Variabilit´e naturelle des caract´eristiques sp´ecifiques des milieux terrestres et marins

caract´ eristiques sp´ ecifiques des milieux terrestres et marins

Nathalie DANIAULT

Laboratoire de Physique des Oc´ eans

2005

REFERENCES et lectures compl´ementaires

Brahic, A., M. Hoffert, A. Schaaf et M. Tardy,Sciences de la terre et de l’univers, Vuibert (Paris), 1999.

Gill, A., Atmosphere-Ocean Dynamics, Academic Press, Inc (London), 1982.

Holton, J., An introduction to dynamic meteorology, Academic Press, Inc (London), 1979.

Houghton, G.J. Jenkins and J.J. Ephraums, Climate Change, Cambridge University Press (New York) , 1990.

Jousseaume, S., Climat d’hier et de demain, CNRS Editions, Paris, 1993.

Minster, J.F., Les oc´eans, Dominos-Flammarion, 1994.

Morel, P., Introduction `a la dynamique de l’atmosph`ere, des oc´eans et du climat, Oc´eanis, Vol 18(3), Institut Oc´eanographique, Paris, 1992.

Peixoto, J.P.and A.H. Oort,Physics of climate, American Institute od Physics (New York), 1992.

Sadourny, R., Le climat de la terre, Dominos-Flammarion, 1994.

Wallace, J. and P. Hobbs, Atmospheric Science-An introductory survey, Academic Press, Inc (London), 1977.

Table des mati` eres

1 Introduction 3

1.1 L’atmosph`ere . . . 3

1.2 L’hydrosph`ere . . . 6

1.3 La cryosph`ere . . . 8

1.4 La lithosph`ere . . . 9

1.5 La biosph`ere . . . 10

1.6 La nature du syst`eme climatique . . . 10

2 Equations de base de la dynamique des fluides g´´ eophysiques 12 2.1 Conservation de la masse - ´equation de continuit´e . . . 12

2.2 Equations du mouvement´ . . . 14

2.2.1 Passage aux axes li´es `a la terre . . . 14

2.2.2 Le terme de pression . . . 15

2.2.3 Gravit´e et force centrifuge . . . 16

2.2.4 Coriolis . . . 17

2.2.5 les effets du frottement (friction) . . . 17

2.2.6 Les termes non-lin´eaires . . . 18

2.2.7 Les ´equations du mouvement dans le rep`ere terrestre . . . 19

3 Diff´erentes d´ecompositions de la circulation 20 3.1 Les ´equations de l’´ecoulement moyen . . . 20

3.1.1 Tension de Reynolds et viscosit´e turbulente . . . 21

3.1.2 R´esolution spatiale et temporelle de la circulation . . . 22

3.2 Filtrage des ´equations de base pour l’atmosph`ere . . . 25

3.2.1 Echelles caract´´ eristiques . . . 26

3.2.2 Equation verticale´ . . . 27

3.2.3 Equilibre g´´ eostrophique . . . 29

3.2.4 Moyenne ´echelle . . . 30

3.3 Filtrage des ´equations de base pour l’ oc´ean . . . 31

3.4 Les nombres sans dimension . . . 32

3.4.1 Les nombres de Rossby, d’Ekman, de Reynolds . . . 32

3.4.2 Les nombres de Froude, de Burger, de Richardson . . . 33

4 Observation de la variabilit´e du climat 36 4.1 Les programmes de recherche . . . 36

4.2 les mesures essentielles . . . 37

4.2.1 L’atmosph`ere . . . 37

4.2.2 L’hydrosph`ere . . . 38

4.2.3 La cryosph`ere . . . 39

4.2.4 La lithosph`ere . . . 39

4.2.5 La biosph`ere . . . 39

4.3 Les mesures par satellites . . . 39

4.4 Les perspectives . . . 41

Chapitre 1 Introduction

Le syst`eme climatique (S) est un syst`eme (figure 1.1) form´e de cinq composantes majeures:

l’atmosph`ere (A), l’ hydrosph`ere (H) incluant l’oc´ean (O), la cryosph`ere (C), la lithosph`ere (L) et la biosph`ere (B).

Fig. 1.1 – http://www.wmo.ch

1.1 L’atmosph` ere

L’atmosph`ere de la terre est un film fin de m´elange gazeux, distribu´e uniform´ement sur toute la surface du globe. Dans la direction verticale plus de 99% de la masse de l’atmosph`ere est concentr´ee dans les 30 premiers kilom`etres. En comparaison les dimensions horizontales de l’atmosph`ere sont de l’ordre de 2πR ' 40000km, o`u R ' 6400km est le rayon terrestre.

Cependant, malgr´e sa masse et son ´epaisseur relativement faibles, l’atmosph`ere constitue la composante centrale du climat.

L’atmosph`ere peut ˆetre divis´ee en plusieurs couches (figure 1.2) de propri´et´es diff´erentes (temp´erature, stabilit´e, ´energ´etique). Partant de la surface, les couches principales sont: la troposph`ere, la stratosph`ere, la m´esosph`ere et la thermosph`ere, s´epar´ees par des limites appel´ees pauses (e.g tropopause ...)

Fig. 1.2 –Profil vertical de temp´erature, tir´e de Peixoto and Ort, p15, 1992

La composition de l’atmosph`ere jusqu’`a la m´esopause est pratiquement uniforme en teneur en nitrog`ene, oxyg`ene et autres gaz inertes. Parmi les composantes variables, la teneur en vapeur d’eau est pr´edominante dans les basses couches de la troposph`ere, et l’ozone au milieu de la stratosph`ere. Le dioxyde de carbone est bien m´elang´e sous la m´esopause. La composition de l’atmosph`ere est en plus compliqu´ee par la pr´esence de diverses substances en suspension telles que l’eau sous forme liquide et solide (nuages), poussi`eres, cendres d’origine volcanique ... Les concentrations de ces a´erosols varient dans l’espace et dans le temps.

Le temps de r´eponse de l’atmosph`ere `a un changement impos´e est beaucoup plus court que celui des autres composantes du syst`eme climatique. Par r´eponse (ou temps de relaxation) nous entendons le temps qu’il faut pour un syst`eme pour trouver un nouvel ´etat d’´equilibre apr`es avoir subit une petite perturbation. Le temps de r´eponse pour l’atmosph`ere est de l’ordre de quelques jours `a quelques semaines (figure 1.3), `a cause de sa grande compressibilit´e, de sa faible chaleur sp´ecifique et de sa faible densit´e, par rapport aux autres composantes.

La troposph`ere est le si`ege d’une circulation g´en´erale `a grande ´echelle (figures 1.4, 1.5), de mouvements tourbillonnaires aux moyennes latitudes (d´epressions, anticyclones) et des mouve- ments al´eatoires, turbulents principalement dans les couches limites (haute et basse). A cause de la gravit´e, l’atmosph`ere est un milieu stratifi´e avec les couches les plus denses `a la surface (pr`es du sol) et en ´equilibre presque hydrostatique selon la verticale.

A l’origine, l’ atmosph`ere est mise en mouvement par l’apport diff´erentiel d’´energie solaire (r´echauffement). Ainsi, l’´etude des mouvements de l’atmosph`ere est essentiellement un probl`eme de convection sous influence de la rotation terrestre. C’est un processus complexe parce que les mouvements de l’atmosph`ere sont influenc´es par de nombreux facteurs autres que la rotation,

Fig. 1.3 –Spectre de l’´energie cin´etique, tir´e de Peixoto and Ort, p16, 1992 comme les conditions inhomog`enes de thermodynamique et de m´ecanique du milieu.

