Reconstruction de courbes et surfaces à partir de données tangentielles

HAL Id: tel-00164447

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00164447

Submitted on 20 Jul 2007

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Reconstruction de courbes et surfaces à partir de

données tangentielles

Nathalie Sprynski

To cite this version:

Nathalie Sprynski. Reconstruction de courbes et surfaces à partir de données tangentielles.

Mathé-matiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2007. Français. �tel-00164447�

     ! "#$% #&'()*% +( ,%-.( .( / 0  / 1
     234567583 9:;68<3=685>?@A @8 BCDE=685>?@F .-)G +( H-.%( .( I JK LK MNO PQ RK SK P  T KSU P V IWSXOSQ WSXO Y "%ZG()'Z( (' G#$'()$( "$&+*[$(\()' "-% ]^_`^abc defg]dhi +( j k$*++(' lmmn opqrstuvwquxrs yp qrwvzpt pu twv{ | qpt } ~ | vuxv yp yrsspt u | s€psuxppt /5E@48@?E ‚@ 8<ƒA@ 9 „…†‡ˆ†‰ Š‹ŒŠŠŽ   ‘’ (%)-%. “”•–—˜ ™*%(H'($% .( %(Hš(%Hš( › –œ–— •%ZG*.()' ‘ -%H ™—œ–“ž •%#Ÿ(GG($% › ˜)* (%G*'Z .( +- Z.*'(%%-)Z( -""#%'($% ‘ -%H œ“¡“˜ •%#Ÿ(GG($% › ˜)* (%G*'Z .( ’ #$%,#,)( -""#%'($%  \( ‘ ”'(Ÿ-)*( ¢—¢  —œœ •%#Ÿ(GG($% › –œ• .( £%()#&+( “¤-\*)-'%*H( ‘’ (%)-%. ž—¥¦žž“ •%#Ÿ(GG($% › ˜)* (%G*'Z k#G("š §#$%*(% “¤-\*)-'($% ‘ ™#\*)*[$( ™—¡–™ ¢-&*+*'Z ¨ .*%*,(% .(G %(Hš(%Hš(G › ¥“—©ž“ª– “¤-\*)-'($% ‘ ž$H ’ –—™  -«'%( .( ¥#)ŸZ%()H( › ˜)* (%G*'Z k#G("š §#$%*(% “¤-\*)-'($% ªš¬G( "%Z"-%Z( -$ ž-&#%-'#*%( §#)H'*#))-+*G-'*#) .(G  -'Z%*-$¤ "-% .(G  *H%# (' œ-)#   

·¸¹º»¼½¾¿¹½Àº» Á¸ ¹º¿¾Â¸¼ ¸½ ¼¿¾ÃŸ¼ Å Æľ½À¾ Á¸ Áº»»Ç¸¼ ½Ä»È¸»½À¸Éɸ¼ ž( ž“ª–.Z (+#""(.(G\*H%#›H-"'($%G ®'(+G [$( .(G \*H%#›-HHZ+Z%#\¬'%(G #$ .(G\*H%#› \-,)Z'#\¬'%(G¯ H-"-&+(G .( G( ,Z#%ZŸZ%()H(% (' .( .#))(% -+#%G +($% "%#"%( #%*()'-'*#) ‘ —*)G*ÊG*)#$G "#G#)G $)()G(\&+(.(H-"'($%G G$%$)(Ÿ#%\(Ê*+G)#$GŸ#$%)*%#)'+(G .#))Z(G '-),()'*(++(G .( +- G$%Ÿ-H( -$¤ "#G*'*#)G .(G H-"'($%G ‘ ž( '%- -*+ .Z (+#""Z *H* H#)G*G'( ¨ %(H#)G'%$*%( +- Ÿ#%\( .Ë#&Ì('G ¨ "-%'*% .( H(G .#))Z(G '-),()'*(++(G (' .( +-H#))-*GG-)H( .( +-%Z"-%'*'*#) .( H(G H-"'($%G ‘ œ#$G Z'$.*(%#)G "+$G*($%G H-G .( %(H#)G'%$H'*#)Ê() H#\\()› Í-)' "-% +- %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G "+-)(GÊ"$*G .( H#$%&(G ,-$Hš(G (' ()Î) .( G$%Ÿ-H(G ‘ •$*G )#$G "%#"#G(%#)G .(G \Z'š#.(G .( H-"'$%( .( \#$ (\()' .( Ÿ#%\(G () .ZŸ#%\-'*#)Ê HË(G'›¨›.*%( [$( )#$G -++#)G Z[$*"(% $)( H#$%&( #$ $)( G$%Ÿ-H( .( H-"'($%GÊ )#$G -++#)G +$* -""+*[$(% .(G .ZŸ#%\-'*#)GÊ(' )#$G .( %#)G %(H#)G'%$*%( +- Ÿ#%\(  *%'$(++( -GG#H*Z( () '(\"G %Z(+ ¨ "-%'*% .(G .#))Z(G Ÿ#$%)*(G "-% +(G H-"'($%G ‘ ™( )#\&%($G(G -""+*H-'*#)G G#)' () *G-,Z(G ®.#\-*)(G .( +- G-)'ZÊ.( +Ë-Z%#)-$'*[$(Ê.$ \$+'*\(.*-Ê ‘‘‘ ¯Ê(' )#$G Z+-&#%#)G () "-%-++¬+( .(G "%#'#'­"(G .( H-"'$%( .( Ÿ#%\( -Î) .( '(G'(% ('  -+*.(% )#G \Z'š#.(G ‘ ÏÐÑÒÓÔÕÖÒ × H-"'$%( .( Ÿ#%\(GÊH-"'$%( .( \#$ (\()'Ê%ZG(-$ .( H-"'($%GÊ.#))Z(G '-),()'*(++(GÊ H-"'($%G .Ë#%*()'-'*#)Ê %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G (' G$%Ÿ-H(GÊ *)'(%"#+-'*#)Ê "-%-\Z'%*G-'*#) H$% *+*,)(Ê ,Z#.ZG*[$(G ØÙ ´ÚÛÜÝÚ Þ¿¾ß¸ Ä»Á ¼¿¾ÃŸ ¾¸¹º»¼½¾¿¹½Àº» ßÀÄ ½Ä»È¸»½ÀÄÉ À»Ãº¾àĽÀº»  *H%#›G()G#%G .( (+#"(. -' 'š( ž“ª– ®+*á( \*H%#-HH(+(%#\('(%G #% \*H%#\-,)('#\(› '(%G¯ -%( -&+( '# ,* ( G#\( *)Ÿ#%\-'*#) -&#$' 'š(*% #%*()'-'*#) ‘ ”# *Ÿ â( "$' -) -%%-­ #Ÿ

G()G#%G #) - #&Ì(H'Ê'š(­ â*++ ,* ( .-'- -&#$' 'š( +#H-+ '-),()H­ #Ÿ 'š( #&Ì(H'

‘ ªš*G â#%á H#)G*G'G *) %(H#)G'%$H'*), 'š( Gš-"( #Ÿ 'š( #&Ì(H' 'š-)áG '# 'š(G( G()G#%G *)Ÿ#%\-'*#)G ‘ ªš( Gš-"( H-) &( - H$% ( +­*), *) - "+-)(Ê #% - G"-H( H$% (Ê-). 'š() - G$%Ÿ-H( ‘ ªš() â( "%#"#G( 'š( \#'*#) H-"'$%(#Ÿ -Gš-"(*).(Ÿ#%\-'*#)Ê* ‘ ( ‘ â( â*++([$*" -H$% (#% -G$%Ÿ-H( â*'š G()G#%GÊ \-á( \# (\()'G -). .(Ÿ#%\-'*#)G â*'š *'Ê -). %(H#)G'%$H' *' *) 'š( G-\( '*\(  *-.-'- Ÿ%#\ G()G#%G ‘ ªš(%( *G -+#' #Ÿ -""+*H-'*#)G ®\(.*H-+Ê-(%#)-$'*HÊ\$+'*\(.*-Ê š#&&­*G' › .# ›*' › ­#$%G(+Ÿ -""+*H-'*#)G¯Ê -). G#\( \-'(%*-+G â*++ &( (¤"(%*\()'(. *) 'š( G-\( '*\( '# '(G' -).  -+*.-'( 'š(G( -+,#%*'š\G ‘ ãäåÓæÐçèÒ é \#'*#) H-"'$%(Ê Gš-"( H-"'$%(Ê \(Gš #Ÿ G()G#%GÊ '-),()'*-+ *)Ÿ#%\-› '*#)GÊ G()G#%G #Ÿ #%*()'-'*#)Ê H$% ( -). G$%Ÿ-H( %(H#)G'%$H'*#)Ê *)'(%"#+-'*#)Ê -%H›+(),'š

óô õöô÷ø õùúõ ûü ýþ ùÿû ÿô
ôÿöôÿ ôø ôÿøù÷÷ôø úö ù÷õ ÿô÷ûúùøøö þ ô ôõõô õ øô  ù
ö÷öúô    úö ý ôú üöûô ûô ô÷öÿ ùöÿ ûú ùõ ûôø
ý õ
ý õöúôø ý ö úôø ùúÿ ÿù÷ûÿô ôø úôøõöù÷ø ûô  ý õúÿô ûô ùÿ
ô  ôõ ôÿ÷ ý ÿû  ôõ ú    ùúÿ ý ùöÿ ÿù÷ûú ÿøô÷õ ôõ ý ùöÿ ÿú ô ÿùôõ ø
üù÷õ ô÷øúöõô ý ù
 ý ÷ø ûúÿ ý ÷õ ôø õÿùöø ý ÷÷ôø ý ô þ ô ý úùú ûô ûöøù÷ö þ ööõ ôõ ûüô÷õùú øö ý ø
ô! óô õöô÷ø  ý ô
ô÷õ ÿô
ôÿöôÿ " ý ÿ #  ôõ " ý ÿ $  % ùúÿ ý ùöÿ ý ôõø ûô ÿ ý ùÿõôÿ ô õÿ ý  ý ö  ý ö÷øö úô ôø ý úõÿôø
ô
þ ÿôø ûúúÿ& 'õ ý ÷öô ()*## ôõ ôÿ÷ ý ÿû +, - % 
ô øôÿ ý ö õ
ý ö÷õô÷ ý ÷õ ö
ùøøö þ ô ûô ÷ùõôÿ öö õùúõôø ôø ôÿøù÷÷ôø úôü ý ö
ôÿ ý öø ÿô
ôÿöôÿ ùúÿ ý ùöÿ õÿøô÷õ .ù ý ÷û  ý ÷ ý ö÷ ùúÿ
ü ý ùöÿ ý úôööô û ý ÷ø øù÷ øôÿöô  ù
ö÷öúô /ö ý ÿû ùúÿ ý ùöÿ ùúú úô ô ý ù÷õö÷úô  /öÿ ö÷öô  'õ ý ÷öô ôõ 0 ý ÿùö÷ô ùúÿ
ü ý ùöÿ úöûô û ý ÷ø ôø
 ý ÷ûÿôø ý û
ö÷öøõÿ ý õöø ûú 012  ôõ úø ÷ÿ ý ô
ô÷õ õùúõôø ôø ôÿøù÷÷ôø úôü ý ö ùõù&ôø ý ú øôö÷ ûú 13  ý ô ôøúôôø ü ý ö õÿ ý  ý ö  ùú øö
ô
ô÷õ ý ÿõ ý  ûú õô
ø ôõ úö ù÷õ ÿô÷ûú ôø õÿùöø ý ÷÷ôø õ ÿø ý  ýþ ôø ôõ ô÷ÿööøø ý ÷õôø  ý ô ú÷ô ô÷øô ý ÿõöúöÿô ùúÿ óô ý ÷0 ý ÿôø  4 ý õÿö5   ý úÿô÷õ  " ý ÿö÷ ý 1
ööô  0ûÿö  ùù ôõ õùúø ôø ý úõÿôø 1÷6÷  ú÷ ÿ ý ÷û
ôÿö
ôø ý ÿô÷õ ø ôõ
ôø ÿÿô ôõøùôúÿø úö ù÷õ õùúõ ý öõùúÿ úô üô÷ øùöø  ý úùúÿûüúö  ôõô ÷ôùúÿÿ ý öø 6÷öÿ ø ý ÷ø  ý ÿôÿ ûô 4 ý ø ý  ôõ " ý7 ô 
ôÿö ûü8õÿô  

