Or si l’on pose π/9 = a , on sin(3a

(1)

D220 – Des constructions approchées

Solution

1) construction d’un ennéagone c’est à dire d’un polygone régulier de 9 côtés :

La construction d’un ennéagone régulier ne peut pas être réalisée avec un compas et un règle car le côté de ce polygone inscrit dans un cercle de rayon unité est égal à 2sin(π/9). Or si l’on pose π/9 = a , on sin(3a) = sin(π/3) = 3/2. Comme sin(3a) = 3sin(a) - 4sin³a , on a

l’équation du 3^ème degré qui donne X = sin(a) : X³3X/4 3/80. Par la formule de Cardan, on obtient une expression dans laquelle apparaît le nombre imaginaire i :

3

3 (i- 3)/16 (i 3)/16

X   . Il n’y a donc pas de formule avec des radicaux réels donnant la valeur du côté d’un ennéagone. On connaît néanmoins avec une excellente approximation la valeur de sin(20°) = 0,342020143… D’où il résulte que le côté de l’ennéagone vaut 0,684040286…

Que donne la construction approchée ? On a successivement :

BE = 3 puis OF = 2 puis OG = 3 - 2 et CG = 1 – 3 + 2 = 0,682162755…Le côté ainsi calculé est légèrement trop court !

L’erreur est de -0,001880105 soit en valeur relative -0,27%. C’est bien peu.

2) Trisection d’un angle entre 0 et 90°

(2)

Si l’on pose a = angle(XOY), b = angle(ABM), OP = d, OA = 8d et OQ = 4d, on a dans le triangle OMH (MH perpendiculaire à AB), MH = OM.sin(a) et OH=OM.cos(a).

Par ailleurs, dans les deux triangles OPM et OQM on a les relations métriques

suivantes :PM²OP²OM²2OP.OMcos(a) et QM²OQ²OM²2OQ.OMcos(πa). La première permet de calculer OM en résolvant l’équation, du second degré que l’on reporte dans la deuxième pour obtenir QM.

Après calcul, on obtient tg(b) = A sin(a) /( 4 + Acos(a) + 48cos²(a) ).

D’où l’abaque qui donne en fonction de a degré par degré la valeur de b ainsi obtenue avec l’erreur correspondante :

(3)

et

(4)

L’écart relatif maximal est inférieur à 0,4% ! Avec une feuille de format normal de 30 cm de longueur, l’erreur maximale est de l’ordre du millimètre.