A NNALI DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA Classe di Scienze
G UIDO F UBINI
Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 1
resérie, tome 9 (1904), exp. n
o1, p. 1-74
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IL
PARALLELISMO DI CLIFFORD
NEGLI
SPAZII ELLITTICI
TESI DI LAUREA
GUIDO FUBINI
Questo parallelismo negli spazii
curvaturacostante
positiva, importante
elemento dellageometria
metrica ditali
spazii
definito per laprima
volta da Clifford1).
Si introduconoperciò
nuove coordinate di retta(parametri
discorrimento)
di cuisi danno svariati
significati geometrici,
e per cui si trova unalgo-
ritmo
semplicissimo
chepermette
di trattarle in modorapido
esicuro,
mentre senza di esso i calcoli riuscirebbero estremamentelunghi
e noiosi.Si
può quindi
dare una dimostrazione delprincipio
didualità
senza ricorrere a considerazioni
dell’assoluto,
definire per laprima
volta
l’angolo
di due rettesghernbe,
ecc.L’applicazione
diquesti principii
alla teoria delle curve, mentresuggerisce
per esse l’in- troduzione di un nuovo elemento : " la torsione di Clifford " , dimo- stra in nuovo modo ecompleta
un teorema delprof.
Bianchi2);
unamodificazione delle formule di Frenet per lo
spazio
curvo conducea
confronti,
a mio parere notevoli, con lospazio piano
e a nuoviteoremi.
L’applicazione
della teoriadelle parallele
allo studiodelle
congruenze dà in modo diretto le condizioni necessarie esufficienti
affinchè le forme
quadratiche
differenziali definenti una congruenza sianocompatibili,
dà immediatamente un criterio per riconoscere1) V. p. es. KLEIN. Nicht-e2~klidische Geometrie.
BIANCHI. Ann. di Matem. 1896, pag. 103. Noi indicheremo questa
memoria con A.
se una congruenza è
W,
appena ne siano date le forme fonda- mentali epermette
infine di stabilire alcuni nuovi risultati per la densità di una congruenza.Applicando questi
teoremi alla teoria dellesuperficie,
si otten-gono nuove
interpretazioni geometriche
della curvatura assoluta edella torsione
geodetica,
si riconduce la teoria dellesuperficie
nellospazio
curvo allo studio diquelle rappresentazioni
della sfera euclidea in sèstessa,
per cuiparti corrispondenti
hanno areauguale.
Si possonoquindi generalizzare
alcune formule ben notedello
spazio
euclideo per la teoria dellasuperficie
e dei sistemitripli ortogonali,
col cui aiuto si studiano tra l’altroquelle
con-gruenze che per
ogni
deformazione dellasuperficie
dipartenza,
cui i
raggi
della congruenza siimmaginino
invariabilmenteuniti,
sidispongono
sempre in co’ lrigate
diClifford,
e si trovano infine cu-riosi risultati per
l’angolo
che formano elementi linearicorrispon-
denti sulla
superficie
e sulla suaimmagine piana.
L’applicazione
diquesti
risultati alla teoria dellasuperficie
Wconduce,
tral’altro,
allo studio di notevolicoppie
di elementi sfe-rici,
studio che sipuò
ancheinterpretare
nella metrica euclidea ee che dà un
significato geometrico (sebbene
nonsemplice)
dellatrasformazione di Lie per le
superficie pseudosferiche,
mentrerisolve in nuovo modo il
problema
di determinare sulla sfera eu-clidea
quei
reticoli che la dividono inparallelogrammi
infinitesimiequivalenti.
Lo studio della
immagine
Riemanniana di retteparallele porta
a una nuova
proprietà
caratteristica dellesuperficie
di Demartres(isocicliche) ~), proprietà
che mentre sipuò interpretare
con lasola metrica
euclidea,
conduce a nuoveproprietà
dellesuperficie
isocicliche e delle
rigate
isoterme(luogo
delle binormali di una curva a torsionecostante) 1) degli spazii
a curvatura costante.i) DnMARTRES. Annales de 1’-úcole Normale Superieure, T. 4
(1887).
9) BIANCHI. (A). ,
PRIME FORMULE
§
1. Noisappiamo
che nellospazio
ellittico esistono certi movi- mentispeciali,
per cui è costante la distanza tra laposizione
ini-ziale e la finale di un
punto qualunque,
e che ricevettero il nome di scorrimenti. Aquesti
movimenticorrispondono
nellospazio
euclideo(dove
siimmagini rappresentato geodeticamente
lospazio curvo)
leomografie
biassiali che hanno per assi duegeneratrici
d’ una mede- sima serierigata
dell’assoluto e che fannoperciò
scorrere su sè stessele
generatrici
dell’ altra serierigata. E,
conformemente all’esistenza di due serierigate
su unaquadrica, gli
scorrimenti di unospazio
curvo si scindono in due sistemi affatto distinti :
gli
scorrimenti de- strorsi egli
scorrimenti sinistrorsi.Da
questi speciali movimenti,
Cliffordpart
per definire il pa- rallelismo di rette in unospazio
curvo; e noi ora daremo alcuneproprietà
fondamentali delle retteparallele,
facilmente deducibili leune dalle altre e di cui ciascuna
può
servire come definizione di retteparallele.
