Limites avec la fonction exponentielle. 1. Déterminer la limite de la fonction f en +. Interpréter graphiquement.

(1)

Terminale MS Limites avec la fonction exponentielle Exercice 1

La fonction est définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) =

1

e^x.

C f est la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal ( O , I , J ).

1. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement.

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0 ⁺.

3. Etudier les variations de la fonction f sur ] 0 ; + ∞ [.

4. On appelle m l’antécédent de 0,99 par f.

a. Ecrire un script Python qui renvoie les nombres a et b tels que [ a ; b ] soit un encadrement de m d’amplitude h réel strictement positif donné.

b. Donner les valeurs de a et b lorsque h = 10 ; h = 5 ; h = 1 ; h = 0,5 ; h = 0,1.

5. Résoudre algébriquement dans ] 0 ; + ∞ [ l’inéquation f ( x ) ≥ 0,99.

(2)

Partie A

La fonction f est définie sur R par f ( x ) = e^{1 x}^ ².

C f est la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O , I , J ).

1. Comparer f ( – x ) et f ( x ) pour tout réel x. Que peut-on dire de la fonction f ?

2. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement.

En déduire la limite de la fonction f en – ∞. Interpréter graphiquement.

3. Etudier les variations de la fonction f sur R.

Partie B

On appelle g ( x ) le volume du pavé droit à base carrée de côté x et de hauteur f ( x ) pour tout réel x de l’intervalle [ 0 ; + ∞ [.

1. Exprimer g ( x ) en fonction de x pour tout réel x de l’intervalle [ 0 ; + ∞ [.

2. Calculer g ( 0 ).

3. Déterminer la limite de la fonction g en + ∞.

4. Etudier les variations de la fonction g sur [ 0 ; + ∞ [.

5. Déterminer les dimensions du pavé droit de volume maximal.

Quelle remarque peut-on faire ?

(3)

1. •

+

lim 

x – ¹

x = 0 et

0

lim

y e ^y = 1 donc, par composée,

+

lim  x

1

e^x = 1.

+

lim 

x f ( x ) = 1.

• lim +

 

x f ( x ) = 1 donc la droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe C f en + ∞.

2. 0 +

lim

x – ¹

x = – ∞ et

lim

y   e ^y = 0 donc, par composée,

0 +

lim

x 1

e^x = 0.

0 +

lim

x f ( x ) = 0.

3. Pour tout réel x de ] 0 ; + ∞ [, f ( x ) =

1

e^x donc f ' ( x ) = ¹₂ x

1

e^x.

¹₂

x > 0 et

1

e^x > 0 donc ¹₂ x

1

e^x > 0 donc f ' ( x ) > 0.

x 0 + ∞ f ' ( x ) +

f ( x )

1

0 Bonus

(4)

4.a.

Script Python Programme TI

from math import * def balai ( h ) : x = 1

y = exp ( - 1 / x ) while y < 0.99 : x = x + h

y = exp ( - 1 / x ) b = x

a = x – h return ( a , b )

Prompt H 1 → X

e ^ ( - 1 / X ) → Y While Y < 0.99 X + H → X e ^ ( - 1 / X ) → Y End

X → B X – H → A Disp A , B 4.b.

h 10 5 1 0,5 0,1

a 91 96 99 99 99,4

b 101 101 100 99,5 99,5

5. f ( x ) ≥ 0,99

ssi

1

e^x ≥ 0,99

ssi ln (

1

e^x ) ≥ ln ( 0,99 ) penser à utiliser le logarithme népérien

ssi – ¹

x ≥ ln ( 0,99 )

ssi ¹

x ≤ – ln ( 0,99 ) on a multiplié par – 1 donc on change le sens

ssi x ≥ – ¹

ln ( 0,99 ) on a pris l’inverse donc on change le sens

S = [ – ¹

ln ( 0,99 ) ; + ∞ [.

Remarque : – ¹

ln ( 0,99 ) ≈ 99,499162.

(5)

Partie A

1. Pour tout réel x, f ( – x ) = 1 ( )x ²

e ^{ } = e^{1 x}^ ²= f ( x ). La fonction f est paire.

2. •

+

lim 

x 1 – x ² = – ∞ et

lim

y   e ^y = 0 donc, par composée,

+

lim  x

1 x 2

e ^ = 0.

lim +

 

x f ( x ) = 0 donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe C f en + ∞.

• La fonction f est paire et

+

lim 

x f ( x ) = 0 donc

lim

x   f ( x ) = 0.

lim

x   f ( x ) = 0 donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe C f en – ∞.

3. Pour tout réel x, f ( x ) = e^{1 x}^ ²donc f ' ( x ) = – 2 x e^{1 x}^ ².

2 > 0 et e^{1 x}^ ²> 0 donc f ' ( x ) a même signe que – x. f ( 0 ) = e^{1 0}^ ²= e.

x – ∞ 0 + ∞ f ' ( x ) + 0 –

f ( x )

e

0 0

(6)

Partie B

1. Pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [,

g ( x ) = x ² f ( x ) donc g ( x ) = x ² e^{1 x}^ ². 2. g ( 0 ) = 0 ² e^{1 0}^ ² = 0  e = 0.

3. Pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [, g ( x ) = e x ² e^x^ ².

On pose y = – x ². Quand x tend vers + ∞, y tend vers – ∞.

lim +

 

x – x ² = – ∞ et

lim

y  y e^y = 0 donc, par composée, lim +

 

x – x ² e^x^ ²= 0.

lim +

 

x x ² e^x^ ²= 0 donc lim +

 

x e x ² e^x^ ²= 0 donc lim +

 

x g ( x ) = 0.

4. Pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [, g ( x ) = x ²  e^{1 x}^ ²

donc g ' ( x ) = 2 x  e^{1 x}^ ²+ x ²  ( – 2 x e^{1 x}^ ²) donc g ' ( x ) = 2 x  e^{1 x}^ ²– 2 x ³  e^{1 x}^ ²

donc g ' ( x ) = 2 x  e^{1 x}^ ²( 1 – x ² ) donc g ' ( x ) = 2 x ( 1 + x ) ( 1 – x ) e^{1 x}^ ².

2 > 0 et 1 + x > 0 et e^{1 x}^ ²> 0 donc g ' ( x ) a même signe que 1 – x.

g ' ( x ) > 0 ssi 1 – x > 0 ssi x < 1.

g ( 1 ) = 1 ²  e^{1 1}^ ² = 1  e ⁰ = 1.

x 0 1 + ∞ g ' ( x ) + 0 –

g ( x )

1

0 0 5. Le pavé droit a un volume maximal ssi g ( x ) est maximal ssi x = 1.

Pour x = 1, e^{1 x}^ ²= e^{1 1}^ ²= e ⁰ = 1.

Le pavé droit de volume maximal a pour dimensions 1 ; 1 ; 1.

Le pavé droit de volume maximal est le cube d’arête 1.