Optimization loops for shape and error control: extended lecture notes

Texte intégral

(1)Optimization loops for shape and error control: extended lecture notes Alain Dervieux, F. Courty, Tristan Roy, M. Vázquez, B. Koobus. To cite this version: Alain Dervieux, F. Courty, Tristan Roy, M. Vázquez, B. Koobus. Optimization loops for shape and error control: extended lecture notes. [Research Report] RR-5413, INRIA. 2006, pp.41. �inria00070593�. HAL Id: inria-00070593 https://hal.inria.fr/inria-00070593 Submitted on 19 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Optimization loops for shape and error control: extended lecture notes A. Dervieux, F. Courty, T. Roy, M. Vázquez, B. Koobus. N° 5413 December 15, 2004. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5413--FR+ENG. Thème NUM. apport de recherche.

(3)

(4)

(5)

(6) "!#

(7) $%!&' )(*! +,!- $ !&$. !&'/0 ! !& 132546879:;68<>=5?A@CBD2CEDFG<57IHKJLM@5NO2CPFQJR@/ST25UOVXW8YZ<568W\[M@5]2C^ F>F`_5<5acb dfeAgh,ijlklmonqp\rQsutvgh,icsfw8xyhDzI{v|~}8xAiIs {Mit&d{) A|~s -) A X{ut-Qi{iIeAiI{eyiwG5XI"nliIihXiI{cQy)))nX XM)ics I A¡))¢ dfeAi G£ i{Mwy¥¤)i{stv|§¦§|¨trM©CteAisu)ª«IM¦§¦¬icO)|¬w8th,i tvey\yslxXsuic®|§w" Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w¥ A{vA¦§ihs |~sf)AA{vicsvsviI8r y{vicsuiIwt|¬wyDD hA|§wAiIh,i tvey\A)¦§))r`°5sueXM Gi)wy±iI{v{){f w8tv{)¦³²´µw¶·X{sut XM{vtf£ iQiIs {|¬Gi wy¤)i¦tviceAwA¦¬)|§iIs>©¸){su¦¬¤\|§wAlsvey) XifQiIsv|§)w y{vA¦¬iIhs°>)wysutv{M|§wAic) Qt|¬hxAh¹©¸{vhxA¦§Mtv|§)w£&|¬tve,))|§wtc)wAiª sveA)t Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w3M¦§){v|¬tveAhsMwy"hxy¦¨t|¨ª«¦¬iI¤)iI¦ Qtv|§h,|¬¯ct|¬w¥ A{iI)wyQ|¬tv|§)wy|¬wAX²dfeAi,M A y¦¬|~Mtv|§)w®t¶sveyM Gi AiIsv|¬w A{)A¦§ihº{i¦~tiItDsv)wy|§lX\h»hD|§wA|§h,|¬¯ctv|§)w |§s {i G){vtvic¼²5´µw Dsuic )wX± y){utc\M©½tviI{fsv)h,il{viIh,){v¾Qs¿)w h,icsue¥AM Att|¬wZ`£¿ii ÀAMh,|§wAiteAiD A{vA¦§ihÁM©©¸{vhxA¦§Mtv|§wAh,icsue¥AM Att|¬w®|§w®tviI{vhslM©¿)w®) Atv|§hD|§¯IMtv|§)w y{vA¦¬iIh¶8 y{vicsuiIwt|¬wyDsv)h,iM A A¦§|~t|¬wys¿tv,|§wti{ X¦§Mtv|§)wMwy±tv5M{vtv|~M¦¼Â|¬Ãì{iw8tv|~M¦ZÄC}8xyMtv|§)wysI²dfeAi|¬h, A¦§|¬ª It|¬wys-)©teAi y{v X8suic¶hDitveAQOGiI)h,i¦¬icM{c°¿\r¶ hA|§wA|§wAtv)itveAiI{ÂGMtve¥|§Qic)sl sutliÃGicKt|¬¤ih,i tvey\ys IMwOGiQiI¤)iI¦¬ Xic¶£&eAi{itveAi) Qt|¬h,|§¯IMtv|§)wO¦§8 ys-|§w\¤)¦¬¤iX)tve¥sveyM Gi Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w>yt±|¬h, A{¤)i)w®MiI{vQQr8ª wXMh,|§Qicsu|§)w>>ÅÆGÇh,icsueO)yM Qt|¬¤\|¬tr)\tv±) Gi£&|¨te teAiQ|¬È± xA¦¬tv|§iIs&)©>teAiÉ Ê5 A{)A¦§ih|¬w\¤)¦¬¤iI¼² ËCÌ Ç)ÍcÎÏQÐ Ì ÆyÑGÒXÓÔKÕ Ì ÆyÑ ÌÂÖ Å× Ì ÓÕØ;ÍMÆ®Ç)ÔÑ«ÅMØ Ö½Ö Ô Ì Ç Ì ÕÂÆGÍMÑ Ì ÕlÇ Ì ÎÍÏQÓÕlÅMÏOÙ§ÚÛÜ ÝßÞà)áÂâ3ãXä\ÍMÓKÑ Ë ÍMÏQÓÕ Ì ÍMÆ ÝOÏ Ö Ñ³Ø;ÇØ~ÕKå ÎØ Ò Ö Ø½ÆGÅÓKæ±Ý®ÍcÇ ÌÖ½Ö Ø½Æ\ç±ãGØ½ÐÏ Ö ÅÑ³Ø;ÍÆ"ÅMÆGÇèàXÅ Ö Ø;Ç)ÅMÑéØ;ÍMÆ¥Ø½Æá Ì ÓvÍÆ`ÅÏQÑ³Ø;ÎKÕê~ë/ì ÏQØÕAí Ì ÕÑ¿Ñ Ì ÆyÏ¶îïlÅÓvÎ ÌÖ ÍÆ Ì±ð;ñò ë Ö¬Ì Õó8ôMåµó8õ ö ÏQØ½Æ"ó8÷÷ øA² ùOú8û`üýþ ÿ)¢ 5M{vtv|~M¦>l|¬ÃGiI{viIwt|§)¦ÄC}8xyMtv|§)wysI`Ê|§wA|¬tviDÄ¦¬iIh,iw8tm¶itveAQ¼¼m¶icsue &A) Qtv|§¤\|¨tr`mOxA¦¨t|¬¦§i¤i¦ l Qª t|¬h,|§¯IMtv|§)wZXÉ¿hD yxQtMtv|§)wy)¦ZÊ¦§xA|~¶Âr\wy)hD|~sI l Qt|¬h)¦>p\eyM GiliIsv|¬w. B

(8)

(9) "!$#%&(')*)"!(,+.-0/12,3154678 ':9<; =>')7?*)')!( @,A9= &" C

(10)

(11)

(12)

(13) ""!$!$#%#%&(&(')')*)*)""!(!(,,+.+.-0-0//1122,,33115546467788 ':':9<9<;; =>=>')')7?7?*)*)')')!(!( @,@,AA99== &"&" DFE V E == '' G>G>""AHAH!I!I'' IW9< XYJ ')=ZAH7=,(9*)*)') %"A

(14) G?/KHN#%#%[ 6"LM7!$$4X\9=>9<NI98*)OW(]5!NP<9<=Q')^Z;S RU"T!U>?T6_

(15) R_ J / ')A`R= ,92?>467,19`')= XbaFSc$-ede#%#f d g_h("iQ`,@,A9= &". Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France) Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65.

