II. — Fonction dérivée

Chapitre 4 : Dérivation et convexité

Dans tout le chapitre, E désigne un intervalle ou une réunion d’intervalles de R.

I. — Nombre dérivé

Définition 1

Soit f une fonction définie sur E eta∈E. On dit que :

1. f est dérivable enasi le taux de variationt(h) = f(a+h)−f(a)

h admet une limite finie quand htend vers 0. Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f enaet se note f⁰(a).

2. f est dérivable surE sif est dérivable en tout a∈E.

Remarque 2.

1. Siaest une borne deE, on ne considère que la limite à droite ou à gauche en a.

2. Si f est dérivable en a alors, par définition, f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h ce qui peux aussi s’écrire, en posant x=a+h,f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a . Ceci peut parfois servir pour calculer des limites.

3. Commet(h) n’est pas défini pour h= 0,t(h) admet une limite en 0 si et seulement s’il admet la même limite à droite et à gauche. Ainsi, si lim

h→0 h>0

t(h) = lim

h→0 h<0

t(h) =L∈Ralors f est dérivable en aetf⁰(a) =L.

Propriété 3

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I qui n’est pas une borne de I. Si f est dérivable en aalors la courbe représentative def dans un repère admet une tangente T_a au point d’abscisse aet une équation de T_a est :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a).

Remarque 4. Siaest une borne deI, on parle de demi-tangente. Par exemple, la courbe def :x7→x√ x admet une demi-tangente horizontale à l’origine car lim

h→0 h>0

f(0 +h)−f(0)

h = lim

h→0 h>0

h√ h−0

h = lim

h→0 h>0

√ h= 0.

La notion de demi-tangente intervient aussi lorsque le taux de variation admet une limite fi- nie différente à droite et à gauche. C’est le cas, par exemple, pour la fonction valeur absolue car

h→0lim

h>0

|0 +h| − |0|

h = lim

h→0 h>0

h

h = 1 et lim

h→0 h<0

|0 +h| − |0|

h = lim

h→0 h<0

−h

h =−1 donc la courbe de la fonction valeur absolue admet une demi-tangente à droite et une demi-tangente à gauche à l’origine de coefficients directeurs respectifs 1 et−1.

II. — Fonction dérivée

1) Définitions Définition 5

Soit f une fonction définie sur E. Si f est dérivable sur E, on définit la fonction dérivée (ou simplement la dérivée) de f comme la fonction qui à touta∈E associe le nombre f⁰(a). On note cette fonction f⁰.

Remarque 6. La notation f⁰ est la notation standard en mathématiques pour la fonction dérivée. Il en existe cependant d’autres, notamment la notation df

dx. Celle-ci à l’inconvénient d’être lourde mais l’avantage d’être plus précise puisqu’elle explicite la variable de dérivation. Elle est très utilisée en mathématiques et en physique. Par exemple, siv est la vitesse exprimée en fonction du tempss t, dv est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, c’est-à-dire l’accélération. dt

Définition 7

Soit f une fonction définie sur E.

1. Si f est dérivable sur E et si f⁰ est elle-même dérivable sur E, on dit quef est deux fois dérivable sur E et la dérivée def⁰ est appelée la dérivée seconde def. On la note f⁰⁰ (lire

«f seconde ») ou f⁽²⁾.

2. Par récurrence, on définit – si elle existe – la dérivéen-ième (ou dérivée d’ordre n) def sur E, notée f⁽ⁿ⁾, comme la dérivée de f⁽ⁿ⁻¹⁾. Par convention, f⁽⁰⁾ =f etf⁽¹⁾ =f⁰.

3. Si f admet des dérivées de tout ordre surE, on dit que f est indéfiniment dérivable surE.

2) Dérivées des fonctions usuelles

On désigne par C,m etpdes constantes réelles et par nun entier naturel non nul.

