire. L'intention est d'enseigner les six volets de façon intégrée;
c'est-à-dire une leçon ou une série de leçons touchant les objectifs spécifiques de plus d'un volet à la fois. Par exemple, la résolution de problèmes est intégrée dans tous les autres volets, on peut aussi se servir de la géométrie pour l'apprentissage des concepts d'aire et de volume;
• dans un autre type d'intégration, l'enseignante planifie l'enseignement de sujets ou d'objectifs semblables dans plusieurs domaines d'étude obligatoires, les enseigne au même moment de l'année, mais dans des périodes de temps différentes: ainsi, on peut enseigner la symétrie en mathématiques, aussi bien qu'en éducation artistique, et la mesure en
mathématiques aussi bien qu'en sciences naturelles. On rend les liens explicites pour les élèves;
• à un niveau d'intégration plus complexe, la période de mathématiques et la période d'éducation artistique deviennent simplement une période où la symétrie est enseignée, la période de mathématiques et la période de sciences naturelles deviennent une période où la mesure est enseignée, et la période de mathématiques et la période de sciences humaines deviennent une période où la gestion et l'analyse des données est enseignée;
• l'intégration peut aussi faire les liens entre tous les domaines d'étude obligatoires, par l'emploi d'un thème. L'enseignante se sert d'un schéma conceptuel (aussi nommé une toile d'araignée) pour planifier d'une façon visuelle les liens entre les domaines d'étude. Le thème choisi doit être facile à utiliser dans tous les domaines d'étude. Ce thème peut provenir
d'un thème déjà exploité dans un autre
domaine d'étude. C'est une forme d'intégration qui jouit d'une popularité croissante auprès des enseignantes;
• une autre forme d'intégration emploie un des apprentissages essentiels communs ou un des objectifs d'un AEC comme thème dans tous les domaines d'étude: par exemple, on peut lier tous les domaines d'étude obligatoires avec l'initiation à la technologie comme thème commun;
• l'intégration se fait également à partir des outils de symbolisation, de conceptualisation et d'expression, c'est-à-dire, à partir des langues.
C'est le modèle de l'immersion, et le principe de base de la communication et de l'initiation à l'analyse numérique (AEC). Certaines
matières s'intéressent à l'étude du réel (sciences naturelles et humaines, hygiène).
D'autres sont des langages (français ou anglais, mathématiques et beaux-arts). «Le réel ne saurait être symbolisé sans langage et, inversement, le langage ne saurait exister sans contenu à symboliser. Dans cette optique, il devient possible d'enseigner les langages en étroite correspondance avec les aspects du réel qu'ils permettent de
symboliser» (Tardif, 1992).
Il existe une grande variété de niveaux et de façons de faire l'intégration. Les unités suivantes ne sont que des modèles; il va sans dire que les enseignantes peuvent utiliser d'autres façons d'intégrer. C'est à recommander que l'on expérimente avec plusieurs façons de faire l'intégration.
L'intégration n'est pas nécessairement un travail individuel pour chaque enseignante, mais elle peut se faire en collaboration avec une ou plusieurs autres enseignantes. Dans certaines écoles, l'intégration des matières est fortement encouragée et l'école entière travaille sur un thème commun. La collaboration et l'esprit de communauté sont ainsi intensifiés.
Les instruments de planification qui suivent sont donnés à titre de modèles et de suggestions. Ils peuvent être adaptés pour répondre aux besoins des enseignantes.