Pour comprendre la grande variabilit´e des processus observ´es dans l’atmosph`ere, et montrer l’importance relative des diff´erentes ´echelles de mouvement rencontr´ees, il suffit d’observer le spectre d’´energie cin´etique pour des p´eriodes allant de la seconde `a plusieurs ann´ees: la plupart de l’´energie est concentr´ee dans les basses fr´equences, `a 10<sup>0</sup>, vers 10<sup>−1</sup>, et entre 10<sup>−2</sup> et 10<sup>−3</sup> jour<sup>−1</sup>. Le premier et le troisi`eme pic sont associ´es aux cycles diurne et annuel, tandis que le second est associ´e aux perturbations grandes ´echelles, transitoires, qui apparaissent aux

Fig. 1.4 – http://station05.qc.ca/Csrs/Girouette/

Fig. 1.5 – Circulation atmosph´erique en surface et en altitude (http://station05.qc.ca/Csrs/Girouette/)

moyennes latitudes le long des fronts polaires. Le maximum relatif autour de 10³ jours⁻¹ est dˆu aux mouvements turbulents petites-´echelles.

1.2 L’hydrosph` ere

L’hydrosph`ere est constitu´ee de toute l’eau sous phase liquide distribu´ee `a la surface de la terre. Elle inclue donc les oc´eans, les mers int´erieures, les lacs, les rivi`eres, et les eaux souterraines. Les oc´eans jouent de loin le plus grand rˆole dans l’´etude du climat. Ils couvrent

approximativement les 2/3 de la surface terrestre: ils absorbent la plupart du rayonnement solaire atteignant la surface du globe. A cause de leur grande masse et de leur chaleur sp´ecifique importante, les oc´eans constituent un r´eservoir d’´energie ´enorme.

La capacit´e calorifique de l’eau (' 4000J kg⁻¹K⁻¹, environ 4 fois celle de l’air) fait que l’oc´ean est le r´egulateur thermique de l’atmosph`ere: une couche de 2.5mde la surface oc´eanique peut stocker autant de chaleur que la totalit´e de l’atmosph`ere:

la masse par unit´e de surface de l’atmosph`ere est d’environ 10<sup>4</sup>kg m<sup>−2</sup> et puisque l’acc´el´eration de la pesanteur est de l’ordre de 10ms<sup>−2</sup>le poids de l’atmosph`ere par unit´e de surface, ou la pression atmosph´erique, est de l’ordre de 10⁵N m⁻² soit 10⁵P a soit 1bar. La masse volumique de l’eau ´etant 1000 fois celle de l’air, environ 10md’oc´ean ont le mˆeme poids par unit´e de surface: la pression augmente d’environ 1bartous les 10m de profondeur. La chaleur sp´ecifique de l’eau (capacit´e calorifique par unit´e de masse) est 4 fois plus importante que celle de l’air ; ainsi 2.5md’eau ont la mˆeme capacit´e calorifique par unit´e de surface que toute l’´epaisseur de l’atmosph`ere. En d’autres termes, la chaleur n´ecessaire pour augmenter de 1Ktoute l ’atmosph`ere est identique

`

a celle n´ecessaire pour augmenter de 1K 2.5md’oc´ean.

A cause de leur inertie thermique, les oc´eans agissent comme un r´egulateur de temp´erature.

Comme les oc´eans sont plus denses que l’atmosph`ere, ils ont aussi une plus grande inertie m´ecanique, et une stratification plus prononc´ee. La partie sup´erieure de l’oc´ean est la plus active ; la couche de m´elange de surface a une ´epaisseur d’une centaine de m`etres.

La circulation oc´eanique est bien plus lente que la circulation atmosph´erique. Elle est form´ee de grands gyres (tourbillons) o`u la circulation est quasi-horizontale (figure 1.6), bord´es par les grands courants familiers (Gulf Stream, Kuroshio) ; on observe de lents renversements thermo- halins par endroits, dus aux variations de densit´es associ´ees `a des variations de temp´erature et de salinit´e. A plus petite ´echelle, on observe des tourbillons dits m´eso-´echelle, mais la turbulence est bien moins prononc´ee que dans l’atmosph`ere.

Fig. 1.6 – http://sirius-ci.cst.cnes.fr:8090

Le temps de r´eponse de l’oc´ean varie dans un large domaine qui va de la seconde `a quelques mois dans la couche de m´elange (en surface), de la saison `a quelques ann´ees au niveau de la ther-

mocline (quelques centaines de m`etres de profondeur), `a quelques si`ecles dans l’oc´ean profond.

Les courants oc´eaniques transportent l’´energie (chaleur) stock´ee des r´egions inter tropicales (exc`es de rayonnement) vers les pˆoles (d´eficit).

L’atmosph`ere et l’oc´ean sont fortement coupl´es. Les interactions air-mer ont lieu `a de nom- breuses ´echelles de temps et d’espace, par ´echange d’´energie, de mati`ere et de quantit´e de mouvement, `a l’interface oc´ean-atmosph`ere: les ´echanges de vapeur d’eau par ´evaporation vers l’atmosph`ere entretiennent le cycle hydrologique condensation, pr´ecipitation, eaux de ruisselle- ment. D’un autre cˆot´e cette ´evaporation (pr´ecipitation) modifie la densit´e des eaux de surface par augmentation (diminution) de la salinit´e et diminution (augmentation) de la temp´erature.

Fig. 1.7 – http://www.pmel.noaa.gov/toga-tao/el-nino

A plus grande ´echelle on peut ´evoquer le ph´enom`ene ”El Ni˜no” (figure 1.7): vers No¨el, le courant de Humbolt ne remonte pas jusqu’aux cˆotes du P´erou, car il est contrecarr´e dans son ´evolution par un contre-courant chaud appel´e El Ni˜no (du fait de son apparition `a cette

´

epoque de l’ann´ee), s’´ecoulant de l’´equateur vers le pˆole. De temps en temps, environ tous les cinq ans, ce courant est plus intense que la normale, il p´en`etre plus au sud et ses eaux sont exceptionnellement chaudes. Son intensification est accompagn´ee de pluies tr`es importantes, sur le continent habituellement d´esertique. Les vents (aliz´es, dirig´es vers le large) faiblissent ou s’annulent, l’upwelling nourricier est masqu´e par les eaux chaudes pendant plusieurs semaines.

Les anchois et les oiseaux marins meurent par millions, la pˆeche p´eruvienne connaˆıt une ann´ee difficile, mais surtout il se produit des perturbations climatiques (s´echeresse ici, cyclones et trombes d’eau l`a) sur tout le globe. C’est ce qu’on appelle le ph´enom`ene “El Ni˜no - oscillation australe”.

1.3 La cryosph` ere

La cryosph`ere (figure 1.8) englobe toute la masse de neige et de glace de la surface ter- restre. Elle repr´esente le plus grand r´eservoir d’eau douce sur terre, mais son rˆole essentiel

Fig. 1.8 – http://nsidc.org/cryosphere/glance

dans le syst`eme climatique vient de sa grande r´eflectivit´e<sup>1</sup> et de sa faible conductivit´e ther- mique. Les changements saisonniers de la couverture neigeuse, et de l’´etendue des glaces de mer conduisent `a des variations intra-annuelles et parfois inter-annuelles des bilans ´energ´etiques des r´egions continentales et de la couche m´elang´ee de la surface oc´eanique. En plus de ces variations saisonni`eres, de grands changements peuvent apparaˆıtre `a des p´eriodes beaucoup plus longues (p´eriodes glaciaires).

La cryosph`ere (grande r´eflectivit´e et faible conductivit´e thermique) joue aux hautes latitudes un rˆole d’isolant, empˆechant les couches sous-jacentes (solide ou liquide) de perdre de la chaleur vers l’atmosph`ere. Le fort refroidissement des couches atmosph´eriques de surface les stabilise (plus grande densit´e), empˆechant la convection et entretient donc le climat froid `a ces latitudes.