(16) ! $ ! 5 !#! $u!&!-0

(17) ±5 >

(18) ¢ lw®xQt|¬¦§|§sviD¦§ AxA|~svsMwyiitl¦~sv)xA A¦§iIssviQi¦§hDztveAQQi,Qi¦

(19) z tt)|¬w8tl G)xy{)wysutv{xA|§{vixywAi ) A A{QeAi)ssuQ|§)wt&¦§i w8tv{ )¦§iQxOhM|§¦¬¦~Mii tAi¦§D©¸{vh,i²fMwXs-xAwAi A{ih,|¬gI{vi XM{vtv|§iwA)xyslQzI{v|§¤)wys-Qics h,ztveAQQicswy)xA¤i¦§¦¬ics G)xA{,{zIsv)xyA{viQiIsD A{)A¦§gh,icsQiO)wyi Qt|¬w ) Qt|¬h)¦¬i¶Qi ©¸){hDi°±©¸{vhxA¦§Mtv|§)w Ai¦~ )w8tv{M|§w8tviz)¦¬|¬tvzD y){)|§w8t yxA|§s Qtv|§h,|§st|¬w¥)wyi ªµsueA)tI¼ Qtv|§h,|§st|¬w¥hxy¦¨t|¨ª«wA|§¤)iI)xZ² ) A A¦§|§Itv|§)w ¦~ {zIAxyKt|¬wQxXMwAsuwA|§}8xAi suiI{ut5 |¬¦§¦¬xXst{Mtv|§)wZ²l)wysxAwAi¿sviI)wy yM{vtv|§i)M) A{vgcsZxAwyi¿{i¤\xAi ¤)wy zIiIsZ{zIiw8tvics iIw AM Qtt|¬w QihM|§¦¬¦~Mi)\)w i ÀAMh,|§wAii tvtvi A{)A¦§zht|§}8xAisuxys

(20) ¦ Mwy)¦§iQi¦ Qtv|§h,|§st|¬wZ\i t&)w A{vzcsuiIw8tvi }8xAiI¦§}8xAicsM y A¦¬|~Mtv|§)wys O

(21) ¦ |§wti{ X¦§Mtv|§)w )yM Qttv|§¤)i,it O¦ AM Qtt|¬w3 G)xy{QiIsÄC²5´µ¦¿iIsutM¦§){s¦¬|§sv|§A¦¬i XM{&¦ svsvQ |~tv|§)wQi ics tviceAwA|~}xyiIsIyQiQzI¤)i¦§) y XiI{-QiIs&h,ztveAQQics&i È± ics Qtv|§h,|§st|¬w¶¤iI)A) QtMtv|§)w |§wy){ X{vzIi)Q·yw¶Qih,|§ixQÀ{vzI XwyQ{i)xQÀGiIsv)|§wys&QxOQiIsv|§)wiw®m¶zIIMwA|~}8xAiQiIs&Ê¦§xA|~QiIs-jÂxAh,z{|§}8xAi² Zä8Ø~Õ Ø~Õ Ñéä ÌOÌ Ñ Ì ÆGÇ Ì Ç¥× Ì ÓÕØ;ÍMÆ Í Ö¬Ì Î Ñ³ÏQÓ Ì Æ`ÍÑ Ì Õ ÍMÓ Ñéä Ì Ù§ÚCÛÜ Ý Þlà)álâ*ãXä\ÍÓKÑ Ë ÍMÏQÓÕ Ì ÍÆßÝOÏ Ö ÑéØ;ÇMØ~ÕÎ Ø Ò Ö Ø½ÆGÅMÓKæ Ý¥ÍcÇ ÌÖ½Ö Ø½Æ8ç ãGØ½ÐÏ Ö ÅÑ³Ø;ÍÆ3ÅMÆGÇ àXÅ Ö Ø;ÇÅÑ³Ø;ÍÆ3Ø½Æ¶á Ì ÓÍÆGÅMÏQÑéØ;Î Õê~ë5ä ÌÖ Ç±Ø½ÆOïÂÅMÓvÎ Ì Ö ÍÆGÅ ð ã)ÒAÅØ½Æ ò ë ö ÏQÆ Ì ó8ôMåµó8õë¿ó\÷)÷ø þ c ü ¡ ®¢ ÄC}8xyt|¬wysl)xQÀOÂzI{v|§¤)zIiIsÂ5){ut|¬iI¦¬¦§iIsIGÄC¦¬zIhDiIw8tsÊ|¬wA|~sIh &yM Qttv|§)w®AihM|§¦¬¦~Mi)G) Qt|¬h,|~svMtv|§)w hxA¦¬tv|¬ª³wA|§¤)icMxZymOzI)wA|~}xyiAiIs&Ê¦¬xy|§Qics-j-xyhDzI{v|~}8xAi)Q Qtv|§h,|§st|¬wAi©¸){hDi.

(22) ãXä\ÅKÒ Ì ÅÆ`Ç Ì ÓKÓvÍÓÎÍMÆyÑ³ÓvÍ Ö . .

