M M M أ ب أ ب 2013 زاــنجلاا ةدم :تاـــــعاس عبرأ 9 دحولما نيطولا ناــــــحتملإا اـــــــــــــيرولاكبلا ةداهش لينل ةــــيكاردتسلإا ةرودلا تايضاــــــــــــــيرلا ةداــــم ب و أ ةيضايرلا مولــعلا ةبعش لماــــــــــــــــــــــــــــــعلما :

دحولما نيطولا ناــــــحتملإا اـــــــــــــيرولاكبلا ةداهش لينل

ةــــيكاردتسلإا ةرودلا 2013

ةيبرغلما ةكلملما

يلاعلا ميلعتلا و ةينطولا ةيبترلا ةرازو يملعلا ثحبلا و رطلأا نيوكت و تاناحتملإا و ميوقتلل نيطولا سكرلما

تايضاــــــــــــــيرلا ةداــــم ب و أ ةيضايرلا مولــعلا ةبعش

لماــــــــــــــــــــــــــــــعلما :

9

زاــنجلاا ةدم :

تاـــــعاس عبرأ

لولأا هيرمتلا :

( ن 3,5 )

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا حارتقا نم ةبوجلأا -

http://www.professeurbadr.blogspot.com –

ربوتكأ - 2013

ةحفصلا : 247

هيرمتلا يواثلا

: ( ن 3 )

ناءزجلا 𝐼

𝐼𝐼 و امهنٌب امٌف نلاقتسم .

ىلع قودنص يوتحٌ

و ءارمح تارك 3 سمللاب اهنٌب زٌٌمتلا نكمٌ لا ءادوس تارك 4

.

للاحإب و عباتتلاب اٌئاوشع بحسن ًئاوشعلا رٌغتملا ربتعن و قودنصلا نم تارك 4

𝑋 يذلا

قودنصلا نم ةبوحسملا ءادوسلا تاركلا ددع يواسٌ

.

ًئاوشعلا رٌغتملا لامتحا نوناق ددح 𝑋

.

بسحأ 𝐸 𝑋 ًئاوشعلا رٌغتملل ًضاٌرلا لملأا 𝑋

.

ًتلآاك لحارم ثلاث ًف ةٌلاتلا ةٌئاوشعلا ةبرجتلا زجنن :

ىلولأا ةلحرملا :

قودنصلا ىلإ اهدٌعن و اهنول لجسن ، قودنصلا نم ةرك بحسن .

ةيناثلا ةلحرملا :

قودنصلا ىلإ فٌضن ىلولأا ةلحرملا ًف ةبوحسملا ةركلا نول سفن اهل تارك 5

.

ةثلاثلا ةلحرملا :

للاحإ نودب و عباتتلاب بحسن ىلع يوتحٌ حبصأ يذلا قودنصلا نم تارك 3

ةٌناثلا ةلحرملا دعب ةرك 12

.

𝑥 لكل 𝑦 و لاجملا نم 𝐺 = 1,2

عضن :

𝑥 ∗ 𝑦 =2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2

( ℝ , +,∙) M

³

نأ و عضن و ًقٌقح ًهجتم ءاضف

𝐴 = 0 3 2 : 0 0 1 0 0 0 .

نأ ققحت 𝐴

³

= 𝒪 :

نأ جتنتسا مث 𝐴

ةقلحلا ًف رفصلل مساق

نأ ققحت :

𝐴

²

− 𝐴 + 𝐼 𝐴 + 𝐼 = 𝐼 .

𝑎 لكل 𝑏 و ℝ نم عضن 𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝐼 + 𝑏 ∙ 𝐴 :

.

ةعومجملا ربتعن و 𝐸 = 𝑀 𝑎, 𝑏 / 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ

²

:

نأ نٌب 𝐸, +,∙

هل اساسأ ددح و ًقٌقح ًهجتم ءاضف .

ةفوفصملا نأ جتنتسا مث 𝐴 + 𝐼

ًف ابولقم لبقت

هدٌدحت متٌ

. ( ℝ , +,×) M

³

نأ نٌب

∗ ةعومجملا ًف ًلخاد بٌكرت نوناق 𝐺

.

نأ ركذن ℝ

₊^∗

,×

ةٌلدابت ةرمز

نأ نٌب 𝑓 نم ًلباقت لكاشت ℝ

₊^∗

,×

وحن 𝐺,∗

.

نأ جتنتسا 𝐺,∗

دٌاحملا اهرصنع ددح و ةٌلدابت ةرمز .

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2

𝑥 + 1 : ًلٌ امب 𝐺 وحن ℝ

₊^∗

نم فرعملا 𝑓 قٌبطتلا ربتعن و

ن 0,50

ن 0,75 ن 0,50 نأ ركذن

اهرفص ةٌدحاو ةقلح

𝒪 = 0 0 0 : 0 0 0 0 0 0 اهتدحو و

𝐼 = 1 0 0 : 0 1 0 0 0 1

( ℝ , +,×) M3

ن 0,50 ن 0,50 ن 0,75

ن 1,00 ن 0,50 I

1 2

2 2

II

1 1

I

1 2

II 2 ب أ

ب أ

I I I I

II II II

I

I

( ℝ , +,×) M

³

هيرمتلا ثلاثلا

: 3,5 ( ن )

هيرمتلا عبارلا

: ( ن 8,25 )

نأ نٌب 𝑝 𝐸 ∩ 𝑁 =

¹²₅₅

:

بسحأ 𝑝 𝐸 ثدحلا لامتحا بسحأ 𝑅

ثدحلا نأ املع 𝐸

ققحت دق .

نكٌل 𝑎 فلاخٌ اٌدقع اددع . 1

ذخأن 𝑎 = 𝑒

^𝑖𝜃

ثٌح

0 < 𝜃 < 𝜋 .

نأ نٌب 𝑎 − 1 = 2 sin

^𝜃₂

𝑒

^{𝑖 𝜃 −𝜋2}

:

نم لكل ًثلثملا لكشلا جتنتسا 𝑧

₁

𝑧

₂

و .

مظنمم دماعتم ملعم ىلإ بوسنم يدقعلا ىوتسملا ℴ, 𝑢 , 𝑣

.

نأ ضرتفن ℜ 𝑎 < 0

طقنلا ربتعن و 𝐴 𝑎

𝐵 −𝑖 و 𝐶 𝑖 و

𝐵

^′

1 و .

نم لك ًقحل ددح 𝐽

𝐾 و نٌتعطقلا ًفصتنم 𝐴𝐶

𝐴𝐵 و ةللادب ًلاوتلا ىلع 𝑎

.

نكٌل 𝑟

₁

هزكرم يذلا نارودلا 𝐽

هتٌواز ساٌق و

𝜋

.

2

𝑟

₂

و هزكرم يذلا نارودلا 𝐾

هتٌواز ساٌق و

𝜋

2

. 𝐴

^′

= 𝑟

₂

𝐴 و 𝐶

^′

= 𝑟

₁

𝐶 : عضن نكٌل و 𝑐′

قحل 𝐶′

𝑎′ و قحل 𝐴′

. نأ نٌب 𝑎

^′

= 𝑧

₁

:

و 𝑐

^′

= 𝑧

₂

.

بسحأ

𝑎^′−𝑐^′

مٌقتسملا نأ جتنتسا مث

𝑎−1

𝐴𝐵′

ثلثملا ًف عافترا 𝐴′𝐵′𝐶′

.