Diremodunque
con Clifford che due opiù
rette sono pa-rallele, quando
a)
uniscono leposizioni
iniziali e finali deipunti
di un sistemarigido
relative a uno scorrimentooppure
quando
"@)
siappoggiano
alla medesimacoppia
digeneratrici sghembe
dell’ assoluto
oppure
quando
,-~) sono esse stesse la
posizione
iniziale e laposizione
finale diuna retta
sottoposta
a uno scorrimento.L’esistenza di due
specie
di scorrimenti dimostra 1’ esistenza di duespecie
di retteparallele: parallele
destrorse eparallele sinistrorse;
osserviamo
però
che da un solo scorrimento noipossiamo
dedurretanto
parallele destrorse, quanto sinistrorse ;
e ciò secondo che ci ser-viamo della
generazione a)
o dellagenerazione ï)
di retteparallele.
Noi
riporteremo qui
le formule definenti unoscorrimento,
nellequali
supporremo, come si farà sempre d’ora inpoi, uguale
a+ 1
la curvatura dello
spazio ambiente,
indicheremo con(xi)
e(x’i)
lecoordinate di Weierstrass della
posizione
iniziale e dellaposizione
finale di uno stesso
punto,
e indicheremo conA, B, C, D
e con(0, li p?
ï,ô)
otto costanti
legate
dalle relazioniAvremo per scorrimenti di
prima specie ~) :
per scorrimenti di seconda
specie
§.
2. Con le coordinate di Weierstrass dipunto
e dipiano,
unaretta
(geodetica)
si definisce dando le coordinate(x,)
di un suopunto
i) BIANCHI (A).qualunque
e le coordinate(Zi) piano normale
in(x~)
alla retta stessa;quindi
in una manierache,
sebbene sia molto comoda in alcuni studii,pure è tutt’altro che simmetrica.
È principio
fondamentale del pre- sente lavoro 1’ introduzione di un nuovo sistema dicoordinate, che,
come spero,
apparirà
per le sueapplicazioni
assaiappropriato
allanatura dello
spazio
ellittico.Sia
dunque
una retta definita al modo diWeierstrass,
e ne siano/- , 4
(xi) e (ai)
duepunti coniugato distanti 2)
tali cioè4 x
= 0. Di(X;)
e(ç;)
duepunti coniugati distanti /
tali=1
x; = O. Diescorrimenti che
portino
ilpunto (z;)
nelpunto (ei)
ne abbiamo unodestrorso e uno sinistrorso ; e, indicando con
A, B, C,
D le costantirelative all’uno e con
a, ~3, ~~, ~
le costanti relativeall’altro,
sarà in-tanto
perchè
e
quindi
Noi assumeremo le
B, C, D, ~,Y,3 (che
subitocalcoleremo)
comecoordinate di una retta nello
spazio
ellittico e daremo loro il nomedi " ~arametri di scorrimento "
della retta stessa.Essi,
si vedesubito,
saranno
indipendenti
dallacoppia
dipunti (xs), (~~) coniugati
sceltisulla retta.
Osserviamo intanto che una retta è
individuata,
appena ne siano dati iparametri
di scorrimento(e
lo dimostreremo del resto effet- tivamente colcalcolo);
infatti essi definiscono due scorrimenti dispecie
diversa che lasciano fissa laretta,
equindi
definiscono insieme lequattro generatrici
dell’assoluto cui essa siappoggia,
ciò che bastaa individuare la retta insieme alla sua retta
polare ; questa
indeter-minazione,
chepuò
anche essere utilequando
si studiino insieme duefigure polari,
sitoglierà più
sotto con considerazioni disegni.
Per il calcolo effettivo dei sei
parametri
di scorrimento si osserviche le
(1)
diventano per noiRisolvendo,
ricordando lelegate appunto
dallaAnalogamente
si hadonde si ricava
con la
Prese le
(4)
e le( 4’~
come formule definenti leB, C, D, P,
~, 8 le(3)
e le(3’)
danno le coordinate(~,)
delpiano
normale nelpunto (xi)
alla nostra
retta,
appena sia notoquesto punto (x».
È
facile ora riconoscere ciò chedistingue
iparamenti
di scor-rimento di due rette
polari.
