Ch2 : Enchaînement d’opérations

5^e

Ch2 : Enchaînement d’opérations

Objectifs

• Effectuer une succession d’opérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté), uniquement sur des exemples numériques.

• Ecrire une expression correspondant à une succession donnée d’opérations.

• Sur des exemples numériques, utiliser les égalitésk(a+b) =ka+kb etk(a−b) =ka−kbdans les deux sens.

• * Sur des exemples littéraux, utiliser les égalitésk(a+b) =ka+kb etk(a−b) =ka−kbdans les deux sens.

1 Vocabulaire

Définition

Le résultat d’une addition est appelé une somme.

Le résultat d’une soustraction est appelé une différence.

Le résultat d’une multiplication est appelé un produit.

Le résultat d’une division est appelé un quotient.

2 Priorités opératoires

Règle

Dans un calcul, on effectue en priorité les calculs entre parenthèses.

Exemple : 4×(2 + 1) = 4×3 = 12.

Règle

Dans un calcul, lorsqu’il n’y a plus de parenthèses, on effectue en priorité multiplications et divisions.

Exemple : 3 + 4×6÷8×3 = 3 + 24÷8×3 = 3 + 3×3 = 3 + 9 = 12.

Règle

Dans un calcul, lorsqu’il n’y a plus de parenthèses, plus de multiplications et plus de divisions, on effectue les opérations dans l’ordre de la gauche vers la droite.

Exemple : 4 + 5−3 + 1 = 9−3 + 1 = 6 + 1 = 7 Exemple : Effectuer les calculs suivants : 6 + 15÷3 = 6 + 5 = 11.

15÷(2 + 3) = 15÷5 = 3.

(4 + 8)÷2 = 12÷2 = 6.

15÷(20÷4) = 15÷5 = 3.

3 Distributivité

a. Avec une somme

Règle

Le produit d’un nombre par une somme est égale à la somme des produits de ce nombre par chacun des termes de la somme :k×(a+b) =k×a+k×b.

ka kb

✻

❄ k

✲

✛ a ✛b✲

Exemple : 8×(13 + 28) = 8×13 + 8×28.

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Ch2 : Enchaînement d’opérations

b. Avec une différence

Règle

Le produit d’un nombre par une différence est égale à la différence des produits de ce nombre par chacun des termes de la différence :k×(a−b) =k×a−k×b.

k×(a−b) kb

✻

❄ k

✲

✛ a

✲

✛b

Exemple : 17×(104−11) = 17×104−17×11.

c. Distribution

Définition

Distribuer, c’est passer de l’écriturek×(a±b)à l’écriturek×a±k×b : on enlève les parenthèses.

Exemple : Distribuer5×(x+ 3): 5×(x+ 3) = 5×x+ 5×3 = 5x+ 15.

d. Factorisation

Définition

Factoriser, c’est passer de l’écriturek×a±k×b à l’écriture k×(a±b): on remet des parenthèses lorsqu’on a un facteur commun (ici c’estk).

Exemple : Factoriser5×x+ 5×8:

L’expression est la somme de deux produits. Chaque produit possède deux facteurs dont l’un est commun :5.

5×x+ 5×8 = 5×(x+ 8).

Factoriser3×x+ 5×y est impossible car il n’y a aucun facteur en commun dans les deux termes.

4 Simplification d’écritures littérales

Le signe×est facultatif entre :

– un nombre et une parenthèse :5×(4 + 18) = 5(4 + 18).

– un nombre et une lettre :5×x= 5x.

– deux lettres :a×x=ax.

– une lettre et une parenthèse :k×(2 + 14) =k(2 + 14).

La factorisation nous permet d’écrire queax+bx= (a+b)x. On dit que l’on simplifie l’expression.

Exemple : Simplifier les expressions suivantes : 5x+ 3x= (5 + 3)x= 8x.

18t−5t= (18−5)t= 13t.

3x+ 5t+ 2x−2t= 3x+ 2x+ 5t−2t= (3 + 2)x+ (5−2)t= 5x+ 3t.