نكتل 𝑓 لاجملا ىلع ةفرعملا ةٌددعلا ةلادلا 0, +∞

ًلٌ امب 𝑓 𝑥 = 1 :

1 + 𝑥 ln 𝑥

²

𝑓 0 = 1

ةلادلا نأ نٌب 𝑓

ةطقنلا ًف نٌمٌلا ىلع ةلصتم بسحأ مث 0

𝑥→+∞

lim 𝑓(𝑥)

قاقتشا ةٌلباق سردأ 𝑓

ةطقنلا ًف نٌمٌلا ىلع ( 0

ةجٌتنلا لامعتسا كنكمٌ

)

lim

𝑥→0⁺𝑥 ln 𝑥 ² = 0

ةلادلا نأ نٌب 𝑓

لاجملا ىلع قاقتشلال ةلباق 0, +∞

. ـب ةفرعم اهتقتشم نأ و :

∀𝑥 > 0 ; 𝑓

^′

𝑥 = −𝑥 ln 𝑥 1 + ln 𝑥 1 + 𝑥 ln 𝑥

^{2 32}

نأ نٌب :

ةلداعملا ًلح امه

𝐸

. 𝑧

₂

= 𝑎 − 1 1 − 𝑖

2 و 𝑧

₁

= 𝑎 − 1 1 + 𝑖 2

= 𝐸 ءادوس ةثلاثلا ةلحرملا ًف ةبوحسملا تاركلا عٌمج

.

ةٌلاتلا ثادحلأا ربتعن = 𝑁 :

ءادوس ىلولأا ةلحرملا ًف ةبوحسملا ةركلا

. ءارمح ىلولأا ةلحرملا ًف ةبوحسملا ةركلا = 𝑅 .

ةلادلا تارٌغت لودج عض 𝑓

.

ن 0,50 ن 0,50 ن 0,50

ن 0,50

ن 0,50 ن 1,00

ن 0,50 ن 0,50

ن 0,50

ن 0,50 ن 0,50 ن 0,50

ن 0,50 1

2 3

I

1 2 2 2

II 1 2

3

1 ب

أ

ب أ ج

د

II II II

I I I I

II II

II

1 1 1

1 ةعومجملا ًف ربتعن

ℂ لوهجملا تاذ ةلداعملا 𝑧

ةٌلاتلا :

𝐸 ∶ 2 𝑧

²

− 2 𝑎 − 1 𝑧 + 𝑎 − 1

²

= 0

ةـيكاردتسلإا ةرودلا - 2013

http://www.professeurbadr.blogspot.com

– ربوتكأ - 2013

ةحفصلا : 249

نأ ققحت :

∀𝑛 ≥ 1 ; 𝑣

_𝑛

= 𝑛

²

ln arctan 𝑛 − ln arctan 𝑛 + 1

مدعنم رٌغ ًعٌبط حٌحص ددع لكل 𝑛

عضن :

و

𝑣_𝑛 = ln 𝑢_𝑛 𝑢_𝑛 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 + 1

𝑛²

نأ نٌب ةٌهتنملا تادٌازتلا ةنهربم لامعتساب :

∀𝑛 ≥ 1 , ∃ 𝑐 𝜖 𝑛 ; 𝑛 + 1 ; 𝑣

_𝑛

= −𝑛

²

1 + 𝑐

²

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑐

نأ نٌب ∀𝑛 ≥ 1 ; −𝑛

²

:

1 + 𝑛

²

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 < 𝑣

_𝑛

< −𝑛

²

1 + 1 + 𝑛

²

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 + 1

ةٌاهنلا بسحأ :

lim

𝑛∞

𝑢

_𝑛

𝑥 لكل لاجملا نم 0, +∞

عضن 𝜑 𝑥 = 𝑥 − 𝐹(𝑥) :

.

لكل هنأ نٌب 𝑛

ℕ نم ةلداعملا ، 𝜑 𝑥 = 𝑛

ادٌحو لاح لبقت 𝛼

_𝑛

لاجملا ًف 0, +∞

.

( ةٌهتنملا تادٌازتلا ةنهربم لامعتسا نكمٌ كلذ لجأ نم )

نكتل 𝐹 لاجملا ىلع ةفرعملا ةٌددعلا ةلادلا 0, +∞

ًلٌ امب :

𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑡)

^𝑥

0

𝑑𝑡

نكٌل و ةلادلل لثمملا ىنحنملا 𝐹

مظنمم دماعتم ملعم ًف ℴ, 𝑖 , 𝑗

. C

_𝟎𝟏𝟐^𝟏𝟏_𝐹

ةلادلل ةٌلصأ ةلاد ددح

لاجملا ىلع 𝑒, +∞

. 𝑥 ⟼ 1

𝑥 ln 𝑥

نأ نٌب ∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 𝑡 ln 𝑡 < 1 + 𝑡 ln 𝑡

²

< 2 𝑡 ln 𝑡 :

نأ جتنتسا :

نأ و

:

𝑥→+∞

lim 𝐹(𝑥)

𝑥 = 0 lim

𝑥→+∞

𝐹(𝑥) = +∞

نأ نٌب امهنم ةدحاو لك لوصفأ دٌدحت بولطملا فاطعنا ًتطقن لبقٌ

. C

_𝟎𝟏𝟐^𝟏𝟏_𝐹

ئشنأ (

كلذ لجأ نم ذخأن 𝐹 1 ≈ 0,5

و 𝐹

¹

𝑒

≈ 0,4

)

^𝟏𝟏

𝟎𝟏𝟐

C

_𝐹

نأ نٌب :

ةلادلا تارٌغت سردا مث

𝜑

. lim

𝑥→+∞

𝜑(𝑥) = +∞

نأ نٌب ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛼

_𝑛

≥ 𝑛 :

بسحأ مث lim

𝑛∞

𝛼

_𝑛

نأ نٌب : ∀𝑛 ≥ 1 ; 0 < 𝐹 𝛼

_𝑛

𝛼

_𝑛

< 𝐹 𝑛

𝑛 + 𝑓(𝑛)

ةٌاهنلا بسحأ :

lim

𝑛∞

𝛼

_𝑛

𝑛

ن 0,25 ن 0,50 ن 0,75 ن 0,50 ن 0,50 ن 1,00 ن 0,75 ن 0,50 ن 0,50 ن 0,50

ن 0,50

ن 0,25 ن 0,50

ن 0,50 ن 0,50 3

2

4

1 2

3 4 أ ب

ج د ـه ز

أ ب ج

أ ب

2 2 2

2 2 2

3 3 3

4 هيرمتلا سماخلا

: ( ن 1,75 )

نأ نٌب ∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 1 :

2 ln ln 𝑥 < 1

1 + 𝑡 ln 𝑡

²

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑥

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

http:/www.professeurbadr.blogspot.com( )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟎 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

لولأا نيرمتلا

لاؤسلا اذه ًف رٌكفتلا ةٌجهنم :

عضن 𝛼 = 𝑥 − 1 𝑦 − 1 و

𝛽 = 𝑥 − 2 𝑦 − 2

نأ نٌبن نأ دٌرن

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝑥 ∗ 𝑦 𝜖 𝐺 :

نأ نٌبن نأ دٌرن ًنعٌ

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 1 < 𝑥 ∗ 𝑦 < 2 :

نأ نٌبن نأ ىلإ جاتحن فوس كلذ لجأ نم :

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝑥 ∗ 𝑦 > 1 و 𝑥 ∗ 𝑦 < 2 نأ نٌبن نأ ىلإ جاتحن فوس ًنعٌ

:

ًنعٌ

:

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝛼 + 𝛽 > 0 و 𝛼 > 0 و 𝛽 > 0

لمعلا ىلإ : نكٌل 𝑥 𝑦 و لاجملا نم نٌرصنع 𝐺 = 1,2

.

نذإ 1 < 𝑥 < 2 : و

1 < 𝑦 < 2 .

هنم و 0 < 𝑥 − 1 < 1 : و

0 < 𝑦 − 1 < 1 .

يأ 0 < 𝑥 − 1 𝑦 − 1 < 1 :

ةٌمكلا نأ ًنعٌ اذه و 𝑥 − 1 𝑦 − 1

اعطق ةبجوم ةٌمك .

ًنعٌ

: 𝑥 − 1 𝑦 − 1 > 0

كلذك انٌدل و 1 < 𝑥 < 2 :

1 < 𝑦 < 2 و

نذإ

−1 < 𝑥 − 2 < 0 : و

−1 < 𝑦 − 2 < 0

نأ ًنعٌ

𝑥 − 2 : و

𝑦 − 2 اعطق ناتبلاس ناتٌمك

.