(23) . . mOxA¦¨t|§A|§s |§ A¦§|¬wy){vr h,QQiI¦¬¦§|¬wy3|~s,Mw |¬h, G){vtMw8t|§wA){iIQ|§iw8t©¸){DtveAiOsv)¦§xQtv|§)w M©Mw iIwA)|§wAiIi{|¬wA3 A{)A¦§ihsM© Ax tvh,sut-|¬h, G){vt)wy i|§wO|¬wXQxysutv{rG° m¶xA¦¬tv|~Q|§s |§ A¦§|¬wXM{r l Qt|¬h,|§¯It|¬wZXmO\²y´µwXQiic¼y|§w¶h,)w\r A{) tv|~M¦ZI)sviIsI teAiA|¨Ãì{iw8tQ|§s |§ A¦§|¬wyiIsl|¬w\¤)¦¬¤iI¶|§w8tvi{) tl£&|¬tve®ic)e®)tveAiI{l|§w¥ QiiI ®hMwAwAiI{I¼±©;)Kt{vi yiI tvicO|¬w3 hD y¦¬iÀ hxA¦¬tv|¬ª³ Ae\rQsv|§IsAiIsv|¬wMwXM¦§r\sv|~s²ÊA){5|§wysutMwX i)MtvQi ti{hD|§wAi tveyi XxQtuti{/sv XiIiIAs©¸{CMw)|¬{ A¦~MwAi yxA|~\ªµst{vxy tvxA{i |§w8tviI{Ktv|§)whxysut&Xisv|¬hxA¦§Mtvic¼²¿É¿)h, AxQti{vª«)|§AiI Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w ©;¤)xA{|¬¯IiÂ©¸xA{uteAi{&}8xy)wt|¨·Gt|¬w)©Qicsu|§)w )wyA|¨t|¬wysAsv|§wy i wysutv{M|§wts yM{Mh,i ti{s ey¤)iltvGi·AÀQiIMwy t{Qi ª«MÃO|§w¶sutsfey¤iÂtXisv GiI |¬·yic¼² dfeAi{iIsutM© tveAi y{vQ icsvsIMw"tveAiIw Xi±)xQtvh,Mtvic¥\rOteAi|¬w8ti){t|¬w¥|§w8tv®Mw3) Atv|§hD|§¯IMtv|§)w3¦¬\ ")©¿teAi A|¨Ãì{iw8t/MwXM¦§r\sviIs)wyDM©`tveyi- sut/MwX )wXst{)|¬w8tsiI¤)¦¬xXtv|§)w>²´µw,teAiÂsuif£&eAiI{vifteAi-w\xAhXiI{CM©` yM{Mh,itvi{s t¶) Qt|¬h,|§¯i|~s¤)iI{vr®¦~M{)i`tveAi suiIwysu|¬tv|§¤\|¨tr"sti èwAiIiIssv){vr¶©¸{|¬h, A{¤\|¬wy teAi±Qicsu|§)w3 yM{Mh,itvi{swAiicAsteAi )h, AxQtt|¬wß)©)|§w8t±sttvics±)s±|¬h, G){vtMw8t|§wA){iIQ|§iw8tsM©©¸xAwy tv|§)wy)¦-){)Q|§iw8ts² jÂ£¿|¬©tveAi®Q|¬Ãì{iw8t xywyQi{¦§r8|§wA)wyM¦§rQsuicsCM{i&)QtM|§wAiI,£&|¬tvew\xAh,iI{v|~)¦ysu|§hxy¦§Mtv|§)wZ8|¨t¿Xic )h,ics/ h, AxA¦~su{vrtveyMt¿ú c þ è Q ){vi|§hD GsviI¶)wy{iIsv GiIKtiI¼²´µw¶{QiI{ tv,{vicsu GiI t-i{{v{¿h){v|¬wysI8t£¿Ktv|§)wXs&sueAxA¦~GisuxX iIssu©¸xA¦é² Ê|§{sutIXi{{v{ eX)s tvGiQi·ywAic)wyh,iI)svxA{iI¼²¿dfeAi) Qt|¬h)¦> wt{v¦`©¸){hM¦§|§svhsvxA)iIsuts tv±)wysv|~Qi{fteAi iI{v{){)s sut ¸){ wyst{)|¬w8t K²dfeA|~sh,iIMwXsÂteyttr\ A|~)¦¬¦§r¶tveAisvi tM© i{{v{slsueAxA¦~®GiD8teAi{iI¥|¬w8tv¶ {iI)¦¨ª«¤M¦§xAiI©¸xAwyKt|¬wyM¦`teyMwy¾\s¿t£ i|§)e8ts¿tGisu GiI|¨·yic\r,teAiiwA|¬wAiIi{c²dfeAiw i{{v{¿icst|¬htiIs {i¦§r8|§wAD)w )|§w8t-sttvics&)w GiM A y¦¬|§iI¶MwX|¬¤i)w iI{v{){fh,iIsuxy{vi² p\ic wy¼>£&eyiw3tveAiiI{v{){|~stv\¶¦~M{)i)Mwèi È± |§iw8th,iIey)wA|~suh#ey)stOXi±) A A¦§|¬ic"|§wè){Qi{tO{vicQxy i,|¬t t3)w iI Qt)A¦§i¦§i¤)iI¦é² dfey|§s,)w GiA)wAi ©¸{vh þ I ú þ iIsutv|§htvicsD8r ) A A¦§r\|¬wA3"sutMtviI)rè{viI¦¬r\|§wA w"±tv)¦§i{MwX i ésuiIi©¸{l|§wysut)wy i ! ²´µw¥teAiIsviDwAMtiIsl£¿i,QiIs {|§Xicslst{MtviI)r¶ AxysveA|§wA±©¸xA{vtveyi{tveAi,|~QiIM© )w8tv{)¦§¦§|¬wAteAiÂiI{v{){c\rD)wysv|§Ai{|¬wAteAi- A{)y¦¬iIhsCMw Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w,wAi)°tv Qtv|§h,|¬¯Ii&tveyi-i{{v{5©¸xAwy tv|§)wy)¦ £&|¬tve¶{iIsv XicKtftvh,icsue¶QiIs {|§ Qtv{sI² ´«tGiI)h,iIs) A yM{iw8ttveAiIw3tveyMtteAih,i teAQAsM© l Qtv|§h,|¬¯ct|¬w"MwX")©fm¶xy¦¨t|§Q|~s |§ A¦¬|§wy){vr l Atv|§hD|§¯IMtv|§)w IMwGiÂ¤i{rxysvi ©¸xy¦y©¸{CtveyiÂ¤M¦§|§ytv|§)w)©É¿)h, AxQtt|¬wyM¦`m¶iIey)wA|~sI8)wy,|¬w yM{vtv|~ xA¦~M{C©¸){&m¶xA¦¬tv|~Q|§s |§ A¦§|¬wXM{r )h, AxQtt|¬wysQ{iwXQi{|¬wyteAih ¤i{rt{Kt|¬¤i)wy GMtiw8tv|~M¦§¦§r G£¿iI{u©¸xA¦8|¬w8tÂsv)¦§xQtv|§)wZ² dfeAicsuiwyMtvics&)AA{vicsvs¿t£ D|~ssuxAicsfM©w8xyhDiI{v|~)¦¼h,\Ai¦§|¬¯ctv|§)w>° " tveAi)w8tv{)¦`)©5) A A{À\|§ht|¬wi{{){ 8rhDicsueOAM Qtt|¬wZAMwy w ;){-sutviIQr)w8tv{)!¦ ¿M©svrQstih£&|¬tve¶{iIsv XicKtftv±D y){)h,i tviI{I² " tveAi Qtv|§h,|¬¯ct|¬# dfeAiI{viO){vit£ 3X)sv|§|~svsvxAiIs,|§w8tviI{Ktv|§wA3£&|¨te iI)eßMteAi{c$° ;% ,¥©¸xywyKt|¬wyM¦ÂIMwßXiO Qtv|§h,|§sviIßwA¦¬r |¨© w\xAh,iI{v|~)¦¿)I xA{)r")©Â|¬tsDi¤M¦§xyMtv|§)w |~sh)|¬w8t)|¬wyiI svhM¦§¦¿iIwA)xAe MwX& ¸ KC£ i sveyM¦§¦fsuiIi±tveXt,w8xyhDiI{v|~)¦ iI{v{){l )w8t{v¦IMw®GiI)h,i )iIw8xy|¬wAiD wt{v¦> A{)y¦¬iIh²dfeAiD¾)iIr G)|§w8t)©tveA|~s£¿{v¾|~sÂteytc¼|¬w¥X)tve"I)sviIsI teAi{if|§s/ )h,h,)w©;) tv{I°>tveAiÅÇ ö ÍØ½ÆXÑ5ÕKÑ«ÅMÑ Ì ²dfeyi-)|¬w8tCstti&|§sGMte,xysui©¸xA¦Q©¸{) Qt|¬hM¦X )w8t{v¦\©¸){CQicsu|§)w )wyOGiI)h,|¬wy ¤i{r G) Axy¦§){Â©¸{ÂteAiD)w8tv{)¦M©CteAi,M A A{ÀQ|¬hMtv|§)wOi{{){-|§w®teAiiI¤M¦§xyt|¬w®M©¿±©¸xAwy tv|§)wy)¦ )h, AxQtiI¥©¸{vh sv|¬hxA¦§Mtv|§)w3AtA²D´µw"GMte3I)sviIs£¿i){viD¦¬ic)¥tvOsv)¦§¤)i Qtv|§hM¦C)w8tv{)¦5 A{)A¦§ihs|§w"£&eA|~e teAiw\xAhXiI{ÂM©C XM{Mh,i ti{s&MwOGi¤i{r¦~M{)i)wy¶|¨tl|§slhMwyAMtv{vrt±·ywX¶XitutviI{l Qtv|§h,|¬¯ct|¬w®M¦§)){|¬tveAhs |§w {QiI{t¥i È±|¬iIwt¦¬r sv)¦§¤)i,teAiIsvi A{)y¦¬iIh,sI²"Êy){tveyMt{iI)sv)w>£ i)wysv|§Ai{±)|§w8tDMwX |¬w8ti){tiIè£ ){¾ y{v){Mh,h,il)s&D¤i{rM A GiI)¦¬|§wAM y A{v8)eZ² ´µw¥tveAi·y{st yM{vtl)©tveAicsuiwAMtiIsIG£ isvey)¦¬¦5 wysu|~QiI{Âi È±iw8th,itveAQAsÂ©¸){l©¸xAwy tv|§)wy)¦ Qtv|§h,|¬¯ct|¬w®xAwyQiI{ sutMtviOic}xXtv|§)wXs± wyst{)|¬w8ts² dfeAi¥ iIw8tv{M¦Â) A A¦§|§Itv|§)w xysviI ©¸{±|¬¦§¦§xyst{MtviOteAih £&|§¦¬¦lXiOteAi¥sveyM Gi® Qtv|¬ª h,|§¯IMtv|§)w3©¸){OsvxA Gi{suwA|~£&|§wAO{M|§{{M©½tI²dfeyih,)|¬w G)|§w8ts|§w8tv{QQxy ic3eAi{i)M A y){ut©¸{)h tveAi)iwyi{M¦ )¦¬){|¨teAh|¨tsuiI¦¨©A){viÂtveAisuD)¦¬¦§iIwAi ªµsveAMtf )w\¤i{)iwX i-)I iI¦¬iI{Mtv|§)w±MwXtveyilhxA¦¨t|¬¦§i¤i¦` A{iI)wyQ|¬tv|§)wyi{C©¸{ teAi- Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w, {v{iI tv|§)wZ²dfeAiÂsviI)wy yM{vtC£&|§¦¬¦y©¸\xyswDh,icsue±AM Qt|¬¤\|¬tr|~svsvxAiIsI(² '"iÂsvey)¦¬¦A y{vicsuiIwth,iIsve AM Atv|§¤8|¬tr®h,i teAQAss¶¾)iIrO©¸){i ÃìIKt|¬¤i±suic wy\ª«){Qi{)I xA{)r®|§w Mi{QQr\wyMh,|~sI>MwX3sMwè|~svsvxAi£ i¦§¦ AQ{iIssuic±\r± Qtv|§hM¦>)w8tv{)¦³² dfeAi{iIQi{f)w±·ywysv)h,ilX)¾\){)xAwX|¬wA©¸){h,Mtv|§)wys¿|§wteAi©¸)¦§¦¬£&|§wADhDwA){) AeysI°> Qtv|§h,|¬¯ctv|§)w h,i tveAª QAsI) * ,+ysveyM Gi) Qt|¬h,|§¯It|¬w |§wOMiI{vQQr\wy)hD|~sI- 8* ,+yM A y{vÀQ|§h,Mtv|§)w i{{v{sI. § «² dfeAiO XM Gi{,|§s,{v8MwA|§¯ic s©¸¦¬¦§£-sI²ßdfeAi·y{sut, XM{vtI¿Ai¤))tvic t l Atv|§h,)¦Âp\ey) XiOliIsv|¬wZ¿Qicsv{v|§GiIs XM{vtv|~ xA¦~M{C) A A¦§|§Itv|§)wD|§w±Mi{sv y i iwA|¬wAiIi{|¬wy)wyt£¿)©GteAi&ysu|~& wy iI QtsxXsuic¼°wAi ªµsveAMt) Atv|§hD|§¯IMtv|§)w )wyhxA¦¬tv|¬ª«¦¬iI¤)i¦> A{vic wyQ|¬tv|§)wA|§wAy²fdfeAisviI)wy y){utÂAQ{iIssuicsvs teAi|~svsvxAi)©5jÂxAh,i{|§IM¦>Ä{{){Â&icQxy tv|§)wZ² ´«t )w8t)|¬wXsCA{|¬i©`yxQt QiIi |§w8tv{\AxyKt|¬wM©`tveAiÂh,)|¬w|~Qic)sC|§w\¤)¦¬¤iI¼Mwyi À\t/|¬t sveA£-sCsv)h,i&w\xAh,i{|§IM¦AiÀQ)h, A¦¬ics )wy·ywy)¦¬¦§r|¨tQi¤i¦§) ysfteAi|~ssuxAi)©Ch,iIsve®)A) Qtv|§¤\|¨tr ©¸)¦§¦¬£&|§wA,teAiM©¸){ih,iw8tv|§)wyiI¦¬|§wAics²-dfeAi¦§stlsviI tv|§)w |~s&QiI¤)MtiItv±Q{£ teAih)sutvi{&¦§|§wAiIsf)©5)w |§w8tvi{Mtvic seAih,iM©) Qt|¬h,|§¯IMtv|§)w¶Mwyh,iIsveAM Atv|§¤8|¬tr)².

