Стабилизация перевернутого маятника с неподвижной опорой (Stabilization of the inverted pendulum with stationary pivot point)

Стабилизация перевернутого маятника с неподвижной опорой

Р.И. Шевченко oma170@hotmail.com

Уральский федеральный университет (Екатеринбург)

Аннотация

В классе импульсных управлений решается задача линейно- квадратичной стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия математического маятника. При этом исходная непре- рывная задача стабилизации сводится к эквивалентной дискретной задаче стабилизации, для решения которой используется дискрет- ное матричное уравнение Риккати. Исследуется сходимость реше- ния дискретной задачи стабилизации к решению непрерывной за- дачи стабилизации при шаге дискретизации задачи, стремящемся к нулю.

Ключевые слова: линейно-квадратичный регулятор, матричное уравнение Риккати, импульсные управления, оптимальная стаби- лизация

1 Постановка задачи

Пустьϕ— угловое отклонение маятника относительно верхнего положения равновесия. Тогда его дви- жение описывается дифференциальным уравнением

ml²ϕ¨=mglsinϕ+M(t), t∈R⁺= (0,+∞), (1) где g — ускорение свободного падения,l — длина невесомого стержня,m — масса груза, аM(t), t∈R⁺,

— управляющий момент. Линеаризуя уравнение (1) относительно положения равновесия ϕ(t)˙ ≡ϕ(t)≡0, получаем уравнение

ml²ϕ¨=mglϕ+M(t), t∈R⁺. (2) Вводя обозначения

k=g

l, u(t) = M(t)

ml² , t∈R⁺, приходим к уравнению

¨

ϕ=kϕ+u(t), t∈R⁺. (3)

Для уравнения (3) ставится задача: найти стабилизирующее управление, минимизирующее функционал качества переходного процесса

J(u) = Z ∞

0

ϕ²(t) +u²(t)

dt. (4)

Copyrightc by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.

In: G.A. Timofeeva, A.V. Martynenko (eds.): Proceedings of 3rd Russian Conference "Mathematical Modeling and Information Technologies" (MMIT 2016), Yekaterinburg, Russia, 16-Nov-2016, published at http://ceur-ws.org

Уравнению (3) можно поставить в соответствие эквивалентную линейную автономную систему дифферен- циальных уравнений

˙

x=Ax+Bu(t), (5)

где

x(t) = ϕ ϕ˙ T

, A=

0 1 k 0

, B=

0 1

.

Заменим исходную задачу оптимальной стабилизации задачей стабилизации системы (5), в которой векторxимеет размерностьn, вектор управленияu— размерностьm, аAиB — произвольные матрицы размерностиn×nиn×mсоответственно. Для системы (5) требуется найти стабилизирующее управление u, минимизирующее функционал качества переходного процесса вида

Je(u) = Z ∞

0

x^T(t)Qx(t) +u^T(t)Ru(t)

dt. (6)

ЗдесьR — симметричная положительно определенная матрица размерностиm×m, иQ— симметричная положительно полуопределенная матрица размерностиn×n.

Стабилизирующие управления выбираются в классе кусочно-постоянных функций

u(t)≡up, t∈[hp,(h+ 1)p), p≥0, (7) гдеh— заданный постоянный шаг дискретизации.

2 Переход к дискретной задаче стабилизации

Вводим функции

xp(ϑ) =x(ph+ϑ), p≥1.

Cистеме (5) поставим в соответствие счетную систему дифференциальных уравнений dxp

dϑ =Axp+Bup−1 (8)

на отрезкеϑ∈[−h,0]с краевыми условиямиxp(−h) =x_p−1(0), p≥1.