La couche continentale de glace varie elle tr`es lentement, et joue un rˆole majeur dans le changement climatique mais `a des ´echelles de temps allant de dizaines `a des milliers d’ann´ees, comme les p´eriodes glaciaires et inter glaciaires observ´ees pendant le Pl´eistoc`ene (de 1.8 millions

`

a 11000 ann´ees en arri`ere). Une p´eriode de glaciation est `a l’origine de l’abaissement du niveau des oc´eans, de l’ordre de 100m ou plus, modifiant la forme et l ’´etendue des continents.

Du fait de sa masse importante et de sa compacit´e, la couverture glaciaire est anim´ee de mouvements tr`es lents.

1.4 La lithosph` ere

La lithosph`ere comprend les continents dont la topographie affecte les mouvements de l’air, et le fond des oc´eans. A part la couche de surface active, qui r´epond rapidement au for¸cage atmosph´erique et oc´eanique, la lithosph`ere a le temps de r´eponse le plus lent du syst`eme cli- matique. Sur les ´echelles de temps consid´er´ees, on peut assimiler la lithosph`ere `a un ´el´ement

1. une part du rayonnement solaire est r´efl´echi vers l’espace avant toute absorption: la proportion de rayon- nement solaire non absorb´ee est appel´ee l’alb´edo

permanent du syst`eme climatique.

Il existe une forte interaction entre la lithosph`ere et l’atmosph`ere: transfert de masse, mo- ment cin´etique, chaleur sensible et dissipation d’´energie cin´etique dans la couche limite de sur- face atmosph´erique. Le transfert de masse se fait essentiellement sous forme de vapeur d’eau, de pluie, de neige, et dans une plus faible mesure, sous forme de poussi`eres et autres particules.

les volcans en particulier, rejettent de la mati`ere et de l’´energie (chaleur) dans l’atmosph`ere, augmentant la turbidit´e de l’air. Ces particules et les gaz ´eject´es, se condensent dans la stra- tosph`ere et leur effet sur le bilan radiatif atmosph´erique, et par suite sur le climat, peut ˆetre important.

L’humidit´e du sol a une influence marqu´ee sur le bilan ´energ´etique local, par son action sur le taux d’´evaporation, l’alb´edo de surface, et la conductivit´e thermique du sol.

1.5 La biosph` ere

La biosph`ere inclut la v´eg´etation, la faune continentale et la flore et la faune des oc´eans. La v´eg´etation modifie la rugosit´e de la surface, son alb´edo, l’´evaporation, le ruissellement des eaux.

De plus, la biosph`ere influence le bilan de dioxyde de carbone dans l’atmosph`ere et l’oc´ean par photo synth`ese et respiration. De fa¸con g´en´erale, la biosph`ere r´eagit `a tout changement climatique, et c’est par la signature de ces changements observ´ee dans les fossiles, les anneaux des arbres, le pollen ... durant les ann´ees pass´ees que l’on obtient des informations sur les pal´eoclimats de la terre.

Signalons ´egalement l’influence des hommes (qui font partie de la biosph`ere) sur le syst`eme climatique par leurs activit´es comme l’agriculture, l’industrie, la pollution en g´en´eral.

1.6 La nature du syst` eme climatique

Comme nous l’avons vu le syst`eme climatique est form´e de cinq composantes:

S ≡ A ∪ H ∪ C ∪ L ∪ B

Tous les sous-syst`emes sont ouverts et non-isol´es. Le syst`eme climatique global est suppos´e ˆ

etre un syst`eme non-isol´e du point de vue ´energ´etique, mais isol´e du point de vue ´echange de mati`ere avec l’espace. Les cinq composantes agissent en cascade, li´ees par des processus physiques complexes impliquant des flux d’´energie, de quantit´e de mouvement, de mati`ere `a travers les fronti`eres, et g´en´erant de nombreux m´ecanismes r´etroactifs.

Les cinq composantes sont des syst`emes thermodynamiques h´et´erog`enes, qui peuvent ˆetre caract´eris´es par leur composition chimique et leurs ´etats m´ecaniques et thermodynamiques.

Certaines variables intensives permettent de d´efinir l’´etat thermodynamique (temp´erature, pres- sion, humidit´e sp´ecifique, ´energie sp´ecifique, densit´e, salinit´e ...) tandis que l’´etat m´ecanique est d´efini par d’autres variables intensives qui caract´erisent le mouvement (force par unit´e de masse, vitesse ...).

Les ´echelles de temps pour chacune des composantes sont tr`es vari´ees, mˆeme `a l’int´erieur d’une mˆeme composante. Il est alors pratique d’´etablir une hi´erarchie des temps de r´eponse, en prenant par exemple le temps de r´eponse le plus court pour pouvoir consid´erer les autres composantes comme ext´erieures au syst`eme: par exemple, `a des ´echelles de temps allant de l’heure `a la semaine l’atmosph`ere peut ˆetre consid´er´ee comme la seule composante interne du

syst`eme climatique (S ≡ A),c’est `a dire susceptible de le faire varier, les autres ´etant trait´ees comme des conditions aux limites (for¸cage).

Le syst`eme climatique est sujet `a deux for¸cage ext´erieurs, qui conditionnent son compor- tement global: le rayonnement solaire et l’action de la gravitation. Le rayonnement solaire est essentiel car c’est lui qui fournit presque toute son ´energie au syst`eme climatique. Le rayonne- ment solaire qui arrive aux confins de l’atmosph`ere est partiellement transform´e sous une autre forme d’´energie (chaleur, quantit´e de mouvement) qui peut ˆetre dissip´ee par la circulation g´en´erale de l’atmosph`ere et de l’oc´ean, et partiellement utilis´ee par des processus biologiques et chimiques.

A l’int´erieur du syst`eme climatique l’´energie est r´epartie sous diff´erentes formes telles que chaleur, ´energie potentielle, cin´etique, chimique, ´electromagn´etique (rayonnement solaire de courtes longueurs d’ondes, rayonnement terrestre de grandes longueurs d’ondes).

Le rayonnement solaire (courtes longueurs d’ondes) est r´eparti de fa¸con inhomog`ene `a cause de la sph´ericit´e de la terre, du mouvement orbital, et de l’inclinaison de l’axe des pˆoles par rapport au plan de l’´ecliptique. Les r´egions tropicales absorbent plus de rayonnement que les r´egions polaires. Cependant, en moyenne sur tout le globe, les observations montrent que le syst`eme perd la mˆeme quantit´e d’´energie par rayonnement infrarouge (grandes longueurs d’ondes) qu’il n’en gagne par rayonnement solaire. Quand on observe l’´ecart de temp´erature entre l’´equateur et les pˆoles, la diminution de rayonnement terrestre ´emis aux diff´erentes la- titudes est bien moins prononc´e que celle du rayonnement solaire absorb´e conduisant `a un exc`es d’´energie sous les tropiques et un d´eficit aux pˆoles (au del`a de 40^o). Cette r´epartition de puits et de source d’´energie est le moteur de presque tous les processus thermodynamiques, g´en´eralement irr´eversibles, observ´es dans le syst`eme climatique, incluant la circulation g´en´erale de l’atmosph`ere et de l’oc´ean.

Chapitre 2

Equations de base de la dynamique des ´ fluides g´ eophysiques

L’objet de la dynamique des fluides g´eophysiques est l’´etude des ´ecoulements `a grande ´echelle observ´es sur la terre. Bien que cette discipline englobe les mouvements des fluides sous leur phase liquide (eaux oc´eaniques, magma du manteau terrestre) et gazeuse (air de notre atmosph`ere ou atmosph`eres d’autres plan`etes) une restriction est mise sur l’´echelle de ces mouvements:

seules les plus grandes ´echelles des mouvements sont ´etudi´es dans le cadre de la dynamique des fluides g´eophysiques. par exemple les probl`emes relatifs `a l’´ecoulement d’une rivi`ere, la micro turbulence dans les couches sup´erieures de l’oc´ean, la convection dans les nuages sont traditionnellement consid´er´es comme des sujets sp´ecifiques `a l’hydrologie, l’oc´eanographie ou la m´et´eorologie respectivement.