Prendiamo per es. la retta normalé nelpunto (1, 0, 0, 0)
alpiano (O, 1, 0, 0)
e la rettapolare
normale nelpunto (O, 0, 1, 0)
alpiano (O, 0, 0, 1).
Per una avremo
per 1’altra
Quindi:
Cambiando i
segni
a una delle due ternedei parametri
di scor-rimento di una
retta,
si ottiene la rettapolare.
Noi vedremo spesso che le rette
polari
hanno nellospazio
ellit-tico 1’uffizio che nello
spazio piano
hanno le direzioniopposte.
Il
cangiare contemporaneamente
isegni
a tutti e 6 iparametri
di scorrimento non muta la retta
corrispondente, perchè
ciòequi-
vale a cambiare in
( - Xi)
oppure(~i)
in( - i;),
oppure scambiando ipunti (xi), (~1’). (Cfr.
le osservazionifinali ) ..
§.
3. Ma i calcoli con leB, C, D, ~, ~, ~
riuscirebberofaticosissimi,
se noi non introducessimo un
algoritmo semplice,
che cipermetterà
di trattare
poi
con la massima sicurezza e facilitàqueste
nuove coor-- dinate di retta e di passare daqueste
alle usuali iormole in coor- dinate di Weierstrass. Osserviamoperciò
che sipuò
scrivere:e
analogamente
Se ora
(tl,
t~, t3,t4)
e(di, d2, d3, d4)
sono duequaderne
divariabili,
noi indicheremo con
[td]3, [td]4
treespressioni
formate con le t, e con le dappunto
comeB, C,’D
sono formate con62 ? Ç3, ~4)
e
(X1,
X2, x3,X4);
eanalogamente
indicheremo con[td]’2 [td]’3 [td]’4 espressioni
formate con(ti)
e(di)
come le~,
con(Ci)
eSe noi ricordiamo lo
sviluppo
delprodotto
di due matrici adue linee nella somma dei
prodotti
dei loro minoricorrispondenti,
e lo
sviluppo
di un determinante delquarto
ordine nella somma deiprodotti
dei minori del II ordine staccati dalla matrice formata dalleprime
due linee per i minoricomplementari,
otteniamo facilmente laseguente
identità fondamentale:Indicando con
(t d e f)
il determinante del 2.°membro, questa
identità si
può
scrivere:Se noi
vogliamo
trovare il valore di(t d e f )
infunzione E d2, ....
~ t d , ~: t e .... ~ d e .. , .
basterà che noi lo innalziamo alquadrato ;
ot-terremo cos un determinante i cui termini sono
proprio
della formaprescritta ;
estraendopoi
la radicequadrata
avremo, a meno del segno, il valore di{t d e f ).
E se ne deduce:come si
poteva prevedere
ricordando le(5)
e(~’).
II. Se
le t,
led,
le e, lef
formanoquattro quaderne
affatto di-stinte e mentre
si ha
e, senza
preoccuparci
per ora del segno, basti osservare che essocambia,
scambiando due dellequattro quaderne.
III. Se ei=ti, ma mentre
si ha
L’ ambiguità
di segno checomparisce
nel II diquesti casi,
e chedeve sempre
comparire
per il modo in cui noi calcoliamo il deter- minante(t d
ef)
appena(t d
ef)
non sianullo,
non ci causa nessunimbarazzo;
e ciòperchè
scambiando i simboli coi simboli si ha un’ identità che differisce dalla(8),
come un facile calcolorivela,
soltanto per il segno di
(t d
ef). Ora,
siccome noi consideriamo sem-pre
contemporaneamente
le duespecie
diparalleiismo
e disimboli,
ci basterà fare il calcolo con una sola
specie
disimboli,
p. es. coi simboli nonaccentati;
otterremocos ,
è vero, dei termini a segnoindeterminato ;
ma sarà affatto inutile ilconseguire
la determina-zione di
questo
segno,poichè
se conparallelismo
in un certo sensonoi dobbiamo usare un segno, dobbiamo
poi
usare il segnoopposto quando
si consideri ilparallelismo
nell’ altro verso.Noi abbiamo
già
visto come per mezzo delle(6)
e delle(6’)
sipossano calcolare i
parametri
di scorrimento di unaretta,
definita al solito per mezzo di due suoipunti
e(ig)
distantidi .
2 Oranoi
vogliamo
mostrare come, dati iparametri
di scorrimento di unaretta,
si possa tornare alla determinazione usuale della retta stessa.Cerchiamo,
a talfine,
le coordinate delpunto
dove laretta,
i cuiparametri
di scorrimento sianoB, C, D, ~3,
r,ò,
incontra p. es. ilpiano
x, = 0. Posto nelle
(3)
e(3’)
xl= 0 e confrontando i valoridi e, 3 4
che se ne
ricavano,
otteniamoPoichè,
essendo xl ==0,
deve esserexz-~-,~3-E-x4 1,
si ha infineÈ
facile allora per mezzodelle (3)
o delle(3)’
calcolare le cor-rispondenti
~.
