Solutions de navigation pour lanceurs de satellites : observabilité et nouvelles approches

Solutions de navigation pour lanceurs de satellites :

observabilité et nouvelles approches

Thèse

Yanick Beaudoin

Doctorat en génie électrique

Philosophiæ doctor (Ph. D.)

Solutions de navigation pour lanceurs de satellites :

observabilité et nouvelles approches

Thèse

Yanick Beaudoin

Sous la direction de:

André Desbiens, directeur de recherche Eric Gagnon, codirecteur de recherche René Jr. Landry, codirecteur de recherche

Résumé

Cette recherche évalue de nouvelles approches pour améliorer la performance des solutions de naviga-tion pour lanceurs de satellite. La première est l’utilisanaviga-tion des données de la trajectoire de référence. L’idée de cette approche est de pondérer, tout au long de la mission, la confiance sur le fait que le lanceur suit la trajectoire prédite afin d’exploiter les données d’attitude de la trajectoire de référence dans la solution de navigation. La seconde approche est l’ajout d’un modèle stochastique du lanceur à la solution de navigation. Pour ce modèle, l’accélération et la vélocité angulaire sont représentées par une marche aléatoire dont la variance est ajustée en fonction de la connaissance des forces agissantes sur le lanceur. Finalement, l’usage de plusieurs unités de mesures inertielles bas de gamme est comparé à l’usage d’une seule unité de mesures inertielles de meilleure qualité. Le recours à plusieurs unités de mesures inertielles permet de répartir celles-ci sur la structure du lanceur. L’effet du positionnement de ces unités de mesures est évalué en comparant des solutions de navigation dont tous les capteurs sont placés dans la tête du lanceur à une solution où les capteurs sont répartis dans la tête de chacun des étages du lanceur. Quelques approches pour effectuer la fusion des unités de mesures inertielles sont testées ; fusion de toutes les unités de mesures dans une seule centrale inertielle, fusion de plusieurs centrales inertielles et fusion de plusieurs centrales inertielles avec contraintes géométrique. Pour plu-sieurs des solutions proposées ainsi que pour pluplu-sieurs autres déjà existantes, une étude exhaustive de l’observabilité est effectuée. L’observabilité est vérifiée à l’aide de la matrice d’observabilité, de l’étude de la propagation de la matrice de covariance et de l’analyse à la sensibilité à une mesure aberrante. Finalement, une méthode simplifiée pour évaluer les performances des solutions de navigation inertielle sur une trajectoire fixe est présentée.

Les résultats montrent que l’usage des données de la trajectoire de référence permet de réduire l’erreur d’estimation du roulis. Cependant, l’ajout de ces données n’améliore pas l’observabilité du modèle de base sur lequel celles-ci sont ajoutées. Le recours à un modèle stochastique de la dynamique du lanceur n’apporte que des gains marginaux sur les estimations d’attitude, de vélocité et de position. Par contre, cette approche améliore substantiellement les estimations d’accélération et de vélocité angulaire. La distribution des capteurs inertiels sur la structure du lanceur n’améliore pas la précision de navigation. Cette dernière est même dégradée lorsque des capteurs sont perdus en raison des largages d’étages. La fusion de plusieurs unités de mesures inertielles à l’aide d’une centrale inertielle offre des performances équivalentes à celles obtenues avec une seule unité de mesure. Par contre, la fusion de plusieurs centrales inertielles permet de réduire l’erreur d’estimation. Qui plus est, des gains additionnels peuvent

être obtenus lorsque des contraintes géométriques sur l’attitude, la vélocité et la position relatives entre les centrales inertielles sont ajoutées à cette dernière approche. Les tests d’observabilité ont montré que la modélisation des biais de capteurs par un processus de Markov plutôt que par une marche aléatoire a peu d’impact sur l’observabilité du modèle. De plus, sur une mission de courte durée, le choix du modèle pour représenter les biais de capteurs n’a qu’un effet négligeable sur la précision des estimations. Les analyses d’observabilité ont aussi montré que le recours à un seul récepteur GPS n’est pas suffisant pour assurer l’observabilité du roulis et que le biais de mesure de position du récepteur GPS n’est pas observable.

Abstract

This research evaluates new approaches to improve the performance of navigation solutions for satellite launchers. The first is the use of data from the reference trajectory. The idea of this approach is to weigh, throughout the mission, the confidence that the launcher follows the predicted trajectory in order to exploit the attitude data of the reference trajectory in the navigation solution. The second approach is to add a stochastic model of the launcher to the navigation solution. For this model, the acceleration and the angular velocity are represented by a random walk whose variance is adjusted according to the knowledge of the forces acting on the launcher. Finally, the use of several low-end inertial measurement units is compared to the use of a single higher quality inertial measurement unit. The use of several inertial measurement units makes it possible to distribute these on the structure of the launcher. The effect of the positioning of these measurement units is evaluated by comparing navigation solutions of which all the sensors are placed in the head of the launcher to a solution where the sensors are distributed in the head of each stage of the launcher. Some approaches for merging the inertial measurement units data are tested; fusion of all the inertial measurement units in a single inertial navigation system, fusion of several inertial navigation systems and fusion of several inertial navigation systems with geometric constraints. For many of the proposed solutions as well as for several others already in existence, an exhaustive study of the observability is carried out. The observability is verified using the observability matrix, the study of the propagation of the covariance matrix and the analysis of the sensitivity to measurement outliers. Finally, a simplified method for evaluating the performance of inertial navigation solutions on a fixed trajectory is presented.

The results show that the use of the reference trajectory data makes it possible to improve the roll estimate. However, adding these data does not improve the observability of the base model on which they are added. The use of a stochastic model of the launcher dynamics provides marginal gains on attitude, velocity and position estimates. On the other hand, this approach substantially improves the acceleration and angular velocity estimates. The distribution of inertial sensors on the launcher structure does not improve navigation accuracy. The latter is even degraded when sensors are lost due to stage jettisoning. Merging several inertial measurement units with a single inertial navigation system provides performance equivalent to that achieved with a single inertial measurement unit. On the other hand, the fusion of several inertial navigation systems makes it possible to reduce the estimation error. Moreover, additional gains can be obtained when geometric constraints on the relative attitude, velocity and position between inertial navigation systems are added to this latter approach.