نذإ : اعطق ةبجوم ةٌمك امهؤادج .

ًنعٌ

𝑥 − 2 𝑦 − 2 > 0 :

نأ نٌبن ىلولأا ةلحرملا ًف

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝑥 ∗ 𝑦 > 1 :

ةباتكلا نم قلطنن كلذ لجأ نم و 𝑥 − 1 𝑦 − 1 > 0 :

ةٌلاتلا اعطق ةبجوملا ةٌمكلا ًف ةتوافتملا هذه ًفرط برضن :

هنأ ًنعٌ اذه و

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝑥 ∗ 𝑦 > 1 :

ةٌناثلا ةلحرملا ًف نأ نٌبن

:

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝑥 ∗ 𝑦 < 2

ةباتكلا نم قلطنن كلذ لجأ نم و 𝑥 − 2 𝑦 − 2 > 0 :

ةٌمكلا نٌفرطلا لاك ىلإ فٌضن و 𝑥 − 2 𝑦 − 2

ًنعٌ

: اعطق ةبجوملا ةٌمكلا ًف ةتوافتملا هذه ًفرط برضن :

ًنعٌ

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 2 > 𝑥 ∗ 𝑦 : نٌتجٌتنلا نم 1

2 و نأ جتنتسن

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 1 < 𝑥 ∗ 𝑦 < 2 :

ًنعٌ

:

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 𝑥 ∗ 𝑦 𝜖 𝐺

ًلاتلاب و

∗ ةعومجملا ًف ًلخاد بٌكرت نوناق 𝐺

.

قٌبطتلا نوكٌ ًكل 𝑓

نأ نم ققحتن نأ ًفكٌ لاكاشت :

نكٌل 𝑥 𝑦 و ةعومجملا نم نٌرصنع ℝ₊^∗

.

انٌدل :

𝑓 نذإ نم لكاشت ℝ₊^∗,×

وحن 𝐺,∗

.

نوكٌ ًكل 𝑓

ًلٌ ام ققحٌ نأ ًفكٌ لاباقت :

لهسأ رٌبعتب وأ :

نوكٌ

𝑓 ةلداعملل نوكٌ امدنع اٌلباقت اقٌبطت 𝑓 𝑥 = 𝑦

لوهجملا تاذ 𝑥

ًف دٌحو لح ℝ₊^∗

ـب طبترم 𝑦

.

نكٌل 𝑦 ةعومجملا نم ارصنع 𝐺

ًف لحنل و ℝ₊^∗

ةلداعملا 𝑓 𝑥 = 𝑦

.

مدعنملا رٌغلا ددعلا ًف ةلداعملا هذه ًفرط برضن 𝑥 + 1

دجن 𝑥 + 2 = 𝑦 𝑥 + 1 :

ًنعٌ

𝑥 + 2 = 𝑥𝑦 + 𝑦 : ًنعٌ

𝑥 1 − 𝑦 = 𝑦 − 1 :

يأ 𝑦 − 𝑦𝑦^′− 2 + 2𝑦^′ = 𝑦^′− 2 − 𝑦𝑦^′+ 2𝑦 :

ةٌمكلا نٌفرطلا لاك ىلإ فٌضن و 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2

ىلع لصحن 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 > :

> 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 1 𝑦 − 2 1

𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2

2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 >

> 𝑥 − 2 𝑦 − 2 + 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 ىلع لصحن 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 :

𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 > 1

2 𝑥 − 2 𝑦 − 2 > 𝑥 − 2 𝑦 − 2 ∶ دجن ةٌمكلا ةتوافتملا هذه ًفرط ىلإ كلذ دعب فٌضن مث 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1

دجن 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 2 𝑥 − 2 𝑦 − 2 > :

> 𝑥 − 2 𝑦 − 2 + 2 𝑥 − 1 𝑦 − 1

1

𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 2 >2 𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2

𝑥 − 1 𝑦 − 1 + 𝑥 − 2 𝑦 − 2 ∶ دجن

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ₊^∗ ; 𝑓 𝑥 × 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)

∀𝑦𝜖𝐺 , ∃! 𝑥 𝜖 ℝ₊^∗ ∶ 𝑓 𝑥 = 𝑦

حبصت ةلداعملا هذه :

عم

𝑥 > 0 𝑥 + 2

𝑥 + 1= 𝑦

مدعنملا رٌغلا ددعلا ًف ةلداعملا هذه ًفرط برضن

1 1 − 𝑦

𝑥 =𝑦 − 2

1 − 𝑦 ∶ دجن رٌبعتلا نأ ظحلان

كلذ رٌغ انضرتفا اذإ هنلأ دٌحو

. 𝑦 − 2

1 − 𝑦

𝑦 − 2

1 − 𝑦=𝑦′ − 2

1 − 𝑦′ : ىلع لصحن فوس هنإف 𝑓 𝑥 ∗ 𝑓 𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥 + 1 ∗ 𝑦 + 2 𝑦 + 1

=2 𝑥 + 2

𝑥 + 1 − 1 𝑦 + 2

𝑦 + 1 − 1 + 𝑥 + 2

𝑥 + 1 − 2 𝑦 + 2 𝑦 + 1 − 2 𝑥 + 2

𝑥 + 1 − 1 𝑦 + 2

𝑦 + 1 − 1 + 𝑥 + 2

𝑥 + 1 − 2 𝑦 + 2 𝑦 + 1 − 2

=

𝑥 + 1 2 1

𝑦 + 1 + −𝑥

𝑥 + 1 −𝑦 𝑦 + 1 𝑥 + 1 1 1

𝑦 + 1 + −𝑥

𝑥 + 1 −𝑦 𝑦 + 1

=𝑥𝑦 + 2

𝑥𝑦 + 1= 𝑓(𝑥 × 𝑦)

𝑓 𝑥 ∗ 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 × 𝑦) : نذإ

𝑥 =𝑦′ − 2

1 − 𝑦′ ققحٌ 𝑦′ رخآ ددع دوجو يأ

انٌدل 𝑓 ًلٌ امب فرعم قٌبطت :

𝑓 ∶ ℝ₊^∗,× ⟼ 𝐺,∗

𝑥 ⟼ 𝑥 + 2 𝑥 + 1

1 I I

أ 2

1 2

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺² ; 2𝛼 + 𝛽

𝛼 + 𝛽 > 0 و 2𝛼 + 𝛽 𝛼 + 𝛽 < 2

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

http:/www.professeurbadr.blogspot.com( )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟏 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

يأ 𝑦 − 𝑦′ = 0 : يأ

𝑦 = 𝑦′ :

ىلإ ًمتنٌ لحلا اذه نأ نم ققحتن نأ نلآا ًفكٌ

ℝ₊^∗ .

انٌدل 1 < 𝑦 < 2 : نذإ

−1 < 𝑦 − 2 < 0 :

انٌدل و 1 < 𝑦 < 2 :

نذإ

−1 < 1 − 𝑦 < 0 :

𝑦 − 2 نذإ 1 − 𝑦 و

اعطق ناتبلاس ناتٌمك .

اعطق ةبجوم ةٌمك امهجراخ نأ يأ .

نأ ًنعٌ

𝑓 نم لباقت ℝ₊^∗

وحن 𝐺 .

ةصلاخ 𝑓 : نم ًلباقت لكاشت ℝ₊^∗,×

وحن 𝐺,∗

.

قلاطنلإا ةعومجمل ةٌربجلا ةٌنبلا ىلع ظفاحٌ ًلباقتلا لكاشتلا نأ ملعن لوصولا ةعومجم ىلإ اهلوحٌُ و .

ًلباقت لكاشت ىلع رفوتن امدنع هنأ ًنعٌ

𝑓 ةعومجم نم 𝐸,∗

وحن 𝐹,⊺

.

ةعومجملل ةٌربجلا ةٌنبلا جتنتسن هنإف ,⊺

ةٌربجلا ةٌنبلا نم اقلاطنا

ةعومجملل 𝐸,∗

قٌبطتلا قٌرط نع 𝑓

.