La dynamique des fluides g´eophysiques traite exclusivement des mouvements observ´es dans diff´erents syst`emes et diff´erents contextes mais n´eanmoins gouvern´es par une dynamique simi- laire. Par exemple les larges anticyclones atmosph´eriques sont dynamiquement les cousins des tourbillons g´en´er´es par les m´eandres du Gulf Stream et des tˆaches rouges de Jupiter. La plupart de ces ph´enom`enes sont l’´etat final de la grande ´echelle, o`u soit la rotation ambiante (de la terre, ou toute autre la plan`ete du Soleil) ou les diff´erences de densit´e (masses d’air froid ou chaud, eau douce ou sal´ee) ou les deux, sont tr`es importants. Dans cet ordre d’id´ee, la dynamique des fluides g´eophysiques inclue la dynamique des fluides stratifi´es en milieu tournant.

Des probl`emes typiques en dynamique des fluides g´eophysiques traitent de la variabilit´e de l’atmosph`ere (temps, climat) de l’oc´ean (ondes, tourbillons, courants) et, plus rarement, des mouvements `a l’int´erieur de la terre, responsables de l’effet dynamo, des tourbillons observ´es sur d’autres plan`etes, de la convection dans les ´etoiles ...

2.1 Conservation de la masse - ´ equation de continuit´ e

Il est facile d’imaginer que dans tout volume, en l’absence de sources ou de puits, tout ce qui entre doit sortir et inversement. C’est ce qu’illustre ces ´equations de conservation (conservation de masse ou de toute autre propri´et´e telle que salinit´e, oxyg`ene ...). Consid´erons un volume

´

el´ementaire, fix´e dans l’espace, de fluide de densit´eρ.

La masse de ce volume ´el´ementaire s’´ecrit

m =ρ∆x∆y∆z

Consid´erons, pour simplifier, un ´ecoulement uni-directionnel (selon Ox par exemple) `a tra- vers ce volume. Le d´ebit massique¹ (flux de masse) s’´ecrit dans la direction Ox (ce qui entre est positif, ce qui sort est n´egatif):

d´ebit massique entrant:

Q₁ = ∆m₁

∆t =ρ₁u₁∆y∆z d´ebit sortant:

Q₂ =ρ₂u₂∆y∆z

D’o`u la variation de masse, `a l’int´erieur du volume ´el´ementaire, par unit´e de temps:

∆m

∆t = ∆(ρ∆x∆y∆z)

∆t =ρ₁u₁∆y∆z−ρ₂u₂∆y∆z

Les dimensions du volume fluide ´etant suppos´ees constantes dans le petit intervalle de temps consid´er´e, il vient:

∆ρ

∆t = ρ1u1−ρ2u2

∆x

Qui peut s’´ecrire si les dimensions du volume tendent vers l’infiniment petit:

∂ρ

∂t =−∂(ρu)

∂x

Appliquant ce mˆeme raisonnement dans les 3 directions, on peut alors ´ecrire l’´equation de conservation de la masse (aussi appel´ee ´equation de continuit´e):

∂ρ

∂t + ∂(ρu)

∂x + ∂(ρv)

∂y +∂(ρw)

∂z = 0 soit ∂ρ

∂t +∇.(ρ~V) = 0 (2.1)

Une convergence (divergence) doit ˆetre compens´ee par une compression (dilatation) du fluide.

La d´eriv´ee totale de la masse volumique ρ(x,y,z,t) s’´ecrit:

dρ dt = ∂ρ

∂t +u∂ρ

∂x +v∂ρ

∂y +w∂ρ

∂z

1. quantit´e de masse qui traverse la surface par unit´e de temps

En combinant ces deux ´equations on obtient:

dρ

dt +ρ ∂u

∂x + ∂v

∂y +∂w

∂z

!

= 0

soit dρ

dt +ρ ∇.~V = 0 (2.2)

Pour un fluide incompressible le premier terme est nul et l’´equation de continuit´e pour un fluide incompressible s’´ecrit:

∂u

∂x + ∂v

∂y + ∂w

∂z = 0⇒ ∇.~V = 0

2.2 Equations du mouvement ´

Les ´equations du mouvement sont une application de la seconde loi de Newton, ou loi de conservation du mouvement. Elles ´etablissent que, dans un rep`ere galil´een (absolu, fixe), la masse d’un volume ´el´ementaire peut gagner ou perdre de la quantit´e de mouvement de trois fa¸cons: La premi`ere est due aux forces de volume, qui agissent directement sur la masse, comme la gravit´e; la seconde est due aux forces de surface, agissant sur les fronti`eres, comme les forces de pression, et la troisi`eme aux contacts de masses poss´edant diff´erentes quantit´e de mouvement (cisaillement), `a la fronti`ere du volume, comme les forces de frottement (friction).

d~V_a dt = 1

m

hF~_P +F~_g+F~_fⁱ

2.2.1 Passage aux axes li´ es ` a la terre

L’axe Ox est tangent au parall`ele du lieu (positif vers l’est) ; L’axe Oy est tangent au m´eridien du lieu (positif vers le nord) ; L’axeOz passe par le centre de la terre.

Selon la loi de composition des mouvements, on a entre l’acc´el´eration d’un point M quel- conque dans un rep`ere d’axes fixes (rep`ere d’inertie) et l’acc´el´eration de ce mˆeme point M dans

un rep`ere (mobile) li´e `a la terre, la relation suivante:

~

γ_a =~γ_r+ 2~Ω×V~_r+Ω~ ×(~Ω×T M~ )

o`uO est un point fixe `a la surface de la terre, pris comme origine du rep`ere terrestre, T est le centre de la terre<sup>2</sup>; l’indicer concerne le mouvement relatif, l’indicea le mouvement absolu ; Ω est la vitesse angulaire de rotation de la terre autour de l’ axe des pˆ~ oles ; Ω = 2πrd/86164s = 7.29 10<sup>−5</sup>rd/so`u 86164s repr´esente la dur´ee d’un jour sid´eral.

L’´equation du mouvement par unit´e de masse dans le rep`ere terrestre devient:

~γ_r = ^d~_dt^Vr = F~_P +F~_g +F~_f − 2~Ω×V~_r − Ω~ ×(~Ω×T M~ )

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

Pression Gravit´e Friction Coriolis Centrifuge

(2.3)

2.2.2 Le terme de pression

Un des termes les plus faciles `a appr´ehender dans l’´equation du mouvement est certainement celui-ci: une particule se d´eplacera des hautes vers les basses pressions, et l’acc´el´eration est tout simplement proportionnelle au gradient de pression. On peut imaginer une analogie m´ecanique:

une balle roulant sans frottement sur un plan inclin´e va acqu´erir une acc´el´eration proportionnelle

`

a l’inclinaison du plan (qui ´equivaut ici au gradient de pression).

Consid´erons un volume ´el´ementaire de fluide de masse volumique ρ et de cˆot´es ∆x, ∆y et ∆z. Soient P₁ et P₂ les pressions agissant sur les faces oppos´ees, avec P₂ > P₁, ou encore P₂ =P₁+ ∆p.