(24) Ì ÓK×cØ Ì Ï Ë ÍÏQÓKÑ³æ ÛlÍæ àIìÏ Ì ÍIÍ KÏ\Õ . þ þ ú ls& A{)¦§)xAi)8¦§i t&xys |¬w8t{vQQxyiÂteAi A{)A¦§ih»£ ileX¤)iÂ|§weyMwyys² '3i)wysv|~Qi{¿tveAi©¸¦¬¦§£&|¬wyD)wysutv{M|§wAiI h,|§wA|§hD|§¯IMtv|§)w A{)A¦§ih¶° suxyQiI t&tv !#"

(25) £&eyi{ilteAih,|¬wy|¬hxAh|~s t)¾)iw£&|¬tve¶{vicsu GiI t&tvDtveyi )h, Gsv|¨ti¤){v|~My¦¬i $>° $ !% & é dfeyi¤){v|~My¦¬ics Mwy Qicsv{v|§Gi,tveAi A{)y¦¬iIh £&|¬tveA|§w iI{utM|§wèsv y iIs)© £ ){¾`² ZitxyssrOtveXt ){viDteAi )w8tv{)¦Q¤){v|~MA¦§iIs)wy M{iftveyiÂstti&¤){v|~My¦¬ics²dfeAir,)wtM¾i-Q|¨Ãì{iw8tC{)¦§iIsC){Q|¬wyÂttveAiÂ A{vA¦§ih £ i ){vil|¬w\¤)¦§¤)iI,|§wZ(° y£ ·yiI¦§¤M{|§)A¦¬ics/{¿) A A{À\|§ht|¬wi{{v{C©¸){ Mwy±svey) Xi yM{Mh,itvi{|§¯It|¬w,){fh,i t{v|~ Ai ·ywA|§wA,D yM{vtv|~ xA¦~M{ ¦§\IM¦`h,iIsve Qicsv{v|§ Qt|¬w±©¸){ ²CdfeAi|§QicD|§s¿tv,h,|§wA|¬h,|§¯itveyi Í ö Ì ÎÑéØ½× Ì ÏQÆGÎÑéØ;ÍMÆ ¦§\)¾\|§wA©¸{ $O£&eA|~e¶st|§su·yics tveAi Ì ìÏyÅ Ö Ø½Ñ³æÎÍÆAÕKÑ³ÓvÅ Ø½ÆXÑ $ !'" ² Zi t&xysÂ)ssuxAh,itveXt&tvey)i () )y|§)w * !,+ ;% + |~s&M¦§£fr\s |§w\¤)i{vtv|§A¦§i)² p8tM{vtv|§wAD©¸{vhteAi $.- !% - - A£ iQi ·XwAiMw|¨ti{t|¬¤i Qtv|§h,|¬¯ct|¬w A{Q icQxA{i\rtM¾\|§wA. !. * -. !. $ - $ - & + . +. ´µw¶){QiI{ftv,i È± |§iw8t¦¬r )h, AxAtvitveyi{vic}xy|¬{iIsurQsutviIh)xAtv AxQtÂAi{|¬¤t|¬¤iIsf£&|¬tve¶{iIsv XicKtftv,teAi|¬wy AxQtsIy£ i Xx suitveyi)|¬w8t&h,i teAQ¼A£&eA|~e¶ A{v¤\|~QiIs iwAiI{)¦¬|§¯icM){Mwy)iÂhxA¦¬tv|§ A¦¬|§i{s&|§wtveAi©¸{vh)©5,sv yt|§)¦`·yi¦~M© teAisMh,iA|¬h,iwXsu|§)wO)©teAi{v|§)|§wy)¦Z A{)A¦§ih xAwA¾£&wys²-Êy){-ic)eO|¬tviI{Mtv|§)w0/`XtveAi¶ÎÍå«ÕKÑ«ÅMÑ Ì ){,Å)Ç ö ÍMØ½ÆyÑ&ÕKÑµÅÑ Ì 1-|§s&,sv)¦§xQtv|§)wM© 1- ! ¸ 2 + $.- 4365.7 + $.- 8& '3iQiwyMtviteAi ÏQÆGÎÑ³Ø;ÍÆGÅ Ö ç)ÓvÅ)ÇMØ Ì ÆXÑZ\: r 9;- ! + 9 $<- 1- ²+ ´«t-£&{|¨tiIsI° 9 $.- 1=- >! + $.- @? A 1=- + $.- CB é ´µwteAi)svi)wwAMteAi{-)wysutv{M|§w8tI8tveyisttv|§+)wXM{|¨tr)©teAi©¸xAwyKt|¬+ wyM¦>£&{v|¬tvics° 9 $ - 1 - >!D"E. F%. ) wytveAisvi t-)©teA{viIiiI}8xyt|¬wysfyGF)wytveAi)wysutv{M|§w8t&Ai ·ywA|¬tv|§)w¶|§wè|~s tveyi)HM{xysveQªIHxyeAwQªµd>xy¾i{ HJHd svi tM©&) Qt|¬h)¦¬|¬tr")wyQ|¬tv|§)wXs² ÂssttiIè|§wètveAi |¬w8tv{QQxy tv|§)wZ£¿i£&|§¦§¦ sviieA£ºhxyeèX)tve Gi{¤)sv|¬¤i±Mwy xXsui©¸xA¦Z|~s tveAi)wyi Qt&M©tveyi)|¬w8t& A{)A¦§ih¶² ,L

(26) .MONQP » K PRP Á,LTS ´µwtvey|§s5sviIKt|¬wZM£ i AiIs {|¬Gi/teA|~s©¸){h,)¦¬|~svhM A A¦§|§iItvb l Qtv|§hM¦yp\ey) XifliIsv|¬w©¸{5l y){ut|§xA¦§){)i{QQr\wyMh,|~s y{vA¦¬iIh¶² UWVYX. Z@[8\%]^_^=`Yab<]cGaYdfe,\hgW]jiT^k`Y\. µ´ w X «teAiMxQteA){sC A{) Gsvi&th,iIsuxy{vi&teAiWlusv)wA|~-G\)h»Q£&w\£fM{Asih,|~svsv|§)wnm ³poflÄ ¿\r,i¤M¦§xyMtv|§wAteAi ¤)¦§xAh,i|¬w8tviI){M¦¼)©teAisv}8xy){vic y{vicsvsvxA{il{Q|¬iIw8tf|§wOMwplu)ysvi{¤tv|§)w XÀ m6q8r ;)sÂsueA£&w|§w¶Ê|§y²- XiI¦¬£ teAi)AiIKtc²dfeAi 8stf©¸xAwy tv|§)wy)¦Z|~s tveAiI{vi©¸){ilteAi©¸)¦§¦§£&|¬wAX° s !#tjuvIwyxz?{w=x | 4}~>t }. Iwyp?{w= | I}~>tn.: = } . 4 .