ريكذت : نكتل 𝐸,∗,⊺

و ةقلح 𝑒 نوناقلل دٌاحملا رصنعلا وه

∗ 𝐸 ًف . نذإ

: 𝐴³= 𝒪

انٌدل و : 𝐴³= 𝐴 × 𝐴²= 𝒪

عم : 𝐴²= 0 0 3

0 0 0 0 0 0

≠ 𝒪

ًنعٌ

𝐴 + 𝐼 × 𝐴²− 𝐴 + 𝐼 = 𝐴²− 𝐴 + 𝐼 × 𝐴 + 𝐼 = 𝐼 :

انٌدل و 𝐴 + 𝐼 = 0 3 2 :

0 0 1 0 0 0

+ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

= 1 3 2 0 1 1 0 0 1

انٌدل لاؤسلا اذه ًف 𝑓

ًلٌ امب فرعم ًلباقت لكاشت :

𝑓 ∶ ℝ₊^∗,× ⟼ 𝐺,∗

ةلداعملا نذإ

وه و ادٌحو لاح لبقت 𝑦 − 2

1 − 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑦

نأ نٌبن نأ ًفكٌ هنأ ًنعٌ

:

∀ 𝑦 𝜖 1,2 ; 𝑦 − 2 1 − 𝑦> 0

ًنعٌ

:

∀ 𝑦 𝜖 1,2 ; 𝑦 − 2 1 − 𝑦> 0

نذإ : ∀𝑦𝜖𝐺 , ∃! 𝑥 =𝑦 − 2

1 − 𝑦 𝜖 ℝ₊^∗ ∶ 𝑓 𝑥 = 𝑦

ةعومجملل ةٌربجلا ةٌنبلا جتنتسن نذإ

ةٌربجلا ةٌنبلا نم اقلاطنا

ℝ₊^∗,× ـل قٌبطتلا قٌرط نع

𝑓 . 𝐺,∗

نأ امب و ℝ₊^∗,×

ًقٌقحلا ددعلا وه دٌاحملا اهرصنع ةٌلدابت ةرمز 1

نإف 𝐺,∗

ًقٌقحلا ددعلا وه دٌاحملا اهرصنع كلذك ةٌلدابت ةرمز 𝑓 1

ددعلا يأ

3

. 2

نأ نم ققحتت نأ ًفكٌ كلذ نم دكأتلل و :

∀𝑥𝜖𝐺 ; 𝑥 ∗3 2=3

2∗ 𝑥 = 𝑥

ارصنع نأب لوقن 𝑥

𝐸 نم ةٌلاتلا طورشلا تققحت اذإ رفصلل مساق :

𝑥 ≠ 𝑒 ∃ 𝑦 𝜖 𝐸 ∖ 𝑒 ; 𝑥 ⊺ 𝑦 = 𝑦 ⊺ 𝑥 = 𝑒

ةٌدحاولا ةقلحلا ربتعن

اهرفص ًتلا 𝒪 = 0 0 0

0 0 0 0 0 0

اهتدحو و 𝐼 = 1 0 0

0 1 0 0 0 1 .

( ℝ , +,×) M3

نأ ةٌادبلا ًف ظحلان 𝐴 ≠ 𝒪

نأ جتنتسن نذإ

ًه و ةفوفصم دجوت و فلاخت 2

𝒪

ققحت و 𝐴 × 𝐴² = 𝐴²× 𝐴 = 𝒪

𝐴 ≠ 𝒪

𝐴²− 𝐴 + 𝐼 × 𝐴 + 𝐼 = 𝐴³+ 𝐴²− 𝐴²− 𝐴 + 𝐴 + 𝐼

= 𝐴³+ 𝐼 = 𝒪 + 𝐼 = 𝐼

نأ ملعن و

اهتدحو ةٌلدابت ةقلح 𝐼

نذإ

× ًف ًلدابت

. ( ℝ , +,×) M3

ℝ M3

ًلاتلاب و 𝐴 + 𝐼

ًف بلقلل ةلباق ةفوفصم

ةفوفصملا وه اهبولقم و 𝐴²− 𝐴 + 𝐼

. ( ℝ , +,×) M3

دٌحو رٌبعتلا نإف ًلاتلاب و

. 𝑦 − 2

1 − 𝑦

نأ امب و 𝐴 𝐼 و نم ناتفوفصم

ةفوفصملا نإف 𝐴²− 𝐴 + 𝐼

نم رصنع ℝ M3

ℝ M3

انٌدل 𝐴³= 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 :

= 0 3 2 0 0 1 0 0 0

× 0 3 2 0 0 1 0 0 0

× 0 3 2 0 0 1 0 0 0

= 0 0 3 0 0 0 0 0 0

× 0 3 2 0 0 1 0 0 0

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0

= 𝒪

ةفوفصملا انٌدل 𝒪 = 0 0 0

0 0 0 0 0 0 ِـل دٌاحملا رصنعلا ًه

+ ℝ ًف M3

رٌكذتلا بسح نذإ :

ةفوفصملا 𝐴

ةقلحلا ًف رفصلل مساق ( ℝ , +,×) M3

ةصلاخ :

ةفوفصملا بولقم 1 3 2

0 1 1 0 0 1 ةفوفصملا ًه

1 −3 1

0 1 −1

0 0 1

.

كلذك انٌدل و :

𝐴²− 𝐴 + 𝐼 = 0 0 3 0 0 0 0 0 0

− 0 3 2 0 0 1 0 0 0

+ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

= 0 −3 1

0 0 −1

0 0 0

+ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

= 1 −3 1

0 1 −1

0 0 1

ناك اذإ

∗ ًف ًعٌمجت وأ ًلدابت 𝐸

نإف

⊺ ًف ًعٌمجت وأ ًلدابت 𝐹

.

ناك اذإ 𝑒 نوناقلل دٌاحملا رصنعلا وه

∗ 𝐸 ًف نإف 𝑓 𝑒 رصنعلا وه

نوناقلل دٌاحملا

⊺ 𝐹 ًف .

ناك اذإ 𝑥′

لثامم وه 𝑥

نوناقلل ةبسنلاب

∗ 𝐸 ًف نإف 𝑓(𝑥^′) لثامم وه

𝑓(𝑥) نوناقلل ةبسنلاب

⊺ 𝐹 ًف

مث نم و :

2 I ب 1 II

ب

II أ 1

𝐹,⊺

𝐴²

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

http:/www.professeurbadr.blogspot.com( )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟐 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

نوكٌ ًكل 𝐸, +,∙

ًقٌقح ًهجتم ءاضف

ةٌلاتلا طورشلا نم ققحتن نأ ًفكٌ

:

∙ و ًقٌقح ددع ًف ةفوفصم برض وه .

نكتل 𝑀 𝑎, 𝑏 و

𝑀 𝑐, 𝑑 نم ناتفوفصم

𝐸 .

نٌتجٌتنلا نم 1

2 و نأ جتنتسن 𝐸, +,∙ :

ًقٌقح ًهجتم ءاضف

ةرسلأا ربتعن 𝐼, 𝐴

.

ةرسلأا نأ حضاولا نم 𝐼, 𝐴

ًهجتملا ءاضفلل ةدلوم 𝐸, +,∙

.

نلأ :

∀ 𝑀 𝑎, 𝑏 𝜖 𝐸 ; 𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑎𝐼 + 𝑏𝐴 نم ةفوفصم لك نأ ًنعٌ

𝐸 نٌتفوفصملل ةٌطخ ةفٌلأت لكش ىلع بتكت 𝐼

𝐴 و

ةرسلأا نأ نلآا نٌبنل. 𝐼, 𝐴

ةرح .

نٌتفوفصملل ةمدعنم ةٌطخ ةفٌلأت نم قلطنن كلذ لجأ نم 𝐼

𝐴 و .

ةرسلأا نذإ , 𝐴

ةرح .