Общее решениеp-ой линейной автономной системы (8) определяется формулой xp(ϑ) =e^A(ϑ+h)xp(−h) +

Z ϑ

−h

e^A(ϑ−τ)dτ Bu_p−1, ϑ∈[−h,0], p≥1. (9) Введем обозначенияbxp=xp(0). Полагая в формулах (9)ϑ= 0, получим систему разностных уравнений

bx_p=Abxb_p−1+Bub _p−1, p≥1, (10) для определения неизвестных значенийxbp, p≥1. При этом значениеxb0считаем заданным. В системе (10) матрицыAbиBb определяются формулами

Ab=e^Ah, Bb= Z 0

−h

e^−Aτdτ B. (11)

Описанная процедура позволяет свести задачу интегрирования непрерывной системы (5) к нахождению решения разностной системы (10), что представляется удобным при использовании кусочно-постоянных управлений. Данная процедура позволяет также, используя решение разностной системы (10) и формулы (9), заменить непрерывный критерий качества переходного процесса дискретным вида

Jb(u) =

∞

X

p=0

h

bx^T_pQbbxp+ 2bx^T_pN ub p+u^T_pRub p

i

. (12)

Здесь матрицыQ,ˆ R,ˆ Nˆ, зависящие только отh, равны Qb=R0

−he^AT(ϑ+h)Qe^A(ϑ+h)dϑ, Rb=B^TR0

−h

hRϑ

−he^AT(ϑ−τ)dτ QRϑ

−he^A(ϑ−τ)dτi

dϑB+Rh,

Nb =R0

−h

h

e^AT(ϑ+h)QRϑ

−he^A(ϑ−τ)dτi dϑB.

(13)

Предполагаем, что выполнены достаточные условия существования решения дискретной задачи опти- мальной стабилизации (10), (12) (cм. [2]).

3 Решение дискретной задачи стабилизации

Применяется известная методика решения дискретной задачи оптимальной стабилизации, использую- щая дискретное уравнение Риккати (cм. [2])

X=Ab^TXAb−(Ab^TXBb+N)(b Rb+Bb^TXB)b ⁻¹(Bb^TXAb+Nb^T) +Q.b (14) Оптимальное стабилизирующее управление u⁰_p дискретной задачи (10), (12) определяется формулой (cм.

[2], [4])

u⁰_p=−Kbxbp=−

Bb^TPbBb+Rb−1

Bb^TPbAb+Nb^T

bxp, (15) в которой матрицаPb является положительно определенным решением уравнения (14).

Для нахождения решения нелинейного матричного уравнения (14) используется метод перехода к спек- тральной задаче для симплектической матрицы (cм. [1], [4])

Mc= Ae+FAe^−TQe −FAe^−T

−Ae^−TQe Ae^−T

!

. (16)

Здесь

Ae=Ab−BbRb⁻¹Nb^T, Qe=Qb−NbRb⁻¹Nb^T,

F =BbRb⁻¹Bb^T.

(17)

Предполагаем, что матрицаMcне имеет собственных значений, лежащих на единичной окружности, что соответствует достаточным условиям существования решения дискретной задачи оптимальной стабилиза- ции. Тогда матрицаMcимеет устойчивое инвариантное подпространство, т. е. подпространство, базисные векторы которого соответствуют собственным значениям матрицыMc, по модулю меньшим единицы. Тогда базисная матрица устойчивого инвариантного подпространства допускает представление

V = V₁

V₂

, det(V1)6= 0. (18)

Знание матрицыV позволяет найти требуемое решение дискретного уравнения Риккати

Pb=V2V₁⁻¹ (19)

и, следовательно, оптимальное стабилизирующее управление дискретной задачи.

Для исходной задачи оптимальной стабилизации маятникаn= 2, m= 1. Матрицы QиRравны Q=

1 0 0 0

, R= 1.

Параметры дискретной задачи стабилизации (10), (12) определяются формулами

Ab= ch(√

kh) ^√1

ksh(√

√ kh) k sh(√

kh) ch(√ kh)

! ,

Bb=

1 k

ch(√

kh)−1

√1 ksh(√

kh)

! ,

Qb=





sh(2√ kh) 4√

k +^h₂ ^ch(2

√ kh) 4k −_4k¹

ch(2√ kh)

4k −_4k^{1 sh(2}

√ kh) 4k√

k −_2k^h



,

Rb= _2k³₂ + 1

h+^sh(2

√kh) 4k²√

k −^2sh(

√kh) k²√

k ,

Nb =





1 k

_sh(2^√_kh)

4√

k −^sh(

√kh)

√

k +^h₂

1 k²

_ch(2^√_kh)

4 −ch(√

kh) +³₄



.