4. Ciproponiamo
ora di studiare isignificati geometrici
deiparametri
di scorrimento di una retta. La loroproprietà
fondamen-tale è di essere " invarianti per
parallelismo ",
come ci dice il se-guente
teorema :" ~S’e due rette hanno
uguali,
oppureuguali
e di sensoopposto
itre
parametri
di una medesima terna esse sonoparallele.,
in uit sensoo
nell’altro,
secondo che la terna in discorso èlalirima
o laseconda ".
Infatti in tal caso esiste uno scorrimento che le fa scorrere tutte
e due sopra sè stesse.
Questo teorema,
che scaturisce immediata- mente dalle nostreconsiderazioni,
è. per noifondamentale;
e nonsarà
perciò
male stabilirlo in modo diretto sia ariprova
deicalcoli,
sia
perchè
cosotterremo
alcune formule che cui saranno assai utiliin
seguito. .
Sia una retta intersezione
di due piani (al
a2 a3a4)
e(òi b2 b3 b4)
che per
semplicità
supporremoortogonali.
L’assoluto essendo defi- nito daun sistema delle sue
generatrici
sipuò immaginare
dennito dadove h varia da
generatrice
ageneratrice. Ogni punto
che appar-tenga
ai duepiani (a;),
soddisfa alle :cosicchè per trovare a
quali generatrici
della serie(oc)
siappoggia
la nostra retta basta eliminare le fra le
(a)
e le(~) ;
otteniamocos
ossia :
Affinchè la retta di intersezione dei
piani (aí)
e siappoggi
alla medesima
coppia
digeneratrici,
sia cioèparallela (nel
sensodeterminato dalla serie
rigata (Cl))
alla nostraretta,
si deduce su-bito che deve essere:
Analogamente
siprocederebbe
per l’altra serie digeneratrici
del-l’assoluto ;
le formuleprecedenti
non solo ridimostrano il nostro teo- rema, ma dannol’espressione
deiparametri
di scorrimento di unaretta in funzione delle coordinate di due
piani perpendicolari
pas-santi per la retta.
Noi spesso dovremo trovare le traccie su un
piano
a delle pa-rallele tirate per il suo
polo
A a una retta ; e le chiameremo le"
immagini
diClifford ,
della retta relative alpiano stesso ;
detteSi
eZi le
coordinate delle duetraccie,
avremo, dalle(3)
e(3") quando
si
prenda
perpunto
A ilpunto (1, 0, 0, 0)
Per mezzo di
queste uguaglianze
e indicando con y la distanza dei duepunti S, Z
definita da cos cp - iSi Zí,
le(9)
diventanoche per mezzo delle
(3)
o delle(3)
ci danno:Si verifica subito che:
"
Le due
immagini
di di due rette_polari
i-elative a unpiano
e le traccie suquxsto piano
delle rette stesse si dividono ar-monicamente ;
una diqueste
traccie divide per- metà unsegmento
te^inato alle
immagini ".
~
5. Sarà per noi ancoraopportuno
di notare che iparametri
di scorrimenti di una
retta,
anchemoltiplicati
per unqualunque
fat-tore,
soddisfanno alla:Dunque
noipotremo
sempreimmaginare
6-quantità legate
daquesta
relazione come coordinate omogenee diretta,
inquanto
chesi
può
fissare a meno del segno un fattore diproporzionalità (in
un modo
solo)
in talguisa
che essedivengano
i 6parametri
discorrimento di una retta. La forma delle
B, C, D, p, 1, ô
ci dà il se-guente
teorema:"
scorrimento
(invarianti
perparallelismo)
di unaretta non sono altro che le coordinate di Klein
(somme
edifferenze opportune
delle coordinate diPlücker)
della rettastessa, quando
siprenda
per- tètraedrofondamentale
un tetraedroautopolare rispetto
assoluto. ,
Questo
teoremapuò
venire utile per lo studio deicomplessi alge-
brici di rette
negli spazii ellittici;
e noi ne daremopiù
tardi unesempio.
§.
6. Unaprima
notevolissimaapplicazione
diqueste
coordinateè la definizione di
angolo
di due rettequalsiasi (ciò
che finora nons’ era fatto che per rette
complanari).