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Les instruments de planification
Mathématiques
Niveau: ___________________
Temps Objectifs spécifiques
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Mathématiques
Niveau: _________________________
Objectifs spécifiques S O N D J F M A M J
Thèmes Mathématiques
Langue
Sciences
Sciences humaines
Hygiène
Éducation artistique
Éducation physique
Mathématiques intégrées à l'intermédiaire Instrument de planification
Année: _________________
Thème: _________________
Mini-unité Stratégie/
Méthode d'enseignement
Organisation de la salle
de classe
Ressources Évaluation
Plan d'enseignement
OBJECTIFS STRATÉGIES ET MÉTHODES D'ENSEIGNEMENT
Objectifs généraux et spécifiques pour la matière et pour les apprentissages essentiels communs
directes (questions didactiques, exposé,
démonstration, vue d'ensemble, activités de prélecture)
indirectes (enquête, étude de cas, schéma conceptuel,
closure, résolution de problèmes)
interactives (débat, jeu de rôle, groupes
coopératifs, entrevue, discussion, résolution de problèmes)
expérientielles (excursion, expérience, simulation, jeu, élaboration de modèles, synectique)
Plan d'évaluation
ADAPTATIONS MÉTHODES
D'ORGANISATION
INSTRUMENTS DE MESURE ET MÉTHODES D'ÉVALUATION pour répondre aux
besoins des individus (contenu, milieu, enseignement)
par l'écrit par l'oral ou la performance
activités continues devoirs, dossiers, projets, rapports ---
méthodes de consignation grilles d'observation, échelles
d'appréciation
tests ou examens choix multiples, vrai ou faux,
appariement, réponses courtes, réponses élaborées
activités continues poste de travail performance présentation
méthodes de consignation fiches anecdotiques, grilles d'observation, échelles d'appréciation, enregistrements sonores ou vidéo
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Plan de leçon intégrée
Année:
Thème:
Plan de leçon:
Objectifs spécifiques:
Matériel/Ressources: Instruments de mesure:
Organisation de la salle de classe:
Activités Adaptations A.E.C
Amorce:
Exploration:
Réflexion:
Notes de l'enseignant ou de l'enseignante:
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Les centres d'apprentissage
Activité 1: Activité 5:
Matériel/Ressources: Matériel/Ressources:
Activité 2: Activité 6:
Matériel/Ressources: Matériel/Ressources:
Activité 3: Activité 7:
Matériel/Ressources: Matériel/Ressources:
Activité 4: Activité 8:
Matériel/Ressources: Matériel/Ressources:
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Les cartes d'activités
Activité: Nombre d'élèves:
Objectifs spécifiques: Description:
Adaptation:
Matériel/Ressources:
Évaluation:
Activité: Nombre d'élèves:
Objectifs spécifiques: Description:
Adaptation:
Matériel/Ressources:
Évaluation:
Unité modèle
Sixième et
septième année
Les fractions en action
Introduction
Un des sujets les plus frustrants pour les enseignants, aussi bien que pour les élèves, est l'étude des fractions, plus particulièrement les opérations avec les fractions. Année après année, les élèves semblent apprendre comment
additionner, soustraire, multiplier et diviser avec les fractions; mais on s'aperçoit très vite que les élèves oublient tout.
Un des facteurs qui contribue à ce problème est le fait que les élèves veulent mémoriser des règles et des algorithmes pour résoudre les problèmes comportant des fractions, plutôt que
comprendre les idées derrière ces règles et ces algorithmes.
Le but de cette unité est de faciliter la
compréhension des concepts reliés aux fractions.
Afin d'atteindre ce but, l'unité mettra l'accent sur la résolution de problèmes et l'utilisation d'objets de manipulation.
La démarche de résolution de problèmes sera utilisée pour déterminer ce que les élèves connaissent à propos des fractions, au début de l'unité et pour favoriser l'objectivation de leurs connaissances, à la fin de l'unité.
Les objets de manipulation seront utilisés pour explorer et faciliter la compréhension des concepts à propos des fractions. La recherche indique que la grande majorité des élèves à ce niveau sont encore au stade concret dans leur développement cognitif des fractions. Il est donc important que les activités présentées utilisent des objets de manipulation pour développer la compréhension de concepts. Le temps alloué aux activités concrètes doit être plus que le temps alloué aux activités de transition et aux activités symboliques. Les élèves doivent pouvoir continuer à utiliser le matériel de manipulation aussi longtemps qu'elles le veulent, quand elles
participent à des activités utilisant des symboles.
Cette unité s'adresse au niveau de la 6e et de la 7e année. Un grand nombre d'enseignants ont des salles de classe à années multiples. C'est à
espérer que les enseignants pourront utiliser et adapter les suggestions offertes dans cette unité, de même que grouper les élèves, pour mieux répondre à leurs besoins.
Objectifs généraux
L'élève doit:
• démontrer son désir de résoudre une variété de problèmes, et sa confiance et son habileté pour le faire;
• démontrer sa compréhension du système des nombres, des motifs numériques, du calcul mental, de l'estimation et des opérations de base en les utilisant dans des situations réelles.
Objectifs spécifiques
Au cours de cette unité, l'élève sera amenée à:
• N-42 a) résoudre une variété de problèmes d'addition et de soustraction de fractions positives avec des dénominateurs semblables, à l'aide d'objets et d'images (6e année);
• N-42 b) et c) résoudre une variété de problèmes d'addition, de soustraction, de multiplication et de division de fractions positives, à l'aide d'objets et d'images (7e année);
• N-43 utiliser l'estimation pour s'aider à résoudre une variété de problèmes (6e et 7e année);
• N-46 utiliser correctement les termes:
numérateur, dénominateur, fractions équivalentes, fraction simplifiée ou
irréductible, nombres fractionnaires (6e et 7e année);
• N-47 a) trouver des fractions équivalentes en multipliant ou divisant (6e et 7e année);
• N-47 b) trouver des fractions équivalentes en trouvant les fractions irréductibles ou simplifiées (7e année);
• N-48 démontrer sa compréhension des fractions positives en utilisant des
représentations concrètes, illustrées, verbales et symboliques (6e et 7e année);
• N-49 convertir en fraction un nombre fractionnaire et vice versa (6e et 7e année);
• N-50 comparer et ordonner des fractions positives à l'aide d'objets, d'images ou de symboles (6e et 7e année);
• N-53 trouver un dénominateur commun à deux fractions ou plus (7e année);
• N-56 a) estimer le résultat, ensuite faire des calculs d'addition et de soustraction de fractions (6e et 7e année);
• N-57 a) estimer le résultat, ensuite faire des calculs, avec des nombres fractionnaires positifs et zéro, d'addition et de soustraction (6e et 7e année).