WSVKS ?? SP OS P ?@  ABCDEFGHICGJDE KB CDIHLBF MN ? O KSPKS V K P PQ R‘R ¥#$%&(G "+-)(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ln R‘R‘R ™ZÎ)*'*#) .$ "%#&+¬\( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ln R‘R‘ l  #.Z+*G-'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ln R‘R‘S “%%($%G (' [$(+[$(G H#$%&(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ S l R‘R‘T ¥#)G*G'-)H( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ SU R‘R‘ j ¥#) (%,()H( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ T R R‘R‘U ¥#$%&(G .Ë(%%($% () Ÿ#)H'*#) .( H(%'-*)G "-%-\¬'%(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ T j R‘R‘ n ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ jl R‘ l ¥#$%&(G ,-$Hš(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ j S R‘ l ‘R  #.Z+*G-'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ j S R‘ l ‘ l •%(\*¬%( *.Z( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ j S R‘ l ‘S  Z'š#.( Z+-&#%Z( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ j T R‘ l ‘T V $(+[$(G H#$%&(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ jW R‘ l ‘ j ¥#)G*G'-)H( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ UT R‘ l ‘U ¥#) (%,()H( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ nm R‘ l ‘ n ¥#$%&(G .Ë(%%($% () Ÿ#)H'*#) .( H(%'-*)G "-%-\¬'%(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ nl R‘ l ‘X ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ X m P LXOS V K P Y? l ‘R  Z'š#.( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ X j l ‘R‘R §#%\-+*G-'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ X j l ‘R‘ l ZG#+$'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ X n l ‘R‘S ˜'*+*G-'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ Wm l ‘ l ª(G'G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ W R l ‘ l ‘R ª(G'G H#$%&(G "+-)(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ W R l ‘ l ‘ l ª(G'G H#$%&(G ,-$Hš(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ W X l ‘S ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R ml

 ABCDEFGHICGJDE KB FIHd e CBF Mfg Q O KSPKS V PXK P ?hi S‘R ™#))Z(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RRR S‘ l  Z'š#.#+#,*( ,+#&-+( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RRT S‘S •%(\*(% H-G × +(G .#))Z(G G#)' $) Î+(' ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RR j S‘S‘R ZG(-$ *)*'*-+ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RR j S‘S‘ l (H-+-,( .$ %ZG(-$ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RRU S‘T ™($¤*¬\( H-G × +(G .#))Z(G G#)' .-)G $)( G($+( .*%(H'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R lj S‘T‘R ¥%Z-'*#) .(G H#$%&(G -­-)' .(G H#)'%-*)'(G .( '-),()'(G (' .( +#),$($% R lj S‘T‘ l “'-"( S × (H-+-,(.$%ZG(-$ - (H+-H%Z-'*#).(G H#$%&(G .-)G+Ë-$'%( .*%(H'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R l U S‘ j (\"+*GG-,( .( +- G$%Ÿ-H( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R l X S‘U ZG$+'-'G (' H#\"-%-*G#)G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R lW S‘U‘R (H#)G'%$H'*#) .(G %ZG(-$¤ .( H#$%&(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R lW S‘U‘ l (H#)G'%$H'*#) .(G G$%Ÿ-H(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RT W S‘U‘S (H#)G'%$H'*#) .(G G$%Ÿ-H(G () Ÿ#)H'*#) .$ )#\&%( .( H-"'($%G ‘ ‘ ‘ R jn S‘ n ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RU m j LXOS V PXK P ?k? T‘R ™ZŸ#%\-'*#) .$ %ZG(-$ .( H#$%&(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RU j T‘R‘R §*+(' .( .#))Z(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RU j T‘R‘ l $&-)G *)G'%$\()'ZG ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RUX T‘ l ZG$+'-'G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RU W T‘ l ‘R ª(G' R ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R nm T‘ l ‘ l ª(G' l ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R nn T‘S ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ RXS  lBF Hm en JF e GJDEF GBCoED n DpJqIBF Mrs @ OPSP  KSU P ?Yi j ‘R ™(GH%*"'*#) .$ "%#'#'­"( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R W R j ‘R‘R ž(G H-"'($%G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R W R j ‘R‘ l ¥#\\()' #&'()*% +(G .#))Z(G '-),()'*(++(G  #$+$(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R Wl j ‘R‘S ž( %$&-) "%#'#'­"( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ R WW j ‘R‘T ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lm R j ‘ l ž(G %ZG$+'-'G #&'()$G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lm R j ‘ l ‘R ž(G H#$%&(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lm R j ‘ l ‘ l ž(G G$%Ÿ-H(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l RR j ‘S ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l RT tSKPS  u P Kv P P?i wU P?x

yBB@z@A {{g | R   KSPKS V  XSKS VISU PPi — ‘R –)'(%"#+-'*#) } &-G*[$(} ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ llW — ‘R‘R –)'(%"#+-'*#) +*)Z-*%( "-% \#%H(-$¤ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ llW — ‘R‘ l –)'(%"#+-'*#) [$-.%-'*[$( ,+#&-+(\()'

C

1

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ llW — ‘R‘S –)'(%"#+-'*#) [$-.%-'*[$( G($+(\()' H#)'*)$( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l SR — ‘R‘T ¥#)H+$G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l S l — ‘ l –)'(%"#+-'*#) "-% H#)'%-*)'(G .( Ÿ#%\(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l SS — ‘ l ‘R ”"+*)( H$&*[$( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l SS — ‘ l ‘ l ”"+*)( š­"(%&#+*[$( G#$G '()G*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l S j — ‘S —""%#¤*\-'*#) "-% G"+*)( .( +*GG-,( ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l SU — ‘S‘R ”"+*)( .( +*GG-,( × ,Z)Z%-+*'ZG ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l SU — ‘S‘ l —+,#%*'š\( "%#"#GZ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l SX w tK V K  PS PQx t ROSP V K P S Ov O S Pj? ¥ ‘R ¥#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G "+-)(G () \#$ (\()' - (H +(G H#$%&(G •¢ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l TS ¥ ‘R‘R  #.Z+*G-'*#) .Ë$)( H#$%&( •¢ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l TS ¥ ‘R‘ l ™ZŸ#%\-'*#) .Ë$)( •¢ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l TT ¥ ‘R‘S •¢ "-% \#%H(-$¤ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l T j ¥ ‘ l ¥#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ,-$Hš(G () \#$ (\()' - (H +(G H#$%&(G •¢ ‘ ‘ ‘ ‘ l TU ¥ ‘ l ‘R  #.Z+*G-'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l TU ¥ ‘ l ‘ l ™ZŸ#%\-'*#) ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l T n ¥ ‘ l ‘S •¢ "-% \#%H(-$¤ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l TX L tS V NR SP Pjx ™ ‘R ¥-+*&%-'*#) .(G -HHZ+Z%#\¬'%(G '%*›-¤(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj R ™ ‘R‘R ¡-+($% \*\*\-+( .(G

Acc

z

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj R ™ ‘R‘ l ¡-+($% \*)*\-+( .(G

Acc

x

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ljl ™ ‘R‘S ¡-+($% \*)*\-+( .(G

Acc

y

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ljl ™ ‘R‘T ¡-+($% \-¤*\-+( .(G

Acc

z

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj S ™ ‘R‘ j ¡-+($% \-¤*\-+( .(G

Acc

_x

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj S ™ ‘R‘U ¡-+($% \-¤*\-+( .(G

Acc

y

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj S ™ ‘ l ¥-+*&%-'*#) .(G \-,)Z'#\¬'%(G &*›-¤(G ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj T ™ ‘ l ‘R ¡-+($% \*)*\-+( "#$%

M ag

_x

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj T ™ ‘ l ‘ l ¡-+($% \*)*\-+( "#$%

M ag

y

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ lj T ™ ‘ l ‘S ¡-+($% \-¤*\-+( "#$%

M ag

x

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ljj ™ ‘ l ‘T ¡-+($% \-¤*\-+( "#$%