نأ امب و 𝐼, 𝐴 ًهجتملا ءاضفلل ةدلوم و ةرح ةرسأ 𝐸

اذهل ساسأ اهنإف

ًقٌقحلا ًهجتملا ءاضفلا يـــناثلا نيرمتلا

يوتحٌ قودنص نم تارك عبرأ للاحإب و عباتتلاب اٌئاوشع بحسن امدنع 7 ىلع لمتحت ةٌئاوشعلا ةبرجتلا هذه نإف تارك 7⁴

ةنكمم ةجٌتن .

ًنعٌ

: 𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω = 7⁴= 2401

ثٌحب : Ω ةٌئاوشعلا ةبرجتلا هذه تاٌناكمإ نوك وه .

𝑋 ءادوسلا تاركلا ددعب ةٌلمع لك طبرٌ يذلا ًئاوشعلا رٌغتملا وه

قودنصلا نم ةبوحسملا .

ًئاوشعلا رٌغتملا اهذخأٌ نأ نكمٌ ًتلا مٌقلا نذإ 𝑋

0 ًه 1 وأ 2 وأ 3 وأ 4 وأ . ًنعٌ

: 𝑋 Ω = 0,1,2,3,4

ةمٌق لك لامتحا نذإ بسحنل 𝑘

ًئاوشعلا رٌغتملا مٌق نم 𝑋

.

بسحنل : 𝒑 𝑿 = 𝟎

ثدحلا 𝑋 = 0 دجوت و ءارمح اهلك تارك عبرأ ىلع لوصحلا وه

3⁴

عبرلأا تاركلا بحسل ةٌناكما .

بسحنل 𝒑 𝑿 = 𝟏 :

ثدحلا 𝑋 = 1 تارك ثلاث و ةدحاو ءادوس ةرك ىلع لوصحلا وه

ءارمح . انٌدل كلذ لجأ نم و :

4¹ ءادوسلا ةركلا بحسل ةٌناكمإ

𝐶₄¹ ءادوسلا ةركلا ةبحاص ةبحسلا راٌتخلا ةٌناكمإ

3³ ءارمح تارك ثلاث بحسل ةٌناكمإ

بسحنل 𝒑 𝑿 = 𝟐 :

ثدحلا 𝑋 = 2 نٌوادوس نٌترك و نٌوارمح نٌترك ىلع لوصحلا وه

.

انٌدل كلذ لجأ نم و :

4² نٌوادوسلا نٌتركلا بحسل ةٌناكمإ .

𝐶₄² نٌوادوسلا نٌتركلا ناكم راٌتخلا ةٌناكمإ .

3² نٌوارمحلا نٌتركلا بحسل ةٌناكمإ .

+ و ًف تافوفصملا عمج وه ℝ

M3

نأ نٌبن ةٌادبلا ًف 𝐸, +

ةرمزلا نم ةٌئزج ةرمز ( ℝ , +) M3

انٌدل 𝐸 نم غراف رٌغ ءزج ℝ

M3

𝐸, + نذإ ةرمزلا نم ةٌئزج ةرمز ( ℝ , +) M3

نأ امب و + ًف ًلدابت

نإف 𝐸, +

ةٌلدابت ةرمز M ℝ 3

نوك للاخ نم ةٌقبتملا تاٌصاخلا جتنتسن 𝐸

ًهجتملا ءاضفلا نم ءزج

ًقٌقحلا نوك و

𝐸 نوناقلل ةبسنلاب رقتسم ءزج ∙

نلأ كلذ و

∀ 𝑀 𝑎, 𝑏 𝜖 𝐸 , ∀𝛼𝜖ℝ ; 𝛼 ∙ 𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑀 𝛼𝑎, 𝛼𝑏 𝜖 𝐸 : ( ℝ , +,∙) M3

𝑎 ∙ 𝐼 + 𝑏 ∙ 𝐴 = 𝒪

⟹ 𝑎 0 0 0 𝑎 0 0 0 𝑎

+ 0 3𝑏 2𝑏

0 0 𝑏

0 0 0

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0

⟹ 𝑎 3𝑏 2𝑏

0 𝑎 𝑏

0 0 𝑎

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0

⟹ 𝑎 = 0 𝑏 = 0

R N

N N

N

R R

𝑃_𝑋 ∶ 0,1,2,3,4 ⟼ 0,1 𝑘 ⟼ 𝑃_𝑋 𝑘 = 𝑝 𝑋 = 𝑘

ًئاوشعلا رٌغتملا لامتحا نوناق 𝑋

قٌبطتلا نذإ نوكٌس

ىلع فرعملا

ةعومجملا 0,1,2,3,4

لاجملا وحن 0,1

ًلٌ امب : 𝑃_𝑋

انٌدل : 𝑀 𝑎, 𝑏 − 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝐼 + 𝑏𝐴 − 𝑐𝐼 − 𝑑𝐴

= 𝑎 − 𝑐 𝐼 + 𝑏 − 𝑑 𝐴

= 𝑀 𝑎 − 𝑐 ; 𝑏 − 𝑑 𝜖 𝐸

∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐸

∀ 𝛼, 𝛽 𝜖 ℝ ;

ةٌلدابت ةرمز 𝐸, + 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝑦 = 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛼 ∙ 𝑦 𝛼 + 𝛽 ∙ 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛽 ∙ 𝑥

𝛼 × 𝛽 ∙ 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑥 1 ∙ 𝑥 = 𝑥

ثٌحب

× ًف برضلا وه ℝ

نذإ 𝑝 𝑋 = 0 =3⁴ :

7⁴= 81 2401

نذإ :

∀ 𝐴, 𝐵 𝜖 𝐸

∀ 𝛼, 𝛽 𝜖 ℝ ;

ةٌلدابت ةرمز 𝐸, + 𝛼 ∙ 𝐴 + 𝐵 = 𝛼 ∙ 𝐴 + 𝛼 ∙ 𝐵 𝛼 + 𝛽 ∙ 𝐴 = 𝛼 ∙ 𝐴 + 𝛽 ∙ 𝐴

𝛼 × 𝛽 ∙ 𝐴 = 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐴 1 ∙ 𝐴 = 𝐴

نذإ 𝑝 𝑋 = 1 =4¹× 𝐶₄¹× 3³ :

7⁴ = 432

2401

نذإ 𝑝 𝑋 = 2 =4²× 𝐶₄²× 3² :

7⁴ = 864

2401

I

2 II 1

𝐼, 𝐴 𝟏

𝟐

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

http:/www.professeurbadr.blogspot.com( )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟑 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

بسحنل 𝒑 𝑿 = 𝟑 :

ثدحلا 𝑋 = 3 ءارمح ةرك و ءادوس تارك ثلاث ىلع لوصحلا وه

ةدحاو . انٌدل كلذ لجأ نم و :

3¹ ءارمحلا ةركلا بحسل ةٌناكمإ .

𝐶₄¹ ءارمحلا ةركلا ةبحاص ةبحسلا راٌتخلا ةٌناكمإ .

4³ ثلاثلا ءادوسلا تاركلا بحسل ةٌناكمإ .

بسحنل 𝒑 𝑿 = 𝟒 :

ثدحلا 𝑋 = 4 ءادوس اهلك تارك عبرأ ىلع لوصحلا وه

.

ًئاوشعلا رٌغتملا لامتحا نوناق ًلاتلاب و 𝑋

قٌبطتلا وه 𝑃_𝑋

ًلٌ امب فرعملا

:

ىلع لصحن نأ بجٌ باوجلا ةحص نم دكأتلل و :

81

2401+ 432

2401+ 864

2401+ 768

2401+ 256 2401= 1

انٌدل : 𝑝 𝐸 ∩ 𝑁 = 𝑝_𝑁 𝐸 × 𝑝 𝑁

ثدحلا كلذك انٌدل و 𝐸

للاخ نم ءادوس تارك ثلاث ىلع لوصحلا وه

للاحإ نودب ةعباتتم تابحس ثلاث .