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Apprentissages essentiels communs
En plus de développer l'initiation à l'analyse numérique, les activités de cette unité modèle permettent le développement d'autres
apprentissages essentiels communs chez l'élève, par l'entremise des objectifs suivants:
• expliquer et écrire ses idées à propos de concepts mathématiques en utilisant le vocabulaire, les structures et les formes d'expression qui caractérisent les mathématiques (COM);
• participer à un large éventail d'expériences langagières pour mieux comprendre les mathématiques (COM);
• moduler son langage en fonction des buts de communication qu'elle s'est fixé et en fonction de l'auditoire auquel elle s'adresse (COM);
• développer à la fois sa pensée intuitive et imaginative, et l'habileté à évaluer des idées, des démarches, des expériences et des objets en contexte significatif (CRC);
• développer une disposition positive par rapport à l'apprentissage tout au long de la vie (AUT);
• se traiter elles-mêmes, traiter les autres et traiter l'environnement avec respect (VAL).
Connaissances mathématiques requises avant de commencer l'unité
• Les multiples (7e année)
Méthodes d'enseignement
Les méthodes utilisées dans cette unité
privilégient la compréhension des mathématiques en langue seconde:
• la résolution de problèmes;
• l'apprentissage coopératif;
• la manipulation d'objets;
• la discussion;
• le journal de bord scientifique: ce journal contiendra les idées et les pensées de l'élève au cours de l'unité, de même que le travail écrit relié au matériel concret et aux fractions. Des suggestions pour encourager les élèves à réfléchir et à écrire sont offertes (page 31). Ce journal peut prendre la forme d'un livret, d'un cartable ou d'un dossier dans lequel on insère des feuilles.
Méthodes d'évaluation
Les auteures du document Enseignement et apprentissage en langue seconde, Maternelle à 12e année (1994, p. 117) publié par le ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de la Saskatchewan, soulignent:
«D'une manière générale, on ne doit pas se servir du journal de bord pour évaluer l'utilisation de la langue ou pour vérifier l'acquisition de connaissances. Cependant, les nuances qui distinguent les différentes versions du journal de bord en fonction des objectifs visés devraient guider l'évaluation qu'on fera avec cet outil...»
L'enseignant aura intérêt à se référer à ce document. Certaines fiches et suggestions apparaissent au cours de l'unité modèle. De même, l'enseignant pourra se référer aux autres unités pour d'autres instruments d'évaluation.
Ressources et matériel
• Blocs mosaïque (pattern blocks)
• Blocs mosaïque pour les fractions (fraction blocks)
• Blocs mosaïque pour le rétroprojecteur
• Rétroprojecteur
Les blocs mosaïque sont des blocs, en bois ou en plastique, coupés en six formes; chacune de ces formes est associée à une couleur. Ainsi, le triangle est vert, l'hexagone est jaune, le trapèze est rouge, le carré est orange, le losange (rhombe) est bleu ou beige. Ces blocs se vendent dans des seaux contenant environ 250 pièces (BB no de commande 1680). On peut aussi se procurer des blocs mosaïque pour le rétroprojecteur (BB no de commande 1681), des tampons encreurs, un gabarit et des pièces en papier gommé. Les seaux de blocs mosaïque se trouvent probablement dans votre école (ils sont utilisés au niveau
élémentaire). On recommande au moins trois seaux de blocs pour un usage efficace (ces blocs peuvent être partagés et entreposés dans des sacs de type «Ziploc» pour faciliter leur usage).
Afin d'accompagner les blocs mosaïque dans l'enseignement des fractions, on peut maintenant se procurer des blocs mosaïque pour les fractions (fraction blocks, BB no de commande 7123). Ce seau contient des blocs coupés en deux formes: le double hexagone rose (équivalent à deux pièces hexagonales jaunes) et le chevron noir
19 (équivalent à deux losanges bleus). Avec ces
pièces, ainsi qu'avec les blocs mosaïque de base, on peut facilement représenter et calculer les fractions jusqu'aux douzièmes.
On peut enseigner cette unité sans les blocs mosaïque pour les fractions, mais ces blocs simplifient la tâche.
Dans l'enseignement des fractions, on n'utilise pas le carré orange et le losange beige.