Sur la face 1 la force de pression s’´ecrit:F₁ =P₁∆x∆z

Sur la face 2 la force de pression s’´ecrit:F₂ =P₂∆x∆z = (P₁ + ∆p)∆x∆z La masse du volume fluide est m=ρ∆x∆y ∆z

Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique projet´´ ee sur l’axe des y:

mdv

dt =F₁−F₂

2. La quantit´eΩ~ ×(Ω~ ×T M~ ) = ~Ω×(Ω~ ×T O) +~ ~Ω×(~Ω×OM~ ) repr´esente l’acc´el´eration d’entraˆınement d’un point M fixe dans le rep`ere terrestre~γ_e=~γ_O+~Ω×(~Ω×OM~ ) la vitesse angulaire~Ω ´etant constante et le vecteurT O~ de module constant.

ρ∆x∆y∆zdv

dt =P₁∆x∆z−(P₁ + ∆p)∆x∆z apr`es simplification

dv

dt =−1 ρ

∆p

∆y

Si les dimensions du volume fluide tendent vers l’infiniment petit on peut ´ecrire dv

dt =−1 ρ

∂p

∂y

Le signe ”−” indique bien que si la pression augmente vers la droite (P₂ > P₁), la force est dirig´ee vers la gauche. La particule est acc´el´er´ee vers les pressions d´ecroissantes (l’acc´el´eration est dirig´ee des hautes vers les basses pressions, alors que le vecteur gradient est toujours dirig´e vers les valeurs croissantes de la fonction). La force du gradient de pression et le gradient de pression sont oppos´es.

Finalement, en posant α = ¹_ρ, volume sp´ecifique (ou volume de l’unit´e de masse), la force due au gradient de pression, par unit´e de masse, s’´ecrit:

F~_P =−α∇P (2.4)

2.2.3 Gravit´ e et force centrifuge

Fig. 2.1 – Force centrifuge dans le rep`ere terrestre.

La loi de l’attraction universelle (F~ = −GM_Tm/R² ~u) fournit g_f =GM_T/R² ' 9.8ms⁻². L’acc´el´erationgutilis´ee dans le rep`ere terrestre est la somme deg_f et de l’acc´el´eration centrifuge.

g est appel´ee “pesanteur vulgaire” (direction d’un fil `a plomb). g est maximum aux pˆoles, minimum `a l’´equateur (variation de 0.5%). L’axe z du rep`ere terrestre est align´e avec ~g. L’axe x est vers l’est, l’axe y vers le nord. La force centrifuge par unit´e de masse, d’un point `a la surface de la terre, projet´ee sur le rep`ere terrestre s’´ecrit:

F~_cent. = Ω²Rcosφ(−sinφ~j+ cosφ~k)

A l’´equateur φ = 0 ⇒ (Ω²R)_max ' (7.29 10⁻⁵)²6400 10³ ' 0.034ms⁻² << gf. Finalement, en n´egligeant la force centrifuge, la force de gravit´e, par unit´e de masse, s’´ecrit:

F~_g =~g =−g~k (2.5)

2.2.4 Coriolis

Fig. 2.2 – Force de Coriolis dans le rep`ere terrestre.

Le terme − 2Ω~ ×V~r projet´e sur le rep`ere terrestre donne les 4 termes suivants:

selon Ox: 2Ω sinφ v− 2Ω cosφ w selon Oy: −2Ω sinφ u

selon Oz: + 2Ω cosφ u On pose souvent f = 2Ω sinφ etf⁰ = 2Ω cosφ.

f est appel´e facteur de Coriolis.

La force de Coriolis, par unit´e de masse, s’´ecrit:

C_x = +f v−f⁰w C_y = −f u C_z = +f⁰u

(2.6)

2.2.5 les effets du frottement (friction)

Soit τxz la contrainte de frottement verticale dans la direction x:

τ_xz =µ∂u

∂z

selon l’hypoth`ese de Newton qui indique que la force par unit´e de surface exerc´ee par une couche d’un fluide de viscosit´e µ sur une couche adjacente est proportionnelle au gradient vertical de vitesse.

La tension a la mˆeme dimension qu’une pression (force par unit´e de surface). µ est le coefficient de viscosit´e mol´eculaire (dynamique).

Isolons un cube de fluide. Supposons que les tranches sup´erieures aillent plus vite que les tranches inf´erieures, de telle sorte que uetz croissent en mˆeme temps. Si on consid`ere une aire

∆s= ∆x∆y de la surface de s´eparation, la force tangentielle exerc´ee par la couche sup´erieure sur la couche inf´erieure, qui est ´egale et directement oppos´ee `a la force exerc´ee par la couche inf´erieure sur la couche sup´erieure, est proportionnelle `a ∆s et `a τ<sub>xz</sub>. Les fl`eches en pointill´es sur la figure ci-dessus, repr´esentent l’action du cube sur les couches d’eau adjacentes.

La relation fondamentale de la dynamique appliqu´ee `a ce petit cube fluide s’´ecrit:

mdu

dt =ρ∆x∆y∆zdu

dt =τ_xz2∆x∆y−τ_xz1∆x∆y d’o`u

du dt = 1

ρ

τ_xz2−τ_xz1

∆z = 1

ρ

∆τ_xz

∆z Si les dimensions du cube tendent vers l’infiniment petit:

du dt = 1

ρ

∂τxz

∂z = 1 ρ

∂

∂z µ∂u

∂z

!

ou encore, puisque µ ne d´epend que de la nature du fluide du

dt = µ ρ

∂²u

∂z²

du/dt repr´esente l’acc´el´eration d’une particule de fluide sous l’effet du frottement visqueux.

Finalement en consid´erant les faces du cube, et chacune des composantes de tensions, on d´emontre que le frottement mol´eculaire s’´ecrit:

frottement en x =ν

"

∂²u

∂x² + ∂²u

∂y² +∂²u

∂z²

#

=ν∇²u o`u ν =µ/ρ, appel´e viscosit´e cin´ematique.

La force de Friction, par unit´e de masse, s’´ecrit:

F_x = ν∇²u F_y = ν∇²v F_z = ν∇²w

(2.7)

2.2.6 Les termes non-lin´ eaires

Quand on ´ecrit l’´equation du mouvement d’une particule fluide dans le rep`ere terrestre, il faut bien imaginer que l’on suit cette particule dans son mouvement. La quantit´e _dt^d est une d´eriv´ee totale, dite encore d´eriv´ee particulaire ou d´eriv´ee lagrangienne. Les composantes de la

vitesse (ou de toute autre grandeur scalaire, li´ee `a la particule) sont des fonctions de l’ espace et du temps: f(t,x(t),y(t),z(t)). ainsi:

du = ∂u

∂tdt+ ∂u

∂xdx+∂u

∂ydy+∂u

∂zdz

et du

dt = ∂u

∂t +u∂u

∂x +v∂u

∂y +w∂u

∂z du

dt = ∂u

∂t +V .~ ∇u

On voit apparaˆıtre une d´eriv´ee locale ^∂u_∂t et des termes advectifsV .~ ∇u. Les termes advectifs sont non lin´eaires: ils peuvent ˆetre la cause de l’accroissement des petites perturbations, conduisant

`

a une instabilit´e. En cela leur action s’oppose `a celle des termes de frottement qui contribuent

`

a amortir le mouvement.

Le mouvement deviendra turbulent lorsque le rapport “termes non lin´eaires / frottement”

sera suffisamment grand.

Soit U une vitesse typique et L une distance typique de variation de la vitesse U:

=⇒u ∂u

∂x / ν∂²u

∂x² ' U L ν =R_e

o`u R_e est le nombre de Reynolds. On verra par la suite que pratiquement tous les mouve- ments des fluides g´eophysiques sont turbulents avec un nombre de Reynolds Re ≥10⁵.