Observability tests have shown that modelling sensor biases by a Markov process rather than a random walk has little impact on the observability of the model. In addition, on a short-term mission, the choice of the model to represent the sensor bias has only a negligible effect on the precision of the estimates. Observability analyzes have also shown that the use of a single GPS receiver is not sufficient to ensure the observability of the roll and that the position measurement bias of the GPS receiver is not observable.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures x

Notation xiv

Remerciements xxii

Avant-propos xxiii

Introduction 1

Boucles de Guidage, Navigation et Contrôle . . . 1

Mise en contexte . . . 2

Objectifs de la recherche . . . 6

Contributions de la recherche . . . 7

Structure de la thèse . . . 9

1 Improved Satellite Launcher Navigation Performance by Using the Reference Tra-jectory Data 11 1.1 Introduction . . . 11

1.2 GNC function . . . 13

1.3 Simplified model . . . 13

1.4 Mathematical developpement of the navigation solution . . . 15

1.5 Performance comparison . . . 17

1.6 Conclusion . . . 26

1.7 Appendix . . . 27

2 Satellite launcher navigation aided by a stochastic model of the vehicle 29 2.1 Introduction . . . 29

2.2 Navigation with vehicle dynamics . . . 31

2.3 Control with filtered angular rate . . . 42

3 Satellite Launcher Navigation with One Versus Three IMUs : Sensor Positioning

and Data Fusion Model Analysis 45

3.1 Introduction . . . 45

3.2 Data Fusion Architectures . . . 49

3.3 Test Parameters . . . 55

3.4 Results Analysis. . . 57

3.5 Conclusions . . . 72

4 Observability of satellite launcher navigation with INS, GPS, attitude sensors and reference trajectory 74 4.1 Introduction . . . 75 4.2 Navigation solutions . . . 78 4.3 Methodology . . . 81 4.4 Result analysis . . . 83 4.5 Conclusion . . . 98

5 Analyse de la précision en fonction des capteurs 99 5.1 Introduction . . . 99

5.2 Paramètres de test . . . 101

5.3 Navigation inertielle . . . 102

5.4 Ajout de capteurs d’aide à la navigation inertielle . . . 107

5.5 Ajout de données complémentaires à la navigation. . . 114

5.6 Conclusion . . . 121

Conclusion 122

Liste des tableaux

0.1 Caractéristiques des étages du lanceur . . . 2 1.1 Precision improvement at the end of the endoatmospheric phase. . . 24 1.2 Error standard deviations at the end of the endoatmospheric phase with underestimated

wind (with GPS). . . 24 1.3 Error standard deviations at the end of the endoatmospheric phase with underestimated

wind (without GPS). . . 25 1.4 Error standard deviations at the end of the endoatmospheric phase with angular

dyna-mics modelling errors (with GPS). . . 25 1.5 Error standard deviations at the end of the endoatmospheric phase with angular

dyna-mics modelling errors (without GPS). . . 26 2.1 Sensors specifications . . . 38 2.2 Estimation improvements when the acceleration and angular velocity change slowly . 42 3.1 Sensor specifications. . . 56 3.2 Reduction of the estimation error standard deviations provided by the fusion of

mul-tiple INSs at the satellite injection (values in parentheses represent the maximum

improvement when it does not occur at the satellite injection). . . 68 4.1 Sensors specifications. . . 81 4.2 Observability vs estimated states (Shaded values indicate incomplete observability). . 85 5.1 Spécifications des capteurs. . . 102 5.2 Comparaison des écarts-types des estimations obtenues avec la propagation de la

Liste des figures

0.1 Schématisation des boucles de Guidage, Navigation et Contrôle . . . 2

0.2 Chronologie des phases de la mission. . . 3

0.3 Trajectoire du lanceur. . . 4

0.4 Évolution temporelle de la trajectoire du lanceur. . . 4

0.5 Évolution temporelle de la vitesse du lanceur. . . 5

0.6 Évolution temporelle de l’accélération du lanceur. . . 5

0.7 Évolution temporelle de l’attitude du lanceur (angles d’Euler par rapport au sol).. . . 6

0.8 Évolution temporelle de la vélocité angulaire du lanceur. . . 6

1.1 Simplified GNC loop . . . 14

1.2 Endoatmospheric phase details.. . . 18

1.3 Attitude error standard deviations (with GPS). The solid line represents the baseline model and dashed line the augmented model. . . 20

1.4 Velocity error standard deviations (with GPS). The solid line represents the baseline model and dashed line the augmented model. . . 21

1.5 Position error standard deviations (with GPS). The solid line represents the baseline model and dashed line the augmented model. . . 21

1.6 Attitude error standard deviations (without GPS). The solid line represents the baseline model and dashed line the augmented model. . . 22

1.7 Velocity error standard deviations (without GPS). The solid line represents the baseline model and dashed line the augmented model. . . 23

1.8 Position error standard deviations (without GPS). The solid line represents the baseline model and dashed line the augmented model. . . 23

2.1 Mission phase timeline. . . 37

2.2 Real pitch angular acceleration versus modelled standard deviation. . . 38

2.3 Real z-axis jerk versus modelled standard deviation.. . . 39

2.4 Raw x-axis accelerometer measurements versus filtered values after firing the first engine. 40 2.5 Comparison of the angular velocity estimation error standard deviations obtained with the raw gyroscope measurements and filtered values : real standard deviations from Monte-Carlo simulation and standard deviations estimated by the navigation filter.. . . 41

2.6 Comparison of the acceleration estimation error standard deviations obtained with the raw accelerometer measurements and filtered values : real standard deviations from Monte-Carlo simulations and standard deviations estimated by the navigation filter. . . 41

2.7 Comparison of the roll estimation error standard deviations with and without the stochastic model of the launcher . . . 42

2.8 Comparison of the total thrust nozzle movements when the control function uses the raw gyroscope measurements versus the filtered angular velocities. . . 43

3.1 Structure of the fusion of multiple IMUs in one INS . . . 52 3.2 Fusion structure of three INSs. . . 55 3.3 Mission phase timeline. . . 56 3.4 The attitude estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when all sensor measurements are present. . . 58 3.5 The velocity estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when all sensor measurements are present. . . 58 3.6 The position estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when all sensor measurements are present. . . 59 3.7 The position estimation error standard deviation obtained with the first INS of the

multi-INS fusion without constraints versus the one obtained with the single IMU

solution. . . 59 3.8 The velocity standard deviation obtained with a common GPS bias estimation versus

one GPS bias estimated for each INS in the multi-INS fusion without constraint, when

all sensor measurements are present. . . 60 3.9 The position standard deviation obtained with a common GPS bias estimation versus

one GPS bias estimated for each INS in the multi-INS fusion without constraint, when