Vocabulaire et structures
Au cours de cette unité, l'élève sera amenée à comprendre et à utiliser le vocabulaire et les structures reliées aux activités mathématiques: le numérateur, le dénominateur, un nombre
fractionnaire, une fraction simplifiée, une fraction irréductible, simplifier une fraction, réduire une fraction, des fractions équivalentes, un
dénominateur commun.
Les élèves auront l'occasion d'utiliser le
vocabulaire mathématique et de développer des habiletés langagières par l'entremise d'activités telles que la discussion, l'apprentissage
coopératif, l'élaboration d'un lexique (personnel ou de classe) et la rédaction du journal de bord.
Organisation de l'unité
La description de chaque étape de l'unité est organisée en deux colonnes. Dans la colonne de gauche, on trouve la démarche proposée pour les élèves de 6e année. Dans la colonne de droite, on trouve la démarche proposée pour les élèves de 7e année.
Note: cette unité présuppose que le programme d'études pour le niveau élémentaire a été implanté et que les élèves ont déjà certaines connaissances à propos des fractions (telles que suggérées dans le programme d'études) et qu'elles auront déjà travaillé avec les blocs. Le cas
échéant, il faudra offrir aux élèves l'occasion de se familiariser avec ces blocs. Certaines activités provenant de Pièces géométriques (BB no de commande 4370) serviront à initier les élèves à ce matériel de façon intéressante et motivante; en particulier, les enseignants peuvent se référer aux sections «Les polygones et la résolution de problèmes», «Les modèles (et les mosaïques)» et
«La symétrie (la géométrie)». De même,
l'enseignant peut commencer l'unité de la même façon pour les deux niveaux.
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Amorce
Note: en tout temps, les élèves travailleront en groupes coopératifs de 2, 3 ou 4. Former des groupes coopératifs hétérogènes, choisir ensemble les habiletés coopératives à mettre en pratique pour l'unité (par exemple, vérifier la coopération des autres) et dire aux élèves de choisir leur rôle au sein du groupe (par exemple, responsable du matériel, rapporteur, secrétaire, animatrice). Elles auront l'occasion de changer de rôle régulièrement tout au long de l'unité. Aménager la salle de classe pour que chaque groupe puisse se parler facilement. Pour plus de détails à propos de l'apprentissage coopératif, l'enseignant pourra se référer au livret Découverte de l'apprentissage coopératif, faisant partie de la série «Stratégies d'enseignement», ainsi qu'à d'autres ressources mentionnées dans Mathématiques, Liste de ressources, Niveau intermédiaire, ministère de l'Éducation de la Saskatchewan, 1996.
Sixième année
Présenter un ou deux problèmes:
(les fiches à la page 28)
Après une fête dans ta salle de classe, il reste de la pizza. Il reste 1/6 de la pizza au pepperoni, 3/6 de la pizza végétarienne, 5/6 de la pizza au jambon et ananas, et 4/6 de la pizza aux champignons.
Est-ce que tous ces restants font un total de 2 pizzas? Ou est-ce plus? Ou moins?
Explique comment tu as trouvé ta réponse.
Septième année
Présenter un ou deux problèmes:
(les fiches aux pages 28, 29 et 30)
Après une fête dans ta salle de classe, il reste de la pizza. Il reste 1/6 de la pizza au pepperoni, 3/4 de la pizza végétarienne, 1/12 de la pizza au jambon et ananas, et 2/3 de la pizza aux champignons.
Est-ce que tous ces restants font un total de 2 pizzas? Ou est-ce plus? Ou moins?
Explique comment tu as trouvé ta réponse.
Les 2/3 des provinces et territoires du Canada touchent à un océan. Combien de provinces et territoires cela représente-t-il? Nomme-les.
Explique comment tu as trouvé ta réponse.
Trois pizzas doivent être partagées entre 4 élèves.
Combien de pizza est-ce que chaque personne recevra?
Lorsque John et Naomi sont revenus de l'école, ils ont trouvé la moitié d'un gâteau au chocolat sur la table de cuisine. John en a mangé la moitié, ensuite Naomi a mangé le tiers de ce que John avait laissé. Combien de gâteau restait-il après que Naomi eut fini de manger?
Notes
• Certains de ces problèmes sont tirés de Mathématiques, Programme d'études pour le niveau intermédiaire, ministère de l'Éducation de la Saskatchewan, 1996.
• Les problèmes présentés ne sont pas nécessairement des problèmes que les élèves pourront résoudre.
Ceci donne l'occasion à l'enseignant d'évaluer les connaissances préalables des élèves et lui permet de planifier son enseignement de façon à répondre aux besoins de ses élèves. Si les élèves trouvent ces problèmes trop faciles, on peut en utiliser d'autres. (PD)
• Encourager les élèves à faire des estimations au début. C'est un aspect important de l'apprentissage relié aux fractions: éventuellement, cela leur permettra de juger du bien-fondé de leurs calculs.