(20)

4 Поведение решения дискретной задачи стабилизации маятника при h, стре- мящемся к нулю

При шаге дискретизации задачиh, близком к нулю, возникает особенность, связанная с тем, чтоRb−→0 приh−→0. Для ее устранения применялся аналитический метод степенных рядов поh.

МатрицыA,b B,b Q,b R,b Nb можно представить в виде:

Ab=P∞

i=0Ab_ihⁱ=

1 0 0 1

+

0 1 k 0

h+

_k

2 0 0 ^k₂

h²+

0 ^k₆

k²

6 0

h³+O(h⁴),

Bb=P∞

i=0Bbihⁱ= 0

1

h+ ₁

2

0

h²+ 0

k 6

h³+O(h⁴),

Qb=P∞

i=0Qbihⁱ=

1 0 0 0

h+

0 ¹₂

1 2 0

h²+

_k

3 0 0 ¹₃

h³+O(h⁴),

Rb=P∞

i=0Rb_ihⁱ=h+O(h⁴), Nb =P∞

i=0Nbihⁱ= 1

6

0

h³+O(h⁴).

(21)

Устраняя особенность в формулах (17), получим

Ae=P∞

i=0Aeihⁱ=

1 0 0 1

+

0 1 k 0

h+

k 2 0 0 ^k₂

h²+

0 ^k₆

k²−1

6 0

h³+O(h⁴),

Qe=P∞

i=0Qe_ihⁱ=

1 0 0 0

h+

0 ¹₂

1 2 0

h²+

_k

3 0 0 ¹₃

h³+O(h⁴),

F =P∞

i=0F_ihⁱ=

0 0 0 1

h+

0 ¹₂

1 2 0

h²+

1 4 0 0 ^k₃

h³+O(h⁴).

(22)

При этом матрицаAe^−Tравна

Ae^−T=

∞

X

i=0

Ae^−T_i hⁱ=

1 0 0 1

+

0 −k

−1 0

h+ _k

2 0 0 ^k₂

h²+

0 ^1−k₆²

−^k₆ 0

h³+O(h⁴). (23)

Подставляя (22) и (23) в (16), получим выражение для матрицыMcвида

Mc=P∞

i=0Mcihⁱ=









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







 +









0 1 0 0

k 0 0 −1

−1 0 0 −k 0 0 −1 0







 h+









k

2 0 0 −¹₂ 0 ^k₂ ¹₂ 0 0 −¹₂ ^k₂ 0

1

2 0 0 ^k₂







 h²+

+









0 ^k₆ ¹₄ 0

k²−1

6 0 0 −^k₃

−^k₃ 0 0 ^1−k₆² 0 ¹₆ −^k₆ 0









h³+O(h⁴).

(24)

Решение спектральной задачи(Mc−I4λ)e= 0будем искать в виде:

λ=

∞

X

i=0

λihⁱ, e=

∞

X

i=0

eihⁱ. (25)

В этом случае получим уравнение

+∞

X

j=0

" j

X

i=0

Mcj−i−I4λj−i

ei

#

h^j = 0. (26)

НоMc0=I4 и, следовательно,λ0= 1. Тогда вместо (26) получаем

+∞

X

j=1

"_j−1 X

i=0

Mc_j−i−I4λ_j−i ei

#

h^j−1= 0. (27)

Приравнивая в (27) нулю коэффициенты при степеняхh, приходим к рекуррентной последовательности уравнений

j−1

X

i=0

Mc_j−i−I₄λ_j−i

e_i= 0, j≥1. (28)

Вычисляя устойчивые решения спектральной задачи

Mc1−I4λ1

e0= 0, соответствующейj = 1, имеем

λ¹₁=−√

k−i e¹₀=









−i i√

k−i

√k−i 1







 ,

λ²₁=−√

k+i e²₀=







 i

−i√ k+i

√k+i 1







 .

(29)

Приj= 2 уравнение (28) переходит в

Mc1−I4λ1

e1=

I4λ2−Mc2

e0. (30)

По условию теоремы Кронекера-Капелли система линейных алгебраических уравнений (30) разрешима относительноe₁ тогда и только тогда, когда (см. [3])

rank

Mc1−I4λ1

= rank

Mc1−I4λ1, I4λ2−Mc2

. (31)

Из условия (31) находим, что

λ¹₂=^k₂ −ⁱ₂ e¹₁=e¹₀, λ²₂=^k₂ +ⁱ₂ e²₁=e²₀.