M ag

_y

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ljj

¥( '%- -*+.( 'š¬G( ()  -'šZ\-'*[$(G (' –)Ÿ#%\-'*[$( - Z'Z ((H'$Z .-)G +( G(% *H( .(G  *H%#G­G'¬\(G(' ¦&Ì('G ¥#\\$)*H-)'G ®”  ¦¥¯-$¥“—›ž“ª– ®‚ƒ„„…††‡ˆ…‡‰Š‹Œ Ž ˆ…  ‘ ‰ƒ„…’“  ”• ‡–ƒˆ‡‰ƒ…ˆ  — Œ  ‹  ˜ ‰ˆƒ Ž …’“   ‰ ™ ˜šŽ ƒ‹ƒ…  † — ‹Œ › Žœ ƒˆ„‡‰…ƒ Ž ¯ÊH()'%(%(H#))$.( %(Hš(%Hš('(Hš)#+#,*[$( .( £%()#&+( ‘ ¥(G '%- -$¤ G#)' .#)H +( %ZG$+'-' .Ë$)( H#++-&#%-'*#) ()'%( .(G "(%G#))(G *GG$(G .( .($¤ \#).(G .*Z%()'G × .Ë$) H'Z .(G *),Z)*($%G Hš(%Hš($%G .$ ¥“— [$* Hš(%Hš()' $)( G#+$'*#) H#)H%¬'( ¨ .(G "%#&+¬\(G "#GZG "-% .(G -""+*H-'*#)G '(Hš)#+#,*[$(GÊ(' .( +Ë-$'%( H'ZÊ.(G Hš(%Hš($%G () \-'šZ\-'*[$(G -""+*[$Z(G ¨ +Ë$)* (%› G*'Z [$* \(''()' () "+-H( .(G G#+$'*#)G 'šZ#%*[$(G ¨ .(G "%#&+¬\(G \-'šZ\-'*[$(G ‘ ¥(''( -++*-)H( - .#)H "(%\*G $) Z+-%,*GG(\()' (' $)( %*Hš(GG( .-)G +(G .($¤ \#).(G × .Ë$)( "-%' (GG-­(% .( '%#$ (% .Ë-$'%(G \Z'š#.(G "#$% +- %ZG#+$'*#) H#)H%¬'( .( "%#&+¬\(G .*H'ZG "-% +(G -""+*H-'*#)G ('Ê .Ë-$'%( "-%'Ê GË#$ %*% $) )#$ (-$ Hš-\" .( "%#&+Z\-'*[$( -Î) .Ë­ (¤"Z%*\()'(% .( )#$ (++(G G#+$'*#)G 'šZ#%*[$(G ‘ “) H( [$* )#$G H#)H(%)(Ê+( ž“ª– .Z (+#""( .("$*G .( )#\&%($G(G -))Z(G .(G H-"'($%G .(.#))Z(G'(%%(G'%(G ®Hš-\" \-,)Z'*[$(ÊHš-\" ,%- *'-'*#))(+ ‘‘‘ ¯ ‘ “)+(GH#\&*)-)'Ê)#$G #&'()#)G .(G G­G'¬\(G .( \(G$%(G H-"-&+(G .( G( ,Z#%ZŸZ%()H(% ‘ ˜) ,%-). Hš-\" -""+*H-'*Ÿ GË#$ %( -+#%G × +- H-"'$%( .( \#$ (\()' ‘ “) (('ÊH(G .*G"#G*'*ŸG .( \(G$%(G "+-HZG G$% .(G #&Ì('G .#))()' +Ë#%*()'-'*#) .(G.*'G #&Ì('G (' -GG#H*ZG ¨ .(G š­"#'š¬G(G ¨"%*#%*"(%\(''()' .Ë#&'()*% .(G *)Ÿ#%\-'*#)G .( "#G*'*#) %(+-'* ( (' .( \#$ (\()' ‘ ¥(G G­G'¬\(G \#)'%()' +($%G )#\&%($¤ - -)'-,(G × -GG(± "('*'GÊ *+G G#)' )#) *)'%$G*ŸG (' "(%\(''()' .Ë ž '%( $'*+*GZG "-%'#$' ®H-% )( )ZH(GG*'()' -$H$) -""-%(*++-,( (¤'Z%*($% .( %ZŸZ%()H(Ê*+G $'*+*G()' .(G %ZŸZ› %()H(G '(%%(G'%(G¯ ‘ •-% (¤(\"+(ÊG*)#$G (GG-­#)G .( %(H#)G'%$*%( .(G \#$ (\()'G š$\-*)GÊ )#$G "#$ #)G () .*G"#G(% () .(G "#G*'*#)G G'%-'Z,*[$(G .$ H#%"G (' $'*+*G(% $) \#.¬+( .( G[$(+(''( "#$% -%%* (% -$ &$' %(Hš(%HšZ ‘ ž- \*)*-'$%*G-'*#) .( H(G G­G'¬\(G "(%\(' .Ë#$ %*% .Ë-$'%(G "(%G"(H'* (G ‘ “) (('Ê )#$G "#$ #)G \-*)'()-)' +(G $'*+*G(% - (H $)( .()G*'Z "+$G *\"#%'-)'( (' (¤'%-*%( .(G *)Ÿ#%\-'*#)G H#)'*)$(G .( H(GŸ#%\(G ()\#$ (\()' ®() (GG-­-)' .(G("-GG(% .˚­"#'š¬G(G ¨ "%*#%* H#)H(%)-)' +(G #&Ì('G [$( )#$G Hš(%Hš#)G ¨ G$* %( #$ ¨ \#.Z+*G(%¯ (' .( )#\&%($¤ Hš-\"G -""+*H-'*ŸG GË#$ %()' .-)G .(G .#\-*)(G '%¬G  -%*ZGÊ)#'-\\()' .-)G +(G .#\-*)(G G$* -)'G × Ÿ ‰   ‰…‹  × - (H +- \*)*-'$%*G-'*#) .(G H-"'($%GÊ*+ G(%- &*()'' "#GG*&+( .( '*GG(% .(G Î+G *)G'%$\()'ZG .*%(H'(\()' .-)G +(G '*GG$GÊ)#$G #&'*().%#)G -*)G* .(G '*GG$G H-"-&+(G .( Ÿ#$%)*% +($% "%#"%( Ÿ#%\( ®\-'Z%*-$¤ .*'G "%#"%*#H("'*ŸG¯ × H(+- "#$%%-*' Ÿ#$%)*% $)( -*.( ¨+-H%Z-'*#) .(   ž '(\()'GÊ#$-+#%G ž '%( $)*)G'%$\()'.( \(G$%( G$%Ÿ-H*[$(Ê Ÿ ‚ ‘¡ × $)%$&-)*)G'%$\()'Z "#$%%-*' ž '%(  $ H#\\( $))#$ (+#$'*+.( \#.Z+*G-'*#) -*.-)' ¨ +- H%Z-'*#) .( \#.¬+(G )$\Z%*[$(G "#$% +(G +#,*H*(+G .( ¥—¦Ê #$ .-)G +(

+( "#G-)' G*\"+(\()' G$% +- Ÿ#%\(  #$+$(Ê Ÿ †‡ Ž ‰¥ × )#$G "#$ #)G H%Z(% .(G #$'*+G "(%\(''-)' +-\(G$%( (¤-H'( .( +- \#%"š#+#,*( .Ë$)("(%G#))(Ê-*.-)'-*)G*G#*'+(G.*-,)#G'*HG ®"-%(¤(\"+( G*+Ë#)G$*'(¤-H'(\()' +-Ÿ#%\( .(+- H#+#))( (%'Z&%-+(¯ÊG#*' +- H%Z-'*#) G$% \(G$%( .(\-'Z%*(+G .( H#%%(H'*#) ®H#%G('GÊ&-G .( H#)'()'*#) ‘‘‘ ¯Ê Ÿ ‡¥ˆƒ —¦Ž ‡„…’“  × H(G #$'*+G "($ ()' Ÿ-H*+*'(% +(G Z'$.(G .( "(%'$%&-'*#)G -Z%#.­)-› \*[$(G ®"-% (¤(\"+( - (H .(G Î+G *)G'%$\()'ZG  #+-)'G .(%%*¬%( +(G -*+(G .Ë- *#) .-)G +(G G#$§(%*(G "(%\(''-)' .( H#))-«'%( *)G'-)'-)Z\()' +(G Ÿ#%\(G .( H(G %$&-)G () '(\"G %Z(+¯Ê Ÿ † ¨ƒˆ‰ × )#$G "#$ #)G -$GG* -*.(% ¨ +Ë-\Z+*#%-'*#) .(G "(%Ÿ#%\-)H(G .(G &-'(-$¤ () "(%\(''-)' +- H#))-*GG-)H( () '(\"G %Z(+ .( +- Ÿ#%\( .( +($%  #*+( ‘‘‘ ¥Ë(G'\-*)'()-)'[$(+Ë-)-+­G(\-'šZ\-'*[$(('+-,Z#\Z'%*(.*Z%()'*(++(*)'(% *())()' ‘ ž- "%#&+Z\-'*[$( .( H( G$Ì(' .( 'š¬G( (G' .#)H +- G$* -)'( × H#\\()' %(H#)G'%$*%( .(G Ÿ#%\(G ¨ "-%'*% .Ë$) %ZG(-$ \-*++Z .( H-"'($%G ‘ œ#'%( '%- -*+ GË(G' -%'*H$+Z -$'#$% .( .($¤ "š-G(G .*G'*)H'(G© +- "%(\*¬%( Z'-)' .( &*() .ZÎ)*% +( "%#&+¬\(Ê HË(G'›¨›.*%( × .( [$#* - #)G›)#$G &(G#*) "#$% +- %ZG#+$'*#) .(

H( "%#&+¬\(Ê H(+- (G'›*+ "#GG*&+( '(Hš)#+#,*[$(\()'Ê (' ()Î) -›'›#) $)( &#))( \#.Z+*G-›

'*#) \-'šZ\-'*[$( .$ "%#&+¬\( '(Hš)#+#,*[$(ª ž- .($¤*¬\( "š-G( (G' $)( "š-G( "+$G H#) ()'*#))(++( -$ )* (-$ \-'šZ\-'*[$( × )#$G Hš(%Hš#)G .(G G#+$'*#)G ¨ $) "%#&+¬\( &*() "#GZ ‘ ™ZÎ)*GG#)G ¨ "%ZG()' H( "%#&+¬\( .( %(H#)G'%$H'*#) .( Ÿ#%\(G ¨ "-%'*% .( H-"'($%G .( Ÿ-Í#) \-'šZ\-'*[$( ‘ ž(G H-"'($%G .#))()' .(G *)Ÿ#%\-'*#)G G$% +($% "%#"%( .*%(H'*#)Ê +( Ÿ-*' .( +(G "#G(% G$% $)( Ÿ#%\( .#))(%- -*)G* $)( *)Ÿ#%\-'*#) '-),()'*(++( ¨ +- G$%Ÿ-H( ¨ +Ë().%#*' .$ H-"'($% ‘ ž(G H-"'($%G )( .#))()' H("().-)' "-G +($% "#G*'*#) -&G#+$(Ê \-*G )#$G -$%#)G H#\\( .#))Z(G .(G *)Ÿ#%\-'*#)G %(+-'* (G ¨ +($% %Z"-%'*'*#) ®*)Ÿ#%\-'*#) H#))$("-% H#)G'%$H'*#).(G Ÿ$'$%G G­G'¬\(G.(H-"'$%( × "-%(¤(\"+( $)%$&-)*)G'%$\()'Z .( H-"'($%G .#)' )#$G H#))-*GG#)G +- %Z"-%'*'*#) +( +#), .( H( Î+Ê #$ $) Î+(' .( H-"'($%G .#)' )#$G H#))-*GG#)G +(G .*\()G*#)G .(G \-*++(G ‘‘‘ ¯ ‘ ž( "%#&+¬\( '(Hš)#+#,*[$(('-""+*H-'*Ÿ .( %(H#)G'%$H'*#).(Ÿ#%\(G¨"-%'*% .(H-"'($%G .( *()' -*)G* +- Ÿ#%\$+-'*#) \-'šZ\-'*[$( G$* -)'( × H#\\()' %(H#)G'%$*%( $)( G$%Ÿ-H( ¨ "-%'*% .( .#))Z(G '-),()'*(++(G .#)' +- %Z"-%'*'*#) (G' H#))$( ‘ ¥( "%#&+¬\( (G' &*() G«% ¨ .ZÎ)*% "+$G "%ZH*GZ\()'Ê H( [$( )#$G Ÿ(%#)G .-)G +- G$*'( .( H( .#H$\()' ‘ œ#$G -%'*H$+#)G H( \Z\#*%( .( +-\-)*¬%( G$* -)'( × -"%¬G $)&%(Ÿ Hš-"*'%( H#)G'*'$Z.( %-""(+G .( )#'*#)G .( ,Z#\Z'%*( .*Z%()'*(++( )ZH(GG-*%(G ¨ +- H#\"%Zš()G*#) .( H( '%- -*+Ê $)( "%(\*¬%( "-%'*( G(%- H#)G-H%Z( ¨ +- %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ‘ ¥(+- "(%\(''%- -*)G* .( &*() "#G(% (' H#\"%().%( $) "%#&+¬\( G*\"+*ÎZÊ (' \(''%( () "+-H( .(G Z+Z\()'G *\› "#%'-)'G [$* G(%#)' "-% +- G$*'( %Z*) (G'*G "#$% +- %(H#)G'%$H'*#) .(G G$%Ÿ-H(G ‘ ¥(''( "-%'*( G( .ZH#\"#G( () .($¤ Hš-"*'%(G [$* Ÿ#%\()' .($¤ \Z'š#.(G .*Z%()'(G .( %ZG#+$'*#) .*H› 'Z(G "-% .($¤  *G*#)G .*Z%()'(G × () "%(\*(% +*($Ê +- %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G G'-'*[$(G

®.-)G +([$(+ )#$G .ZH#\"#G#)G ()H#%( () %ZG#+ -)' '#$' .Ë-&#%. +( "%#&+¬\( .(G H#$%&(G

"+-)(GÊ "$*G )#$G Z'().#)G ¨ +- %(H#)G'%$H'*#) .(G H#$%&(G ,-$Hš(G¯Ê (' .-)G $) G(H#).