• Allouer assez de temps pour que les élèves puissent discuter, travailler, arriver à quelques conclusions.
• Mentionner aux élèves que l'important est la démarche, pas nécessairement la solution.
Sixième année Septième année
21
• Chaque groupe devrait avoir l'occasion d'exprimer les résultats de son travail, de discuter des connaissances qu'elles ont et de celles qu'elles n'ont pas pour résoudre ce genre de problème.
• On peut discuter d'un problème avec les élèves de 6e année pendant que les élèves de 7e année travaillent et discutent, et vice versa. À la fin, on peut mettre tout en commun au tableau.
• Lors de la mise en commun, souligner (ou fournir) le vocabulaire essentiel et les structures usuelles nécessaires pour parler des fractions. Faire un lexique qui restera affiché tout au long de l'unité.
• Indiquer que l'on reviendra à ces problèmes plus tard dans l'unité.
• En tout temps, on peut demander aux élèves d'écrire dans leur journal de bord (voir à la page 31 pour des suggestions).
Les élèves écrivent dans leur journal de bord ce qu'elles connaissent à propos des fractions. Voir la fiche à la page 31 pour des suggestions; ceci peut aider l'enseignant à planifier pour mieux
répondre aux besoins des élèves (PD). Si on remarque, en lisant les journaux, que les connaissances préalables manquent à certaines élèves, ou qu'elles n'ont pas la même expérience avec les blocs mosaïque, par exemple, on peut leur faire faire des activités supplémentaires.
(PD)
Les élèves écrivent dans leur journal de bord ce qu'elles connaissent à propos des fractions. Voir la fiche à la page 31 pour des suggestions; ceci peut aider l'enseignant à planifier pour mieux
répondre aux besoins des élèves.
Exploration
• Chaque groupe aura à sa disposition un assortiment de blocs jaunes, bleus, verts, rouges, roses et noirs, une fiche de travail (page 34).
• L'enseignant aura un rétroprojecteur, des blocs pour le rétroprojecteur et une acétate de la fiche de travail.
• Afin de faire le lien entre le concret et l'abstrait, l'enseignant devra écrire les symboles au tableau, sur du grand papier ou sur une autre acétate.
• Rappeler à chaque groupe de changer de rôles au début de chaque leçon.
Premier temps:
Les élèves travaillent ensemble pour découvrir les relations entre les divers blocs.
• Combien de blocs verts équivalent à un bloc bleu, à un bloc rouge, à un bloc jaune, à un bloc noir, à un bloc rose?
• Combien de blocs rouges équivalent à un bloc jaune, à un bloc rose?
• etc.
Une révision pour les élèves: elles travaillent ensemble pour découvrir les relations entre les divers blocs.
• Combien de blocs verts équivalent à un bloc bleu, à un bloc rouge, à un bloc jaune, à un bloc noir, à un bloc rose?
• Combien de blocs rouges équivalent à un bloc jaune, à un bloc rose?
• etc.
Deuxième temps: les fractions équivalentes et l'ordre des fractions Les élèves recouvrent la forme avec des blocs
jaunes. Quelle fraction du tout est représentée par 1 bloc jaune? (1/2) Écrire cette fraction sur l'acétate, le tableau ou du grand papier.
Enlever les blocs. Les élèves recouvrent la forme avec des blocs noirs. Quelle fraction du tout est
Les élèves trouvent toutes les fractions
inférieures à 1/2. Les élèves trouvent toutes les fractions supérieures à 1/2.
Les élèves trouvent et mettent en ordre croissant toutes les fractions pouvant être représentées par les blocs (jusqu'à 1).
Sixième année Septième année
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représentée par 1 bloc noir? (1/3) 2 blocs noirs?
(2/3) 3 blocs noirs? (3/3) Écrire ces fractions au fur et à mesure.
Enlever les blocs. Les élèves recouvrent la forme avec des blocs rouges. Quelle fraction du tout est représentée par 1 bloc rouge? (1/4) 2 blocs rouges?
(2/4) 3 blocs rouges? (3/4) 4 blocs rouges? (4/4) Écrire ces fractions au fur et à mesure.
Laquelle de ces fractions est la même que 1/2? Les élèves montrent leur réponse avec les blocs. Une élève peut montrer sa réponse sur le
rétroprojecteur.
Enlever les blocs. Les élèves recouvrent la forme avec des blocs bleus. Quelle fraction du tout est représentée par 1 bloc bleu? (1/6) 2 blocs bleus?
(2/6) 3 blocs bleus? (3/6) 4 blocs bleus? (4/6) 5 blocs bleus? (5/6) 6 blocs bleus? (6/6) Écrire ces
fractions au fur et à mesure.
Laquelle de ces fractions est la même que 1/2? La même que 1/3? La même que 2/3? Les élèves montrent leurs réponses avec les blocs. Une élève montre ses réponses sur le rétroprojecteur.