(32) Таким образом, учитывая (29) и (32), получаем, что матрица (18) равна

V =

∞

X

i=0

Vihⁱ=









−i i i√

k−i −i√ k+i

√k−i √ k+i

1 1









(1 +h+O(h²)). (33)

Тогда устойчивое решение (19) уравнения Риккати (14) примет вид:

Pb=

∞

X

i=0

Pbihⁱ=



 q

2(k²+ 1)(k+√

k²+ 1) k+√ k²+ 1 k+√

k²+ 1

q

2(k+√ k²+ 1)



+O(h²). (34) При этом матрицаKb в (15) определяется формулой

Kb =

∞

X

i=0

Kb_ihⁱ = k+√

k²+ 1 q

2(k+√ k²+ 1)

+O(h). (35)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица Pb₀ в (34) удовлетворяет непрерывному уравнению Риккати (см. [2])

XBR⁻¹B^TX−A^TX−XA−Q= 0. (36) Тогда решение непрерывной задачи стабилизации определяется формулой (см. [2])

u⁰=−Kx=−R⁻¹B^TPb0x. (37) ВычисляяK в формуле (37), получаем

K= k+√

k²+ 1 q

2(k+√ k²+ 1)

. (38)

Из (35) и (38) следует, чтоKb −→Kприh−→0. Таким образом, при шаге дискретизации, стремящемся к нулю, решение дискретной задачи оптимальной стабилизации сходится к решению непрерывной задачи оптимальной стабилизации.

5 Численное моделирование процедуры стабилизации маятника

Для оценки эффективности описанной процедуры стабилизации маятника было проведено численное моделирование приk= 1в уравнении (3). На рисунках 1—4 приведены зависимости углового отклоненияϕ, угловой скоростиϕ˙ и управленияuот времени в случае, когда движение маятника описывается линейным дифференциальным уравнением (2). Рисунок 5 отвечает случаю, когда движение маятника описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1). На приведенных графиках по оси абсцисс откладывается время, по левой оси ординат откладываются значения ϕ и ϕ, а по правой оси ординат откладываются˙ значенияu.

Рис. 1: Стабилизация линейного маятника импульсным управлением сh= 10.

Рис. 2: Стабилизация линейного маятника импульсным управлением сh= 1.

Рис. 3: Стабилизация линейного маятника импульсным управлением сh= 0,1.

Рис. 4: Стабилизация линейного маятника непрерывным управлением.

Список литературы

[1] Kh. D. Ikramov. Numerical solution of matrix equations. Moscow, Nauka, 1984. (in Russian) = Х. Д.

Икрамов. Численное решение матричных уравнений. Москва, Наука, 1984.

[2] H. Kwakernaak, R. Sivan. Linear optimal control systems. Moscow, Mir, 1977. (in Russian) = Х. Ква- кернаак, Р. Сиван. Линейные оптимальные системы управления. Москва, Мир, 1977.

[3] V. V. Prasolov. Problems and theorems in linear algebra. Moscow, Nauka, 1996. (in Russian) = В. В.

Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры. Москва, Наука, 1996.

[4] M. Jungers, C. Oara, H. Abou-Kandil, R. Stefan. General matrix pencil techniques for solving discrete- time nonsymmetric algebraic Riccati equations.SIAM J. Matrix Anal. Appl., 31(3):1257–1278, 2009.

Stabilization of the inverted pendulum with stationary pivot point

Roman I. Shevchenko

Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)

Abstract. Piecewise constant controls are used to stabilize the unstable vertical stationary point of a pendulum. The initial continuous-time problem is changed by the discrete-time problem. Then the discrete- time algebraic Riccati equation is solved in order to obtain the desired control. Under special consideration is the convergence of the continuous-time problem solution to the discrete-time problem solution as the discretization step comes to zero.

Keywords:linear-quadratic regulator, algebraic matrix Riccati equation, piecewise constant control, optimal stabilization.