'(\"G )#$G Z'$.*(%#)G +- \*G( () \#$ (\()' .( )#'%( H#$%&(Ê [$* "(%\(''%- .( .*G"#G(%

™-)G $)( .($¤*¬\( "-%'*(Ê )#$G )#$G "()Hš(%#)G G$% +- %(H#)G'%$H'*#) .( G$%Ÿ-H(GÊ '#$Ì#$%G () -­-)' ¨ +Ë(G"%*' +(G .($¤  *G*#)G × -G"(H'G G'-'*[$( #$ G$* * .( .ZŸ#%\-'*#) ‘ •+$G*($%G \Z'š#.(GÊ .$(G ¨ .*Z%()'(G "#GG*&*+*'ZG .( "%#'#'­"(G .*H'-)' .*Z%()'(G G#%'(G .( .#))Z(GÊG#)' Z'$.*Z(G ‘ “)Î)Ê+( .(%)*(% Hš-"*'%( G( Ÿ#H-+*G(%- G$% +(G -""+*H-'*#)G H#)H%¬'(G +*Z(G ¨ H(G '%- -$¤Ê '#$' .Ë-&#%. - (H [$(+[$(G (¤"+*H-'*#)G G$% +(G H-"'($%G (' +(G "%#'#'­"(GÊ"$*G )#$G \#)› '%(%#)G +(G %ZG$+'-'G #&'()$G - (H H(G G­G'¬\(G .( H-"'$%( ‘ œ#$G - #)G Hš#*G* .( "+-H(% '#$'(G +(G -""+*H-'*#)G '(Hš)#+#,*[$(G .-)G $) .(%)*(% Hš-"*'%(Ê H-% )#G '%- -$¤ .( 'š¬G( Z'-)' .-)G $)( G"ZH*-+*'Z }  -'šZ\-'*[$(G –)Ÿ#%\-'*[$( }Ê)#$G  #$+*#)G - -)' '#$' .Z,-› ,(% +(G "%#&+¬\(G G#$G $)( Ÿ#%\( \-'šZ\-'*[$(Ê ­ -""#%'(% $)( %Z"#)G( (' +- H#)Ÿ%#)'(% ()G$*'( -$¤ (¤"Z%*\()'-'*#)G ‘ ¥("().-)'Ê*+ "($' ž '%( $'*+( -$ +(H'($% .( GË­ %("#%'(% .-)G $) "%(\*(% '(\"GÊ -Î) .( \*($¤ -""%Zš().(% +- \#'* -'*#) (' +( H-.%( .( H( '%- -*+ ‘ “) #$'%(Ê)#$G - #)G Z,-+(\()'  #$+$ GZ"-%(% +(G (¤"Z%*\()'-'*#)G -""+*H-'* (G -H'$(++(G H-% )#$G #$+*#)G -""#%'(%.(G G#+$'*#)G+(G"+$G,Z)Z%-+(G"#GG*&+(G ®)(.Z"().-)' -+#%G"-G.(G "%#'#'­"(G©\-'Z%*-$¤ -H'$(++(\()' Z+-&#%ZG¯Ê H(H* (¤"+*[$-)' ()Î) +( H-%-H'¬%( *++$G'%-'*Ÿ .( H( .(%)*(% Hš-"*'%(Ê(' +Z,*'*\-)' H#\"+¬'(\()' G#) "#G*'*#))(\()' ‘

™-)G H( Hš-"*'%( "%Z+*\*)-*%(Ê)#$G *)'%#.$*G#)G [$(+[$(G )#'*#)G Z+Z\()'-*%(G .( ,Z#› \Z'%*( H#)H(%)-)' +- .(GH%*"'*#) .(G H#$%&(G (' .(G G$%Ÿ-H(GÊ (' )#$G .ZH%* #)G [$(+[$(G #$'*+G .( ,Z#\Z'%*( .*Z%()'*(++(Ê $'*+( "#$% +- H#\"%Zš()G*#) .(G "%*)H*"-$¤ %ZG$+'-'G .( H( \Z\#*%( ‘ ¯°±²³´µ ˜)( H#$%&( .( +Ë(G"-H( "($' ž '%( .ZH%*'( .( "+$G*($%G Ÿ-Í#)G ®*\"+*H*'(Ê(¤"+*H*'(Ê"-%-› \Z'%*[$( )#'-\\()'¯ ‘ œ#$G .ZH%* #)G "-% +- G$*'( +( \#.( [$( )#$G $'*+*G#)G .-)G )#'%( '%- -*+ × +- .(GH%*"'*#) "-%-\Z'%*[$( .(G H#$%&(G ‘ ”#*'

C

$)( H#$%&( .( +Ë(G"-H( ‘ –+ (¤*G'( -+#%G $) "-%-\¬'%(

t

.ZÎ)* .-)G $) *)'(% -++(

[a, b]

Ê'(++( [$( +- H#$%&(

C

G#*' .ZH%*'( "-% +- .#))Z( .( +-Ÿ#)H'*#)

f

.( +-Ÿ-Í#) G$* -)'( ×

f

_{: [a, b] −→ R}

3

t

_{7−→ f(t) =}





x(t)

y(t)

z(t)



 .

ž- H#$%&(

C

(G' -*)G* +Ë*\-,( "-% +- Ÿ#)H'*#)

f

.Ë$) H#\"-H' .(

R

‘ ”* )#$G -GG#H*#)G +- Ÿ#)H'*#) G$* -)'(

σ

¨ +- H#$%&(

C

×

σ

_{: I −→ [0, L], L}

+#),$($% .( +- H#$%&(

t

_{7−→ σ(t) =}

Z

t

0

f

0

_(u)

_du.

—+#%G +( "-%-\¬'%(

s

= σ(t)

(G' -""(+Z -&GH*GG( H$% *+*,)( (' +- H#$%&( "-%-\Z'%Z( "-% H(''( -&GH*GG(H$% *+*,)( ® -""(+Z( "-%-\Z'%*G-'*#))#%\-+(¯

f

_{= f ◦σ}

−1

(G' .ZH%*'( ¨ *'(GG( H#)G'-)'( $)*'-*%(ÊHË(G'›¨›.*%( ×

f

0

(s)

_{= 1, ∀s.}

¡#­#)G ¨ "%ZG()' [$(+[$(G %ZG$+'-'G "#$% +(G H#$%&(G "+-)(G ‘ ž(  (H'($%

f

0

(s)

(G' .#)H $)*'-*%(Ê*+ "($' GËZH%*%( H#\\( Ÿ#)H'*#) .Ë$) -),+(

α(s)

×

f

0

(s) =



x

0

_{(s) = cos(α(s))}

y

0

_{(s) = sin(α(s))}



œ#$G "#$ #)G -GG#H*(% +( %("¬%( .( ”(%%('›§%()('

(T (s), N (s))

() Hš-[$( "#*)' .( +-H#$%&( ‘ –+ (G' .ZÎ)* .( +- Ÿ-Í#) G$* -)'( "#$% +(G "-%-\Z'%*G-'*#)G )#%\-+(G ×

T

(s) = f

0

(s)

$)*'-*%(Ê

N

(s) = e

i

π

2

T

(s)

-Î) .Ë- #*% $) %("¬%( .*%(H' ‘ — "-%'*% .( H( %("¬%( )#$G "#$ #)G .ZÎ)*% +- H#$%&$%( () Hš-[$( "#*)' .( +- H#$%&( ®[$* (G' *)'%*)G¬[$( ¨ +- H#$%&(¯ ×

κ(s) =

D

f

00

(s), N (s)

E

_{= ±}

_f

00

(s)

“¤"%*\#)G \-*)'()-)' +- H#$%&$%( () Ÿ#)H'*#) .( +Ë-),+(

α

‘ œ#$G .( #)G - #*% "#$% H(+- +(G (¤"%(GG*#)G .(

N

(s)

(' .(

f

00

(s)

×

f

00

(s) =



− sin(α(s))α

0

_(s)

cos(α(s))α

0

_(s)



N

(s) = e

i

π

2

T

(s) =



− sin(α(s))

cos(α(s))



™Ë#º ×

κ(s) =

D

f

00

(s), N (s)

E

=



− sin(α(s)).α

0

_(s)

cos(α(s)).α

0

_(s)



,



− sin(α(s))

cos(α(s))



= α

0

(s)

ž- H#$%&$%( .( +- H#$%&( (G' -+#%G (¤-H'(\()' +- .Z%* Z( .( +Ë-),+(

α

‘ ¡#­#)G ¨ "%ZG()' H(G .ZÎ)*'*#)G "#$% +(G H#$%&(G ,-$Hš(G ‘ •#$%+(GH#$%&(G,-$Hš(GÊ)#$G"#$ #)G .ZÎ)*%+('%*¬.%(.( ”(%%('›§%()('

(T (s), N (s), B(s))

() Hš-[$( "#*)' .( +- H#$%&( ‘ “) G( "+-Í-)' () "-%-\Z'%*G-'*#) H$% *+*,)(Ê)#$G - #)G +(G .ZÎ)*'*#)G G$* -)'(G ×

T

(s) = f

0

(s)

 (H'($% '-),()' $)*'-*%(Ê

N

(s) =

f

00

_(s)

f

00

(s)

 (H'($% )#%\-+ $)*'-*%(Ê

B

_{(s) = T (s) ∧ N(s)}

 (H'($% &*)#%\-+ $)*'-*%( ‘ œ#$G -""(+#)G "+-) #GH$+-'($% +( "+-) .ZÎ)* "-%

(T, N )

Ê+( "+-) )#%\-+ H(+$* "#%'Z "-% +(G  (H'($%G

(N, B)

(' +( "+-) %(H'*Î-)' H(+$* H-%-H'Z%*GZ "-%

(T, B)

‘ œ#$G "#$ #)G -+#%G .ZÎ)*% .($¤ )#'*#)G *)'%*)G¬[$(G ¨ +- H#$%&(Ê +- H#$%&$%(

κ

(' +-'#%G*#)

τ

×

κ(s) =

_f

00

(s)

_{, κ(s) ≥ 0}

τ

_{(s) = −}



∂B

∂s

(s), N (s)



œ#$G "#$ #)G -$GG* .Z'(%\*)(% +(G  -+($%G .(G .Z%* Z(G .$ '%*¬.%( .( ”(%%('›§%()(' ®Ÿ#%\$+(G .( ”(%%('›§%()('¯ ×

∂

∂s





T

(s)

N

(s)

B(s)



 =





_−κ(s)

0

κ(s)

0

τ

(s)

0

0

_−τ(s)

0



 .





T

(s)

N

(s)

B(s)





œ#$G -++#)G ¨ "%ZG()' "#G(% +(G &-G(G .( +- .(GH%*"'*#) .(G G$%Ÿ-H(G ‘ »±²¼ ½¾ ´µ ˜)(G$%Ÿ-H("($' Z,-+(\()' ž '%( .Z'(%\*)Z( .( Ÿ-Í#) "-%-\Z'%*[$( - (H H(''( Ÿ#*G›H*$) (G"-H( .( "-%-\Z'%*G-'*#) .-)G

R

2

®)#$G -++#)G )#$G +*\*'(% ¨ .(G (G"-H(G %(H'-),$+-*%(G¯ ×

F

_{: [a, b] × [c, d] −→ R}

3

(u, v) 7−→ F (u, v) =





x(u, v)

y(u, v)

z(u, v)



 .

