SRC1 DM3 maths
DM3 de maths - Ensembles - Complexes.
1 Ensembles
1. SoitA={−π; 2.1; 5; 0}et B ={π; 2.5; 0}. Quel est l’ensembleA∩B? Et l’ensembleA∪B? Et l’ensemble des sous-ensembles de B,P(B)?
2. On considère une classe de 30 élèves, on note E l’ensemble de tous les élèves de la classe. On note D l’ensemble des élèves qui font allemand, A l’ensemble des élèves qui font anglais, L l’ensemble des élèves qui font latin. Les élèves peuvent faire soit anglais, soit allemand, soit espagnol, mais une seule de ces langues à la fois. Tous les élèves, qu’ils fassent anglais ou allemand, ont le droit de faire latin. Si F est un ensemble d’élève, F¯ désigne l’ensemble complémentaire dans E :F¯ =CE(F).
• Maxime fait allemand et latin. Est-il vrai queMaxime∈D∪A? Est-il vrai queMaxime∈D∩L? Est-il vrai queMaxime∈L? Est-il vrai queMaxime∈A¯? Justifiez à chaque fois en une phrase.
• Que vaut l’ensembleA∩D?
• On sait que 7 élèves font, comme Maxime, allemand et latin à la fois. 14 élèves de la classe font allemand, et 10 font latin. Combien d’élèves font du latin ou de l’allemand (ou les deux) ?
3. Montrez rigoureusement (comme en TD) queA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
2 Complexes
1. Soitz=i+11 .
• Trouvez sa partie réelle et sa partie imaginaire.
• Déterminez le conjuguéz¯dez.
• Ecrivezzsous forme trigonométrique : déterminez son module et son argument.
2. Soit un repère orthonormal(O, ~u, ~v). SoitA(−1,−1)etB(1,1).
• Tracez A et B dans un plan repéré par(O, ~u, ~v). Quelle est la distancedentre A et B ?
• SoitzA=−1−i etzB = 1 +i. Exprimezen fonction de zA etzB (ex :OB=|zB|) : la distance OA, puis d, la distance entre A et B. Enfin, indiquez géométriquement (sans faire de calcul) quel est l’argument dezB. Comment zB s’écrit-il donc sous forme trigonométrique ?
• Rappelez comment s’exprimentcosθetsinθen fonction deeiθ ete−iθ. Retrouvez à l’aide de ces deux égalités la formule trigonométrique permettant de calculercosθsinθ0.
3. Soitj=e2iπ3 .
• Donnez l’écriture algébrique dej.
• Que vautj3?
• Montrez que 1 +j+j2 = 0 (il y a au moins 2 façons de procéder, en utilisant l’écriture algébrique et en ne l’utilisant pas, mais en se souvenant de la façon de calculer la somme des termes d’une suite géométrique...).
• Quelles sont les trois racines, réelles ou complexes, du polynômez3−1? (Autrement dit, quelles sont les trois solutions dez3= 1). Factorisez ce polynôme dansC, puis dansR.
• (plus dur) Montrez, de façon plus général, que pour tout n, la somme des nracines complexes du polynôme zn−1vaut 0. Il faut donc d’abord trouver l’expression des racines de ce polynôme ! Indice : l’une d’elles est e2iπn ... On rappelle aussi qu’un polynôme de degréna au plusnracines distinctes dans C.