Enlever les blocs. Les élèves recouvrent la forme avec des blocs verts. Quelle fraction du tout est représentée par 1 bloc vert? (1/12) 2 blocs verts?
(2/12) ... 12 blocs verts? (12/12) Écrire ces fractions au fur et à mesure.
Laquelle de ces fractions est la même que 1/2? La même que 1/3? La même que 2/3? La même que 1/4? ... Les élèves montrent leurs réponses avec les blocs. Certaines élèves montrent leurs réponses sur le rétroprojecteur.
Les élèves montrent avec les blocs et écrivent toutes les fractions équivalentes à 1/2, 1/4, 3/4, 6/6, etc.
«Note dans ton journal de bord toutes les fractions équivalentes à 1/2 trouvées. Quelle régularité peut-on découvrir? À l'aide de cette régularité, trouve d'autres fractions équivalentes à 1/2, mais qui ne sont pas représentées par les blocs.
Répète l'activité avec d'autres fractions, telles que 1/4, 1/3, 2/3, etc.»
Les élèves trouvent toutes les fractions
inférieures à 1/2. Les élèves trouvent toutes les fractions supérieures à 1/2.
«Trouve une fraction plus grande que 1/3 mais plus petite que 2/3.
Trouve une fraction entre 1/3 et 1/2.
Invente d'autres petits problèmes de ce genre et partage-les avec d'autres groupes.»
«Quelle fraction est plus petite, 7/8 ou 12/13?
Explique ton raisonnement.»
La forme sur la fiche représente une valeur de 1;
les élèves montrent la valeur de 1 1/2 à l'aide de blocs jaunes, ensuite de blocs rouges.
Les élèves montrent 2 1/4 de différentes façons, à l'aide d'une variété de blocs.
Sixième année Septième année
23 Réflexion: «3 est plus petit que 4, pourtant 1/3 est plus grand que 1/4. Comment est-ce possible? Explique ton raisonnement.»
Ces activités permettent aux élèves de comprendre et de se familiariser avec les fractions équivalentes et l'ordre des fractions.
Troisième temps: l'addition de fractions Présenter l'équation suivante au tableau ou sur acétate: 3/6 + 2/6 = ?
Demander aux élèves de montrer 3/6 avec les blocs bleus, ensuite de montrer 2/6 avec les blocs bleus. Combien cela fait-il en tout? (5/6)
Présenter d'autres équations dans lesquelles les dénominateurs sont pareils.
Après quelques exemples, on peut présenter une addition ayant plus de deux termes, telle que 1/12 + 2/12 + 3/12 = ?
Demander à chaque groupe d'élèves d'élaborer 10 équations. Elles peuvent ensuite échanger leurs équations avec un autre groupe et trouver les réponses à l'aide des blocs.
Problème: «Dans une joute de hockey ou de ringuette, il y a 12 joueurs ou joueuses sur la glace. Quelle fraction représente les gardiens ou gardiennes de buts? Quelle fraction représente les joueurs ou joueuses à la défense? Quelle fraction représente les joueurs ou les joueuses à l'avant?
Quel est le total des fractions?»
Réflexion: «Montre les différents termes
d'addition qui donneraient une réponse de 2/3.»
Demander aux élèves de recouvrir leur forme avec un bloc jaune et un bloc rouge. Démontrer en même temps sur le rétroprojecteur.
Quelle fraction du tout est-ce que cela représente?
(Le mot «addition» n'a même pas besoin d'être utilisé pour la compréhension de ce concept.) Certaines élèves répondront peut-être qu'on ne peut pas déterminer la fraction parce que les blocs sont de couleurs différentes.
Demander si on peut échanger un bloc pour d'autres blocs afin que tous les blocs soient pareils. Le bloc jaune sera ainsi échangé pour deux blocs rouges. (On fait appel à leurs connaissances des fractions équivalentes.) L'enseignant pourra écrire l'équation 1/2 + 1/4 = 3/4 au tableau ou sur l'acétate et montrer que les blocs représentent cette équation.
Démontrer avec un bloc rouge et un bloc bleu.
Quelle fraction du tout est-ce que cela représente?
En général, commencer avec deux blocs différents, demander quelle fraction ces deux blocs représentent, et faire un échange d'un bloc pour son «équivalent». Faire autant d'exemples que nécessaire.
Mettre l'équation suivante au tableau:
2/3 + 1/6 = ?
Quels sont les blocs nécessaires pour représenter cette équation? (deux bleus et un vert)
Les élèves peuvent ensuite faire l'échange et trouver la réponse (5/6).
L'enseignant découvrira peut-être que les élèves deviennent adeptes à visualiser la réponse. Cette habileté leur servira tout au long de leur étude des fractions.