ž(G H#$%&(G *G#"-%-\Z'%*[$(G G#)' .(G H#$%&(G '%-HZ(G G$% +- G$%Ÿ-H( #º +Ë$) .(G .($¤ "-%-\¬'%(G (G' H#)G'-)'Ê "-% (¤(\"+( ×

C

u

0

u

(v) = F (u

0

, v)

(G' +- H#$%&( *G#"-%-\Z'%*[$( .Z"().-)' .(

v

"#$% +-  -+($%

u

ΤZ( ¨

u

= u

0

‘ ™ZÎ)*GG#)G ¨ "%ZG()' $)( H-'Z,#%*( .( H#$%&(G "-%'*H$+*¬%(G G$% +(G G$%Ÿ-H(G × +(G ,Z#.Z› G*[$(G ‘ —  -)' H(+-Ê)#$G .( #)G .ZÎ)*% +( %("¬%( .( ™-%&#$¤ ‘ ”#*' $)( H#$%&(

C

.ZH%*'( "-% +- "-%-\Z'%*G-'*#) )#%\-+(

f

(s)

G$% $)( G$%Ÿ-H(

S

"-%-› \Z'%Z( "-%

F

Ê )#$G - #)G -+#%G

f

(s) = F (u(s), v(s))

‘ “) Hš-[$( "#*)' .( +- H#$%&( )#$G -GG#H*#)G +( %("¬%( .( ™-%&#$¤

(T (s), g(s), n(s))

.ZÎ)* .( +- Ÿ-Í#) G$* -)'( × Ÿ

T

(s)

 (H'($% '-),()' $)*'-*%( .( +- H#$%&(Ê Ÿ

n(s)

)#%\-+( ¨ +- G$%Ÿ-H(Ê Ÿ

g

(s) = n(s) ∧ T (s)

 (H'($% )#%\-+ ,Z#.ZG*[$( ‘ ¥( %("¬%(  Z%*Î( +(G %(+-'*#)G .( ™-%&#$¤ ×

∂

∂s





T

(s)

g(s)

n(s)



 =





0

κ

_g

(s)

κ

_n

(s)

−κ

g

(s)

0

−τ

g

(s)

−κ

n

(s) −τ

g

(s)

0



 .





T

(s)

g(s)

n(s)





[$* .ZÎ)*'

κ

n

(s)

+- H#$%&$%( )#%\-+(Ê

κ

g

(s)

+- H#$%&$%( ,Z#.ZG*[$(Ê ('

τ

g

(s)

+- '#%G*#) ,Z#.ZG*[$( ‘ ˜)( H#$%&( ,Z#.ZG*[$( (G' -+#%G H-%-H'Z%*GZ( "-% +( Ÿ-*' [$( +- H#$%&$%( ,Z#.ZG*[$( (G' *.()'*[$(\()' )$++( ×

κ

g

(s) ≡ 0

‘ “) H#)GZ[$()H(Ê .Ë-"%¬G +(G Ÿ#%\$+(G .( ™-%&#$¤Ê )#$G - #)G

∂T

∂s

H#+*)Z-*%( ¨

n

‘ “' - (H +(G Ÿ#%\$+(G .( ”(%%('›§%()('Ê )#$G - #)G

∂T

∂s

H#+*)Z-*%( ¨

N

‘ —*)G* )#$G () .Z.$*G#)G +- H-%-H'Z%*G-'*#) G$* -)'( ×

¿ Ž ˜ ƒ“ˆ–  ˆ¥“‹…Àˆ  — ¥ ÁŽ …  †“ˆ “ Ž †“ˆ œ ‡ ˜  †‰ “ Ž ˜ ƒ“ˆ–  ¥ƒ — ¥†…’“  †…  ‰ †  “‹  „ Ž ‰ †… †ƒ Ž ¨‹‡ Ž ƒ† ˜ “‹‡‰  “ˆ  †‰ Ž ƒˆ„‡‹ ‡“ ¨‹‡ Ž ‰‡ Ž  Ž ‰ Š ‹‡ †“ˆ œ ‡ ˜ Ž ‰ƒ“‰¨ƒ… Ž ‰ — ‹‡ ˜ ƒ“ˆ– Â œ#$G  ()#)G .( &%*¬ (\()' %-""(+(% +(G )#'*#)G .( ,Z#\Z'%*( [$*)#$G G#)' $'*+(G "#$% +- G$*'( .( H( .#H$\()' ‘ œ#$G "#$ #)G ¨ "%ZG()' "#G(% +( "%#&+¬\( G$% +([$(+ )#$G - #)G '%- -*++Z × +- %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ¨ "-%'*% .( .#))Z(G '-),()'*(++(G ‘

êëîðòñí€îñïð =ë î€í;ëò

œ#$G -++#)G .-)G H(''( "%(\*¬%( "-%'*( )#$G *)'Z%(GG(% ¨ +- %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ¨ "-%'*% .( H-"'($%G .Ë#%*()'-'*#) ‘ œ#$G .( #)G '#$' .Ë-&#%. Ÿ-*%( +( +*() ()'%( +(G G­G'¬\(G -""+*H-'*ŸG "#GG*&+(G (' +-\#.Z+*G-'*#) \-'šZ\-'*[$( -GG#H*Z( ‘ œ#$G .*G"#G#)G .Ë$) %$&-) .( H-"'($%G %Z,$+*¬%(\()' %Z"-%'*G [$*.#))()' +($% "%#"%( #%*()'-'*#) ‘ œ#$G "#$ #)G -*)G* () (¤'%-*%( +-"%#&+Z\-'*[$( \-'šZ\-'*[$( G$* -)'( × )#$G .( #)G %(H#)G'%$*%( $)( H#$%&( .-)G +Ë(G"-H( H#))-*GG-)' +(G .#))Z(G '-),()'*(++(G () H(%'-*)G "#*)'G .( +- H#$%&( .#)' )#$G )( H#))-*GG#)G "-G +- "#G*'*#)Ê\-*G +- %Z"-%'*'*#) +( +#), .( +- H#$%&( ‘ “) H( G()GÊH( )Ë(G' "-G $) "%#&+¬\( .( '­"( ¢(%\*'(ÊHË(G'›¨›.*%( $) "%#&+¬\( .Ë*)'(%› "#+-'*#) - (H H#)'%-*)'(G .( '-),()'(G ‘ “) (('Ê .-)G $) '(+ "%#&+¬\(Ê)#$G .( #)G H%Z(% $)( H#$%&( [$* "-GG( "-% H(%'-*)(G "#G*'*#)G H#))$(G - (H .(G '-),()'(G H#))$(G ‘ “) H( [$* )#$G H#)H(%)(Ê )#$G )( H#))-*GG#)G "-G +(G "#G*'*#)GÊ )#$G H#))-*GG#)G G($+(\()' +(G .*%(H'*#)G .(G '-),()'(G (' +(G .*G'-)H(G H$% *+*,)(G ()'%( +(G "#*)'G .( \(G$%( +( +#), .( +- H#$%&( ‘ ¥( )Ë(G' "-G )#) "+$G $) "%#&+¬\( .Ë() (+#""( ®Ì§—ml-ͯ ‘ ™-)G $) "%#&+¬\( .Ë()›  (+#""(Ê )#$G .( #)G %(H#)G'%$*%( $)( H#$%&( '-),()'( () H(%'-*)(G .%#*'(G .( "#G*'*#)G H#))$(G ‘ ™-)G )#'%( H-GÊ)#$G H#))-*GG#)G G($+(\()' +(G .*%(H'*#)G .( H(G '-),()'(G \-*G "-G +($% "#G*'*#) .-)G +Ë(G"-H(ÊH("().-)' )#$G H#))-*GG#)G +(G .*G'-)H(G H$% *+*,)(G ()'%( +(G "#*)'G .( H#)'-H' ¨ H(G '-),()'(G ‘ ¥(''( "%#&+Z\-'*[$( G(\&+( .#)H -GG(± )#$ (++( ‘ “) (('Ê $) '(+ "%#&+¬\( Z'-)' *GG$ .( .#))Z(G H-"'($%G .#))( .(G H#)'%-*)'(G -GG(± "($ )-'$%(++(G \-'šZ\-'*[$(\()'Ê (' )#$G -""-%-*' -+#%G %(+-'* (\()' )($Ÿ .-)G $) H#)'(¤'( .( \#.Z+*G-'*#) (' %(H#)G'%$H'*#) ,Z#\Z'%*[$( ‘ ¥( \Z\#*%( "%#"#G( .(G G#+$'*#)G ¨ H( "%#&+¬\( )# -'($% ‘ ¡#*H* +Ë#%,-)*G-'*#) ,Z)Z%-+( .( H(''( "%(\*¬%( "-%'*( ‘ ™-)G $) "%(\*(% Hš-"*'%(Ê)#$G )#$G Ÿ#H-+*G#)G G$% +- %ZG#+$'*#) .$ "%#&+¬\( [$( )#$G  ()#)G .Ë(¤"+*[$(%Ê ¨ G- #*% +-%(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ¨ "-%'*% .( .#))Z(G '-),()'*(++(G ‘ ™-)G $) "%(\*(% '(\"GÊ)#$G Z'$.*#)G +( "%#&+¬\( "#$% +(G H#$%&(G "+-)(G ‘ œ#$G () (¤"+*[$#)G +- \#.Z+*G-'*#) [$* )#$G - "(%\*G .( .Z (+#""(% +- %ZG#+$'*#) .( )#'%( "%#&+¬\( ‘ •$*G +- H#)G*G'-)H( .( H(''( \Z'š#.( (G' .Z (+#""Z( -$ '%- (%G .( G#) *)'(%"%Z'-'*#) "š­G*[$( (' .( G(G *) -%*-)H(G ‘ œ#$G Z'$.*#)G ()G$*'( G- H#) (%,()H( -*)G* [$( +( H#\"#%'(\()' .(G %ZG$+'-'G () Ÿ-*G-)' *)'(% ()*% +( )#\&%( .( H-"'($%GÊ"$*G () *)GZ%-)' .$ &%$*' .-)G +(G .#))Z(G ‘ ™-)G $) G(H#). '(\"GÊ)#$G \#)'%#)G H#\\()' )#$G - #)G "$ Z'().%( H(''( \Z'š#.( "#$% +- %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ,-$Hš(GÊ(' )#$G .Z\#)'%#)G +(G \ ž \(G H-%-H'Z%*G'*[$(G .( H#)G*G'-)H(ÊH#) (%,()H( (' %#&$G'(GG( "-% %-""#%' ¨ +Ë*)G(%'*#) .( &%$*' ‘ ™-)G $) .($¤*¬\( Hš-"*'%(Ê )#$G Z'$.*#)G $)( .(G "(%G"(H'* (G )-'$%(++(G .( H( '%-›  -*+ × +( G$* * .( H#$%&(G () \#$ (\()' ‘ ™-)G H( H-GÊ .( )#$ (++(G .#))Z(G G#)' ¨ )#'%( .*G"#G*'*#)Ê ¨ G- #*% +- "#G*'*#) .( +- H#$%&( -$ \#\()' "%ZHZ.()' ‘ œ#$G Z+-&#%#)G .#)H $)( )#$ (++( \Z'š#.#+#,*( [$* '*()' H#\"'( .( H(G *)Ÿ#%\-'*#)G G$""+Z\()'-*%(GÊ (' )#$G +- H#\"-%#)G ¨+- "%ZHZ.()'( \Z'š#.( [$*"($' ž '%( -""+*[$Z( ¨ Hš-[$( "-G .( '(\"G G-)G ‘

