Enonc´e noD263 (Diophante) La ch`evre de Monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa ch`evre. Il d´ecide de la mettre dans un enclos d´elimit´e par un ruisseau rectiligne et par une clˆoture ´electrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La ch`evre fait comprendre
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a son maˆıtre que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m2 d’herbe `a brouter.
Prouver qu’avec 80 m`etres de clˆoture, Mr Seguin peut installer son enclos, et d´eterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Sans limitation du nombre de poteaux, Mr Seguin ferait une clˆoture proche d’un demi-cercle, de rayon 80/π, centr´ee au bord de l’eau, et obtiendrait `a peu pr`es une aire de 3200/π= 1018,59 m2.
Avec une clˆoture polygonale, on maximise l’aire avec un polygone r´egulier : siA, B, Csont 3 poteaux cons´ecutifs,AetC´etant fix´es ainsi que la longueur de clˆoture deA`aC, il faut queABC soit un triangle isoc`ele pour avoir l’aire maximale avecAB+BC impos´e.
Si Mr Seguin dispose de p+ 1 poteaux, il les placera aux sommets d’un polygone r´egulier de 2p sommets, de cˆot´e 80/p, et enclora ainsi une aire de p40
p
40
p cot π 2p
= 1600
ptan(π/(2p)).
Pour satisfaire la ch`evre, il faut doncptan(π/(2p))≤1,6.
Un calcul sur tableur donnep = 7 comme plus petite valeur v´erifiant cette condition :
7 tan(π/14) = 1,5977. . .
Il fautp+ 1 = 8 poteaux, d´elimitant un demi-t´etrad´ecagone d’aire 1600/1,5977 = 1001,44 m2.
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