all sensor measurements are present. . . 60 3.10 The attitude estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when the GPS receiver is not present.. . . 61 3.11 The velocity estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when the GPS receiver is not present.. . . 62 3.12 The position estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when the GPS receiver is not present.. . . 62 3.13 The velocity estimation error standard deviation computed by the navigation filter and

the one obtained from Monte Carlo simulation, when the GPS receiver is not present. 63 3.14 The position estimation error standard deviation computed by the navigation filter and

the one obtained from Monte Carlo simulation, when the GPS receiver is not present. 64 3.15 Graphical representation of the correlation between the states of the navigation filter at

the 30thsecond of the simulation, when all geometrical constraints are present. . . . 64 3.16 Graphical represetation of the correlation between the states of the navigation filter at

the 30thsecond of the simulation, when only the relative attitude constraint is present. 65 3.17 Graphical represetation of the correlation between the states of the navigation filter at

the 674thsecond of simulation, when only the relative attitude constraint is present. . 66 3.18 The attitude estimation error standard deviation obtained with the multi-INS fusion

when all geometrical constraints are applied versus when only the relative attitude

constraint is used. . . 67 3.19 The attitude estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when the attitude reference sensor and GPS receiver are present. . . 69 3.20 The velocity estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when the attitude reference sensor and GPS receiver are present. . . 69 3.21 The position estimation error standard deviation obtained with the navigation solutions,

when the attitude reference sensor and GPS receiver are present. . . 70 3.22 The raw gyroscope measurement standard deviation and the standard deviation of the

angular velocity estimated in the fusion of all IMU into one INS, when the attitude

3.23 The raw accelerometer measurement standard deviation and the standard deviation of the acceleration estimated in the fusion of all IMU into one INS, when the attitude

reference sensor and GPS receiver are present. . . 71 4.1 Condition number of the simplified model observability matrix vs GPS position bias

Markov process time constant. . . 87 4.2 Time evolution of estimated attitude error standard deviations. . . 88 4.3 Time evolution of estimated GPS position bias standard deviations.. . . 89 4.4 Time evolution of the GPS position bias when a 3 m/s bias outlier is added on the 3

velocity components at the 50th second of the simulation. . . 90 4.5 Time evolution of estimated gyroscopes bias standard deviations. . . 91 4.6 Time evolution of gyroscope bias standard deviations with bias stability multiplied by

1000.. . . 91 4.7 Time evolution of the estimated roll error standard deviation. . . 92 4.8 Time evolution of the roll error with a 0.002 rad/s gyroscope measurement outlier on

the roll axis at the 50th second of simulation. . . 93 4.9 Time evolution of the roll error with a 0.002 rad/s outlier on the roll component of the

reference trajectory at the 50th second of simulation. . . 93 4.10 Time evolution of the correlation coefficients between the attitude error and launcher

divergence from its reference trajectory. . . 95 4.11 Time evolution of the estimated roll error standard deviation. . . 96 4.12 Time evolution of the roll error with a 0.002 rad/s gyroscope measurement outlier on

the roll axis at the 50th second of simulation. . . 97 4.13 Time evolution of the launcher divergence from its reference trajectory (roll) with

a 0.002 rad/s gyroscope measurement outlier on the roll axis at the 50th second of

simulation. . . 97 5.1 Chronologie des phases de la mission. . . 102 5.2 Module de l’écart-type maximal de l’erreur d’estimation d’attitude à l’injection (le

point indique l’erreur correspondante aux capteurs utilisés). . . 105 5.3 Module de l’écart-type maximal de l’erreur d’estimation de vélocité à l’injection (le

point indique l’erreur correspondante aux capteurs utilisés). . . 105 5.4 Module de l’écart-type maximal de l’erreur d’estimation de position à l’injection (le

point indique l’erreur correspondante aux capteurs utilisés). . . 106 5.5 Écart-type de l’erreur d’estimation d’attitude à l’injection (représenté selon le système

de coordonnées corps du lanceur). . . 107 5.6 Écart-type de l’erreur d’estimation de vélocité à l’injection (représenté selon le système

de coordonnées corps du lanceur). . . 108 5.7 Écart-type de l’erreur d’estimation de position à l’injection (représenté selon le système

de coordonnées corps du lanceur). . . 109 5.8 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation d’attitude avec un INS comportant

des biais d’accéléromètres et de gyroscopes et un où ces biais sont nuls. . . 110 5.9 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation de vélocité avec un INS

compor-tant des biais d’accéléromètres et de gyroscopes et un où ces biais sont nuls. . . 111 5.10 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation de position avec un INS

compor-tant des biais d’accéléromètres et de gyroscopes et un où ces biais sont nuls. . . 112 5.11 Écart-type de l’erreur d’estimation d’attitude avec l’INS sans biais (représenté selon le

5.12 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation d’attitude avec et sans capteurs

de référence d’attitude génériques sur la solution avec un INS. . . 114 5.13 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation d’attitude avec et sans capteurs

de référence d’attitude génériques sur la solution avec un INS et un récepteur GPS. . 114 5.14 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation du roulis avec et sans l’usage

des données d’attitude de la trajectoire de référence sur la solution avec un INS, un

récepteur GPS et des capteurs de référence d’attitude génériques. . . 116 5.15 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation de la vélocité angulaire obtenue

avec les données brutes des gyroscopes et celle obtenue avec les données traitées par le

filtre de navigation. . . 117 5.16 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation de l’accélération obtenue avec

les données brutes des accéléromètres et celle obtenue avec les données traitées par le

filtre de navigation. . . 117 5.17 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation d’attitude avec ; un INS, plusieurs

INS sans contraintes géométriques, plusieurs INS avec contraintes géométriques. Toutes

les solutions sont aidées d’un récepteur GPS et de capteurs de référence d’attitude. . 119 5.18 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation de vélocité avec ; un seul INS,

plu-sieurs INS sans contraintes géométriques, pluplu-sieurs INS avec contraintes géométriques.