La dérivée de est sur

x7→C x7→0 R

x7→mx+p x7→m R

x7→xⁿ x7→nxⁿ⁻¹ R x7→ 1

xⁿ x7→ − n

xⁿ⁺¹ ]−∞; 0[∪]0 ; +∞[

x7→√

x x7→ 1

2√

x ]0 ; +∞[

exp exp R

sin cos R

cos −sin R

Remarque8. Toutes les fonctions de références sont dérivables sur leurs ensembles de définition respectifs SAUF :

1. la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en 0 car, pour touth >0, t(h) =

√0 +h−√ 0

h =

√ h h = 1

√h

qui tend vers +∞ lorsque h tend vers 0. Cela dit, la courbe de la fonction racine carrée admet une demi-tangente verticale en 0 ;

2. la fonction valeur absolue qui n’est pas dérivable en 0 car, comme on l’a vu dans la remarque 4, sa limite à gauche est −1 et sa limite à droite est 1.

3) Dérivée et opérations algébriques

Si u et v sont deux fonctions dérivables surE et sikest un réel alors les fonctions u+v, ku,uv, 1 v et u

v sont dérivables sur leurs ensembles de définition respectifs et (u+v)⁰ =u⁰+v⁰ (ku)⁰ =ku⁰ (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰

1

v 0

=−v⁰ v²

u

v 0

= u⁰v−uv⁰ v²

Exemple 9. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f :x7→ e^x+x²+ 1

2 g:x7→xe^x h:x7→ e^x−1

e^x+ 1 k:x7→ sin(x) cos(x). 4) Dérivée d’une fonction composée

Théorème 10 (admis)

Soitg une fonction définie sur un intervalleJ et uune fonction définie sur un intervalleI telle que, pour tout x∈I,u(x)∈J. Siu est dérivable sur I et siv est dérivable surJ alors la composée v◦u est dérivable sur I et

(v◦u)⁰ =u⁰×(v⁰◦u)

Exemple 11. Étudier la dérivabilité et calculer la dérivée de f : x 7→ √

x²+ 1, g := x 7→ e^x

2 2 , h:x7→(e^x+ 1)²⁰,k:x7→ 1

(3 + cos(x))⁵ et`:x7→(sin(x)−1)e^sin(x).

Remarque 12. SoitI un intervalle centré en 0 etf une fonction définie surI. Alors, la fonctiongdéfinie surI par g(x) =f(−x) est dérivable surR et, pour toutx∈I,g⁰(x) =−f⁰(−x).

Par exemple, la dérivée sur Rde la fonctionx7→e^−x est la fonction x7→ −e^−x. 5) Liens entre dérivée et variations

Théorème 13 (admis)

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

1. Si, pour tout x∈I,f⁰(x)>0 et sif⁰(x) ne s’annule qu’un nombre fini de fois sur I alors f est strictement croissante sur I.

2. Si, pour tout x∈I,f⁰(x)60 et sif⁰(x) ne s’annule qu’un nombre fini de fois sur I alors f est strictement décroissante sur I.

3. Si, pour tout x∈I,f⁰(x) = 0 alorsf est constante surI. Exemple 14. La fonction cube est strictement croissante sur R. Exercice 15. On considère la fonctionf :x7→ x²−1

x²+ 1 définie surRet on note C_f sa courbe dans un repère orthonormé O ;~i ,~j.

1. Justifier que f est dérivable surR et calculer sa dérivée.

2. Étudier les variations def sur Rpuis construire son tableau de variation (avec les limites).

3. Déterminer une équation de la tangente T₁ à C_f au point d’abscisse 1.

4. Étudier la position relative de T₁ et de C_f.

5. Montrer que la droite T₁ est perpendiculaire à la tangente T−1 àC_f au point d’abscisse −1.

Exercice 16. Soit la fonctionf :x7→x⁴−x³+x²−3x+ 1 définie surR. 1. Justifier que f est deux fois dérivable surR et déterminer f⁰ etf⁰⁰. 2. Étudier les variations def⁰ sur Ret en déduire son signe.

3. Déterminer les variations de f sur R.

III. — Position relative de deux courbes

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère O ;~i ,~j. Si f est une fonction définie sur un ensemble E, on noteCf la courbe représentative de f surE.

Définition 17

Soit f etg deux fonctions définies sur un intervalle I. On dit que : 1. Cf est au-dessus deCg surI si, pour toutx∈I,f(x)>g(x) ; 2. Cf est en dessus deCg surI si, pour toutx∈I,f(x)6g(x).

Exemple 18.

1. Soitf :x7→x et g:x 7→x². Alors,Cf est au-dessus de Cg sur [0 ; 1] et en dessous deCf sur [1 ; +∞[.

2. La courbe de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d’équation y =x+ 1 sur R (d’après le lemme 28 du chapitre 3).