Noi chiameremoangolo 9
didue rette tanto
l’angolo 9
definito daquanto l’angolo 9 generalmente distinto
dalprecedente,
che riescedefinito dalla ’
nelle
quali
formule intendiamo con iparaametri
diuna retta e con
(B", C’, D’~ ~’, ~~’, ~’)
iparametri omologhi
dell’altra.Questa
definizione scaturiscespontanea
dal.seguente
teorema:’Una
coppia
di rette equello
delle pa- rallele tirate ad esse da ~unpunto
Aqualunque
sonouguali, purchè
le due
parallele
siano tirate in un verso".Infatti,
esiste allora uno scorrimento(destrorso
o sinistrorso asecondo del senso del
parallelismo)
cheporta
ilpunto
comune allaprima coppia
di rette nelpunto A,
e laprima coppia
di rette nellacoppia
diparallele
per ilpunto
A.Il teorema si
può
dimostrare anche analiticamente : Se le rette date sono le rette(x, ),
(x, il loroangolo Cf
è definito da cos ’f=== ;11;
l’angolo cp’
delleparallele
tirate dalpunto (1, 0, 0, 0)
è dato daoppure da
a seconda del verso del
parallelismo;
l’ identità(8)
ci dirnostra che è in ambi i casicos 1 ’
cos y.E allora si vede che
gli angoli 9
definiti dallenon sono altro per le
(10)
chegli angoli formati
dalle duecoppie
di
parallele
tirate dalpunto (1, 0, 0, 0)
alle due rette date in un versoo
nell’altro ;
e per- teor.precedente
si vede che invece di tirarequeste parallele
dalpunto (1, 0, 0, 0)
si possono tirarequeste parallele
da unpunto
dellospazio,
senza che per-questo
~nuti la determi- nazionedell’angolo.
Se le due rette sono le rette
(x, ~)
e (y,ii)
abbiamo perl’ angolo
delle due rette la
seguente
formula :oppure la
a seconda che
l’angolo
si misura conparallele
in un senso o nel-l’ altro cioè per le identità
(8)
si han n n n
dove con x n intendiamo la distanza del
punto (xl)
alpunto (yi),
dalpunto (~i)
alpunto (-~i)
ecc. Senza soffermarci al si-gnificato geometrico
di(x ~
y11)
si osservi che:deter1ninante
(x Z
yn)
è nullo el’angolo
di due rette ammetteune/¡ sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono
coiiiplu,nari
".(Cfr.
le osserv.finali).
Questo
teorema ammette un notevolecorollario, quando
sia ap-plicato
a rette infinitamente vicinecomplanari :
"
Se noi delle
generatrici
di unarigata facciamo
leimmagini
diClifford
relative a_piano qualunque,
le due linee .cos ottenute sicorrisponderanno
in modo che archicorrispondenti
sianouguali
allorae allora soltanto che la
rigata è sviluppabile
".E se ricordiamo
(Bianchi A)
che unarigata
è a curvatura nullasolo se è una
rigata
diClifford,
vediamo che aquesto
teorema sicontrappone
l’altro :"
Una a curvatura nulla soltanto se una delle sue im-
magini
diClifford
si riduce a un_punto .
E noi vediamo subito un nuovo
significato
delle coordinate diKlein;
esse misuranogli angoli,
che in un versoe
nell’altro una rettaforma
coi seispigoli
del tetraedro diriferiínento
o, comesi-può dire,
con una terna di rette
ortogonali.
Cos ,
essendo iparametri
di scorrimento nient’altro che coordi- nateproiettive
di unaretta,
epotendosi perciò
definire uncomplesso
lineare con
un’ equazione
dove
1, m, n, p, q, r
sonocostanti,
noi vediamo per le(12)
che uncomplesso
lineare ammette in unospazio
ellittico laseguente
defi-nizione metrica:
R. Sc. Norm.
2
"
Le rette di un
complesso
sonoquelle
e tuttequelle,
_per è costante dove 9e
sonogli angoli
che una di esseforma
cos ¥
con retta
fissa,.
Questa
retta colle notazioniprecedenti
sarebbe la retta i cui pa- rametri sonoAnche nello
spazio
curvo valedunque
il teorema:"
Un
complesso
lineare ammette sempre una retta tale che i mo-èJùaenti elicoidali attorno a essa
ri ortano
ilcomplesso
in sè stesso Si vedrebbe pure facilmente che illuogo
deipunti
tali che l’an-golo delle parallele
tirate per uno di essi a una retta fissa ècostante,
è una
rigata
diClifford,
e si avrebbe cos unagenerazione
dellerigate
diClifford,
per mezzo dei movimenti elicoidali attorno a unaretta; generazione
identica in fondo aquella
data dalprof.