Toutes les solutions sont aidées d’un récepteur GPS et de capteurs de référence d’attitude. 120 5.19 Comparaison de l’écart-type de l’erreur d’estimation de position avec ; un seul INS,

plusieurs INS sans contraintes géométriques, plusieurs INS avec contraintes géomé-triques. Toutes les solutions sont aidées d’un récepteur GPS et de capteurs de référence

Notation

Lettres latines

0i matrice nulle de dimension i × i

0i× j matrice nulle de dimension i × j

A matrice d’état

A1 propagation de l’erreur d’estimation d’attitude en couplage lâche dans le modèle augmenté A2 propagation de l’erreur d’estimation d’attitude en couplage lâche dans le modèle augmenté ae estimation de l’accélération

aB_e estimation de l’accélération AINSn matrice d’état du n

ième_INS

Alc1 matrice d’état de la navigation en couplage lâche

Alc2 matrice d’état de la navigation en couplage lâche

am mesure de l’accélération aB m mesure de l’accélération aB mn mesure de l’accélération du n ième_IMU aB

me moyenne des mesures d’accélération des N IMU

aB_r accélération réelle aB_ref accélération de référence

aB_x composante de l’accélération selon l’axe x du système de coordonnées corps aB_y composante de l’accélération selon l’axe y du système de coordonnées corps aB_z composante de l’accélération selon l’axe z du système de coordonnées corps Aa dynamique angulaire en boucle ouverte du lanceur

B matrice d’entrée

B1 et B2 matrices d’entrées de la navigation en couplage lâche ba biais de l’accéléromètre

bB_a estimation du biais des accéléromètres

bB

g estimation du biais des gyroscopes

bB_gn estimation du biais des gyroscopes du nièmeIMU BINSn matrice d’entrée du n

ième_INS

Blc2 matrice d’entrée de la navigation en couplage lâche

Bm matrice d’entrée des mesures

bE_p estimation du biais de position du GPS Bs matrice d’entrée des valeurs stochastiques

Ba matrice d’entrée de l’effet du vent

C matrice de sortie

C1 et C2 matrices de sortie de la navigation en couplage lâche

C3, C4et Ca matrices de sortie pour le calcul de la différence entre l’attitude estimée par la navigation

et l’attitude de référence

ca constante de temps du processus de Markov du biais des accéléromètres

cg constante de temps du processus de Markov du biais des gyroscopes

CINSn matrice de sortie du n

ième_INS

C_lc2 matrice de sortie de la navigation en couplage lâche Clc3 matrice de sortie de la navigation en couplage lâche

cp constante de temps du processus de Markov du biais de position du GPS

GI fonction de transfert de l’intégrale

Gn termes de la transformation de Grubin relatif à la vitesse angulaire du nièmeIMU

G_φ fonction de transfert en boucle ouverte de la dynamique angulaire en roulis du lanceur et du contrôle

Gψ fonction de transfert en boucle ouverte de la dynamique angulaire en lacet du lanceur et du

contrôle

G_θ fonction de transfert en boucle ouverte de la dynamique angulaire en tangage du lanceur et du contrôle

Ii matrice identité de dimension i × i

k pas de temps

lB_n bras de levier entre le nièmeIMU et la position commune lB_n,m bras de levier entre le nièmeIMU et le mième IMU

N nombre d’IMU

n longueur du vecteur d’états Q matrice de covariance d’état Q1 matrice de covariance d’état

Qs matrice de covariance des valeurs stochastiques

R1 matrice de covariance d’observation rE e position estimée rE en estimation de position du n ième_INS rE m mesure de la position rE r position réelle rE rn position réelle du n ième_INS

r_refE position de référence st temps d’échantillonnage

T_BE estimation de la matrice de rotation entre le système de coordonnées du corps et celui de la Terre

[Td]EB matrice de rotation de l’attitude désirée

T_EB matrice de rotation du repère Terre vers le repère corps

[Tr]EB matrice de rotation réelle entre le système de coordonnées du corps et celui de la Terre

[Tref]E_B matrice de rotation de référence

u vecteur d’entrée

u_m vecteur d’entrée des mesures

u_s vecteur d’entrée des valeurs stochastiques vE e vélocité estimée vE en estimation de vélocité du n ième _INS v_INS

n vecteur du bruit de sortie du n

ième_INS

v_lc vecteur de bruit de sortie de la navigation en couplage lâche v_lc vecteur de bruit de sortie de la navigation en couplage lâche vE_m mesure de la vélocité

vE_r vélocité réelle

vE_rn vélocité réelle du nièmeINS w_INSn vecteur d’entrée du nième INS

w_lc vecteur d’entrée de la navigation en couplage lâche x vecteur d’états

x_a vecteur d’état augmenté pour le calcul de la différence entre l’attitude du lanceur et celle de référence

xai: i ∈ 1, · · · , 7 composantes individuelles du vecteur xa

x_INS

n vecteur d’erreur d’état du n

ième_INS

x_lc vecteur d’erreur d’état de la navigation en couplage lâche x_lc vecteur d’erreur d’état de la navigation en couplage lâche y vecteur de sortie

y_INS

n vecteur de sortie du n

ième_INS

y_lc vecteur de sortie de la navigation en couplage lâche y_lc vecteur de sortie de la navigation en couplage lâche Lettres grecques

 αcψ

B

IB accélération angulaire commandée dans l’axe du lacet

[αcθ]BIB accélération angulaire commandée dans l’axe du tangage

[αe]BIB estimation de l’accélération angulaire

 αeφ

B

IB amplitude de l’accélération angulaire modélisée dans l’axe du roulis

 αeψ

B

IB amplitude de l’accélération angulaire modélisée dans l’axe du lacet

[αeθ]BIB amplitude de l’accélération angulaire modélisée dans l’axe du tangage

∆ ae estimation de la secousse

∆aB_e estimation de la secousse

∆ aeBx amplitude de la secousse modélisée sur l’axe des x

∆ aeBy amplitude de la secousse modélisée sur l’axe des y

∆ aeBz amplitude de la secousse modélisée sur l’axe des z

∆aB_m bruit de mesure des accélérometres (marche aléatoire) ∆ am bruit de mesure de l’accéléromètre (marche aléatoire)

∆aB_mn bruit de mesure des accéléromètres du nièmeIMU (marche aléatoire) [∆αe]B_IB estimation de la secousse angulaire

∆bB_a bruit générateur du biais des accéléromètres

∆bB_an bruit générateur du biais des accéléromètres du nième IMU ∆bB_g bruit générateur du biais des gyroscopes

∆bB_gn bruit générateur du biais des gyroscopes du nièmeIMU ∆bE_p bruit générateur du biais de position GPS

[∆ωm]B_IB bruit de mesure des gyrocopes (marche aléatoire)

δ ψe erreur d’estimation du lacet

δΨ_eE erreur d’estimation d’attitude

∆Ψ_mE bruit de mesure de l’erreur d’estimation d’attitude δΨ_mE mesure de l’erreur d’estimation d’attitude

∆ ψref différence entre le lacet estimé et lacet de référence

∆Ψ_refB différence entre l’attitude estimée par la navigation et celle de la trajectoire de référence δΨ_refB différence entre l’attitude du lanceur et celle de référence