ثدحلا ءيزجت عٌطتسن نذإ 𝐸

ةٌئزج ثادحأ ثلاث ىلإ ةثلاثلا ةلحرملا ًف

ًه و اهنٌب امٌف ةلقتسم و :

𝐸₁ : ىلولأا ةبحسلا ًف ءادوس ةرك ىلع لوصحلا

𝐸₂ : ةٌناثلا ةبحسلا ًف ءادوس ةرك ىلع لوصحلا

𝐸₃ : ةثلاثلا ةبحسلا ًف ءادوس ةرك ىلع لوصحلا

بتكن نذإ :

𝐸 = 𝐸₁∩ 𝐸₂∩ 𝐸₃

هنم و 𝑝_𝑁 𝐸 = 𝑝_𝑁 𝐸₁ × 𝑝_𝑁 𝐸₂ × 𝑝_𝑁 𝐸₃ :

ثــــلاثلا نيرمتلا

ةلداعملا نذإ 𝐸

نٌٌدقع نٌلح لبقت 𝑧₁

𝑧₂ و .

نع ثحبلا وه انفده 𝑟

𝜑 و ثٌحب 𝑎 − 1 = 𝑟 𝑒^𝑖𝜑 :

.

ًنعٌ

: cos 𝜃 − 1 + 𝑖 sin 𝜃 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖 𝑟 sin 𝜑

يأ : cos 𝜃 − 1 = 𝑟 cos 𝜑

sin 𝜃 = 𝑟 sin 𝜑

نٌتٌواستملا نٌتاه ًعبرم جمد للاخ نم :

دجن : cos 𝜃 − 1 ²+ 𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 𝑟² 𝑐𝑜𝑠²𝜃 + 𝑠𝑖𝑛²𝜃

𝐸 𝑋 = 𝑘 ∙ 𝑝 𝑋 = 𝑘

4

0

= 0 81

2401 + 1 432

2401 + 2 864

2401 + 3 768

2401 + 4 256 2401

=5488 2401=16

7 𝑝 𝐸 = 𝑝 𝐸 ∩ 𝑁 + 𝑝 𝐸 ∩ 𝑅

=12

55+ 𝑝_𝑅 𝐸₁ × 𝑝_𝑅 𝐸₂ × 𝑝_𝑅 𝐸₃ × 𝑝 𝑅

=12 55+ 4

12× 3 11× 2

10×3 7

=12 55+ 72

9240= 87 385

بسحنل 𝒑_𝑬 𝑹

𝑝_𝐸 𝑅 =𝑝 𝑅 ∩ 𝐸

𝑝 𝐸 =𝑝_𝑅 𝐸 × 𝑝 𝑅 𝑝 𝐸

=𝑝_𝑅 𝐸₁ × 𝑝_𝑅 𝐸₂ × 𝑝_𝑅 𝐸₃ × 𝑝 𝑅 𝑝 𝐸

=

12 ×4 3 11 × 2

10 ×3 87 7

385

= 1 29

ةٌدقعلا دادعلأا ةعومجم ًف لحنل ℂ

ةٌلاتلا ةلداعملا :

𝐸 ∶ 2 𝑧²− 2 𝑎 − 1 𝑧 + 𝑎 − 1 ²= 0

انٌدل 𝑎 = 𝑒^𝑖𝜃 عم

0 < 𝜃 < 𝜋 نذإ

𝑎 − 1 = 𝑒^𝑖𝜃 − 1 :

𝑎 − 1 = 𝑒^𝑖𝜃 − 1 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 − 1

= cos 𝜃 − 1 + 𝑖 sin 𝜃

ًنعٌ

: 𝑝 𝐸 ∩ 𝑁 = 𝑝_𝑁 𝐸 × 𝑝 𝑁

= 𝑝_𝑁 𝐸₁ × 𝑝_𝑁 𝐸₂ × 𝑝_𝑁 𝐸₃ × 𝑝 𝑁

= 9 12× 8

11× 7 10×4

7=2016 9240=12

55

𝑃_𝑋 ∶ 0,1,2,3,4 ⟼ 0,1 0 ⟼ 𝑃_𝑋 0 = 81

2401 1 ⟼ 𝑃_𝑋 1 = 432

2401 2 ⟼ 𝑃_𝑋 2 = 864

2401 3 ⟼ 𝑃_𝑋 3 = 768

2401 4 ⟼ 𝑃_𝑋 4 = 256

2401

انٌدل :

∆= 4 𝑎 − 1 ²− 8 𝑎 − 1 ²

= −4 𝑎 − 1 ²

= 2𝑖 𝑎 − 1 ²

𝑧₁=2 𝑎 − 1 + 2𝑖 𝑎 − 1

4 = 𝑎 − 1 1 + 𝑖 2 𝑧₂=2 𝑎 − 1 − 2𝑖 𝑎 − 1

4 = 𝑎 − 1 1 − 𝑖 2

نذإ 𝑝 𝑋 = 3 =3¹× 𝐶₄¹× 4³ :

7⁴ = 768

2401

نذإ : 𝑝 𝑋 = 4 =4⁴

7⁴= 256 2401

II 2

3 II

I 1

I 2

II I 1

أ 2

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

http:/www.professeurbadr.blogspot.com( )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟒 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

ًنعٌ

𝑐𝑜𝑠²𝜃 − 2 cos 𝜃 + 1 + 𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 𝑟² : ًنعٌ

2 1 − cos 𝜃 = 𝑟² : ًنعٌ

2 1 − 2 𝑐𝑜𝑠^{2 𝜃} :

2 − 1 = 𝑟² ًنعٌ

: 2 2 − 2 𝑐𝑜𝑠^{2 𝜃}₂ = 𝑟²

ًنعٌ

: 4 1 − 𝑐𝑜𝑠^{2 𝜃}

2 = 𝑟²

ًنعٌ

: 4 𝑠𝑖𝑛^{2 𝜃}

2 = 𝑟²

ًنعٌ

𝑟 = 2 𝑠𝑖𝑛 ^𝜃₂ : و

𝑟 > 0

ةمٌق دٌدحت نلآا ًفكٌ

𝜑 . ةباتكلا نم قلطنن و sin 𝜃 = 𝑟 sin 𝜑

ًنعٌ

: sin 2 ∙^𝜃₂ = 2 sin ^𝜃₂ sin 𝜑

ًنعٌ

: 2 sin ^𝜃

2 cos ^𝜃

2 = 2 sin ^𝜃

2 sin 𝜑

ًنعٌ

cos ^𝜃₂ = sin 𝜑 : ًنعٌ

cos ^𝜃 :

2 = cos ^𝜋

2− 𝜑 ًنعٌ

: cos ^𝜃

2 = cos 𝜑 −^𝜋

2

ًنعٌ

:

𝜃

2≡ 𝜑 −^𝜋

2 2𝜋 و

𝑐^′ = 𝑧₂ 𝑎^′ = 𝑧₁ : نذإ

مٌقتسملا نأ ًنعٌ اذه و 𝐴𝐵′

مٌقتسملا ىلع يدومع 𝐴′𝐶′

.

مٌقتسملا نأ يأ 𝐴𝐵′

ثلثملا ًف عافترا 𝐴′𝐵′𝐶′

نلأ 𝐵^′𝜖 𝐴𝐵′

و 𝐴′𝐶′ ⊥ 𝐴𝐵′

.

عـــبارلا نيرمتلا

ةلادلا نأ ًنعٌ اذه و 𝑓

رفصلا نٌمٌ ىلع ةلصتم .

انٌدل ةٌادبلا ًف :

1 + 𝑖 = 2 2

2 + i 2

2 = 2 cosπ

4+ i sinπ

4 = 2e^iπ4 كلذك انٌدل و :

1 − 𝑖 = 2 cos −π

4 + i sin −π

4 = 2e^−iπ4 نذإ : 𝑧₁= 𝑎 − 1 1 + 𝑖

2 =1

2∙ 2 sin 𝜃

2 ∙ 2 𝑒^𝑖𝜋4

= 2 sin 𝜃 2 𝑒^𝑖𝜋4 𝑧₂= 𝑎 − 1 1 − 𝑖

2 =1

2∙ 2 sin 𝜃

2 ∙ 2 𝑒^−𝑖𝜋4

= 2 sin 𝜃 2 𝑒^−𝑖𝜋4

انٌدل 𝐽 ةعطقلا فصتنم ًه 𝐴𝐶

.