2.2.7 Les ´ equations du mouvement dans le rep` ere terrestre

Toute particule d’un fluide g´eophysique prise `a la surface de terre, isol´ee dans l’espace (on ne parle pas ici des effets d’attraction des autres plan`etes, qui engendrent les ph´enom`enes de mar´ees) ob´eira au jeu d’´equations suivantes:

du

dt = ^∂u_∂t +u^∂u_∂x+v^∂u_∂y +w^∂u_∂z =− α_∂x^∂p + f v− f⁰ w +ν∇²u

dv

dt = ^∂v_∂t +u^∂v_∂x+v^∂v_∂y +w^∂v_∂z =− α^∂p_∂y − f u +ν∇²v

dw

dt = ^∂w_∂t +u^∂w_∂x +v^∂w_∂y +w^∂w_∂z =− α^∂p_∂z + f⁰ u − g +ν∇²w Augment´e de l’´equation de la continuit´e:

dρ

dt +ρ ∇.~V = 0

Ces ´equations permettent de d´eterminer les quatre inconnues u,v,w,p.

u,v,w sont les composantes de la vitesse de la particule dans le rep`ere localx,y,z`a la surface de la terre, pest la pression.

α = ¹_ρ est le volume sp´ecifique (volume de l’unit´e de masse) suppos´e connu. Dans certains probl`emes α peut ˆetre consid´er´e comme inconnu, il faudra alors rajouter l’´equation d’´etat du fluide, pour fermer le syst`eme.

Ω est la vitesse angulaire de rotation de la terre, φ la latitude de lieu, et ν la viscosit´e cin´ematique du fluide g´eophysique ; f = 2Ωsinφ, est le param`etre de Coriolis et f⁰ = 2Ωcosφ.

Chapitre 3

Diff´ erentes d´ ecompositions de la circulation

3.1 Les ´ equations de l’´ ecoulement moyen

Les mouvements des fluides g´eophysiques sont essentiellement de nature turbulente avec un nombre de Reynolds R_e≥10⁵.

L’´ecoulement ´etant turbulent, plutˆot que de rechercher la vitesse instantan´ee, on cherche une vitesse liss´ee dans le temps, c’est `a dire moyenn´ee sur une p´eriode de temps d´ependant du ph´enom`ene ´etudi´e. Dans le mˆeme temps, pour chacune des variables (composantes de la vitesse et pression) on fait la d´ecomposition suivanteu=u+u⁰, o`uuest la moyenne et u⁰ la variabilit´e autour de u, telle queu⁰ = 0:

u= 1 T

Z T 0

u dt u⁰ = 1 T

Z T 0

u⁰ dt= 0

Cette technique a ´et´e mise au point par Osborne Reynolds. ´Etablissons pour exemple la moyenne du produit de deux composantes ind´ependantes uet v:

uv = 1 T

Z T 0

uv dt= 1 T

Z T 0

¯

u¯v dt+ 1 T

Z T 0

uv⁰ dt+ 1 T

Z T 0

u⁰v dt+ 1 T

Z T 0

u⁰v⁰ dt ainsi

uv = ¯u¯v+ ¯uv¯⁰+ ¯u⁰¯v+u⁰v⁰ mais puisque u⁰ =v⁰ = 0,

uv = ¯u¯v+u⁰v⁰

T repr´esente un laps de temps suffisamment long pour que les valeurs moyennes soient ind´epen- dantes. On a pourv,w,p... des d´efinitions analogues. Siu⁰ = 0 il faut noter que les fluctuations elles-mˆemes peuvent ˆetre du mˆeme ordre de grandeur queu. De plus les fluctuations superpos´ees au vecteur vitesse moyen sont tridimensionnelles, c’est `a dire u⁰, v⁰, w⁰ sont toujours pr´esentes mˆeme si l’´ecoulement est mono ou bidimensionnel.

On peut montrer que tous les termes lin´eaires des ´equations du mouvement gardent, pour l’´ecoulement moyen, la mˆeme forme que pour l’´ecoulement instantan´e, par contre les termes advectifs deviennent:

V .~ ∇u=V .~ ∇u+u⁰∂u⁰

∂x +v⁰∂u⁰

∂y +w⁰∂u⁰

∂z

| {z }

termes turbulents Les ´equations de Reynolds font apparaˆıtre des termes “turbulents”.

3.1.1 Tension de Reynolds et viscosit´ e turbulente

On d´emontre que l’´equation de continuit´e pour un fluide incompressible

∂u

∂x +∂v

∂y + ∂w

∂z = 0 satisfait pour l’´ecoulement moyen `a la forme:

∂u

∂x +∂v

∂y + ∂w

∂z = 0 on en d´eduit par soustraction (u⁰ =u−u) que

∂u⁰

∂x + ∂v⁰

∂y + ∂w⁰

∂z = 0

On peut donc ´ecrire les termes turbulents de la fa¸con suivante, sans en changer la valeur:

u⁰∂u⁰

∂x +v⁰∂u⁰

∂y +w⁰∂u⁰

∂z +u⁰ ∂u⁰

∂x +∂v⁰

∂y +∂w⁰

∂z

!

= ∂(u⁰u⁰)

∂x +∂(u⁰v⁰)

∂y + ∂(u⁰w⁰)

∂z et l’´equation de Reynolds pour la composanteu s’´ecrit:

du

dt =−α∂p

∂x +f v−f⁰w+ν

"

∂²u

∂x² + ∂²u

∂y² +∂²u

∂z²

#

− ∂u⁰u⁰

∂x − ∂u⁰v⁰

∂y −∂u⁰w⁰

∂z

pour la viscosit´e mol´eculaire, on peut ´ecrire ν^∂_∂x^2u2 = _∂x^∂ ν^∂u_∂x etρν^∂u_∂x est l’expression de la contrainte dans la direction xdue aux effets mol´eculaires.

Par analogie on identifie −ρu⁰u⁰ `a une contrainte due aux effets turbulents. Ainsi −ρu⁰u⁰,

−ρu⁰v⁰. . ., sont appel´es tensions de Reynolds. Toujours par analogie, on d´efinit les coefficients de viscosit´e turbulente par

u⁰u⁰ =−A_x∂u

∂x ; u⁰v⁰ =−A_y∂u

∂y ; u⁰w⁰ =−A_z∂u

∂z

Si on n´eglige les variations spatiales des coefficients A les termes turbulents tels que ^∂(u_∂x^0u0) prennent une forme identique aux termes de frottement mol´eculaires, qui pourront par la suite ˆetre n´eglig´es, si le nombre de Reynolds est suffisamment grand. Sous cette hypoth`ese, les ´equations du mouvement moyen deviennent:



















du

dt =−α_∂x^∂p +f v−f⁰w+A_x^∂_∂x^2u2 +A_y^∂_∂y^2u2 +A_z^∂_∂z^2u2

dv

dt =−α_∂y^∂p−f u+A_x∂x^∂2v2 +A_y^∂_∂y^2v2 +A_z^∂_∂z^2v2

dw

dt =−α^∂p_∂z +f⁰u−g+A_x^∂_∂x^2w2 +A_y^∂_∂y^2w2 +A_z^∂_∂z^2w2

(3.1)

Contrairement `a ν, les A ne sont pas des propri´et´es du fluide, mais de l’´ecoulement. Ils varient de place en place, et d´ependent de l’´echelle de “lissage” choisie.

Par exemple, si on ´etudie la circulation g´en´erale stationnaire,V~ repr´esente le vecteur moyen en un point, et lesA int`egrent la contribution de tous les mouvements non-stationnaires, prin- cipalement de la variabilit´e “moyenne ´echelle”.

3.1.2 R´ esolution spatiale et temporelle de la circulation

Les champs (scalaires ou vectoriels) qui caract´erisent l’´etat des fluides g´eophysiques sont tr`es variables `a la fois dans l’espace et dans le temps. cependant, le climat est d´efinit par des conditions moyennes, ce qui sugg`ere la d´ecomposition des variables en une valeur moyenne, et l’´ecart `a cette valeur moyenne.