δr_eE erreur d’estimation de position

∆rE

m bruit de mesure de l’erreur d’estimation de position

δrE

m mesure de l’erreur d’estimation de position

δ ve erreur d’estimation de vélocité

δvE

e erreur d’estimation de vélocité

δvE

en erreur d’estimation de la vélocité du n

ième_INS

∆vE

m bruit de mesure de l’erreur d’estimation de vélocité

δvE_m mesure de l’erreur d’estimation de vélocité

∆ vm bruit de mesure de l’erreur d’estimation de vélocité

δ vm mesure de l’erreur d’estimation de vélocité

∆ ξB_cψ variations de l’angle des tuyères commandée pour corriger le lacet du lanceur ∆ ξB_cθ variations de l’angle des tuyères commandée pour corriger le tangage du lanceur [ωe]B_IB estimation de la vélocité angulaire

ω_IEE velocité angulaire de la rotation de la Terre [ωm]B_IB mesure de la vélocité angulaire

[ωmn]

B

IB mesure de la vélocité angulaire du nièmeIMU

[ωme]B_IB moyenne des mesures de vélocité angulaire des N IMU

[ωr]B_EB velocité angulaire du système de coordonnées corps par rapport à celui de la Terre

[ωr]B_IB vélocité angulaire réelle

[ωref]B_IB vélocité angulaire de référence

[ωw]B_IB vélocité angulaire causée par le vent

ω_wψ vélocité angulaire en lacet causée par le vent ψd lacet désiré du lanceur

ψe lacet estimé du lanceur

Ψ_eE_n estimation d’attitude du nièmeINS ψr lacet réel du lanceur

Ψ_rE_n attitude réelle du nièmeINS ψref lacet de la trajectoire de référence

σ∆ am spécification de la marche aléatoire des accéléromètres

σ∆ ba spécification de l’instabilité de biais des accéléromètres

σ∆ bg spécification de l’instabilité de biais des gyroscopes

σ∆ ωm spécification de la marche aléatoire des gyroscopes

σ_δΨmax écarts-types de l’erreur d’estimation d’attitude σ_{δ rmax} écarts-types de l’erreur d’estimation de position σ_{δ vmax} écarts-types de l’erreur d’estimation de vitesse

Indices et exposants

{·}B variable représentée dans le système de coordonnées du corps {·}E variable représentée dans le système de coordonnées de la Terre

{·}_EB variable représentant la relation du système de coordonnées du corps par rapport à celui de la Terre

{·}_IB variable représentant la relation du système de coordonnées du corps par rapport à celui inertiel {·}_IE variable représentant la relation du système de coordonnées de la Terre par rapport à celui

À ma grand-mère, Alice Vermette, qui nous a quittés trop rapidement pour voir le résultat final de mes efforts

Le premier ennemi de la

connaissance n’est pas l’ignorance, c’est l’illusion de la connaissance.

Remerciements

Je tiens à remercier mes superviseurs André Desbiens, René Jr. Landry et Eric Gagnon de m’avoir guidé tout au long de ma recherche. Je remercie tout particulièrement André Desbiens, sans qui je n’aurais jamais entrepris mes études graduées.

Je veux aussi exprimer toute ma gratitude envers ma famille, mais surtout à ma douce moitié, Caroline Samson, pour leurs soutiens dans les moments difficiles de ma recherche.

Merci à mes amis et collègues du LOOP, Alexandre Vachon, Éric Duplain, Amir Vasebi, Danny Calisaya, Alberto Riquelme, Soufiane Hallab et tous les autres. Merci à tous mes professeurs, et tout particulièrement Éric Poulin et André Desbiens qui m’ont permis d’acquérir une expérience inestimable en m’offrant l’opportunité de faire de l’assistance d’enseignement.

Je tiens à souligner l’appui financier fourni par le Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada, le Fonds de Recherche du Québec - Nature et Technologies et AEREX avionique inc.

Avant-propos

Cette thèse est constituée de 5 chapitres dont 2 sont des articles qui ont été présentés dans des conférences et 2 ont été publiés dans des journaux scientifiques. Par rapport aux articles originaux, seule la nomenclature a été modifiée pour assurer une uniformité dans le cadre de cette thèse. Pour tous ces articles, j’ai conçu les expérimentations, développé les algorithmes, effectué les tests, analysé les résultats et rédigé le document sous la supervision d’André Desbiens, Eric Gangnon et René Jr. Landry. Le chapitre1est tiré de l’article « Improved Satellite Launcher Navigation Performance by Using the Reference Trajectory Data » (Beaudoin et al.,2015). Cet article a été présenté à la conférence INC15 (International Navigation Conference 2015) qui s’est tenue du 24 au 25 février 2015 à Manchester, R.-U.

Le chapitre 2est tiré de l’article « Satellite launcher navigation aided by a stochastic model of the vehicle » (Beaudoin et al.,2018b). Cet article a été présenté à la conférence Astro2018 (18thAstronautics Conference) du CASI (Canadian Aeronautics and Space Institute). Cette conférence s’est tenue entre le 15 et le 17 mai 2018 à Québec, Qc, Canada.

Le chapitre3est tiré de l’article « Satellite Launcher Navigation with One Versus Three IMUs : Sensor Positioning and Data Fusion Model Analysis » (Beaudoin et al.,2018c) publié dans le journal Sensors. Celui-ci a été soumis le 18 mai 2018 et a été accepté le 5 juin 2018. Sa version électronique a été publiée le 7 juin 2018 et sa version papier est incluse dans le numéro 6 du volume 18 du journal publié en juin 2018.

Le chapitre4est tiré de l’article « Observability of satellite launcher navigation with INS, GPS, attitude sensors and reference trajectory » (Beaudoin et al.,2018a) publié dans le journal Acta Astronautica. Celui-ci a été soumis le 26 mai 2017 et a été accepté le 30 octobre 2017. Sa version électronique a été publiée le 2 novembre 2017 et sa version papier est incluse dans le numéro 142 du journal publié en janvier 2018.

Introduction

Le Canada possède une bonne expertise dans le développement de satellites. Cependant, les satellites développés ici sont tous mis en orbite par des lanceurs étrangers. Cette dépendance, entretenue depuis plusieurs décennies, a créé une situation où le pays n’est pas toujours capable de mettre ses satellites en orbite dans une fenêtre de temps qui respecte ses besoins. La Défense nationale et l’Agence spatiale canadienne ont commandé une étude de faisabilité visant le développement de lanceurs canadiens. Les résultats de cette étude indiquent que l’un des éléments de risque est la disponibilité des systèmes de navigation, de guidage et de contrôle (GNC), et l’expertise limitée du Canada en GNC de lanceurs spatiaux.