انٌدل و 𝐾 ةعطقلا فصتنم ًه 𝐴𝐵

.

نذإ 𝑎𝑓𝑓 𝐽 =𝑎𝑓𝑓 𝐴 + 𝑎𝑓𝑓 𝐶 :

2 =𝑎 + 𝑖

2

نذإ : 𝑎𝑓𝑓 𝐾 =𝑎𝑓𝑓 𝐴 + 𝑎𝑓𝑓 𝐵

2 =𝑎 − 𝑖

2 انٌدل ةقٌرطلا سفنب و

هزكرم نارود 𝐾

هتٌواز و

2 𝑟₂

انٌدل و بتكن نارودلل يدقعلا فٌرعتلا بسح نذإ

: 𝑟₁ 𝐶 = 𝐶′

انٌدل هزكرم نارود 𝐽

هتٌواز و

. 2 𝑟₁

نذإ 𝑎^′− 𝑐′ :

𝑎 − 1 = 𝑖 هنم و

arg 𝑎^′− 𝑐′ : 𝑎 − 1 ≡𝜋

2 𝜋

ًنعٌ

: 𝐵′𝐴 , 𝐶′𝐴′ ≡𝜋

2 𝜋

انٌدل lim :

𝑥→0⁺𝑓(𝑥) = lim

𝑥→0⁺

1

1 + 𝑥 ln 𝑥 ² = 1 1 + 0^{+ 2}

= 1

1 + 0= 1 = 𝑓(0)

ةٌاهن نلآا بسحنل 𝑓

راوجب +∞

.

𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→+∞

1

1 + 𝑥 ln 𝑥 ²= 1 1 + +∞ ²

= 1

1 + ∞= 1 +∞= 0

ًنعٌ

𝜑 ≡^𝜃−𝜋₂ 2𝜋

نذإ : 𝑎 − 1 = 2 sin ^𝜃₂ 𝑒^{𝑖 𝜃 −𝜋2} 𝑎𝑓𝑓 𝐶′ − 𝑎𝑓𝑓 𝐽 = 𝑒^𝑖𝜋2 𝑎𝑓𝑓 𝐶 − 𝑎𝑓𝑓 𝐽

⟺ 𝑐′ −𝑎 + 𝑖

2 = 𝑖 𝑖 −𝑎 + 𝑖 2

⟺ 𝑐^′ =−1 − 𝑖𝑎 + 𝑎 + 𝑖

2 = 𝑎 − 1 1 − 𝑖

2 = 𝑧₂

انٌدل و بتكن نارودلل يدقعلا فٌرعتلا بسح نذإ

: 𝑟₂ 𝐴 = 𝐴′

𝑎𝑓𝑓 𝐴′ − 𝑎𝑓𝑓 𝐾 = 𝑒^𝑖𝜋2 𝑎𝑓𝑓 𝐴 − 𝑎𝑓𝑓 𝐾

⟺ 𝑎′ −𝑎 − 𝑖

2 = 𝑖 𝑎 −𝑎 − 𝑖 2

= 𝑎 − 1 1 + 𝑖

2 = 𝑧₁

⟺ 𝑎^′ =𝑖𝑎 − 1 + 𝑎 − 𝑖 2

انٌدل 𝑎^′ − 𝑐′ :

𝑎 − 1 =

𝑎 − 1 𝑖 + 1

2 − 𝑎 − 1 1 − 𝑖 𝑎 − 1 2

1

= 𝑎 − 1 𝑖 + 1 − 1 + 𝑖

2 × 1

𝑎 − 1

=𝑖 𝑎 − 1 𝑎 − 1 = 𝑖

نذإ lim :

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 0 نذإ lim :

𝑥→0⁺𝑓(𝑥) = 𝑓(0)

II 2

3 II

I ب 2

أ 1

II 1

𝜋 2

𝜋 2

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

( http:/www.professeurbadr.blogspot.com )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟓 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

قفارملا ًف ماقملا و طسبلا برضن 1 + 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

دجن :

ةلادلا نأ ًنعٌ اذه و 𝑓

و رفصلا نٌمٌ ىلع قاقتشلإل ةلباق 𝑓_𝑑^′ 0 = 0

.

ريكذت : تناك اذإ 𝑔 لاجم ىلع قاقتشلإل ةلباق و ةفرعم ةلاد 𝐼

.

تناك و 𝑓 لاجم ىلع قاقتشلإل ةلباق و ةفرعم ةلاد 𝐽

.

ةلادلا نوكت نذإ 𝑓 ∘ 𝑔

لاجملا ىلع قاقتشلإل ةلباق 𝐼

ناك اذإ 𝑔 𝐼 ⊆ 𝐽 :

عضن و

∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝜓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 :

نذإ :

∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓 𝑥 = 𝜑 ∘ 𝜓 𝑥 انٌدل 𝜓 لاجملا ىلع قاقتشلال ةلباق و ةفرعم ةلاد 0, +∞

𝜑 و ىلع قاقتشلال ةلباق و ةفرعم ةلاد ℝ

.

ةلادلا نوكت نذإ 𝜑 ∘ 𝜓

ىلع قاقتشلال ةلباق 0; +∞

ناك اذإ : 𝜓 0, +∞ ⊆ ℝ

نكٌل 𝑥 لاجملا نم ارصنع 0, +∞

. انٌدل

: 𝜓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝜖 ¹_𝑒, +∞ ⊂ ℝ

نذإ : 𝜓 0, +∞ ⊆ ℝ

ةلادلا نذإ 𝑓 = 𝜑 ∘ 𝜓

لاجملا ىلع قاقتشلال ةلباق 0; +∞

.

ةراشإ نذإ 𝑓^′(𝑥)

نٌتٌمكلا ًتراشإب قلعتت ln 𝑥

و 1 + ln 𝑥 .

ةٌمكلا ln 𝑥 ًف مدعنت ةٌمكلا و 1

1 + ln 𝑥 ًف مدعنت

1

. 𝑒

ةلادلا تارٌغت لودج نذإ جتنتسن 𝑓

ًلٌ امك :

ةلادلا قاقتشا ةساردل 𝑓

ًف نٌمٌلا ىلع ةٌلاتلا ةٌاهنلا بسحن 0

:

𝑥→0lim⁺

𝑓 𝑥 − 𝑓(0) 𝑥 − 0

نٌتٌلاتلا نٌتٌاهنلاب نٌعتسن كلذ لجأ نم و :

𝑥→0lim⁺𝑥 ln 𝑥 ²= 0 و lim

𝑥→0⁺ 𝑥 ln 𝑥 = 0

انٌدل lim :

𝑥→0⁺

𝑓 𝑥 − 𝑓(0)

𝑥 − 0 = lim

𝑥→0⁺

1 𝑥

1

1 + 𝑥 ln 𝑥 ²− 1

= lim

𝑥→0⁺

1 𝑥

1 − 1 + 𝑥 ln 𝑥 ² 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

انٌدل :

𝑓 𝑥 = 1

1 + 𝑥 ln 𝑥 ² عضن ∀𝑥𝜖ℝ ; 𝜑 𝑥 = 1 :

1 + 𝑥² نأ ةٌادبلا ًف ظحلان

∀𝑥 > 0 ; 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 32}> 0 :

نذإ 𝑓^′ 𝑥 =−1 :

2 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 −12 −1} 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 ′}

=−1

2 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 −32} 2𝑥 ln 𝑥 𝑥 ln 𝑥 ^′

=−1

2 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 −32} 2𝑥 ln 𝑥 1 + ln 𝑥

=−𝑥 ln 𝑥 1 + ln 𝑥 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 32}

نكٌل 𝑥 لاجملا نم ارصنع 0, +∞

. انٌدل :

𝑓 𝑥 = 1

1 + 𝑥 ln 𝑥 ²= 1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 −12}

نذإ ∀𝑥 > 0 ; 𝑓^′(𝑥) =−𝑥 ln 𝑥 1 + ln 𝑥 :

1 + 𝑥 ln 𝑥 ^{2 32}

1

0 𝑒 1 +∞

𝒙

1 + ln 𝑥 ln 𝑥 𝑓^′(𝑥)

𝑓

−

−

−

− + +

+ +

−

1 1

𝑓 ¹_𝑒 0

0 0

0 0

نأ امب 𝑥 𝜖 𝑒; +∞ : نإف

ln 𝑥 ≥ 1 :

ةتباثلا ذخأن 𝑐

يواست 0 ةلادلا نأ دجن 𝑥 → ln ln 𝑥

ةٌلصأ ةلاد

ةلادلل 𝑥 →_{𝑥 ln 𝑥}¹ لاجملا ىلع

𝑒; +∞

.