êëîðòñí€îñïð =ë î€í;ëò œ#$G -++#)G .-)G H( "%(\*(% Hš-"*'%( -&#%.(% +( "%#&+¬\( .( %(H#)G'%$H'*#) .( H#$%&(G ¨ "-%'*% .( .#))Z(G '-),()'*(++(G ‘ œ#$G - #)G .Z'(%\*)Z +( "%#&+¬\( \-'šZ› \-'*[$( ¨"-%'*% .Ë#$'*+G '(Hš)#+#,*[$(GÊHË(G'›¨›.*%( [$( )#$G Hš(%Hš#)G ¨ \#.Z+*G(% $)( H#$%&( [$*%Z"#). ¨ .(G H#)'%-*)'(G .( '-),()'(G () H(%'-*)G "#*)'G .(+- H#$%&( .#)' )#$G )( H#))-*GG#)G "-G +(G "#G*'*#)G \-*G +(G %Z"-%'*'*#)G H$% *+*,)(G +( +#), .(

H(''( H#$%&( ®H(G .#))Z(G Z'-)' Ÿ#$%)*(G "-% .(G H-"'($%G "#GZG G$% $)( H#$%&(›%$&-)

%Z(++(¯

‘

¥( ,()%( .( "%#&+Z\-'*[$( )Ë-­-)'Ì-\-*G Z'Z '%-*'Z(Ê)#$G "%#"#G#)G *H*$)(

\Z'š#.( .( %(H#)G'%$H'*#) () '%-*'-)' H( "%#&+¬\( .Ë$) "#*)' .(  $( ,Z#\Z'%*[$(

‘

¥( "%#&+¬\( G(%- '#$' .Ë-&#%. '%-*'Z () G( %(G'%(*,)-)' -$¤ H#$%&(G "+-)(G

‘ œ#$G Z+-&#%#)G -*)G*$)( \Z'š#.#+#,*( ¨ "-%'*% .Ë$) "%#&+¬\( G*\"+*ÎZÊ.-)G +([$(+ +- G#› +$'*#) %( *()' ¨ *)'(%"#+(% +-Ÿ#)H'*#) .Z%* Z( ®H-%-H'Z%*GZ( "-% $)( Ÿ#)H'*#) .Ë-),+(¯Ê (' ¨ *)'Z,%(% H( %ZG$+'-' ‘ œ#$G Z'$.*#)G ()G$*'( +(G .*Z%()'(G H-%-H'Z%*G'*[$(G .(G G#+$'*#)G #&'()$(GÊ.-)G $) "%(\*(% '(\"G .$ "#*)' .(  $( .( +- H#)G*G'-)H( .( +-\Z'š#.( ®+(G H#$%&(G #&'()$(G #)'›(++(G $) G()G "š­G*[$(ÊG#)'›(++(G H#šZ%()'(G  *G› ¨› *G .(G *) -%*-)H(Gª¯Ê )#$G Z'$.*#)G ()G$*'( +( H-%-H'¬%( H#) (%,()' .( +- G#+$'*#) -""#%'Z( ®+(G H#$%&(G G#+$'*#)G H#) (%,()'›(++(G  (%G +(G H#$%&(G %Z(++(G G* +Ë#) Ÿ-*' '().%( +( )#\&%( .( H-"'($%G  (%G +Ë*)Î)*ª¯Ê "$*G )#$G %(,-%.#)G +( H#\"#%'(\()' .(G G#+$'*#)G +#%G[$()#$G "(%'$%&#)G +(G .#))Z(G .(%Z"-%'*'*#) .(G"#*)'G .( \(G$%( #$ +(G .#))Z(G '-),()'*(++(G -GG#H*Z(G ‘ ™-)G $) G(H#). '(\"GÊ )#$G Z+-%,*GG#)G +( "%#&+¬\( - (H +- %(H#)G'%$H'*#) .(G H#$%&(G ,-$Hš(G ‘ œ#$G  (%%#)G H#\\()' )#$G - #)G Z'().$ +- \Z'š#.#+#,*( .Z (+#""Z( - (H +(G H#$%&(G "+-)(GÊ HË(G'›¨›.*%( #º +- G#+$'*#) %( *()' '#$Ì#$%G ¨ *)'(%"#+(% +- Ÿ#)H'*#) .Z%* Z( (' ¨ *)'Z,%(% +( %ZG$+'-' ‘ œ#$G -.#"'#)G +- \ ž \( .Z\-%Hš( .( H-%-H'Z%*G-'*#) .(G G#+$'*#)G #&'()$(G -Î) .(  -+*.(% H(''( \Z'š#.( ‘ ž- \Z'š#.#+#,*( .( %(H#)G'%$H'*#) .(G H#$%&(G G(%- ()G$*'( +- &-G( .( )#'%( '%- -*+ ‘

D==65E@ ÔÕÔ Ö×ØÙÚÛÜ ÝÞßàÛÜ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ áâ ãäãäã åæçèéêéëè ìí îïëðñòóôä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä õö ãäãäõ ÷ëìæñéøùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä õö úä ûèêôïîëñùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä õü ý äûèêæþïùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿã ãäãäÿ ïïôíïø ôê
íôñ
íôø ëíïðôø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿõ ú ä ïïôíïøùñíñæôø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿõ ý äíôñ
íôø ëíïðôø ïæøíñêùêø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿÿ ãäãä ëèøéøêùèô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿ ú ä ôèø î øé
íô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿ ý äûèùïéùèôîùïïëêùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿ äûèùïéùèôîùï ëóëêæêéô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿü ãäãä ëèôïþôèô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ã ú ä ëèôïþôèô ìô ñù ëíïðô øôñëè ñù ëèôïþôèô ìô ñù ëíïðô ìôøùèþñôø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ã ý äëèôïþôèôìô ñù óæêëìôìéèêôïîëñùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ä è ïæøíóæ ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ãäãä ëíïðôø ìôïïôíïôè ëèêéëè ìô ôïêùéèø îùïùóòêïôø ä ä ä ä ä ä ä  ú ä ïïôíïøôè ëèêéëè ìí èëóðïô ìô ùîêôíïø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ý äíôñ
íôøêôøêø ùôìëèèæôø ðïíéêæôø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ö ãäãä ö ëèñíøéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä õ ÔÕá Ö×ØÙÚÛÜ ßØÛÜ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ  ãäõäã ÷ëìæñéøùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿ ãäõäõ ïôóéòïô éìæô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿ ú ä îñéùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ÿ ýäåæ ùíêø îïéèéîùí ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ãäõäÿ ÷æêëìô æñùðëïæôä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ú ä ùîîôñ øîñéèôø øíï ñô îñùè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ýäôø ýøîñéèôø øíï ñù øîòïô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ãäõä íôñ
íôø ëíïðôø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ôøê ã  ëíïðô ôïóæô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ôøê õ  øîñéèô ÿå ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä õ ãäõä ëèøéøêùèô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ú ä ôèø î øé
íô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ýäûèùïéùèôîùïïëêùêéëè ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  äûèùïéùèôîùï ëóëêæêéô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä  ãäõä ëèôïþôèô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ö ú ä ëèôïþôèô ìô ñù ëíïðô øôñëè ñù ëèôïþôèô ìô ñù ëíïðô ìæïéæô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ö ýäëèôïþôèôìô ñù ëíïðô ìæïéæô ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä öã ãäõä ö ëíïðôø ìôïïôíïôè ëèêéëè ìô ôïêùéèø îùïùóòêïôø ä ä ä ä ä ä ä öõ ú ä ïïôíïøôè ëèêéëè ìí èëóðïô ìô ùîêôíïø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä öõ ýäíôñ
íôøêôøêø ùôìôø ìëèèæôø ðïíéêæôø ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ä ö

 ¯°±²³´µ ! ½" ´µ #$#$# %mdJEJGJDE KI &HDL n'( B ž( "%#&+¬\( () .($¤ .*\()G*#)G (G' +( G$* -)' × )#$G .( #)G %(H#)G'%$*%( $)( H#$%&( .-)G+("+-)()-­-)' G($+(\()'.(G*)Ÿ#%\-'*#)G H#)H(%)-)'G#)(G"-H('-),()'*(+ ‘ ™(Ÿ-Í#) "+$G "%ZH*G(Ê)#$G .( #)G%(H#)G'%$*%( $)( H#$%&(

Γ

Ê)( H#))-*GG-)' [$(+(G #%*()'-'*#)G .(G '-),()'(G() H(%'-*)G "#*)'G.ËZHš-)'*++#))-,( ®)#$GH#))-*GG#)G +-%Z"-%'*'*#).(G H-"'($%G (' +(G -),+(G .(G '-),()'(G () H(G "#*)'G +( +#), .( +- H#$%&( ¨ %(H#)G'%$*%(¯ ‘ ”$""#G#)G [$( )#$G -­#)G

(n + 1)

H-"'($%G +( +#), .( +- H#$%&(Ê -+#%G () $'*+*G-)' +( "-%-\Z'%-,( "-% +Ë-&GH*GG( H$% *+*,)( "#$% +- Ÿ#)H'*#)

ϕ

-GG#H*Z( ¨ +- H#$%&(

Γ

Ê )#$G H#))-*GG#)G G($+(\()' +(G -),+(G

(α

i

= α(s

i

), i = 0, ..., n)

"#$% .(G  -+($%G .#))Z(G

(s

i

, i

=

0, ..., n)

.( +Ë-&GH*GG( H$% *+*,)(Ê #º

α(s) = (e

1

, ϕ

0

(s))

(G' +Ë-),+( ()'%( +Ë-¤( .(G

x

(' +(  (H'($% '-),()' ®$)*'-*%(¯ ¨ +- H#$%&( ® #*% ) *+ R‘R ¯ ‘

φ

(s )

φ

₀

(s )

φ

₁

’(s )

φ

_i

(s )

φ

_i

φ

(s )

n

0

s

₁

s

_i

s

_n

= L

s

0

= 0

0

α

α

1

i

α

n

α

0

α

1

α

i

α

n

α

) *+ R‘R Ÿ ™ZÎ)*'*#) .$ "%#&+¬\( #$#$, -DKm n JF e GJDE ž-.ZÎ)*'*#) .$ "%#&+¬\( )#$G *) *'( ¨ Hš(%Hš(% $)( G#+$'*#) "-%-\Z'%Z( "-% +Ë-&GH*GG( H$% *+*,)( ‘ œ#$G Hš(%Hš#)G .#)H $)( G#+$'*#) .( +- Ÿ#%\( ×

C(s) =



x(s)

y(s)



.

® R‘R ¯ ”* +- Ÿ#)H'*#)

C

(G' G$.G-\\()' .Z%* -&+(Ê -+#%G G- .Z%* Z( (G' $)  (H'($% $)*'-*%( ®"%#"%*Z'Z .( +Ë-&GH*GG( H$% *+*,)(¯Ê (++( "($' .#)H G( "-%-\Z'%(% () Ÿ#)H'*#) .Ë$) -),+(

α(s)

×

C

0

(s) =



x

0

(s) = cos(α(s))

y

0

_{(s) = sin(α(s))}



.