(27) ãXä\ÅKÒ Ì ÅÆ`Ç Ì ÓKÓvÍÓÎÍMÆyÑ³ÓvÍ Ö . £&eyi{i tu t } )wy t M{i wystMw8ts&tveyMtl A{iIs {|¬Gitveyi£ i|§)e8ts&)©5tveA{iisvxAQªµ {|¬tvi{|~AA{i¦~tiItv¦¬|¬©½tI¼Q{M )wy¥sv)wy|§X\h ih,|§ssv|¬wZ²dfeAiIr¥M{iiI¤)¦¬xXtvic®\r¥sv)¦§¤\|¬wAtveAiÄCxA¦¬iI{iI}8xyMtv|§)wysM{)xAwXOtveyiDihDitv{r sv GiI |¬·yicè8r"tveyisueXM Gi± yM{Mh,itvi{c² C{Ktv|~)¦¬¦§r)tveyi±)ysvi{¤t|¬w3GÀ q r |§sO yM{vtM©fteAi h, AxQtMtv|§)wy)¦ A)hM|§w¶ A¦§ ic Gi¦§£ tveAiM|§{v A¦~Mwyi)²C´«ts-xA A Gi{lXxAwyA){vr |§sÂ A¦~MwAi¦¬8suiGi¦§£ teAi)|¬{ {©½tc² Â© )xy{svi)A|§w y{vicsuiIwy iM©¿sveAQ¾QsXtveAiD¤M¦§xAiDM©CteAi,pGo Ä tvi{h |~sÂ|§wQ·ywA|¬tvi,|§w®teAiD)w8tv|§w\xA)xXslI)svi)ÀxQt·ywA|¬tvi ;)wy®h,iIsve Ai GiwyQiIw8t |§w teAiQ|~sv{vitvisui²dfeAi wt{v¦` yM{Mh,i ti{ £&|§¦¬¦ZGi{i¦~tvic±tDtveAisveyM Gi M©tveAi)|¬{ {©½tc² . Sonic Boom Downwards Emission Control Box (near field). Tail Wave. Bow Wave. Sonic Boom N−Wave (far field) p. Ê|§)xA{i®°,dfeyi sv)wA|~G8h¶²3p\¾i te )©-wAiI){)wyè©;M{·yi¦~ sveAQ¾"£f¤)i Xtuti{wys)©Â¥svxA Gi{suwA|§M|§{{M©½tI² p o Ä s- w8tv{)¦`XÀ q8rf² G ¸c¡M ú ú ÿ > þ ú. dfeAi¿Q|§s {i ti¿É Ê5 h,QQi¦xysuicsZMwxy 8£&|§wyÄxA¦§i{su¦¬¤i{Z) A A¦§r8|§wAftÂMwxAwysutv{xy tvxA{iIltvicsvsvi¦~t|¬w )h, GsviI )©¼tvitv{MeAicQ{y²dfeyisveyM GiÂ|~sfeyMwy)iI,\r,h,¤\|¬wAtveAiwAQQics/wtveAiG)xAwyyM{rD)©¼tveAih,iIsve )¦¬wAwA{vhM¦~s/tv teytXxAwyA){vr²ÂdfeAiI|¬{Q|§sv A¦~)ih,iw8tl|~sÂtM¾iwO|§w8tv )xAw8tÂ\r¶tv{MwXsu A|§{tv|§)wO)wyQ|¬tv|§)w¥|¬w®{Ai{&t ¤)|§ sutv¦§r{viIh,iIsveA|¬wysIF² *{Q|§iw8t )©>teAiQ|~sv{vitvi©¸xAwy tv|§)wy)¦¼|§s&)h, AxQtiI£&|¨tetveAieAiI¦¬ M©5MwO))|§wt-svrQstih¶ yxA|¬¦¬t-xysv|¬wyteAbi -xAtv)hMtv|~Â|¬ÃGiI{viIw8tv|~tv|§)w tv\ ¦

(28) `. * ³² . . UWVU. >e_\n[8dCczdC^_cai a h]cGa dfe. Om \Ai{w ·XwA|¨ti ªµQ|§hDiIwysv|¬wyM¦) Qt|¬h,|§¯It|¬w¹h,i tvey\ys®{i¦§r8|§wA w)|¬w8ts"M{i |§ssvxAiI ©¸{)h tveAi p\iI}8xAiIwt|§)¦ xX)Q{t|§C{v){Mh,h,|¬wAh,itveAQQ¦¬)r)² G) Axy¦§){l A{MtMtr\ Gi|§sÂtveyio r\{Qª"lh,M¾\xAwOM¦§)){|¬tveAh¶Xsvii 8*«² dfey|§sM¦§)){|¬tveAh#|¬w |¬tsy)sv|§D©¸{vh#©¸){)ssuxAh,icstveyMtteAi±{iIsv)¦§xQtv|§)wèM©fteAiQ|¬ÃGiI{viIw8t¦¬|§wAicM{|§st|¬wysM©-sutMtvi svrQstihs ;jÂi£ftvw |¬tviI{Mtv|§)w M©sutMtviMwysv)¦§xQtv|§)w M©)|§w8t ¿M{ilwyMt&i ÀQ y)wysu|§¤)i² Â£¿iI¤)iI{ItveA|~s&)ssvxAh, Qtv|§)w |~s,wA)t,¤)¦¬|~ |§w l Qtv|§hM¦-p\ey) Xi®liIsv|¬wZ² dfey|§sD©;Ktey)s,¦§iI sv)h,iOMxQteA){stv tvt)¾èteAi¶ A{)A¦§ih xXsu|§wA þ ú)ü þ ª³{C A{)){iIssv|¬¤i)M{/su|§hxy¦¨tMwAiI)xysuªM¦§){v|¬tveyh,s ;svii-©¸{/iÀQ)h, A¦¬i 8 ³ § K\£&eA|~e±M{i&y)sviI,|§wteAi ©¸¦¬¦§£&|§wAt£ , X|¬w8ts° i HJHdÁsvrQstih t tveAièsv)h,iOtv|§h,i"|§w iIe ) Atv|§hD|§¯IMtv|§)w " Ê|¬{stclQ¤MwyiOtveAi"tvey{viIi¥iI}8xyMtv|§)wysM©teA@ |¨ti{t|¬wZ².

(29) Ì ÓK×cØ Ì Ï Ë ÍÏQÓKÑ³æ ÛlÍæ àIìÏ Ì ÍIÍ KÏ\Õ F. j-iÀ8tcM|§wystiIM©Xxysu|§wA¦¬|§wAicM{)iwyi{|§¿su¦¬¤i{scxysvi Q|~s |§ A¦¬|§wAiª«sv Xic |¬·X¿|¨ti{tv|§¤)ihr8Gi/wy)wA¦§|¬wyiIM{5sv)¦§¤)i{s ½©¸{-i ÀAMh, A¦§i)Q XsuiIxyQ,xAwysutvic)Qrsv)¦§¤)iI{s¿©¸{-Ê¦§xA|~Om¶iIey)wA|~s K² ú)ü þ ü >I ü ú þ ß þ ½ . dfeyisttviic}8xyt|¬w¶sv)¦§¤)iI{ftvGi|¬w8ti){tiI|§w teAi A{) GsviI ) Atv|§hD|§¯iI{-|~s-)ssuxyhDic tvGiMw¶|¬tvi{t|¬¤i·AÀQiI G)|§w8t&)wAi²´«t-{viI¦¬|§iIsfwÒyÕ Ì ÏyÇ)ÍMå Ì