La navigation est un élément critique sur un lanceur de satellites. Il est primordial de connaître la position, la vélocité et l’attitude du lanceur en tout temps et avec le maximum de précision possible, pour être en mesure de corriger sa trajectoire adéquatement. Un des requis du projet est de privilégier autant que possible les capteurs autonomes et en particulier les capteurs inertiels. Un aspect qui doit être considéré est que, pour une précision et une robustesse équivalentes, le prix de la solution de navigation ne change pas en fonction de la taille du lanceur de satellites. Donc, sur un petit lanceur visant une orbite basse, celui-ci peut prendre une proportion non négligeable (Koelle,2005;Schmidt, 2010;Barbour,2011).

Boucles de Guidage, Navigation et Contrôle

Les boucles GNC permettent de gérer le déplacement du lanceur tout au long de la mission. Le processus de GNC est constitué de deux boucles imbriquées (figure0.1). La boucle externe a pour but de contrôler la trajectoire optimale que doit suivre le lanceur pour atteindre l’objectif de la mission. Puis, la boucle interne assure le suivi de cette trajectoire (Vachon,2012).

Afin de superviser la trajectoire du lanceur, il est essentiel de situer celui-ci dans l’espace. Pour ce faire, la fonction de navigation fusionne l’information provenant de différents capteurs afin d’estimer la vélocité, la position ainsi que l’attitude du lanceur. La fonction de navigation peut aussi avoir recours à un modèle du véhicule afin de restreindre la solution de navigation (contrainte cinématique) (Giroux, 2004). On peut, à cet effet, exploiter de l’information complémentaire comme les commandes envoyées aux actuateurs ou la connaissance des forces extérieures agissant sur le lanceur. Par contre, aucune

référence ne mentionne l’usage de cette approche pour la navigation de lanceurs de satellites.

Les fonctions du processus GNC disposent aussi de connaissances a priori. Ces données contiennent notamment des informations sur les profils de vent, sur les modèles vibratoires, sur l’orbite désirée et sur la trajectoire de référence (Vachon,2012).

FIGURE0.1 – Schématisation des boucles de Guidage, Navigation et Contrôle (inspirée de Vachon

(Vachon,2012))

Mise en contexte

Les travaux présentés dans cette thèse font partie d’un projet plus vaste effectué par le LOOP (Labo-ratoire d’Observation et d’Optimisation de Procédés) de l’Université Laval visant à développer une expertise canadienne en matière de GNC pour un lanceur de satellite. Cette recherche est effectuée sur un simulateur de lanceur de satellite fourni par le RDDC (Recherche et Développement pour la Défence Canada) Valcartier. Ce simulateur a été développé en plusieurs étapes par des équipes différentes. Ainsi, plusieurs modifications et corrections au simulateur de lanceur ont été nécessaires afin de permettre l’implémentation de la navigation de façon efficace.

La structure utilisée est un lanceur de type fusée à trois étages dont les caractéristiques sont données dans le tableau0.1. La mission étudiée vise à placer un satellite d’une masse maximale de 150 kg sur une orbite héliosynchrone circulaire à 500 km d’altitude. Le lancement est effectué à partir de Churchill au Manitoba.

1er_{étage 2}e_{étage 3}e_{étage coiffe thermique}

Poids avec carburant [kg] 20655 6975 1005 N/A

Poids sans carburant [kg] 3102 1124 196,2 150

Poussée à vide [kN] 460,53 169,92 23,23 N/A

Consommation instantanée [kg/s] 160,33 53,44 7,36 N/A

TABLE0.1 – Caractéristiques des étages du lanceur

est effectué en boucle ouverte. Donc, les tuyères sont orientées de façon à ce que le lanceur suive la trajectoire prédéfinie, mais aucun recalcul de cette dernière n’est effectué. Pour sa part, le guidage de la phase exoatmosphérique est effectué à l’aide de l’approximation de Schuler (Vachon,2012). Le début de cette phase est défini comme le moment où le flux thermique passe en dessous d’une valeur seuil qui permet l’éjection de la coiffe thermique.

110 170 219 565 671 Propulsion moteur 1 Propulsion moteur 2 Dérive Propulsion moteur 3 Endoatmospherique Exoatmospherique Temps [s] 110 170 219 565 671 Propulsion moteur 1 Propulsion moteur 2 Dérive Propulsion moteur 3 Endoatmospherique Exoatmospherique Temps [s]

FIGURE0.2 – Chronologie des phases de la mission.

La carte de la figure0.3montre la trajectoire du lanceur, les endroits où sont effectuées les séparations d’étage et l’injection en orbite du satellite. Les figures0.4,0.5,0.6,0.7et0.8montrent respectivement l’évolution temporelle de la position, de la vitesse, de l’accélération, de l’attitude, et de la vitesse angulaire du lanceur au cours de la mission. Il est à noter que cette trajectoire correspond à un vol effectué dans des conditions parfaites (vol non perturbé et capteurs idéals). Donc, la chronologie des phases de la mission ainsi que la trajectoire peuvent varier légèrement dans les chapitres subséquents. On remarque sur les figures0.6,0.7et0.8une forte correction de la trajectoire lors du passage à la phase exoatmosphérique, où un recalcul de la trajectoire est effectué. Malgré le fait que des propulseurs latéraux sont présents pour corriger l’attitude du lanceur pendant la phase de dérive, ceux-ci ne permettent pas de corriger la trajectoire. Ainsi, une autre correction importante, visible sur les figures 0.7et 0.8, est effectuée à l’activation du moteur du troisième étage. À ce moment, le lanceur doit compenser l’erreur accumulée pendant la phase de dérive.

135 ° W 120° W 105° _{W 90}° W 75 ° _W 60 ° _W 45_° N 60_° N 75_° N Séparation Injection

FIGURE0.3 – Trajectoire du lanceur.

0 170 340 510 680 0 250 500 Time [s] Altitude [km] 0 170 340 510 680 0 250 500 Time [s] Altitude [km] −120 −110 −100 −90 Longitude [ ° ] −120 −110 −100 −90 Longitude [ ° ] 50 60 70 80 Latitude [ ° ] 50 60 70 80 Latitude [ ° ] Séparation Injection

0 170 340 510 680 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Temps [s] Vitesse [m/s] 0 170 340 510 680 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Temps [s] Vitesse [m/s] Séparation Injection

FIGURE0.5 – Évolution temporelle de la vitesse du lanceur.