® R‘ l¯ ž(G .#))Z(G [$( )#$G - #)G G#)' +-  -+($% .( +Ë-),+( () H(%'-*)G "#*)'G .( +- H#$%&( *)*'*-+( .#)' +ËZHš-)'*++#))-,( (G' H#))$ ×

s

i

→ α(s

i

) := α

i

,

{s

i

, i

= 0, ..., n}

H#))$G

 ™( H(''( \#.Z+*G-'*#) .ZH#$+( *\\Z.*-'(\()' +- \Z'š#.( .( %ZG#+$'*#) [$* G( .ZH#\› "#G( () .($¤ Z'-"(G × Ÿ '#$' .Ë-&#%. %(H#)G'%$*%( +- Ÿ#)H'*#) .(G -),+(G

α(s)

'(++( [$(

{α(s

i

) = α

i

, i

=

0, ..., n}

× )#$G H#))-*GG#)G -*)G* +- Ÿ#)H'*#) .Z%* Z(

C

0

(s)

Ê Ÿ "$*G *)'Z,%(% +- Ÿ#)H'*#) .Z%* Z( "#$% #&'()*% +- H#$%&( G#+$'*#) ‘ ž-.($¤*¬\("-%'*( Z'-)'&*Ì(H'* ( ® ¨"-%'*% .Ë$)(Ÿ#)H'*#).Z%* Z(('.Ë$)"#*)'.(.Z"-%'Ê*+ ­ -$)*H*'Z.( +-H#$%&( *)'Z,%Z(¯Ê'#$G +(G Hš#*¤ .(%(H#)G'%$H'*#) G('%#$ ()' .-)G +-"š-G( .( %(H#)G'%$H'*#) .(G -),+(G ‘ œ#$G -++#)G  #*% "-% +- G$*'( +( Hš#*¤ .( )#'%( %(H#)G'%$H'*#) .( Ÿ#)H'*#) .Ë-),+(GÊ -*)G* [$( +(G H#)GZ[$()H(G ‘ [1 a¢Ñäç·ÐչѤТ •#G#)G'#$' .Ë-&#%. .(G H#)'%-*)'(G "(%\(''-)' +-%(H#)G'%$H'*#) .( H(''(Ÿ#)H'*#) ‘ ž(G -),+(G G#)' .(G .#))Z(G H#))$(G ¨

2π

"%¬G ®() (('Ê)#$G H#))-*GG#)G "-% +(G H-"'($%G +(G #%*()'-'*#)G .(G  (H'($%G'-),()'GÊ[$( )#$G '%-.$*G#)G"-% .(G .#))Z(G -),$+-*%(G H#))$(G -+#%G .-)G $) *)'(% -++( .(

2π

¯ ‘ œ#$G - #)G .#)H .(G *)H(%'*'$.(G "#GG*&+(G ® #*% ) *+ R‘ l¯ ‘ ) *+ R‘ l Ÿ ™($¤ H#$%&(G "#GG*&+(G -­-)' +(G \ ž \(G .#))Z(G '-),()'*(++(G -$¤ (¤'%Z\*'ZG œ#$G .( #)G -+#%G ((H'$(% $) "%Z'%-*'(\()' G$% +(G .#))Z(G -Î) .( %(H#)G'%$*%( $)( Ÿ#)H'*#) .(G -),+(G H#)'*)$( ‘ •#$% H(+- ®)#$G .( #)G &*() G«% G$""#G(% [$( )#'%( ZHš-)› '*++#))-,( '*()' H#\"'( .$ H#\"#%'(\()' .( +- Ÿ#)H'*#) .(G -),+(G¯Ê )#$G -++#)G \#.*Î(% +(G  -+($%G .(G -),+(G \#.$+#

2π

-Î) .( )( "+$G Ÿ-*%( -""-%-*'%( .( }G-$'G} × )#$G -++#)G H#)'%-*).%( .($¤ -),+(G H#)GZH$'*ŸG ¨ - #*% $)( .*Z%()H( *)ŸZ%*($%( ¨

π

‘  -'šZ\-'*[$(› \()'Ê H(+-  - GËZH%*%( .( +- Ÿ-Í#) G$* -)'( × "#$%

k

.(

1

¨

n

× G*

α

_k

_{− α}

_k−1

_{≥ π}

× "#$%

j

.(

k

¨

n

×

α

j

:= α

j

− 2π

G*

α

_k−1

_{− α}

k

≥ π

× "#$%

j

.(

k

¨

n

×

α

_j

:= α

j

+ 2π

—*)G*Ê)#$G %ZZ'-+#))#)G +(G  -+($%G .(G -),+(G ‘ œ#$G ()  #­#)G $)( *++$G'-'*#) .-)G +-Î,$%( ) *+ R‘S‘ ¥( %ZZ'-+(\()' .(G .#))Z(G G-'*GŸ-*' ¨ +˚­"#'š¬G( +- "+$G )-'$%(++( G* +- H#$%&( (G' -GG(± %Z,$+*¬%( (' G* )#$G - #)G $) )#\&%( .( "#*)'G .( \(G$%( G*,)*ÎH-'*ŸG "#$% +- H#$%&( ¨ %(H#)G'%$*%( ‘ —*)G*Ê+(G .#))Z(G G#)' &*() .Z'(%\*)Z(GÊ(' )#$G .( #)G .#)H %(H#)G'%$*%( $)( H#$%&( "-GG-)' "-% +(G "#*)'G

{(s

i

, α

i

), i = 0, ..., n}

‘

Valeurs corrigées

0

s1

si

s = L

n

2

π

0

Abscisse Curviligne

Valeur des angles en radians

Valeurs initiales

s = 0

) *+ R‘S Ÿ  #.*ÎH-'*#) .(G -),+(G œ#$G - #)G Z'$.*Z &(-$H#$" .( \Z'š#.(G .( %(H#)G'%$H'*#)Ê.(G \Z'š#.(G .Ë*)'(%"#+-› '*#)"-%G"+*)(G"#+­)#\*-+(G .(.(,%ZG.* (%GÊ.(G\Z'š#.(G .Ë*)'(%"#+-'*#)"-% H#)'%-*)'(G .(Ÿ#%\(G ®G"+*)(G"#+­)#\*-+(G#$G"+*)(Gš­"(%&#+*[$(G¯-*)G*[$(.(G\Z'š#.(G .Ë-""%#¤*› \-'*#) "-% G"+*)(G .( +*GG-,( ‘ ª#$'(G H(G \Z'š#.(G G#)' .Z'-*++Z(G () -))(¤( — ‘ –H*Ê)#$G -++#)G .Z'-*++(% +- \Z'š#.( [$( )#$G $'*+*G#)G H-% (++( (G' H#šZ%()'( -$ G()G "š­G*[$(Ê (' G-'*GŸ-*G-)'( .-)G +(G (¤(\"+(G %Z-+*GZG "-% +(G .Z\#)G'%-'($%G ‘ ¥(''( \Z'š#.( (G' +Ë*)'(%› "#+-'*#) .( +- H#$%&( .(G -),+(G "-% $)( G"+*)( H$&*[$( )-'$%(++( ®Ì ’ ¦¦n X ͯ ‘ œ#$G G#$š-*'#)G *)'(%"#+(% +- Ÿ#)H'*#) .(G -),+(G - (H $)( G"+*)( .( .(,%Z

3

"-% \#%› H(-$¤Ê(++( GËZH%*' -+#%G .( +- Ÿ-Í#) G$* -)'( ×

α(s) = a

i



s

_{− s}

i

h

i



3

+ b

i



s

_{− s}

i

h

i



2

+ c

i



s

_{− s}

i

h

i



+ d

i

® R‘S ¯ "#$%

s

Ê'(+ [$(

s

i

≤ s ≤ s

i+1

, i

= 0, ..., n − 1

('

h

i

= s

i+1

− s

i

, i

= 0, ..., n − 1

‘ ž-G"+*)( H$&*[$([$()#$GHš(%Hš#)G -+(GH#)'%-*)'(GG$* -)'(G ® -""(+Z(G"+*)(H$&*[$( )-'$%(++(¯ × Ÿ *)'(%"#+-'*#) -$¤ "#*)'G ×

α(s

+

_i

) = α

i

, i

= 0, . . . , n − 1

('

α(s

−

_i

) = α

i

, i

= 1, . . . , n,

Ÿ H#)'*)$*'Z

C

1

×

α

0

(s

+

_i

) = α

0

_(s

−

i

), i = 1, ..., n − 1,

Ÿ H#)'*)$*'Z

C

2

×

α

00

(s

+

_i

) = α

00

_(s

−

i

), i = 1, ..., n − 1,

Ÿ \*)*\*G-'*#) .ËZ)(%,*( ×

α

00

(0) = 0

('

α

00

(L) = 0.



ž(G .*Z%()'(G H#)'%-*)'(G .#))()' +(G Z[$-'*#)G G$* -)'(G

×

α(s

+

_i

) = d

i

= α

i

, i

= 0, . . . , n − 1,

α(s

−

i

) = a

i−1

+ b

i−1

+ c

i−1

+ d

i−1

= α

i

, i

= 1, . . . , n.

™( "+$GÊ

α

0

_{(s) =}

3a

i

h

i



s

_{− s}

i

h

i



2

+

2b

i

h

i



s

_{− s}

i

h

i



+

c

i

h

i

,

.#)H ×

α

0

(s

−

_i

) =

3a

i−1

h

_i−1

+

2b

_i−1

h

_i−1

+

c

_i−1

h

_i−1

=

c

_i

h

i

= α

0

(s

+

_i

),

('

α

00

_{(s) =}

6a

i

h

2

_i



s

_{− s}

i

h

_i



+

2b

i

h

2

_i

,

.#)H ×

α

00

(s

−

i

) =

6a

_i−1

h

2

_i−1

+

2b

_i−1

h

2

_i−1

=

2b

i

h

2

_i

= α

00

_(s

+

i

).

œ#$G #&'()#)G ×

d

i

= α

i

, i

= 0, . . . , n − 1,

® R‘T -¯

a

i

+ b

i

+ c

i

= α

i+1

− α

i

, i

= 0, . . . , n − 1,

® R‘T &¯

3a

i

+ 2b

i

+ c

i

=



_h

i

h

i+1



c

i+1,

i

= 0, . . . , n − 2,

® R‘T H¯

6a

i

+ 2b

i

=



h

i

h

i+1



2

2b

i+1

, i

= 0, . . . , n − 2.

® R‘T .¯ ™ZÎ)*GG#)G +(G

λ

i,

i

= 0, ..., n

H#\\( Z'-)' +(G .Z%* Z(G ()

s

i,

(α

0

(s

i

) = λ

i

, i

= 0, ..., n),

)#$G -++#)G (¤"%*\(% +(G

a

i

Ê

b

i

Ê

c

i

Ê () Ÿ#)H'*#) .(G

λ

i,

"$*G )#$G -$%#)G $) G­G'¬\( .('-*++(

n

+ 1

¨ %ZG#$.%( ‘ ™Ë-"%¬G ® R‘T &¯ (' ® R‘T H¯Ê )#$G - #)G ×

c

_i

= λ

i

h

i

, i

= 0, . . . , n − 1,

® R‘ j-¯

a

i

= (λ

i+1

+ λ

i

)h

i

− 2(α

i+1

− α

i

), i = 0, . . . , n − 1,

® R‘ j&¯

b

i

= 3(α

i+1

− α

i

) − (λ

i+1

+ 2λ

i

)h

i

, i

= 0, . . . , n − 1.

® R‘ jH¯ —*)G*Ê+ËZ[$-'*#) ® R‘T .¯ .( *()' ×

λ

i+2



1

h

i+1



+λ

i+1



2

h

i+1

+

2

h

i



+λ

i



1

h

i



= 3



α

i+2

− α

i+1

h

2

i+1

+

α

i+1

− α

i

h

2

i



, i

_{= 0, . . . , n−2}

® R‘U ¯ (' +(G H#)'%-*)'(G .( \*)*\*G-'*#) .ËZ)(%,*( -Ì#$'()' ×

λ

1

h

₀

+ 2

λ

0

h

₀

= 3

(α

1

− α

0

)

h

2

₀

,

® R‘ n-¯

2

λ

n−1

h

_n−1

+

λ

n

h

_n−1

= 3

(α

n

− α

n−1

)

h

2

_n−1

.

