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159 Amérique du Nord juin 1999

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159 Amérique du Nord juin 1999

Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Partie I

SoitE={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}.

Déterminer les paires {a; b} d’entiers distincts deEtels que le reste de la division euclidienne deabpar 11 soit 1.

Partie II

1.

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 3.

2.

L’entier (n−1)!+1 est-il pair ?

3.

L’entier (n−1)!+1 est-il divisible par un entier naturel pair ?

4.

Prouver que l’entier (15−1)!+1 n’est pas divisible par 15.

5.

L’entier (11−1)!+1 est-il divisible par 11 ?

Partie III

Soitpun entier naturel non premier (p>2).

1.

Prouver quepadmet un diviseurq(1<q<p) qui divise (p−1).

2.

L’entierqdivise-t-il l’entier (p−1)!+1 ?

3.

L’entierpdivise-t-il l’entier (p−1)!+1 ?

TS ARITHMETIQUE feuille38

christophe navarri www.maths-paris.com

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