0 170 340 510 680 −5 0 5 Temps [s] Axe z 0 170 340 510 680 −5 0 5 Temps [s] Axe z −5 0 5 Accélération [m/s 2 ] Axe y −5 0 5 Accélération [m/s 2 ] Axe y 0 50 100 Axe x 0 50 100 Axe x Séparation Injection

0 170 340 510 680 −40 −20 0 Temps [s] Lacet 0 170 340 510 680 −40 −20 0 Temps [s] Lacet −100 0 100 Attitude [ ° ] Tangage −100 0 100 Attitude [ ° ] Tangage −5 0 5 Roulis −5 0 5 Roulis Séparation Injection

FIGURE0.7 – Évolution temporelle de l’attitude du lanceur (angles d’Euler par rapport au sol).

0 170 340 510 680 −5 0 5 Temps [s] Lacet 0 170 340 510 680 −5 0 5 Temps [s] Lacet −5 0 5 Velocité angulaire [ ° /s] Tangage −5 0 5 Velocité angulaire [ ° /s] Tangage 3.5 3.6 3.7x 10 −3 Roulis 3.5 3.6 3.7x 10 −3 Roulis Séparation Injection

FIGURE0.8 – Évolution temporelle de la vélocité angulaire du lanceur.

Objectifs de la recherche

L’objectif principal de cette recherche est de trouver des solutions permettant d’assouplir les spéci-fications des centrales inertielles utilisées pour la navigation d’un lanceur de satellite sans dégrader la précision des estimations de position, de vélocité et d’attitude. De plus, le relâchement des

carac-téristiques techniques des centrales inertielles ne doit pas être fait au détriment de la robustesse à la défaillance d’un capteur.

Afin d’atteindre cet objectif principal, quelques approches novatrices sont abordées. Voici les sous-objectifs associés à celles-ci :

— déterminer si les données de la trajectoire de référence peuvent être exploitées afin d’améliorer la précision de navigation,

— mesurer les gains apportés par l’usage de la connaissance sur les forces agissant sur le lanceur, — comparer les performances d’une solution de navigation comportant plusieurs unités de mesures

inertielles (en anglais : Inertial Measurement Unit ou IMU) aux performances d’une solution ne comportant qu’un seul IMU,

— tester quelques méthodes de fusion de données pour les solutions comportant plusieurs IMU. Celles-ci sont la fusion de tous les IMU dans un INS (en anglais : Inertial Navigation System ou INS), la fusion de plusieurs INS et la fusion de plusieurs INS avec des contraintes géométriques, — évaluer les gains envisageables par la répartition des IMU sur la structure du lanceur,

— comparer l’effet de la modélisation des biais de capteurs par un processus de Markov à la modélisation de ceux-ci par une marche aléatoire,

— vérifier l’observabilité des modèles utilisés pour la fusion de données.

Contributions de la recherche

Dans le cadre de cette recherche, un modèle faisant l’usage des données de la trajectoire de référence a été proposé. Ce dernier a permis de démontrer que les données d’attitude de la trajectoire de référence peuvent être exploitées afin d’améliorer la précision de l’estimation du roulis.

Un modèle stochastique de la dynamique du lanceur a été développé. À l’aide de ce modèle, il a été démontré que la représentation de la vélocité angulaire et de l’accélération par des marches aléatoires dont les variances sont connues et dont les estimations sont corrigées à l’aide des mesures des gyroscopes et des accéléromètres permet de réduire l’erreur d’estimation de la vélocité angulaire et de l’accélération par rapport à l’usage des données brutes des gyroscopes et des accéléromètres. Des solutions de navigation comportant plusieurs unités de mesures inertielles ont été comparées à des solutions ne comportant qu’une seule unité de mesure inertielle. Cette comparaison avait déjà été faite. Par contre, à la connaissance de l’auteur, celle-ci n’a jamais été effectuée pour la navigation d’un lanceur de satellite. De plus, l’effet de la répartition des capteurs inertiels sur la structure du lanceur a aussi été analysé. Les tests ont permis de découvrir que, dans le cadre de la navigation d’un lanceur de satellite :

— la dynamique angulaire n’est pas suffisamment rapide pour que la répartition des capteurs inertiels le long de la structure soit avantageuse par rapport à leur colocalisation,

— lorsqu’un seul INS est utilisé, le recours à un ou plusieurs IMU donne des résultats similaires, — la fusion à l’aide de plusieurs INS apporte un gain de précision par rapport l’usage d’un seul

INS,

— l’ajout de contraintes géométriques à une solution multi-INS permet de réduire l’erreur de navigation,

— les contraintes géométriques doivent être utilisées sur des valeurs qui sont observables. Donc, le recours aux contraintes de vélocité et de position relatives doit être évité pendant les périodes d’absence de mesure GPS.

Une analyse exhaustive de l’observabilité de plusieurs solutions de navigation a aussi été effectuée. Celle-ci a permis de confirmer que, sur une solution de navigation comportant un INS et un récepteur GPS, le roulis n’est pas observable. De plus, cette analyse a permis de découvrir que :

— le biais de position GPS n’est pas observable,

— sur une mission de courte durée, lorsque des capteurs d’aide à la navigation inertielle sont présents, la modélisation des biais des capteurs par un processus de Markov a peu d’impact sur les estimations par rapport à leur modélisation par une marche aléatoire. Et ce, en dépit du fait que la matrice d’observabilité indique un effet important de ce choix sur l’observabilité. Il a été démontré que l’évaluation de l’observabilité seulement avec la matrice d’observabilité n’est pas toujours suffisante. Parfois, cette analyse doit être effectuée à l’aide de l’étude de la propagation de la matrice de covariance. Dans d’autres cas, un test de sensibilité à une mesure aberrante peut être requis pour détecter ou confirmer la présence de sous-espaces non observables. L’observabilité peut être affectée par la qualité des capteurs à cause du choix de modèles d’erreur de ces derniers. Mais, la précision relative des capteurs doit également être prise en compte. En fait, si les capteurs d’aide INS ne fournissent pas des mesures suffisamment précises, les résultats obtenus peuvent être similaires à ceux sans l’aide de capteurs. Strictement parlant, l’incapacité de corriger les estimations dans le temps de la mission n’est pas un problème d’observabilité, mais crée des comportements similaires.

Une méthode simplifiée permettant, pour une trajectoire fixe, de comparer les solutions de navigation inertielle entre elles a été introduite. Dans cette thèse, cette méthode est utilisée pour évaluer l’impact de la marche aléatoire et de l’instabilité du biais des gyroscopes et des accéléromètres sur la précision de navigation. Cependant, des travaux préliminaires ont montré que cette méthode peut être facilement adaptée pour évaluer l’effet du biais constant et du facteur d’échelle de ces mêmes capteurs.