(30) Ñ«ÍMÆ±sti ¶)w¤M{|§)A¦¬i ° ". . ? $<- . !. &£ eyi{i±tveyi XiI{Mtv{ |~s,)ssuxyhDic t"Gi {iIsuwyMy¦¬r3|¬wyi ÀQ XiIwysv|¬¤it"iI¤)¦¬xXtvi¶MwX tv ¸¤i{r {)xAeA¦¬r ) Qª y{vÀQ|§h,MtviteAi|§w\¤)i{sviM©5tveyi() A|~Mw + ²Âd¿r\ A|§IM¦§¦¬rX|¬tIMwOGiteAi{iIsvxA¦¬tÂM©/©¸i£MxXsvsuªµpQi|~Qi¦su£ iiI ys {lQ|~M)wy)¦¬¦§r y{vic )wXQ|¨t|¬wAiI®É¿wxAMtvi+ {)A|¬iIwtl|¨ti{tv|§)wXs²Âdfey|§slsu|§h, A¦¬|¬·yic®su¦¬xAtv|§)wO|~s-t±Xi,M y A¦¬|§iI¶|§w y¦§ iM©X)tvetveAip {iIsutv{Mtv|§)w Aey)sviMwytveyi )h, AxAtt|¬w )© - |¬wtveyip ßhD|§wA|§h,|¬¯ctv|§)w Aeysui² '3i£ )wt/tv,M¦~suAtvey|§s |§wsv|¬h,|§¦§){¿£fr©¸){¿tveAi)|¬w8tc²´µw±tveAi A{) GsviIM¦§){v|¬tveyhtveyi)|§w8t¿iI}8xyMtv|§)w |~s& wysv|§QiI{vic s&Mw¶)AA|¨t|¬wyM¦¼ic}xXM¦§|¨tr)wysutv{M|§w8tI²´µwysutviIM©sv)¦§¤\|¬wy 1 !. + + < 5 7 + +. |¬ts-{vicst){tv|§)w£&|¬¦§¦¼tveyiwO wysu|~sutf|§wOsu¦¬¤\|§wAtveAisv|¬h, A¦§i{& y{vA¦¬iIh¶° :!. 2 + 1 ? + 3 & 7 7 + +. ´«t-|~s tveyiw¶wytxA{M¦Gtv)sv¾teAiwAi£ M¦§){v|¬tveAhºt{vicst){il) A A{À\|§ht|¬¤i¦§rDGMteOsttvi)wysutv{M|§w8tf)wy¶)|¬w8t )wysutv{M|§w8t±|¬w t£ {iIsutv{Mtv|§)wß Aey)sviIs±Xi©¸){iOtveAi"h,|¬wA|§h,|¬¯ct|¬w Aey)svi)² o r )h, y){v|~sv)wß£&|¨te ¦~)ssv|§IM¦ p ß)¦¬){|¨teAh¶yM y A¦¬r\|§wA)wy¦¬rtveAi|§wy)h, A¦§i tvisv)¦§xQt|¬wys&£&|§¦¬¦>AiI {iIsui)wysv|§Ai{MA¦§rtveyi 8st-)©5wAi)¦§)XM¦ |¬tviI{Mtv|§)wZ² dfeyih)|¬wO)ssvxAh, Qtv|§)wys&)wyi{wA|§wAteAiMG¤)i ysvixyAMªµj-i£ft)w|¨ti{t|¬wsveA)xy¦§ |¬w\¤)¦§¤)i)° ª± w8¤i{)iIwy il A{v XiI{ut|¬icsfM©tveAisutMtvi|¬tvi{t|¬wZ ª± w8¤i{)iIwy il A{v XiI{ut|¬icsfM©tveAi)|§w8t-|¨ti{tv|§)w> ª,tveAiI|¬{l )h, A¦§i ÀQ|¬tr) ª{vicst){t|¬wM©tveAiAiIs iw8t- A{) Gi{vtr)² dfey|§sf¦§iIAs tv|§w8tv{\Axy itveyi©¸)¦§¦¬£&|§wA,)ssuxAh, Qt|¬wysI° " c þ ¢ Êy){ )wy ©¸){ ! " ?# Y "%$. ". ". Mwy. " +. ( . 1 ~ ?. +. . ")$. "G& &'& " 4f ". "G& &'& " + +. (. 1 ?. +. . ". c þ ¢ o )tve¶}xX)+sv|¨ªµj-iI£ftv)wsti ysÂ+ M{is& )h, A¦§i À)s&©¸i£ + iI}8xyMtv|§)wys&svsvihA¦¬|§iIsI² c þ +*+,.- þ 0/ ú ¡ þ ÿ ¸ þ 21¢43 yM©½tviI{k/ XM{vtv|~M¦¼{iIsv)¦§xQtv|§)w¶sti ysIG9 - Y65 1 - |~s- ¦§svi iwAxA)e tv,t eAi){)A|¬iIwt tvst|§su©¸r Jlu)\Q m6Q5 icsviw8t-Qu|¬{iI tv|§)wZ° 7 / uv 798;:=<?> @A3B8 "A 8 $ 8;:=<?> Mwy 3 /DC / u £&eAi{i. -E ?- F G5? 1 !. + + < 5 7 + +. 8;H - u 9 - Y65 1 - {?. Mwy. 5. s K ! +. +. . . $ {?. 4 - Y65v $ A 1. +. ? "G& &JI 8 " Ls K G5 " }. +. . $ fB. ².

(31) ãXä\ÅKÒ Ì ÅÆ`Ç Ì ÓKÓvÍÓÎÍMÆyÑ³ÓvÍ Ö . jÂMtvi"tveXt c >* þ |~s w8¤i{)iIwy i®svsvxAh, Qtv|§)w )wX i{wA|§wA teAi" XsuiIxyQMªµj-iI£ftvw |¨ti{t|¬wZ² I >* þ |~sOwXtvxy{)¦/ wysuic}8xAiwyiM©ftveyi svhD\)tveAwAicsvsM©Âsutti±iI}8xyMtv|§)w MwX sut©¸xAwXKtv|§)w>²®dfeAi ¤)¦¬xAicsÂ)©Ctveyi Gsv|¨t|¬¤iD)wysut)w8ts & &'& Mwy & &LI |~swAMt|¬h, G){vt)wt)sÂ©;M{)sltveyir®M{isvhM¦§¦¬iI{ÂteyMw"xAwA|¬tr)²ÊA{ I >* þ * £ i ysvi{¤)iCteyt©¸{C/ ~ - w8¤i{)ics¼tv£fM{Astveyifsv)¦§xQt|¬w)©ytveyi-sttvi iI}8xyMtv|§)wZ;1 )w\¤)iI{viIs/tv£fM{As¿tveAisu¦¬xQt|¬w )©teAi)|§w8t&sutMtviic}xXtv|§)wO)wy±teAiw 9|§sfteAi){)A|¬iIwt&)©teAi©¸xAwy tv|§)wy)¦ ² I þ * |§s,¥svh,\MtveywAiIsssvsvxAh, Qt|¬w Mwy |§sD3 )wXsuic}xyiwyi±M© s CGi|§wA s svsvxAh, Qt|¬w"|¬©teAi©¸xAwy: tv|§)wyY)¦ MwXteAi) Gi{t){ M{isvh,\Mtve¶iIwA)xAeZ² þ ¸ >¡ X ´µw tv{Mwysu©¸){h,|¬wy,p )¦¬){|¨teAhº|¬w8tteAi)wAiª«sveAMtfi À\tiwysv|¬wZ8tveAi£frDtveAi wysutv{M|§wt |§sfh)wyMiIeys t,XiQiIi A¦§r{iI)wysv|~Qi{iI¼² ª´µw¥p XsutviI ¶IMw¶Gi{vi©¸xysviI ¸{-{vicQxyiI f\rtveAid{xystÂ-i)|§)weAiIxA{v|~sutv|~sIyiIssviw8tv|~M¦§¦¬rXicMxXsuiteAi '"¦¨©¸iD wyQ|¬tv|§)wO|~sÂwA)tlsvxQÈ± |§iw8tv¦§rst|§su·yic¼²&´µwOtveXtI)svi)ytveAiDsttvi¤){v|~My¦¬i|~sÂ{iIsvi tÂtv±|¬tsl A{i¤\|¬xys ¤M¦§xAi)y)wyOÉ Ck¹i Ã`){vt-su Giw8t-|§w {iIsutv{v|§wAD|¨t-|~s&¦§sutI² ª´µwwAi ªµsueyMtIMÉ Ck i Ã`){vt>©¸{)A¤)wy |§wAÂtveAi sttvi¿¤M{|§)A¦¬ics>sveA)xy¦§wA)tGi/£f)sutvic¼² ' eyiwsutMtvi/|¬tviI{Mtv|§)w |§s/wAMt suxQÈ±|¬iIwt/©¸){/st|§su©¸r\|¬wAteAi '3)¦¬©¸iÂ wyQ|¬tv|§)wZ£¿iÂ A{v X8sui tsuxy A A{iIss5tveAiÂhD|§wA|§h,|¬¯ctv|§)wxy GAMtvi AxQt¶wAMttveyi" A{i ª«{iIsutv){t|¬wZf£&eA|~eZÂ|§wysutviI¼-|~s{viª³|¬tviI{MtviI {i GiIMtvicQ¦¬r xAw8t|¬¦ h,|§wA|§hD|~stv|§)w sti svMtv|~s©¸r\|§wADtveAi '3)¦¬©¸i wyQ|¬tv|§)w|§s-)QtM|§wAiI# ;)wy¶)i QtiI ² '3i®M¦~su3ey¤it )w8t{v¦¿teAi¶¦¬iI¤)iI¦&M©l{iIsv)¦§xQt|¬w )©Âtveyi®sttviOsvrQstih |§w hD|§wA|§h,|¬¯ctv|§)w>²ß´µw p teAi ){{vicKt|¬wQ\iIs wA)t |§wy {iIsuiÂtveAisutMtviiI}8xyMtv|§)w{iIsv|~QxyM¦³\)s ¦¬wA,)s¿tveAi¦¬yM¦Gh,|¬wA|§h,|§st|¬wsutviI |~s&suh)¦¬¦³ teyMwy¾\sDt3tveAi¶teA|¬{ßsurQsutvih tv su¦¬¤i)² dfeA|~s, A{v XiI{utr |~s±)w8tv{)¦§¦¬ic \r 3 Giwy)¦¨tr h,iceyMwA|~svh² p\|§wy i¿|§w xA{-wAiI£ )¦¬){|¨teAh¶QtveyitveA|§{¶¦¬|§wAiI){Âsvr\sutviIh |~s&{i A¦~)iI\r A{){vicsvsv|§¤)i{vicst){tv|§)wXs ¸|§wO¦¬|§wAisviI){eZ§²§²¬² KA£ i y{v X8sui&t{i A¦~)i&tveyiÂ Giwy)¦¨tr,eAiIxA{v|~sutv|~s¿8r,A|¬{iI t w8tv{)¦y)©¼tveAil{vicsu|~Qxy)¦ywA{vhº\r,|¬h, Gsv|¬wytveyMt |§wteAi h,|§wA|§hD|§¯IMtv|§)wOsutvi >A|¬wX ¦§xyQ|§wA±¦§|¬wAisviI){e>\tveAi{iIsv|§AxyM¦¼wA{vh |§sÂM¦§£ rQs ¦¬£ i{ teyMw¶teAi)wAiQt)|¬wyiI|¬wteAi y{viª³{iIsutv{Mtv|§)w Aeysui² þ ú8ý þ /& ú þ ¸ . á