Réflexion: «Montre les différents termes d'addition qui peuvent donner une réponse de 2/3.»
Sixième année Septième année
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L'enseignant doit s'assurer d'allouer le temps nécessaire à ces activités. Il est important que les élèves utilisent les blocs, même quand elles utilisent les symboles. Même après qu'elles ont développé des habiletés d'addition de fractions de façon symbolique, permettre aux élèves d'utiliser les blocs aussi longtemps
qu'elles en ressentent le besoin; souvent, elles ont besoin de se rafraîchir la mémoire ou d'essayer de nouvelles idées.
Procéder aux fractions supérieures à 1 et 2.
On peut demander aux élèves d'écrire leurs propres équations, les mettre au rétroprojecteur pour que les autres élèves puissent les résoudre.
Ces activités auront une durée de plusieurs leçons. Le temps alloué à la compréhension de concepts est du temps utilisé de façon efficace.
Quatrième temps: la soustraction de fractions
Les principes pour la soustraction de fractions sont les mêmes que pour l'addition.
Présenter l'équation suivante:
9/12 - 5/12 = ?
Demander aux élèves d'utiliser leurs
connaissances à propos de l'addition de fractions pour les aider à soustraire des fractions. Les élèves peuvent noter leurs idées sur papier ou dans leur journal de bord et les partager avec les autres groupes et la classe entière. Les élèves peuvent démontrer à l'aide des blocs.
Avant de procéder à l'addition et à la soustraction avec les nombres fractionnaires, les élèves
peuvent faire les activités suivantes:
• «La forme représente une valeur de 1; montre la valeur de 1 1/2 à l'aide de blocs jaunes, ensuite de blocs rouges.»
• «Montre 2 1/4 de différentes façons, à l'aide d'une variété de blocs.»
• «En utilisant différents blocs, renomme les nombres fractionnaires; par exemple, 2 1/4 devient 9/4.»
Les élèves peuvent élaborer leurs propres problèmes ou exercices, ou utiliser ceux de leur manuel scolaire, si elles en ont un. S'assurer qu'elles continuent à utiliser les blocs et que les problèmes du manuel soutiennent les attentes et la philosophie du programme d'études.
Réflexion: «Que doit-on enlever à 1 pour qu'il reste 5/12?»
Présenter l'équation suivante:
3/4 - 5/12 = ?
Demander aux élèves d'utiliser leurs
connaissances à propos de l'addition de fractions pour les aider à soustraire des fractions. Les élèves peuvent noter leurs idées sur papier ou dans leur journal de bord et les partager avec les autres groupes et la classe entière. Les élèves peuvent démontrer à l'aide des blocs.
Les élèves peuvent ensuite procéder à l'addition et à la soustraction avec les nombres
fractionnaires.
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25 Cinquième temps: la multiplication de fractions
Recouvrir la forme avec un bloc rose. Dire aux élèves que l'on veut la moitié de ce bloc. Comment peut-on montrer cela? (On peut remplacer le bloc rose par deux blocs jaunes et en enlever un.) Quelle fraction du tout est-ce que le bloc restant représente? (1/2)
Écrire l'équation suivante: 1/2 x 1 = 1/2 et montrer avec les blocs que c'est ce qu'on vient de faire.
Représenter 2 (2 blocs roses). Dire que l'on veut la moitié de cela. La réponse sera 1 bloc rose. Écrire cette équation: 1/2 x 2 = 1, et démontrer avec les blocs.
Recouvrir la forme avec un bloc jaune. Dire aux élèves que l'on veut la moitié de ce bloc. Comment peut-on montrer cela? (On peut remplacer le bloc jaune par deux blocs rouges et en enlever un.) Quelle fraction du tout est-ce que le bloc restant représente? (1/4)
Écrire l'équation suivante: 1/2 x 1/2 = 1/4 et montrer avec les blocs que c'est ce qu'on vient de faire.
Répéter en utilisant le bloc jaune mais essayant d'obtenir 1/3 de ce bloc. (Le bloc jaune sera remplacé par trois blocs bleus et on en gardera un.)
Quelle fraction du tout est-ce que ce bloc bleu représente? (1/6)
Écrire cette équation (1/2 x 1/3 = 1/6) et démontrer avec les blocs.
Écrire une nouvelle équation: 1/4 x 1/3 = ?, et demander aux élèves de montrer et expliquer leur solution à l'aide des blocs.
Demander aux élèves de résoudre l'équation suivante: 1/3 x 1/4 = ?
Comparer avec l'équation précédente: est-ce qu'on a la même réponse? Que peut-on conclure?
Laisser chaque équation au tableau. Certaines élèves découvriront une régularité (on multiplie les numérateurs et on multiplie les
dénominateurs pour trouver la réponse).
Sixième année Septième année
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Demander aux élèves de vérifier ce qu'elles viennent de découvrir en résolvant de nouvelles équations.