Bianchinella memoria
più
voltecitata;
essaperò,
vista inquesta
forma dif-ferente,
sipuò interpretare proiettivamente
cos :"
Le
proiettività
che lascianofissa
unaquadrica
e due suoi_punti A,
Bportano
unpunto qualunque
dellospazio
neipunti
di una qua- drica che ha eomunz con laprecedente
legeneratrici
perA,
B ".Oss. Non è
possibile,
a miocredere,
definire ilparallelismo
dipiani, che,
per lalegge
didualità, porterebbe
a definire insieme ilparallelismo
dipunti;
sipuò però
definire ilparallelismo
di elementi(insieme
dipunto
epiano
che siappartengono).
Diremo cos che l elemento(A, defcnito
dal_punto
A e del ~, éparallelo
al-Z’elemento
(B, ~3,) quando
esiste uno scorrimento cheporti
in A inB,
a in
p.
Il
piano P
ègenerato
dalleparallele
tirate per B alle rette dia
passanti
per A.La distanza da A a B è
uguale all’angolo
di a. con~.
Le normali in A ad a e in B sono
parallele.
La cosa
più
interessante in tuttoquesto
è l’esistenza difigure
duali che si
corrispondono
conparallelistno
dicorrispondenti
e la
conseguente
dimostrazione delprincipio
di dualità senza conside- i-azione dell’assoluto.Ma per brevità io ne dimostrerò
1’ esistenza, appunto partendo dall’ assoluto ;
presa unafigura S,
consideriamone lafigura polare S’,
che uno scorrimentoqualsiasi porti
in E. Lefigure S, E
sonoappunto
duefigure
duali che sicorrispondono
nel modo anzidetto.Il
parallelismo
di Clifford e la teoria delle curve.~. 7.
Ilprof.
Bianchi(loc. cit.)
dimostrò leseguenti
formule chesono la
generalizzazione
delle formule di Frenet per le curve di unospazio piano :
dove
a 1 1 rappresentano rispettivamente l’arco,
laprima
e lap c
seconda curvatura nel
punto (x;) generico
di una curva, e dove con(~z), (r~;), (1,)
si indicanorispettivamente
i coseni di direzione dellatangente,
della normaleprincipale
e della binormale alla curva nelpunto (xz).
Nei calcoli che seguono, come anche In- tutto il resto del
lavoro, noi, partendo
daquanto
s’è visto al§. 3,
faremo i calcoli con unasola terna di
parametri
di scorrimento. Tiriamo dalpunto (1, 0, 0, 0)
le
parallele
alletangenti
fino a incontrare ilpiano polare;
1’ arcodella cos ottenuta indicatrice delle
tangenti
è dato daSostituiamo in
queste
formule ai differenzialid x,
d ~ i valori dati dalle succitate formule delprof. Bianchi ;
esviluppiamo,
ricordandole identità
(8)
del§.
3. Otterremoche vale anche per le
parallele
nell’ altro senso,perchè (§. 3)
man-cano termini col
doppio
segno; ciò che sispiega
osservando chetangenti
consecutive sonocomplanari
e ricordando il teor. del§.
6.Dunque :
"
Il
rapporto
di unoqualunque degli angoli formati
da due tan-genti
consecutive alL’arco compreso tra ipunti
di contatto èuguale
alla curvatura della curva nel
_punto corrispondente.
Consideriamo ora invece una retta
generica
normale nelpunto
alla curva e ne siano cos y
+ i;
sen i coseni didirezione, dove 9
ècostante; F Immagine
di Clifford dellarigata
formata da esse, ha l’arco s definito dalla:d s2 =-- r d ~ r~
cos 9 + 1 sen ep,x]i’~,
cioè, differenziando
e ricordando le formule delprof.
Bianchi dalla:Dove,
per lepiù
volte citate identità e considerazioni del§. 3,
il
doppio
segno si deve aldoppio
senso delparallelismo.
Per
7r
si ha S2 =_1
-_l- 1 2 da2 noi p orremoPer?=-
si ha= ( 2013
+1) 2 da2;
noi porremoritenendo
però
p che spesso p indicheremocon 1
T tutte e duequeste espressioni,
’ echiameremo 1
T e1
T’ le due torsioni diClifford
di unacurva in un
punto.
Abbiamo allora:" Il
rapporto dell’angolo
di due binormali consecutive misurato ínun senso determinato all’arco compreso tra i loro
piedi
èuguale
allatorsione di
Clifford corrispondente".
Donde siha,
sotto una formalievemente
differente,
un teorema delprof. Bianchi (loc. cit.)
chequi
risulta dedotto in maniera diretta:
"
Condizione necessaria e
sufficiente
t e binormali a unacurva siano
lJarallele
in un verso, è che lacorrispondente
torsione diClifford
sia nulla.Affinchè la retta uscente dal
punto (xi)
d’una curva e con cosenidi direzione
(a ~i +
con a2-f -
b2-~-
c2 ---1(dove a) b, c
sonocostanti, generi
al variare delpunto
xi unarigata
diClifford,
deveessere
uguale
a zero l’arco di una delle sueimmagini
diClifford;
cioèe coi soliti
procedimenti
dove 1
indica lacorrispondente
torsione di Clifford. La curva è.
