CORRIGE DES EXERCICES – Échantillonnage
Exercice 1 :
On admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un département français le pourcentage d’enfants ayant déjà eu une crise d’asthme dans leur vie est de 13%.
Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’enfants le consultant ayant des crises d’asthme et en informe les services sanitaires. Ceux–ci décident d’entreprendre une étude et d’évaluer la proportion d’enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.
Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.
La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher les facteurs de risque pouvant expliquer cette proportion élevée.
1) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant eu une crise d’asthme dans un échantillon de taille 100.
2) L’étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises d’asthme. Que pouvez-vous conclure ?
3) Le médecin n’est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de personnes interrogées était insuffisant pour mettre en évidence qu’il y avait plus de jeunes ayant eu des crises d’asthme que dans le reste du département.
Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu’une proportion observée de 19% soit en dehors de l’intervalle de fluctuation asymptotique ?
Corrigé : 𝑝 = 0,13 𝑛 = 100
1) 𝐼 = )𝑝 − 1,96-.(01.)3 ; 𝑝 + 1,96-.(01.)3 7 = )0,13 − 1,96-8,09×8,;<
088 ; 0,13 + 1,96-8,09×8,;<
088 7
≈ [0,064; 0,196]
2) 𝑓 =0880B = 0,19 ∈ [0,064; 0,196] donc on accepte l’’hypothèse sur la valeur de la proportion : pas d’investigation prévue.
3) On cherche à résoudre 0,13 + 1,96-8,09×8,;<
3 < 0,19 ⟺ 1,96-8,09×8,;<
3 < 0,19 − 0,13 = 0,06
⟺ F0,1131
𝑛 <0,06
1,96⟺0,1131
𝑛 < G0,06 1,96H
I
⟺ 0,1131 J0,061,96K
I < 𝑛
⟺ 𝑛 > 121 Pour 𝑛 = 121, on trouve 𝐼 ≈ [0,0701; 0,1899]
Exercice 2 :
Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène. Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l’aide d’un moule. Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule. On souhaite analyser la qualité de sa production.
Les résultats seront arrondis à 1019 près.
Partie A
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [16,7 ; 17,3]. La mesure de l’arête d’une boîte est modélisée par une variable aléatoire 𝐶 qui suit la loi normale d’espérance 17 et d’écart-type 0,14.
1) Calculer 𝑃(16,7 ≤ 𝐶 ≤ 17,3).
2) Déterminer la probabilité qu’une boîte prélevée au hasard soit non conforme.
Corrigé :
1) 𝑃(16,7 ≤ 𝐶 ≤ 17,3) ≈ 0,968
2) La probabilité de ne pas être conforme est donc de 1 − 0,968 ≈ 0,032 Partie B
On désigne par 𝑝 la probabilité qu’une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
On prélève au hasard 200 boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On admet que la variable 𝑋 qui, à un lot de 200 boîtes, associe le nombre de boîtes non conformes qu’il contient, suit la loi binomiale de paramètres 200 et 𝑝, et qu’en moyenne chaque lot de 200 boîtes en contient 6 non conformes.
1) Justifier que 𝑝 = 0,03.
2) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins 2 boîtes non conformes dans ce lot de 200 boîtes.
Corrigé :
1) D’après la partie précédente question 2), 𝑝 = 0,03.
2) 𝑋 ↪ 𝐵(200; 0,03) donc 𝑝(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑝(𝑋 ≤ 1) ≈ 1 − 0,016 ≈ 0,984
Partie C
Dans le cadre d’un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion de boîtes non conformes dans la production est 𝑝 = 0,03.
1) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d’une fréquence calculée sur un échantillon de taille 200.
2) Au cours d’un contrôle, un technicien a compté 10 boîtes non conformes sur 200 prélevées au hasard dans la production. Doit-il prendre la décision d’effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier
Corrigé :
1) 𝐼 = )𝑝 − 1,96-.(01.)3 ; 𝑝 + 1,96-.(01.)3 7 = )0,03 − 1,96-8,89×8,B<
I88 ; 0,03 + 1,96-8,89×8,B<
I88 7 ≈ [0,006; 0,054]
2) 𝑓 =I8808 = 0,050 ∈ [0,006; 0,054] donc a priori non, pas de réglages sur la thermoformeuse.
Exercice 3 : Bac Métropole 2015
Corrigé :
1) a. C’est la 3e courbe car 𝜇 = 1,5.
b. 𝑝(1,485 ≤ 𝑋 ≤ 1,515) ≈ 0,6827 2) a. 𝑝(𝑋 = 1,48) = 0
b. 𝑝(1,46 ≤ 𝑋 ≤ 1,54) ≈ 0,9923 c. 𝑝(𝑋 > 1,55) ≈ 0,0004
3) a. 𝐼 = )𝑝 − 1,96-.(01.)3 ; 𝑝 + 1,96-.(01.)3 7
= )0,0077 − 1,96-8,88<<×8,BBI9
I88 ; 0,0077 + 1,96-8,88<<×8,BBI9
I88 7 ≈ [0,0060; 0,0094]
b. 𝑓 =08888B8 = 0,0090 ∈ [0,0060; 0,0094] donc pas de raisons de s’inquiéter.