Il faudra plusieurs leçons pour développer ces concepts. Éventuellement, on pourra utiliser des fractions ayant des numérateurs supérieurs à 1, des fractions supérieures à 1 et des nombres fractionnaires.
En tout temps, on doit faire les liens entre les blocs et les symboles.
Réflexion:
• «Est-ce que la réponse à 2/3 x 5/4 est plus ou moins de 2/3? Plus ou moins de 5/4? Explique ton raisonnement.»
• «Trouve deux fractions qui donnent une réponse de 1 quand elles sont multipliées.»
Sixième temps: la division de fractions
Écrire l'équation suivante: 1/2 ÷ 1/4 = ? Indiquer aux élèves que ce n'est pas la même chose que 1/2 x 1/4.
Recouvrir la forme avec un bloc jaune
représentant la première 1/2. Ensuite, prendre un bloc rouge et demander de combien de blocs comme celui que j'ai dans la main est-ce que j'ai besoin pour recouvrir le bloc dans la forme? (2) Écrire cette réponse. Cette question représente ce concept de division de fractions.
Une autre équation: 1/2 ÷ 1/6 = ?
Recouvrir la forme avec un bloc jaune pour représenter 1/2 et montrer un bloc bleu. De combien de blocs bleus a-t-on besoin pour recouvrir le bloc jaune? (3)
Écrire cette réponse.
Continuer la démarche avec 4 ou 5 autres équations. Demander aux élèves de montrer ce procédé avec les blocs. Certaines élèves pourront facilement trouver les réponses.
Continuer à écrire les équations et les réponses au tableau. Il est plus difficile de déceler une régularité, mais quelques élèves découvriront peut-être qu'en multipliant la première fraction par la réciproque de la deuxième fraction, on peut trouver la réponse.
Note: La division à l'aide de l'algorithme n'est pas une attente au niveau de la 7e année. On met l'accent ici sur la compréhension du concept de division de fractions. Cette compréhension du concept aidera les élèves à visualiser les réponses, à estimer les réponses et, éventuellement, à juger du bien-fondé des réponses qu'elles auront trouvées en calculant.
Sixième année Septième année
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Réflexion
«Découpe la fiche (page 35) en bandes horizontales.»
«À l'aide de ces bandes, trouve les fractions équivalentes à 1/2, à 3/4, etc.»
«À l'aide de ces bandes, mets les fractions représentées en ordre croissant.»
«Sers-toi des bandes pour faire des estimations (moins de 1, environ 1, plus de 1) à propos des additions suivantes:
• 1/4 + 3/4;
• 1/10 + 2/10 + 3/10;
• 3/10 + 4/10;
• 5/8 + 4/8;
• 2/3 + 1/4;
• 5/8 + 1/2 + 1/8;
• etc.»
Les élèves peuvent colorier, découper et coller ces fractions pour représenter les fractions et leurs réponses.
Retourner aux problèmes du début. Les élèves peuvent discuter des problèmes: comment les résoudre, ce qu'elles font de différent, ce qu'elles ont appris. On peut faire une mise en commun des nouvelles connaissances avec toute la classe et afficher ces notes au tableau ou au babillard.
Demander à chaque groupe d'élèves d'élaborer trois problèmes pour un examen à propos des fractions. Les problèmes doivent refléter les connaissances apprises, le matériel concret utilisé, l'explication du raisonnement.
L'enseignant pourra ensuite choisir parmi ces questions pour une évaluation sommative.
«Hector a obtenu la réponse 4/6 quand il a additionné 3/4 + 1/2 (il a mélangé les règles pour additionner les fractions et les règles pour multiplier les fractions; il a additionné les numérateurs et ensuite, il a additionné les dénominateurs). D'après son estimation, la réponse devrait être plus de 1/2 + 1/2, ou plus de 1. (Ce problème est tiré de Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics, 1989, p. 97)
Explique dans ton journal de bord comment Hector aurait dû procéder pour résoudre ce problème et arriver à la réponse juste.»
Retourner aux problèmes du début. Les élèves peuvent discuter des problèmes: comment les résoudre, ce qu'elles font de différent, ce qu'elles ont appris. On peut faire une mise en commun des nouvelles connaissances avec toute la classe et afficher ces notes au tableau ou au babillard.
Demander à chaque groupe d'élèves d'élaborer trois problèmes pour un examen à propos des fractions. Les problèmes doivent refléter les connaissances apprises, le matériel concret utilisé, l'explication du raisonnement.
L'enseignant pourra ensuite choisir parmi ces questions pour une évaluation sommative.
• Demander aux élèves de réfléchir au fonctionnement de leur groupe par rapport aux objectifs qu'elles se sont donnés au début. Qu'est-ce qu'elles ont bien fait? Qu'est-ce qu'elles doivent améliorer?