(32) KÆXØ½ÑéØ;Å Ö Ø~ÕÅÑ³Ø;ÍÆ. ´µwA|¬tv|~M¦§|§¯Ji $ 5 5 )wy 5 ² ! !" þ Zit "$# - "&% !('*) $ " + ? 2 + 3 7 1 " " + ?T2 + 3 7 1 " " $ " ² + + + + + / ",# - ",% A- ú þ . þ Z ú ú ¡ þ I / (>¡) þ c Q ú ú I þ Q þ > y ú ¢ ªÉ¿h, AxQtvi,CsvixXQMªµj-iI£ftvE )w¶sutvi0 /21 ! ? 4f Y ² ªkÂ GytviteAisutti ° !D ~ / 1 ² ,4ÿ 3 þ G± ú þ Q* þ A ú ¢ ªÉ¿h, AxQtvi,CsvixXQMªµj-7 iI£ftv)w¶sutvi >° /65 ! ?# E Y 2 + E 3 7 1 ? + E Y98 ² 7 + E + ªkÂ GytvE iteAi))|§wWt 1° 1 ! 1 ~ / 5 ² ª >i t ! ².

(33) Ì ÓK×cØ Ì Ï Ë ÍÏQÓKÑ³æ ÛlÍæ àIìÏ Ì ÍIÍ KÏ\Õ Z ú ú X yÿ ú G 9 E 9 $ E 1 E ! 9 4 E E 1 E ( û þ !. þ 43 G Q ú Aÿ( ú G A¡¡ ú ú Q þ Q þ A ú ¢ ²-É¿h, AxQtvi¥tveAièsutvi xysv|§wA ¦¬|§wAi"sviI){e )wy sv)¦§¤\|¬wA tveAi3sttvi"iI}8xyMtv|§)w MtsMh,i®¦§i¤)iI¦s y{viª³{iIsutv{Mtv|§)wZ² A² ´«©tveyi '"¦¨©¸i)wyQ|¬tv|§)w|~s-svMtv|~s·XiI¼ ª,xy GAMtviteAi wt{v¦ K ! ~ E ª,xy GAMtviteAistti ° K ! ~ ª,)tveAiI{v£&|~svi{iIAxy itveyi¦¬|§wAiI){-suicM{e sutviI Z² y² ´«© tveyi '"¦¨©¸i±)wyA|¨t|¬w"|~swA)tsvMtv|~s·yic¼ZteAih,|¬wy|¬h,|~svMtv|§)w sti è|~s|¬w\¤M¦§|~AtiI¼²±dfeAiIwè)tv¶teAi Gi|¬wywA|¬wyD)©·X{sut&{vicst){tv|§)w>² ,ÿ43 þ G þ D ú þ Q* þ A ú , ý ½ þ Z I ú . þ 1¢ ª 1 ! ?y K Y K 7 7 2 + K Y K 3_7 1 ? + 4 K Y K 8 ² + + E / ÿ Q A ÿ 3 G ¢ 5 ú ú þ 1 1 ! 1 ~ / . þ. . ï ã`ÍMÐ Ì ÒXÓÍÒ Ì ÓKÑ³Ø Ì ÕÍ Ñéä Ì Å Ö ç8ÍÓKØ½ÑéäÐ '3iey¤i,wAMt¶ y{v\M©&)© teAi)w\¤)iI{viwyi)© teAi)¦¬){|¨teAh¶² Â£¿iI¤)i{sv)h,isv|¬h, A¦§i± A{) Gi{vtv|§iIsMwèGi sutMtvic¼² ZitfxXs-)ssuxyhDiteyt&)wOD y){ut|§xA¦§){fi ÀAMh, A¦§i)\teA|§sÂM¦§)){|¬tveAh»eys&D·AÀQiI X|¬w8tcQtveyMt-|§s . . . . . . 1. 1 &. dfeyiw vt eA|~sf·AÀQiI G)|§w8t-ey)s teAi©¸)¦§¦¬£&|§wAD A{) Gi{vtv|§iIsI° " |¨t|~s X|¬w8t£&eAi{i,sttvi,MwX")|§w8t){viD hD y¦¬itvi¦§r¥sv)¦§¤)ic¥sv|¬wyiteAi wt{v¦5|§sltviIwyQ|§wAtvO·AÀQiI ¤M¦§xAiMwytve\xys&tveAisutMtviMwy))|§wtÂ){viwAic iIssM{|¬¦§r A{)){iIssv|¬¤i¦§r,sv)¦§¤)ic±|§wtveAi A{) GsviI|¨ti{t|¬wZ " |¨t|~swA)t G)|§w8t£&eyi{iteAi){)Q|§iw8t|§swyMt¶QiIs iIwtQ|§{vicKt|¬wZ² ÂteAi{£&|~sui¼tveAi,h,|§wA|¬h,|§¯IMtv|§)wèsti £¿xA¦~ wA)t,Gi¶¤M¦§|§AMtvic MwX w\¤)i{)iIwy iM©lsutMtvi¶Mwyß)|¬w8t,£¿xA¦~ Gi yxysueyiI ©¸xy{uteAi{cCteAiwß\r )ssuxyhD Atv|§)w é ¿teAi){)A|¬iIwtf£ )xA¦~GiI)h,i,QiIs iIw8t&A|¬{iI tv|§)wZ² " |¨t-|~sfwA)tÂ G)|§w8t&£&eAi{itveAisutviI ¦§iwA)tve¶M©tveAi¦§|§wAiI){-suicM{etviIwyAsftD¯Ii{yAsv|¬wX itveAi XsuiIxyQMª«){)A|¬iIwt svMtv|~s·XiIs tveyi '"¦¨©¸i)wyQ|¬tv|§)w>² dfeAiIw®teAiwA¦§rO X8svsv|¬y¦¬iDsviwy){v|§±|~sÂteyt Mwy0 1 )w\¤)iI{vitv¶sttiD)wy®))|§wtsv)¦§xQtv|§)wysMwX¶tveyMt )w\¤)iI{viIs/tv£fM{Asf,su¦¬xQt|¬w )© s K !#" ² ÂwAMteAi{CiI¤\|§QiIw8tC A{v XiI{utrM©yteAiÂ)¦¬){|¨teAh¹|§stveyMt 1 |§sCsviI}8xAiIwy i teytChM¾iIsteAif©¸xAwy tv|§)wy)¦ << 1 . Qic {iI)sviIsI² dfeAi sutM© tveyi±wAi£»)¦¬){|¨teAho|~swA£hxyeè¦§£¿iI{su|§wyi±tic)eè|¨ti{t|¬w"£ i±ey¤ilxXstt¥)ssvihy¦¬i ic}8xyt|¬wys5MwytvM y A¦¬rteAi& ysvixyAMªµj-i£ft)wDsti ysI)l A{vQiIQxA{i¿tveyMtC|§sM©`su|§h,|¬¦~M{C)h, A¦§i ÀQ|¬tr)M)I xAw8tv|§wAÂ©¸{ lsvsvxAh, Qt|¬w Q² '3ilicst|¬hti-teyt¿tveAiwAi£ )¦¬){|¨teAh|§s MA¦§i-t{iIe±Mw± Qtv|§hM¦` )h, A¦§i ÀQ|¬tr,M © 1 {&|¬w¶)tveAiI{-£¿{ys\teyt&teAisu¦¬xAtv|§)w¶|§s-{vic)eAic±£&|¬tve®Mw¶iÃG{ut&MC© /tv|§h,iIsÂ,sv|¬wy)¦§isttvisvrQstih{iIsv)~¦§xQ

