PREMIÈRES-RÉSUMÉ>DÉRIVATION>
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☎ Fonct ion dérivable en x0✆
x y
•A
•M
x0
f(x0)
x0+ h f(x0+ h)
Cf D T
• Lorsque le t aux d’accroissement τ(h) t end vers un nombre réel, lorsqueht end vers 0, on dit quef est dérivable en x0.
hlim→0
f(x0+ h)− f(x0)
h = f′(x0) f′(x0) est le nombre dérivé de f en x0.
• f′(x0) est le coefficient direct eur de la t angent e en A (x0;f(x0)) à Cf.
• La t angent e en A (x0;f(x0)) à Cf a pour équat ion :
y= f′(x0)(x− x0) + f(x0)
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☎ Calculs de dérivées✆
• D érivées des fonct ions usuelles : f(x) f′(x) Int ervalle
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n>1) nxn−1 R 1
x − 1
x2 R∗
1
xn (n >1) − n
xn+ 1 R∗
√x 1
2√ x
0 ; +∞
• Op érat ions sur les dérivées : Fonct ion Dérivée
u+ v u′+ v′ uv u′v+ uv′
ku k u′
u2 2u u′ 1
v − v′
v2 u
v
u′v− uv′ v2
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☎ Ét ude de fonct ion ✆
• Variat ion d’une fonct ion : f est dérivable sur un int ervalle I :
– Si pour t out réelx de I, f′(x) > 0 , sauf pour quelques valeurs où f′ s’annule, alorsf est st rict em ent croissant e sur I ;
– Si pour t out réelx de I, f′(x) = 0 , alorsf est const ant e sur I ;
– Si pour t out réelx de I, f′(x) < 0 , sauf pour quelques valeurs où f′ s’annule, alorsf est st rict em ent décroissant e sur I.
• Ext remum local :
f est dérivable sur un int ervalle I et x0 un réel de I différent des bornes :
Si f′ s’annule en x0, en changeant de signe , alorsf(x0) est un ext remum local de f.
x
signe def′(x) variat ion de
f
x0
− 0 +
f(x0) f(x0) x
signe def′(x) variat ion de
f
x0
+ 0 −
f(x0) f(x0)
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