Nous avons vu au paragraphe pr´ec´edent comment d´efinir la moyenne temporelle ( ¯.) et la d´eviation `a cette moyenne:

A= 1 τ

Z τ 0

A dt

La valeur instantan´ee de A est donn´ee par A=A+A⁰ avec bien sˆur A⁰ = 0. Ainsi la moyenne du produit de deux variables A etB est donn´ee par AB=A B + A⁰B⁰.

Dans cette expression A⁰B⁰ est la covariance de A et B dans le temps, et peut s’´ecrire A⁰B⁰ = r(A,B)σ(A)σ(B), o`u r(A,B) est le coefficient de corr´elation temporelle et σ l’´ecart type.

Cette m´ethode peut ˆetre ´etendue aux moyennes spatiales, en particulier dans l’´etude de l’atmosph`ere, o`u les moyennes zonales peuvent ˆetre utiles quand on travaille `a l’´echelle du globe ; elles fournissent la part sym´etrique du signal par rapport `a l’axe de rotation du globe terrestre. Le principe reste le mˆeme. On introduit un op´erateur de moyenne zonale [.]:

[A] = 1 2π

Z 2π 0

A dλ o`uλ est la longitude

La valeur deA est donn´ee par A= [A] +A^∗, o`u A<sup>∗</sup> est l’´ecart `a cette moyenne zonale, avec bien sˆur [A^∗] = 0.

En combinant les deux d´ecompositions, spatiale et temporelle, il vient:

A= [A] +A^∗+ [A]⁰+A^0∗

Le premier terme, [A], repr´esente la partie permanente et sym´etrique par rapport `a l’axe des pˆoles de la variable ; par exemple, les vents d’est aux latitudes basses et les vents d’ouest aux latitudes moyennes.

Le second, A^∗ = A−[A], la partie asym´etrique permanente du signal ; par exemple pour la variable vent, les moussons, ou les disparit´es dues aux contrastes thermiques terre-mer.

Le troisi`eme, [A]⁰ = [A]−[A], les fluctuations temporelles de la moyenne spatiale ;

Le dernier terme, A^0∗, repr´esente le reste des fluctuations. On regroupe souvent ces deux derniers termes en un A⁰ = [A]⁰+A^0∗ global. On y trouvera le signal du aux passages de basses et hautes pressions comme observ´es sur les cartes m´et´eorologiques.

On a souvent besoin de connaˆıtre les moyennes temporelles et zonales de quantit´es de la forme [AB], et comme les deux op´erateurs sont permutables, [AB] = [AB].

Consid´erons d’abord la moyenne zonale:

AB = [A][B] +A^∗[B] + [A]B^∗+A^∗B^∗ ainsi [AB] = [A][B] + [A^∗B^∗] Mais [A] = [A] + [A]⁰ et [B] = [B] + [B]⁰, d’o`u

[AB] = [A] [B] + [A][B]⁰+ [A]⁰[B] + [A]⁰[B]⁰+ [A^∗B^∗] Et en prenant la moyenne temporelle:

[AB] = [A] [B] + [A]⁰[B]⁰+ [A^∗B^∗]

Observons pour exemple la distribution globale annuelle de l’´energie cin´etique (par unit´e de masse) dans l’atmosph`ere, moyenn´ee zonalement (figure 3.1): On utilise la d´ecomposition suivante, avec u etv les composantes zonale et m´eridiennes du vent:

u = [u] +u^∗+u⁰ et [u²] = [u]²+ [u^∗2] + [u⁰²] v = [v] +v^∗+v⁰ et [v²] = [v]²+ [v^∗2] + [v⁰²]

K =K_{T E}+K_SE+K_M o`u,

K = ¹₂^hu²+v²ⁱ K_{T E} = ¹₂^hu⁰²+v⁰²ⁱ K_SE = ¹₂[u^∗2+v^∗2] K_M = ¹₂([u²] + [v²])

K_{T E} pour Transient Eddy ( ph´enom`enes transitoires),K<sub>SE</sub> pour Stationnary Eddy ( ph´eno- m`enes stationnaires), KM pour Mean (moyenne),K repr´esentant l’´energie cin´etique totale par unit´e de masse. On observe des distributions identiques dans les deux h´emisph`eres. Les deux maxima `a 200hP acorrespondant aux jets subtropicaux. Il est ´evident queK_{T E} etK_M sont les deux termes pr´epond´erants, les ph´enom`enes stationnaires n’intervenant que dans l’h´emisph`ere nord et pour une faible part. les maxima observ´es dans K_{T E} correspondent aux m´eandres journaliers et saisonniers des jets polaires et subtropicaux, et au d´ecalage saisonnier du jet subtropical.

3.2 Filtrage des ´ equations de base pour l’atmosph` ere

Les ´equations du mouvement peuvent ˆetre filtr´ees, afin d’exclure certains ph´enom`enes qui sont peu importants suivant les ´echelles ´etudi´ees. Par exemple, la propagation des ondes so- nores peut ˆetre n´eglig´ee lorsqu’on ´etudie la grande ´echelle ; la dimension verticale ´etant tr`es faible devant les dimensions horizontales, on pourra souvent faire l’hypoth`ese d’un ´equilibre hydrostatique ...

Pour mettre en ´evidence les termes importants des ´equations du mouvement on utilise la technique de l’analyse des ´echelles pour estimer les ordres de grandeur de chacun des termes. Elle est bas´ee sur une analyse dimensionnelle et sur un choix ad´equate des valeurs caract´eristiques des ´echelles de longueur, de hauteur (profondeur), de temps ...

Fig. 3.1 – tir´e de Peixoto and Ort, p164, 1992

3.2.1 Echelles caract´ ´ eristiques

Les ´echelles caract´eristiques des mouvements grande ´echelle dans l’atmosph`ere sont les sui- vantes:

horizontale L'10⁶m;

verticale H '10⁴m;

vitesses horizontales U '10ms⁻¹; vitesses verticales W '10⁻¹ms⁻¹;

pression horizontale ∆p_h '10³P a(10mbar) ; pression verticale ∆p_v '10⁵P a(1000mbar) ;

temps T =L/U '10⁵s;

param`etre de Coriolis f = 2Ωsinφ '10⁻⁴s⁻¹ aux moyennes latitudes

Les diff´erents termes des l’´equations du mouvement ont alors les ordres de grandeur suivants:

du dt,dv

dt

!

∼ U²

L = 10⁻⁴ms⁻²; dw

dt

!

∼ U W

L = 10⁻⁶ms⁻²; (f U,f V)∼10⁻³ms⁻²;

(f⁰W)∼10⁻⁵ms⁻²; 1

ρ

∂P

∂x,1 ρ

∂P

∂y

!

∼10⁻³ms⁻²;

1 ρ

∂P

∂z

!

∼10ms⁻²;

(F_x,F_y)∼10⁻⁴ms⁻² `a 10<sup>−5</sup>ms<sup>−2</sup>; (F<sub>z</sub>)∼10<sup>−6</sup>ms<sup>−2</sup> `a 10⁻⁷ms⁻²;

(g)∼10ms⁻²

3.2.2 Equation verticale ´

Le filtrage de l’´equation du mouvement vertical conduit imm´ediatement `a un ´equilibre entre le gradient vertical de pression et la gravit´e:

∂p

∂z =−ρg qui est la condition de l’´equilibre hydrostatique.

Dans les probl`emes de turbulence `a petites ´echelles, de convection ou de ph´enom`enes `a moyennes ´echelles, les vitesses verticales peuvent ˆetre du mˆeme ordre de grandeur que les vitesses horizontales, et les conditions de l’´equilibre hydrostatique ne sont alors plus respect´ees.

Cependant ces ph´enom`enes sont de dur´ees assez courtes et locaux.

