N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A. T OURRETTES
Solution de la question de licence proposée au concours d’agrégation de 1877
Nouvelles annales de mathématiques 2
esérie, tome 18 (1879), p. 175-179
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SOLITIOX I)E LA QUESTION DE LICENCE
PROPOSEE AU CONCOURS D ' A G R É G A T I O N DE 1 8 7 7 , PAU M. A. TOURRETTES.
Étudier le mouvement des deux points pesants m et p qui s
fattirent proportionnellement à leur masse et à leur distance : le point \x est assujetti à rester sur une
verticale Oz, et le point m à rester sur un plan hori- zontal qui tourne uniformément autour de la verti- cale Oz,
Considérons d'abord le mouvement du point ^w. En
( '70 )
appelant À le coefficienl de l'attraction, on trouve
cPz
m — z=n — mg — hm y. z
ou
— +- k p [z -^ -j- \ = o.
Posant
z' =rz z -\ L
- on trouve l'intégrale
s = — y- -\~ A cos* v/^7' -h B si
Pour déterminer les constantes, je suppose que, à l'ori- gine du mouvement, z = li et — = o. On trouve ainsi
^r / 0 «r \ —
( I ) Z r=r — -j \- \h -f^T* COS * y'/ ."•
et >A
La vitesse, d'abord négative, devient nulle pour
Le mobile remonte ensuite à la hauteur A, et ainsi de suite indéfiniment. La durée d'une oscillation simple
Je passe maintenant à l'étude du mouvement de ^
Soit OL une clroite fixe dans le plan des xOy, et o>t
l'angle de Ox avec cette droite. En tenant compte de
l'attraction du point m, et appliquant le théorème de
( '77 ) Coriolis, j'ai l'équation
d2.r f d.r
u. = — km IJ. x -\- u.w2.r -f- i uo — ;
r dt'1 r 4 4 dt
le p r e m i e r terme d u second m e m b r e est la c o m p o s a n t e de F a t t r a c t i o n suivant Ox, le d e u x i è m e et le troisième sont les composantes de la force d ' e n t r a î n e m e n t prise e n sens c o n t r a i r e , et de la force centrifuge composée.
O n aura de m ê m e
<Py , ., dx
E n divisant p a r JJL les deux équations, j ' a u r a i à i n t é g r e r le système s u i v a n t :
d-x
~dF ~ dt*
dy - o. w —
dt dx
L'élimination de y conduit à l'équation
( 3 ) ^+*(»>+km) ~+(»*--*my==o.
Pour l'intégrer, je pose l'équation auxiliaire
V - 4 - ? . ( w2- l - /im)\2^- ( o r — / m )2— o ,
dont les racines sont de la forme
Par suite, l'intégrale sera (4) x=zAcos(at + a) -f-
où A, a, B, (S sont des constantes arbitraires.
Ain. de Mathémat., 2e série, t. XVITI. (Avril 1879.)
De la deuxième des équations (2) je tire
2 « w1 — k ) r ~ 2w —'-—h 4 w? ~ ; mais la première donne
2 o> ( M2 — A w ) — = : o ; dt3 dt1 K • dt
substituant dans la précédente la valeur de 2w ? ild'y vient
, v ^3? ' / ,» * dx
9. w w- — A/?nr — f- 3 w2 -|- km . — ; dv dt
il n ' y a plus q u ' à former ——5 — a u moyen de ( 4 ) . O n aura donc
1 5 ) r ~ A , c o s ( at ~i- a, ; -f- B , c a s [bt -+- S, t,
où A j j a ^ B i , ^ ! sont des constantes, fonctions de celles qui entrent dans l'équation (4), ainsi quede w, /r, m, a, Z> -, de sorte qu'il n'y a en réalité que quatre constantes ar- bitraires : A, a, B, jS. On les déterminera au moyen de la position et de la vitesse initiales du point [JL.
Les équations (4) <*t (5) représentent la trajectoire re- lative du point fju
Cette courbe n'a pas de branches infinies ; mais on peut se demander si le mouvement est périodique. Il faut que, si l'on obtient le point M pour l — f0, on obtienne ce même point pour / = 11. Or cela exige que
nt() — a — ( ntK — a ~~
d'où
•>.n TC 9. n' 7T
a b
( «79 ou bien
En donnant à n et rc'des valeurs de la forme rtö, /><?, où d est arbitraire, on satisfera à cette condition. Mais il faut, en outre, que ad,bô soient entiers. S'il en est ainsi, ce mouvement sera périodique, et la période sera
1 niz