Méthode 19. Étudier les positions relatives sur un intervalle I des courbes de deux fonctions f et g revient à comparer, pour tout réel x ∈ I, les nombres f(x) etg(x). Une méthode standard pour effectuer une telle comparaison est d’étudier le signe de la différence d(x) =f(x)−g(x) en fonction de x. En effet,

1. si, pour toutx∈I,d(x)>0 alors f(x)>g(x) donc Cf est au-dessus de Cg; 2. si, pour toutx∈I,d(x)60 alors f(x)6g(x) donc Cf est en dessus de Cg;

Remarque 20. Sid(x) change de signe en fonction x, on étudie les positions relatives de f sur chaque intervalle de I oùd(x) reste de signe constant.

Exemple 21. Le plan est muni d’un repèreO ;~i ,~j. Soita∈R. On note Ta la tangente à la courbe C de la fonction exp au point d’abscisse a. Montrer queT_a est entièrement située en dessous C.

IV. — Convexité

On rappelle que si A et B sont deux points distincts d’une courbeC alors la droite (AB) est appelée une sécante à la courbeC. De plus, on dit queC est au-dessus (resp. en dessous) d’une de ses sécantes (AB) si C est au-dessus (resp. en dessous) de (AB) entre les points A et B.

Définition 22

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est convexe (resp. concave) surI si la courbe Cf est située en dessous (resp. au-dessus) de toutes ses sécantes sur I.

Exemple 23.

1. La fonction carré est convexe sur R.

2. Les fonctions affines sont à la fois convexe et concave sur R. 3. La fonction cube est concave sur ]−∞; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.

Remarque 24.

1. Graphiquement, la courbe d’une fonction convexe est « globalement tournée vers le haut » (comme le V de conVexe) et la courbe d’une fonction concave est « globalement tournée vers le

bas ».

2. Une fonctionf est concave sur un intervalleI si et seulement si−f est convexe sur I. Exercice 25. Montrer, en utilisant la convexité de la fonction carré que, pour tous réelsaetb,

a+b 2

2

6 a²+b² 2 .

Remarque 26. Le résultat précédent se généralise à toute fonctionf convexe sur un intervalleI : pour tout (a;b)∈I²,f(^a+b₂ )6 ^f(a)+f₂ ^(b).

Théorème 27 (admis)

Soit f une fonction définie sur un intervalleI. On suppose que f est deux fois dérivable surI. Alors, il y a équivalence entre :

1. f est convexe sur I;

2. la fonction f⁰ est croissante surI; 3. la fonction f⁰⁰ est positive surI;

4. la courbe de f est située au-dessus de toutes ses tangentes.

Exemple 28. On en déduit que la fonction exponentielle est convexe sur R et que les fonctions polynômes du second degréx7→ax²+bx+c sont convexes sur Rsi a >0 et concave sur Rsinon.

Exercice 29. Soit n∈N^∗.

1. Montrer que la fonction x7→(1 +x)ⁿ est convexe sur [−1 ; +∞[.

2. En déduire que, pour tout réelx>−1, (1 +x)ⁿ>1 +nx(inégalité de Bernoulli).

Définition 30

Soitf une fonction définie sur un intervalle I et aun élément deI qui n’est pas une borne de I et A le point deCf d’abscissea. On dit queCf présente un point d’inflexion en A(ou queA est un point d’inflexion deCf) sif change de convexité enai.e. s’il existe deux réels betc appartenant à I tels que f est convexe sur [b;a] et concave sur [a;c] (ou inversement).

Exemple 31. L’origine O du repère est un point d’inflexion de la courbe de la fonction cube.

Propriété 32

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, aun élément de I qui n’est pas une borne de I et A le point de Cf d’abscissea. On suppose que f est deux fois dérivable sur I. Alors, il y a équivalence entre :

1. Cf présente un point d’inflexion enA;

2. la tangente à Cf enA traverse la courbeCf enA; 3. la fonction f⁰ change de variation en a;

4. la fonction f⁰⁰ s’annule en changeant de signe ena.

Exemple 33. On considère la fonctionf :x7→(x²+x+ 2)e^−x définie sur R. Déterminer les points d’inflexion deCf.