Approximation de Boussinesq

Dans la plupart des fluides g´eophysiques, la densit´e (masse volumique) varie, mais faible- ment, autour d’une valeur moyenne. par exemple, pour l’oc´ean, la densit´e moyenne est de l’ordre de 1028kgm⁻³ et les variations n’exc`edent pas 3kgm<sup>−3</sup>, soit une variation relative inf´erieure `a 3%.

Pour l’atmosph`ere, qui se rar´efie avec l’altitude, la densit´e par contre varie d’une valeur maximale au sol, `a pratiquement 0 `a des altitudes tr`es ´elev´ees, soit une variation relative de 100%. Cependant les mouvements atmosph´eriques sont confin´es dans la troposph`ere (10 premiers kilom`etres) o`u les variations de densit´e, responsables des vents, n’exc`edent pas 5%.

Du fait que les variations de densit´e sont faibles par rapport `a la densit´e moyenne, on d´ecompose la pression et la masse volumique de la fa¸con suivante:

p=p₀(z) +p⁰(x,y,z,t) ; ρ=ρ₀+ρ⁰(x,y,z,t)

O`uρ<sub>0</sub> est une constante, et p<sub>0</sub>(z) =P<sub>0</sub>−ρ<sub>0</sub>gz. Les quantit´es “prim´ees” l’´ecart `a ces valeurs.

L’´equation de continuit´e devient:

ρ₀(∂u

∂x +∂v

∂y + ∂w

∂z) +ρ⁰(∂u

∂x + ∂v

∂y +∂w

∂z) + (∂ρ⁰

∂t +u∂ρ⁰

∂x +v∂ρ⁰

∂y +w∂ρ⁰

∂z) = 0

L’´etude des ´ecoulements g´eophysiques montre que les variations de densit´e dans le temps et dans l’espace sont plus faibles ou ´eventuellement du mˆeme ordre de grandeur que les varia- tions du champ de vitesse. Ainsi, le troisi`eme groupe de termes est au pire du mˆeme ordre de grandeur que le deuxi`eme groupe, qui lui est bien inf´erieur au premier puisque ρ⁰ ρ₀. Dans l’approximation de Boussinesq seul le premier groupe de termes est conserv´e et l’´equation de la continuit´e se r´eduit `a:

∂u

∂x +∂v

∂y + ∂w

∂z = 0

Dans cette approximation, l’´equation de conservation de la masse se r´eduit `a la conservation du volume. Ce qui revient `a consid´erer le fluide incompressible.

En fait dans l’´equation de conservation de la masse ¹_ρ^dρ_dt +∇.~V = 0 le premier terme repr´esente le taux de variation de densit´e suivant une particule fluide. Un fluide est dit incompressible si sa densit´e ne change pas avec la pression. Les liquides sont pratiquement incompressibles. Bien que les gaz le soient, pour des vitesses inf´erieures `a 100ms<sup>−1</sup> le changement de pression absolue dans l’´ecoulement est faible. En cela les changements de densit´e dans l’´ecoulement sont faibles. L’approximation de Boussinesq consiste donc `a dire que le terme ¹_ρ^dρ_dt est n´egligeable devant le gradient de vitesses∇.~V

Regardons comment intervient cette approximation dans l’´equation du mouvement projet´ee sur la verticale :

dw

dt =−1 ρ

∂p

∂z −g+F_z

p=p₀(z) +p⁰(x,y,z,t) avec p₀(z) = P₀−ρ₀gz D’autre part

1

ρ = 1

ρ⁰+ρ₀ = 1 ρ₀





1 1 + _ρ^ρ0

0



' 1

ρ₀ 1− ρ⁰ ρ₀

!

−¹_ρ^∂p_∂z =−_ρ¹₀(1− _ρ^ρ₀⁰)(^∂p_∂z⁰ +^∂p_∂z⁰)

=−_ρ¹₀[^∂p_∂z⁰ + ^∂p_∂z⁰ − _ρ^ρ₀^0∂p_∂z⁰ − _ρ^ρ₀^{0 ∂p}_∂z⁰]

=−_ρ¹₀[−ρ₀g+^∂p_∂z⁰ +_ρ^ρ0

0ρ₀g− _ρ^ρ₀^{0 ∂p}_∂z⁰]

=g− _ρ¹₀^∂p_∂z⁰ − _ρ^ρ₀⁰g+ _ρ^ρ2⁰ 0

∂p⁰

∂z

'g−_ρ¹₀^∂p_∂z⁰ − _ρ^ρ₀⁰g L’´equation verticale du mouvement devient donc:

dw

dt =g− 1 ρ₀

∂p⁰

∂z − ρ⁰

ρ₀g−g+F_z =−1 ρ₀

∂p⁰

∂z − ρ⁰

ρ₀g+F_z

Les ´equations du mouvement dans l’approximation de Boussinesq s’´ecriront donc:

du

dt = − _ρ¹₀^∂p_∂x⁰ +f v−f⁰w +F_x

dv

dt = − _ρ¹₀^∂p_∂y⁰ − f u +F_y

dw

dt = − _ρ¹₀^∂p_∂z⁰ +f⁰u − _ρ^ρ₀⁰g +F_z

En r´esum´e, l’approximation de Boussinesq permet de remplacer la densit´e exacte par sa valeur de r´ef´erence ρ₀ partout sauf dans le terme de l’acc´el´eration de la pesanteur. Dans les termes de pression ne restent plus ´egalement que la partp⁰ due `aρ⁰, puisquep₀(z) ne d´epend que dez. Cette partp⁰est appel´ee pression dynamique, car c’est le principal moteur de l’´ecoulement.

Terme de flottabilit´e, fr´equence de flottabilit´e (Br¨unt Va¨ısala)

Le terme σ = − _ρ^ρ₀⁰g qui apparaˆıt dans l’´equation selon la verticale est appel´e terme de flottabilit´e, positif pour un ´el´ement de fluide moins dense que son environnement. La quantit´e N, fr´equence de flottabilit´e, ou fr´equence de Br¨unt Va¨ısala est d´efinie comme suit:

N² = dσ

dz =− g ρ₀

dρ dz

C’est la fr´equence des oscillations d’un ´el´ement de fluide d´eplac´e verticalement de sa position d’´equilibre, si le milieu est stable (^dρ_dz <0). N est d’autant plus grande que le gradient vertical de densit´e est important. Elle quantifie la stratification.

Consid´erons un fluide de densit´e (potentielle) ρ = ρ(z). D´epla¸cons un ´el´ement de fluide

´

el´ementaire de z `az+ξ. Il est environn´e par un fluide de densit´e ρ(z) +ξ<sup>dρ</sup><sub>dz</sub> et donc soumis `a une force de rappel gξ^dρ_dz, `a l’origine d’une acc´el´eration verticale par unit´e de volumeρ^d_dt²2^ξ. La seconde loi de Newton s’´ecrit:

ρd²ξ

dt² =gξdρ

dz =⇒ d²ξ

dt² + −g ρ

dρ dz

!

ξ= 0 =⇒ d²ξ

dt² +N²ξ = 0 Dans l’approximation de Boussinesq on retrouve bien

N² =−g ρ₀

dρ dz

3.2.3 Equilibre g´ ´ eostrophique

En gardant seulement les termes d’ordre sup´erieur ou ´egal `a 10⁻³ms⁻² dans les ´equations horizontales seuls les termes du gradient de pression horizontal et la composante horizontale de la force de Coriolis subsistent ; c’est l’´equilibre g´eostrophique:

V~g = 1

ρf~k∧ ∇p

Les solutions de l’´equilibre g´eostrophique montrent (figure 3.2) que le vent souffle parall`element aux isobares, avec les hautes pressions sur la droite dans l’h´emisph`ere nord, sur la gauche dans l’h´emisph`ere sud.