T p -
quindi un’ elica ;
maqui
siaggiunge un’ interpretazione
nuova dellacondizione C,
Tcost.,
dicendo che deve essere costante ilrapporto
della
prima
a torsione diClifford.
Se noi
esprimessimo
invece che la nostrarigata
è a curvaturanulla si troverebbero le
che non coincidono con la
(a)
che per elementi reali. Se ne deduce l’esistenza di ’rigate singolari immdginarie generabili
come lerigate
di
Clifford
da rette invariabilmente unite al triedro_principale
di unacurva, che non sono a curvatura nulla sebbene abbiano nulla una
delle indicatrici di
Clifford ;
le lorogeneratrici
sonoperciò tangenti all’assoluto,.
Aggiungerò
di volo che invece tutte e sole le curve percui P
cost.t
sono tali cl2e esiste una retta invariabilmente unita al triedro
prin-
cipale generante
unasviluppabile.
Basta infatti
esprimere (§. 6)
che leimmagini
di Clifford dellarigata generata
daquesta
retta sicorrispondono
conuguaglianza
dilunghezza
d’arco pertrovare,
con le notazioniprecedenti
§.
8.Queste
considerazionipreliminari
cisuggeriscono
immedia-tamente
un’ idea,
che ci servirà a stabilire una nuova forma assainotevole,
a mio parere, delle formule delprof.
Bianchigià
citate.A
queste
formule ilprof.
Bianchigiunse
esaminando i coseni di di- rezione dellatangente,
della normaleprincipale,
della binormale. Noi esamineremo invece iparametri
di scori-imento dellestesse,
che in- dicheremorispettivamente
conPer
quanto
s’ è visto èQueste
formule basterebbero colprocedimento
identico aquello
che si segue per le formule di Frenet nello
spazio piano
a dare leseguenti
formule:e le
analoghe
perP,
-,,[3’ 7, -q, 1
ecc. Però vi sarebbe1’ ambiguità
di segno nei secondi membri delle
(14) proveniente
dal fatto chenelle
(13) comparisce solo 9 ? rn2 e
noi estraendo le radiciquadrate p
1 Tsaremmo incerti se dovessimo
tenere i ii
Ma lep T
p
T -formule
(14)
si verificano facilmentepartendo
dalle formule delprof.
Bianchi.Quanto
allebasta ricordare i valori effettivi dei nostri
parametri
e la loro di-mostrazione riesce
immediata;
osserviamo ora p. es. laRicordiamo che
Per le formule del
prof.
Bianchi sideduce,
ricordando che a = eOra l1~
~2
- ~2 n3~4
- r4e3
non è altro che unparametro
discorrimento della retta
polare
dellabinormale ;
equindi
per un teo-rema
già
dimostrato(§. 2)
èuguale
a :~ X a seconda del senso delparallelismo;
e la(y)
è dimostrata1).
In modoanalogo
si dimo-strerebbero le altre formule
(14).
Dalle
(14),
che cossingolarmente
si avvicinano alle formule di Frenet per lospazio piano,
deduciamo alcunirisultati,
a miocredere, degni
di nota.i) Qui si sono usate le (A, ~., v) per indicare ambedue le terne (X, ~-, v) , v’), ciò che certo non genera confusione; si ricordi pure di non con-
fondere la Z con le . ,
24
Poichè
l’ integrazione
di ciascuno dei duegruppi (14)
diformule,
si riduce a
un’eqùazione
diRiccati,
otteniamo:"
La
effettiva
costruzione di una curva di cui siano note la cur-vatura e la torsione in
funzione
dell’arco si riduceall’integrazione
di due
equazioni
diRiccati ,.
Cos se due curve si
corrispondono punto
apunto
conparalle-
lismo in un verso del triedro
principale
e per cui siano(p, T, c3)
e(p,, Ti, a~)
laprima curvatura,
la torsione di Cliffordcorrispondente
e l’arco in
punti corrispondenti,
si haciò che
permette
(comegià
osservò ilprof.
Bianchi per lospazio piano)
di ridurre la costruzione di una curva di cui siano date leequazioni
intrinseche aquella
di una curva per- cuisia p
cost.oppure T cost.
L’analogia
delle(14)
con le formule di Frenet dà immediata- mente alcuniteoremi,
per la cui dimostrazione bastaripetere parola
per
parola quanto
si fa per dimostraregli analoghi
nellospazio piano.