(34) t|¬wZ /Gi|§wA|¬wXQi GiwyAiw8t&©¸{vh»tveyiw8xyhGi{-)©xAwA¾\wA£&wXs ² . UWV. . ^k^kàYb<]cGa dfe,cnd. 8\ nafe ^ Gd=` \. cG[8\ n [8]^J\. i. 3ifey¤)ifM y A¦¬|§iIGMtve)¦¬){|¨teAhsZtQiIh,)wysutv{t){©¸){5) Atv|§hD|§¯IMtv|§)wDM©G) Qt|¬hM¦A)i{QQr\wyMh,|~M¦\sveyM GiIsQiª s {|§Xic,|¬w yMXv «²dfeA|~s/QiIhDwysutv{tv{C|§w8¤)¦§¤)icstveAiÂ)h, AxQtt|¬wM©Z h, A{vicsvsv|§A¦¬i-svxA Gi{suwA|~ y£ß){vxAwy XM{Mh,i t{v|§¯ici)h,itv{r)²$ ©¸xAwyKt|¬wyM¦y|§s¿M¦~su|§wt{vQQxX iI©¸{Ci¤M¦§xyMtv|§wAMiI{vQQr\wy)hD|~)¦Q XiI{u©¸{vh)wy icsMwy sv)wy|§ÂX\)h»sutv{iwA)tveZ²dfeAil yM{Mh,itvi{s/){vi-tveAi X8su|¬tv|§)wXs/)©>M¦§¦yteAilh,icsue±¤i{vtv|~ icsC¦§r8|§wA)w±teAilsvey) Xi²pQ|¬wyi teAiIsvi± y){)h,i tviI{sM{i±w\xAh,i{)xysItveAi hDQQiI{vw ) A A{e3)©Â)|¬w8t|~sDM A A¦§|§iI¼²¥dfeyi ))|§wtDsu)©½t£ ){vieys '.

(35) ãXä\ÅKÒ Ì ÅÆ`Ç Ì ÓKÓvÍÓÎÍMÆyÑ³ÓvÍ Ö 0.16. No optimization. 0.14. Optimization. 0.12 0.1. P. 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.2. 0. 0.2. 0.4 0.6 X-coordinate. 0.8. 1. 1.2. Ê|§)xA{iDA° jÂÄ/5»m F Qtv|§h,|¬¯ct|¬wZ² Z i©½tI¼|§wA|¨t|§)¦ ¸ A¦~)¾ lMwy¥) Qt|¬h,|§¯iI ¸ {viIr ÂsueXM GiIsI²&|¬e8tI¼ A{iIssuxy{vi )¦¬wA,¦§|§wAiXiI¦¬£ tveAi£&|§wAX² 0.06. 1. Cost function. Gradient convergence. 0.05. 0.04. 0.1. 0.03. 0.02. 0.01. 0.01. 0. 0.001 0. 50. 100. 150. 200. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. Ê|§)xA{i®A° - y A¦¬|~Mtv|§)w t Mw Qtv|§hM¦lsvey) Xi®Qicsu|§)w y{vA¦¬iIh I è yM{Mh,i ti{s) )èsuttiO¤M{|§)A¦¬ics ² Ê|§)xA{i&Q|~su A¦~rQs5tveyi- )w\¤i{)iwX i M©¼tv{)Q|¬tv|§)wy)¦yp èh,i teAQ¼£&|¬tve, Gi{v©¸iI t/{vicsu¦¬xAtv|§)wDM©¼M¦§¦A¦¬|§wAicM{/svrQstihs GiiIw¥Axy|¬¦¬tl©¸{)hosutMtvi{vxQtv|§wAiIs£&|¬tve¥tveAiDeAi¦§ ¥)©/{i¤)iI{svi ÂxQtvh,Mtvic¥l|¨Ãì{iw8tv|~t|¬w®M© )ssuiIhA¦§r¶¦¬\) >G£ i {i ©¸iI{/t ¬MQ* «²CdfeAiÄxA¦§i{-suttilic}8xyt|¬w|~s sv)¦§¤)ic£&|¬tve¶Mw|§h, A¦§|§|¨t- ysvixXQMª³tv|§h,iQ¤Mwy|¬wA£&|¨teMt ic)e t|¬h,isutvi tveyiiI¤M¦§xyt|¬wM©·y{stvª³{QiI{ ())A|~Mw±hMtv{|¨À )wyteAi yM{vtv|~M¦`{iIsv)¦§xQtv|§)w M©D¦§|¬wyiIM{fsvr\sutviIh£&|¬tve ±©¸i£¹tiwyslMy© () )y|sv£¿iIi ysI²l´µw¥tveAiDi ÀQ Gi{|¬h,iIwt A{iIsviw8tvicOeAi{i)`£ i{iIsutv{|§ tÂtteA=i l·y{stvª³{QiI{l xy{ r m Qtv|§)w"©¸){£&eA|~eèsttvi)wy")|§w8t{vicsu¦¬xQt|¬wysM{ihxye3¦¬icsvsÉ Ck»)wysvxAh,|§wA$ ¸\r¥ ©;) tv){)ªµ K²D´µw¥teAi |§wA|¬tv|~M¦fsu)©½t£ ){vi" )wMxAMtvi±{Q|¬iIw8t£ sM y A¦¬|§iI3©¸{ Qtv|§h,|¬¯ct|¬wZ² '"i wy iIwt{Mtvi±wètveAisui±)©ÂMw Qtv|§h,|¬¯ct|¬w stM{vtv|§wAO©¸{)h jlÄC5 &ªm F¥£&|¬wAXMwy £&|¬tveß® 8M{suiihDitv{r")© " suey) Xi yM{Mh,itvi{s X£ ¤){v|~MA¦§iIs K²¿´µw¶tveyMtlsuiteAisut-©¸xAwy tv|§)wy)¦>£f)s-Qic {iIsuic±©¸{)h tv¦¬icsvsfteyMw ² dfeAi 2 Q tv|§h,";" |§sv" iIOsvey) Xi|~sÂ}8xA|¬tviA|¨Ãì{iw8t-©¸{)h tveAi|¬wA|¬tv|~M¦)wAiXsviiÊ|§y² QGMwy tveyi{iIQxy"G & "tv|§)w¶M©5teAi{iIsvxA" ¦¨t& "|¬wy ±X£ sveAQ¾|~s-Qih,wyst{Mtvic\r, xAt-M©tveAi A{iIssvxA{vil·yiI¦§Gi¦§£ tveyi£&|¬wAXAsuiIiÊ|§y² Q² dfeAi A{MtvQ)¦§i,©¸){xA{iÀQ XiI{v|§h,iw8ts|§stv®¾iiI i ÀA) tv¦§r¥teAi sv GiI |¬·XItv|§)w )©ftviIsutDI)svi)5£&eA|§¦¬i {viI A¦~) |§wA teAiD|¬wA|¬tv|~M¦)wxA8ti){)Q|§iw8t) Qt|¬h,|§¯i{\$r * l±¤i{su|§)wO)© o r\{$ª lh,M¾8xywOp M¦§){v|¬tveyh |§w\¤)¦¬¤\|§wA )h, A¦§i tisv)¦§xQt|¬w )©5sutMtviMwy¶)|§w8t&svrQstihsIAMwy# é ¿tveAiwAi ªµsueyMtfhDitveAQ¶Qicsv{v|§XiceAi{i)² Ë ÍcÅÓÕ Ì Ð Ì Õä Ó Ì ÕKÏ Ö ÑéÕ Ê|§{sutv¦§r)¼£ i y{vicsuiIwttviIsut£&|¨te¥teAiD){svi{v|~OM© yM{Mh,itvi{sI²mO){i{iI)¦¬|~st|§i ÀQ Gi{|¬h,iw8tsl£ )xy¦§ ¦§iItv±hxye®¦~M{)iI{&w8xyhGi{Â)©C yM{Mh,itvi{s-)wy¶£¿xA¦~¶{viI" wyQi{ÂtveAixysviM©CMw¥xysuxXM¦ of2Ê pwAMt X8svsv|¬y¦¬i©¸{ h,iIhD{vrst){Mil{iIsuwys²fp\±£ iey¤)iic}8xA|¬ y XictveAip M¦§)){|¬tveAhsf£&|¬tve¥,wAwA¦§|¬wAicM{Â)wxyti){)Q|§iw8t )©)¦~M¾8ªµ&|§A|¬gI{viltr\ Xiy)sfxXsuic |§w tveAi{v|§)|§wyM¦`wAwQªp {Q|§iw8t&¦¬$ M© X «².