نأ ىلإ رٌشأ و 𝑥 → ln ln 𝑥

ىلع ةلصتم و ةفرعم ةلاد 1; +∞

ىلع ةلصتم ًهف نذإ 𝑒, +∞

نلأ 𝑒, +∞ ⊂ 1, +∞ : .

انٌدل 1 :

𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 = 1𝑥

ln 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥 ^′ ln 𝑥 𝑑𝑥

= ln ln 𝑥 + 𝑐 ; 𝑐𝜖ℝ

نذإ lim :

𝑥→0⁺

𝑓 𝑥 − 𝑓(0) 𝑥 − 0 = 0

= lim

𝑥→0⁺

1 𝑥

1 − 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

1 + 𝑥 ln 𝑥 ² 1 + 1 + 𝑥 ln 𝑥 ² 1 + 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

= lim

𝑥→0⁺

1 𝑥

1 − 1 − 𝑥 ln 𝑥 ²

1 + 𝑥 ln 𝑥 ² 1 + 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

= lim

𝑥→0⁺

1 𝑥

− 𝑥 ln 𝑥 ²

1 + 𝑥 ln 𝑥 ² 1 + 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

= lim

𝑥→0⁺ −𝑥 ln 𝑥 ² 1

1 + 𝑥 ln 𝑥 ² 1 + 1 + 𝑥 ln 𝑥 ²

= −0 1

1 + 0 ² 1 + 1 + 0 ² = 0 1 2 = 0

ب 1

د 1

أ 2 ج ¹

يحتافلا نيدلا ردب ذاتسلأا دادعإ نم :

http:/www.professeurbadr.blogspot.com( )

ربوتكأ ةحفصلا 2013

𝟐𝟓𝟔 : 2013 ةيكاردتسلإا ةرودلا ناحتما ةبوجأ

نكٌل 𝑡 لاجملا نم ارصنع 𝑒, +∞

.

ةتوافتملا نم قلطنن 0 < 1

ةٌمكلا اهٌفرط ىلإ فٌضن و 𝑡 ln 𝑡 ²

دجن 𝑡 ln 𝑡 ²< 1 + 𝑡 ln 𝑡 ² :

هنم و : 𝑡 ln 𝑡 ²< 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

ًنعٌ

∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 𝑡 ln 𝑡 < 1 + 𝑡 ln 𝑡 ² : كلذك انٌدل و 𝑡 ≥ 𝑒

نذإ ln 𝑡 ≥ 1 .

دجن فرطب افرط نٌتتوافتملا نٌتاه برضن :

𝑡 ln 𝑡 ≥ 𝑒 > 1

ةتوافتملاب ظفتحن :

∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 𝑡 ln 𝑡 > 1

حبصت ًتلا :

∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 𝑡 ln 𝑡 ² > 1

ةٌمكلا ةتوافتملا هذه ًفرط ىلإ فٌضن 𝑡 ln 𝑡 ²

دجن : ∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 2 𝑡 ln 𝑡 ²> 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

ًنعٌ

: ∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 2 𝑡 ln 𝑡 > 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

نكٌل 𝑥 ثٌحب اٌقٌقح اددع 𝑥 ≥ 𝑒

.

ةٌلاتلا ةٌعضولا ىلع كلذب لصحن و :

نٌتجٌتنلا نم 1

2 و نأ جتنتسن :

∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 𝑡 ln 𝑡 < 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²< 2 𝑡 ln 𝑡

نأ جتنتسن هٌلع انلصح رٌطأت رخآ للاخ نم :

∀𝑡 ≥ 𝑒 ; 1 2

1

𝑡 ln 𝑡 < 1

1 + 𝑡 ln 𝑡 ²< 1 𝑡 ln 𝑡 لماكتلا لخدُن 𝑑𝑡_𝑒^𝑥

دجن رٌطأتلا اذه ىلع :

1

2 1 𝑡 ln 𝑡

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < 1 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < 1 𝑡 ln 𝑡

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 ًنعٌ

1 :

2 ln ln 𝑡 _𝑒^𝑥 < 1 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑡 _𝑒^𝑥

ًنعٌ

1 :

2ln ln 𝑥 < 1 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑥

رٌطأت رخآ بسح انٌدل :

1

2ln ln 𝑥 < 1 1 + 𝑡 ln 𝑡 ²

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑥

نذإ : 1

2ln ln 𝑥 < 𝑓(𝑡)

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑥 انٌدل :

𝑥→+∞lim ln ln 𝑥 = ln ln +∞ = ln +∞ = +∞

نأ تاٌاهنلا و رٌطأتلا ةٌصاخ بسح ًنعٌ اذه و :

𝑥→+∞lim 𝑓(𝑡)^𝑥

𝑒

𝑑𝑡 = +∞

نذإ lim :

𝑥→+∞𝐹(𝑥) = +∞

انٌدل ، ةٌناث ةهج نم 1 :

2ln ln 𝑥 < 𝑓(𝑡)

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑥

اعطق بجوملا ددعلا ًف رٌطأتلا اذه فارطأ برضن 𝑥

دجن : 1 2

ln ln 𝑥 𝑥 <1

𝑥 𝑓(𝑡)

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 <ln ln 𝑥 𝑥

ةٌاهنلا بسحنل :

𝑥→+∞lim

ln ln 𝑥 𝑥

ةٌلاتلا ةٌعضولا ىلع لصحن نذإ :

1

2ln ln 𝑥

< 𝑓(𝑡)^𝑥

𝑒

𝑑𝑡 < ln ln 𝑥

𝑥 → +∞ 𝑥 → +∞

+∞ +∞

نذإ lim :

𝑥→+∞𝐹(𝑥) = lim

𝑥→+∞ 𝑓(𝑡)

𝑥 0

𝑑𝑡

= lim

𝑥→+∞ 𝑓(𝑡)

𝑒 0

𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)^𝑥

𝑒 𝑑𝑡

= lim

𝑥→+∞ 𝑓(𝑡)

𝑒

0 𝑑𝑡 + lim

𝑥→+∞ 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑒 𝑑𝑡

= lim

𝑥→+∞ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 + lim

𝑥→+∞ 𝑓(𝑡)^𝑥

𝑒 𝑑𝑡

= +∞ + +∞ = +∞

انٌدل :

𝑥→+∞lim

ln ln 𝑥

𝑥 = lim

𝑥→+∞

ln ln 𝑥

𝑥 ×ln 𝑥 ln 𝑥

= lim

𝑥→+∞

ln ln 𝑥

ln 𝑥 ×ln 𝑥 𝑥

= lim

𝑥→+∞

𝑦→+∞

𝑦=ln 𝑥

ln 𝑦 𝑦 ×ln 𝑥

𝑥 = 0 × 0 = 0

نذإ :

𝑥→+∞lim

ln ln 𝑥 𝑥 = 0

1 2

ln ln 𝑥 𝑥 <1

𝑥 𝑓(𝑡)^𝑥

𝑒

𝑑𝑡 <ln ln 𝑥 𝑥

𝟎

𝑥 → +∞ 𝑥 → +∞

𝟎

نأ جتنتسن رٌطأتلا و تاٌاهنلا ةٌصاخ بسح هنم و :

𝑥→+∞lim 1

𝑥 𝑓(𝑡)

𝑥 𝑒

𝑑𝑡 = 0

2 ب

ج 2

د 2

𝟏

𝟐 𝟏