Cos p. es.Se due curve hanno
parallele
le nor1nali_principali in punti
cor-rispondenti,
è costantel’angolo
ditangenti corrislJondenti
e le curva-ture deZZ’uraa sono
funzioni
lineari diquelle
dell’altra(ciò
chepuò
servire per lo studio delle curve di Bertrand nellospazio curvo).
Cos si
può
dedurre in altro modo daquanto
si è fatto sopra tutta la teoria delleeliche,
ecc. ecc.Quanto m’iimporta d’osservare,
è che spesso i calcoli riescono
più semplici
nellospazio
curvo, che nellospazio piano.
Se noi p. es. volessimo trovare le evolute di unacurva, basterebbe che noi cercassimo
quando
larigata generata
dauna normale alla curva con coseni di direzione
(~i
cos sen9)
dove9 è funzione di
a)
genera unasviluppabile,
cioèquando
le due im-magini
di Clifford dellarigata
sicorrispondono
conuguaglianza d’arco " s ".
Ora èds~
= ~ [d~
sen jsen 9
cos 9dcp, x~i2 .
Partendo dalle solite osservazjoni del
§. 3,
usando delle(14)
e ricordando
che 1
T ammette duedeterminazioni,
si vede che bastaannullare i termini con
doppio
segno dellaprecedente espressione
per trovare la condizione
voluta;
e calcolando si ottiene cos :Il risultato
più
notevole e di cui vedremo inseguito
alcune ap-plicazioni
è dato dallaseguente proposizione:
A
ogni
curva C dellospazio
ellitticocorrispondono
due curveC’, C" _
dello
spazio _piano
checorrispondono
alla C( e quindi
anche tra diloro ) _punto
perpunto
conuguaglianza
d’arco e dilrorirna curvatura,
e le cui torsioni in
_punti corrispondenti differiscono
di costante.Viceversa)
due curveC’,
C" dellospazio piano
che sicorrispondono punto
a_punto
conuguaglianza
d’arco e diprima curvatura)
mentrele loro torsioni in
_punti corrispondenti differiscono
di una costante±
2,
danno senzaquadrature
una curva C di unospazio
ellittico acurvatura + 1 che loro
corrisponde _punto
a_punto
conuguaglianza
di arco e di
prima
curvatura e che ha per- torsioni di in un_punto
le torsioni di C’ e di C" nei_punti corrispondenti.
La
prima parte
diquesto
teorema è evidente per le(14) ;
di-mostriamo la seconda
parte.
Se noi chiamiamo(a, p, 7), (i, r, 1), (~, ~., v)
i coseni di direzione della
tangente,
della normaleprincipale
e dellabinormale in un
punto
di C’ e con(a’, ~’, ~’ ), (~’, -~’, C’), (~’, p"" v’ )
icoseni delle rette
corrispondenti
diC",
> se noi indichiamo conP l’arco e la curvatura di C’ e C"
(in punti corrispondenti)
e conT
e lecorrispondenti torsioni
avremo per le formule di Frenet nellospazio piano
Poichè
noi
otremo immaginare
lex p,
;/)
le(, -, C; , ’ C)
enoi
potren1o jmmaginare
le((/.,,
;a’, ’, (),
le(ç,
, 1 ;’, )
ee le
(),,
.t, v,", N’, v’)
comeparametri
di scorrimento di tre rette dellospazio
curvo. Poiche per le(a)
si hala retta
(x, , 7; a’, ’, y’)
descrive(. 6)
unasviluppabile,
cioè invi-luppa
una curvaC;
e,poichè
per le(a)
la retta
(>~,
tt, v ;~’, ~’, v’)
èprecisamente
la binormale aquesta
curvanel suo
punto generico;
epoichè
la retta
(~, r, 1; ~’, n’, 1’)
èprecisamente
la normaleprincipale
allacurva C nel suo
punto generico.
Questi
ultimiragionamenti
sipotrebbero
fare anche se nulla sisapesse circa alle torsioni di C’ e di
C";
ma in tal caso non sipotrebbe più
direche,
se z è 1’arco dellaC,
si ha Se noi suppo- niamo invece1
= cost. e permaggior semplicità
suppo-T TI p gg p pp
niamo
che i - rr
=-- 2,
allora si vede subito che da =ds;
infattiT T’ - ’
si è visto che in uno
spazio
a curvatura-- l,
1’arco 3 è definito daChe la differenza
costante § - §
T T’ sia -I- 2 nontoglie
zn la gene-gralità ;
chese 1 - 1
T T’ fosse una costante distinta da + - 2 siavrebbe,
’come si intende
facilmente,
una curva C di unospazio
ellittico acurvatura differente da + 1.
(Del
resto con una similitudine sipuò
sempre passare da una tal
coppia
di curve a unacoppia
di curve, per cui siaDimostrato che la C
corrisponde
alleC’,
C" conuguaglianza
diarco, le