® R‘ n&¯

œ#$G #&'()#)G,%2H( ¨ ® R‘U ¯(' ® R‘ n¯ +( G­G'¬\(\-'%*H*(+.('-*++(

(n+1)

G$* -)' ×

MΛ = B

Ê - (H ×

M

=



























2

_h

1

0

1

h

0

0

· · ·

· · ·

· · ·

0

1

h

0

2

1

h

0

+ 2

1

h

1

1

h

1

0

· · ·

· · ·

0

0

_h

1

1

2

1

h

1

+ 2

1

h

2

1

h

2

0

· · ·

0

‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘

0

_{· · ·}

_{· · ·}

0

_h

1

n−1

2

1

h

n−1

+ 2

1

h

n

1

h

n

0

_{· · ·}

_{· · ·}

_{· · ·}

0

_h

1

n

2

1

h

n



























,

Λ =





















λ

0

λ

‘

1

‘ ‘ ‘ ‘ ‘

λ

_n−1

λ

n





















, B

= 3

























α

1

−α

0

h

2

0

α

1

−α

0

h

2

0

+

α

2

−α

1

h

2

1

α

2

−α

1

h

2

1

+

α

3

−α

2

h

2

2

‘ ‘ ‘

α

n−1

−α

n−2

h

2

n−2

+

α

n

−α

n−1

h

2

n−1

α

n

−α

n−1

h

2

n−1

























® R‘X ¯ ž- \-'%*H(  (G' $)( \-'%*H( '%*.*-,#)-+( G­\Z'%*[$( "#G*'* ( × )#$G #&'()#)G $)( G#+$'*#) $)*[$( .$ G­G'¬\( ‘ “) %("#%'-)' +(G

λ

i

.-)G +(G Ÿ#%\$+(G ® R‘ j¯ (' ® R‘T -¯Ê )#$G #&'()#)G+(G *)H#))$(G [$*.Z'(%\*)()' +-G"+*)( ‘ œ#$G- #)G -*)G*$)( *)'(%"#+-'*#)$)*[$( .(G -),+(G - (H $)( G"+*)( H$&*[$(

C

2

‘ ˜)( Ÿ#*G +- H#$%&( .(G -),+(G %(H#)G'%$*'(Ê )#$G H#))-*GG#)G "-%Ÿ-*'(\()' +- Ÿ#)H'*#) .Z%* Z( .( +- H#$%&( [$( )#$G Hš(%Hš#)G ×

C

0

(s) =



x

0

_{(s) = cos(α(s))}

y

0

_{(s) = sin(α(s))}



.

–+ )#$G %(G'( ¨ "%ZG()' ¨ *)'Z,%(% H(G .($¤ H#\"#G-)'(G "#$% #&'()*% +- G#+$'*#) ‘ \1 a¢ÑÖ3ç¹Ñ¤Ð¢ ˜)( Ÿ#*G +- Ÿ#)H'*#)

α(s)

.Z'(%\*)Z(Ê )#$G "#$ #)G '%#$ (% +- G#+$'*#) $)*[$( "-% *)'Z,%-'*#) ×

C(s) = V

0

+







Z

s

0

cos(α(t))dt

Z

s

0

sin(α(t))dt







® R‘ W¯ #º

V

0

(G' +- "#G*'*#) *)*'*-+( ‘ œ#$G - #)G .#)H ¨ H-+H$+(%

R

s

0

cos(α(t))dt

('

R

s

0

sin(α(t))dt

‘ •#$%

s

()'%(

s

i

('

s

i+1

,

)#$G - #)G ×

Z

s

0

cos(α(t))dt =

Z

s

i

0

cos(α(t))dt +

Z

s

s

i

cos(α(t))dt

=

i−1

X

k=0

Z

s

k+1

s

k

cos(α(t))dt +

Z

s

s

i

cos(α(t))dt

® R‘R m¯

 —  (H $) Hš-),(\()' .(  -%*-&+(GÊ)#$G #&'()#)G ×

Z

s

s

i

cos(α(t))dt = h

i

Z

s−si

hi

0

cos (α(h

i

.u

+ s

i

)) du.

® R‘RR ¯ œ#$G #&'()#)G -*)G* $)( Ÿ#)H'*#) ¨ *)'Z,%(% ()'%(

0

('

s−s

i

h

i

[$* (G' *)ŸZ%*($% ¨

1

‘ œ#$G -$%#)G +(G H-+H$+G G*\*+-*%(G "#$% +Ë*)'Z,%-+( () G*)$G ‘ ž- \Z'š#.( [$( )#$G $'*+*G#)G "#$% +Ë*)'Z,%-'*#) (G' $)( \Z'š#.( )$\Z%*[$( × +- \Z'š#.( .( ”*\"G#) ® #*% ̙“  W U ͯ ‘ ž- \Z'š#.( .( ”*\"G#) (G' $)( \Z'š#.( .Ë*)'Z,%-'*#) )$\Z%*[$(Ê- (H $) "-G ¨ Τ(% G(+#) +Ë(%%($% \-¤*\-+( '#+Z%Z( ×

Z

b

a

f

(t)dt =

h

3





f

1

+ f

n+1

+ 4

n−1

X

i=2

i

4567

f

_i

+ 2

n

X

i=3

i

684567

f

_i





 + Err

® R‘R l¯ - (H

h

=

b

− a

n

, f

i

= f



a

+

i

− 1

h



,

Err

= O(h

4

).

œ#$G -++#)G .( #*% .Z'(%\*)(% +(G "-%-\¬'%(G ¨ Τ(% ®G#*'

h

ÊG#*'

n

¯ ‘ ž#%G .( +Ë-""+*H-'*#) .( H(''( \Z'š#.( .-)G )#'%( '%- -*+Ê "$*G[$( )#$G %Z-+*G#)G .(G Hš-),(\()'G .(  -%*-&+(GÊ )#$G - #)G ¨ *)'Z,%(% ()'%(

0

('

t

Ê #º

t

(G' ()'%(

0

('

1

‘ œ#$G - #)G .#)H .( ,%-).(G  -%*-'*#)G .( +- '-*++( .( +Ë*)'(% -++( .Ë*)'Z,%-'*#)Ê HË(G' "#$%[$#* )#$G .( #)GΤ(% )#) "-G +( )#\&%(.( "-G .-)G +Ë*)'Z,%-'*#) ®

n

¯Ê\-*G +( "-G .Ë*)'Z,%-'*#) ®

h

¯ +$*›\ ž \(Ê)#$G -$%#)G -*)G* $) )#\&%( .( "-G .*Z%()'G G(+#) +- '-*++( .( +Ë*)'(% -++( ‘ œ#$G -++#)G\-*)'()-)' )#$G *)'Z%(GG(% ¨ +- H-%-H'Z%*G-'*#) .( H(''(\Z'š#.(Ê()  #­-)' '#$' .Ë-&#%. [$(+[$(G (¤(\"+(G #&'()$G ,%2H( ¨ (++(Ê"$*G )#$G Z'$.*(%#)G G(G "%#"%*Z'ZG ‘ #$#$9 :HHBIHF BG qIB n qIBF CDIHLBF [1 ^ççä£çÒ Ô¹ÕÔ£ÕÖäÒ —Î).(H-%-H'Z%*G(%+(G%ZG$+'-'G #&'()$GÊ #*H*+(G.*Z%()'(G(%%($%G[$()#$GH-+H$+#)G × Ÿ (%%($% G$% +- +#),$($% .( +- H#$%&( %(H#)G'%$*'( ×

e

L

=



|L

th

− L

obt

|

L

th



.

100 %

#º

L

th

(G' +- +#),$($% .( +- H#$%&( 'šZ#%*[$( ('

L

obt

H(++( .( +- H#$%&( #&'()$( "-% +- \Z'š#.( .( %(H#)G'%$H'*#)Ê Ÿ (%%($% G$% +- "#G*'*#) .(G H-"'($%G ×

e

capt

=







_L

1

th

v

u

u

t

1

N b

capt

N b

_X

capt

k=1

kP

th

(k) − P

obt

(k)k

2





 . 100 %

#º

P

th

(k)

('

P

obt

(k)

G#)' +(G "#G*'*#)G 'šZ#%*[$( (' #&'()$( .$ H-"'($%

k

Ê

Ÿ (%%($% G$% +- "#G*'*#) .$ "#*)' .Ë-%%* Z( ×

e

f in

=



1

L

th

.

_kP

th

(N b

capt

) − P

obt

(N b

capt

)k



.

100 %

Ÿ (%%($% .( "#G*'*#))(\()' ,+#&-+ .( +-H#$%&( ®"#$% œ "#*)'G

(s

k

, k

= 1, ..., N )

ZHš-)› '*++#)G G$% +(G l H#$%&(G .( \ ž \( -&GH*GG( H$% *+*,)(¯ ×

e

pos

=





1

L

th

v

u

u

t 1

N

N

X

k=1

kC

th

(s

k

) − C

obt

(s

k

)k

2



 . 100 %

#º

C

th

.ZG*,)( +- H#$%&( 'šZ#%*[$(Ê

C

obt

+- H#$%&( #&'()$(Ê('

C

th

(s

k

)

+( "#*)' .( +-H#$%&( -$ "-%-\¬'%(

s

_k

Ê Ÿ (%%($% .( ¢-$G.#% Ž ƒˆ„‡‹…†¥  [$* H#\"-%( Z,-+(\()' ,+#&-+(\()' +(G .($¤ H#$%&(G ()'%( (++(G ×

e

_Haus

=

1

L

th

max



max

k



min

i

kC

th

(s

k

) − C

obt

(s

i

)k



,

max

k



min

i

kC

obt

(s

k

) − C

th

(s

i

)k



.

100 %

\1 ;£äÕ<£äÒ ÔУç=äÒ çÖÒ£ÕѹÑÒ ¡#­#)G ¨ "%ZG()' [$(+[$(G %ZG$+'-'G ,%-"š*[$(G (' +($%G (%%($%G -GG#H*Z(G ‘ •#$% Hš-[$( (¤(\"+(Ê)#$G '%-H(%#)G ¨ ,-$Hš( +- H#$%&( ¨ %(H#)G'%$*%( (' G- %(H#)G'%$H'*#)Ê(' ¨ .%#*'(

+- H#$%&( .(G -),+(G -GG#H*Z(Ê "#$% +- H#$%&( *)*'*-+( (' "#$% +- H#$%&( %(H#)G'%$*'(

‘

ž(G

H#$%&(G *)*'*-+(G G#)' () &+($ (' +(G H#$%&(G %(H#)G'%$*'(G G#)' () %#$,(

‘ ™-)G +( '(G' G$* -)' ® #*% ) *+ R‘T ¯Ê )#$G (GG-­#)G .( %(H#)G'%$*%( $) H(%H+( - (H T H-"'($%G ®+( .(%)*(% H-"'($% Z'-)' H#)Ÿ#).$ - (H +( "%(\*(%¯ ‘

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Courbes initiale et reconstruite

0

5

10

15

20

1

2

3

4

5

6

7

8

abscisse curviligne

angle en radians

Fonctions des angles associées

) *+ R‘T Ÿ (H#)G'%$H'*#) .Ë$) H(%H+( ¨ "-%'*% .( T H-"'($%GÊ >–‹  “? @ ˜ ƒ“ˆ–  † … Ž …‰…‡‹  †A  ˜  ˜ Ž 