Une représentation graphique en trois dimensions de l’écart-type de l’incertitude de navigation a aussi été présentée. Quoique très simple et intuitive, à la connaissance de l’auteur, cette représentation n’a jamais été utilisée auparavant pour illustrer les performances de navigation.

Au cours de cette recherche, plusieurs corrections ont été effectuées dans le simulateur de lanceur. Ces erreurs n’ont pas été détectées auparavant, car elles n’avaient qu’un impact négligeable sur les travaux précédents effectués sur ce simulateur. Cependant, certaines de ces erreurs créaient des imprécisions de navigation qui étaient de plusieurs fois l’ordre de grandeur réel.

L’auteur de cette thèse a contribué à la rédaction de plusieurs articles et rapports dont voici la liste : Liste des articles de journaux :

Beaudoin, Y., Desbiens, A., Gagnon, E., and Landry, Jr., R. (2018a). Observability of satellite launcher navigation with INS, GPS, attitude sensors and reference trajectory. Acta Astronautica, 142:277–288 Beaudoin, Y., Desbiens, A., Gagnon, E., and Landry, Jr., R. (2018c). Satellite launcher navigation with one versus three imus: Sensor positioning and data fusion model analysis. Sensors, 18(6)

Gagnon, E., Vachon, A., and Beaudoin, Y. (2018). Data fusion architectures for orthogonal redundant inertial measurement units. Sensors, 18(6)

Liste des articles de conférences :

Beaudoin, Y., Desbiens, A., Gagnon, E., and Landry, Jr., R. (2015). Improved satellite launcher naviga-tion performance by using the reference trajectory data. In Proceeding of Internanaviga-tional Naviganaviga-tion Conference 2015 (INC15), Manchester Conference Center, UK. Royal Institute of Navigation Beaudoin, Y., Desbiens, A., Gagnon, E., and Landry, Jr., R. (2018b). Satellite launcher navigation aided by a stochastic model of the vehicle. In Proceeding of Astro18 Astronautics Conference 2018, Québec, Canada. Canadian Aeronautics and Space Institute

Liste des rapports RDDC :

Beaudoin, Y., Gagnon, E., Desbiens, A., and Landry, Jr., R. (2012b). Comparaison de différents filtres de kalman et modèles de système pour la navigation. Technical Report TM 2011-184, R&D pour la Défense Canada - Valcartier

Beaudoin, Y., Gagnon, E., Desbiens, A., and Landry, Jr., R. (2011). Revue de littérature sur la navigation des lanceurs de satellites. Technical Report TM 2011-346, R&D pour la Défense Canada - Valcartier Beaudoin, Y., Gagnon, E., Desbiens, A., and Landry, Jr., R. (2012c). Introduction au filtre de kalman non parfumé. Technical report, R&D pour la Défense Canada - Valcartier

Beaudoin, Y., Gagnon, E., Desbiens, A., and Landry, Jr., R. (2012a). Analyse de capteurs pour la navigation d’un lanceur de satellites. Technical Report TM 2012051, R&D pour la Défense Canada -Valcartier

Structure de la thèse

Le chapitre1présente la navigation utilisant les données d’attitude de la trajectoire de référence. La navigation aidée par un modèle stochastique du lanceur est évaluée au chapitre2. Ensuite, le chapitre 3compare une solution de navigation exploitant un seul IMU à des solutions exploitant trois IMU. Dans ce chapitre plusieurs méthodes pour faire la fusion de donnée sur les solutions multi-IMU sont

testées et le positionnement des IMU est aussi abordé. Par la suite, une analyse de l’observabilité de plusieurs solutions de navigation est effectuée au chapitre4. Finalement, le chapitre5fait un résumé des performances qui peuvent être attendues des solutions de navigation présentées dans cette thèse.

Chapitre 1

Improved Satellite Launcher Navigation

Performance by Using the Reference

Trajectory Data

Abstract

The navigation is a critical element of a satellite launcher. The objective of this research is to evaluate the additional precision and robustness provided to the navigation solution by using the reference trajectory data. To include this information, the error state model of a GPS/INS configuration is augmented to estimate the difference between the launcher and the reference trajectory attitude data. The assessment of the precision gain is made using the standard deviation of the attitude, velocity and position estimation errors. The robustness is evaluated considering the loss of precision caused by a GPS outage. The velocity estimation is slightly improved, but the attitude estimation greatly benefits from the additional information. Also, the robustness to a GPS outage is greatly improved for all estimated values. The augmented model can withstand errors in the variances of the external perturbations. However, this one could be sensitive to modelling errors.

1.1

Introduction

The navigation is a critical element of a satellite launcher. In order to be able to correct its trajectory properly, it is important to know the position, velocity and attitude of the launcher with the best possible accuracy. For an equivalent accuracy and robustness, the price of the navigation solution does not change depending on the size of the launcher. So, on a small launcher targeting a low orbit, it may take a significant proportion (Koelle,2005;Schmidt,2010;Barbour,2011). Therefore, it is advantageous to use « free » sources of information that require no sensor.

more efficient sensors (Titterton and Weston,2004;Brown and Mathews,2007;Yu et al.,2010;Samaan and Theil,2012), exploiting the redundancy of sensors (Giroux,2004;Bancroft,2009;Tanenhaus et al.,2010;Yuksel et al.,2010), combining multiple sensors with complementary qualities (Kachmar and Wood,1995;Sedlak,1997;Ning and Fang,2008;Theil et al.,2008;Ali and Fang,2009;Theil et al.,2009;Hao et al.,2010;Zhang et al.,2012) or employing more efficient fusion algorithms than the extended Kalman filter (Groves and Long, 2005;Ali and Jiancheng,2006;Wang et al., 2008; Ali and Fang,2009;Gross et al.,2010). Nevertheless, none of the solutions exploits the fact that the optimal trajectory that should be followed by the vehicle is calculated before the launch. The Ariane 5 navigation exploits a ballistic trajectory during the coast phase, which begins around an altitude of 1000 km and can last up to 5 hours. This approach is less sensitive to estimation drift than the INS (Inertial Navigation System) used during the powered phase (Belin et al.,2010). However, these two approaches are employed independently depending on the flight phase.

Most vehicles follow a different path for each use and this one can be severely disrupted along the way or simply be unknown. One only has to think of a Sunday car ride. However, the economic imperatives of launching a satellite involve trajectory optimization to minimize the cost. In addition, the sources of disturbance are mainly concentrated in the endoatmospheric flight phase, which is relatively short (Belin et al.,2010;Vachon et al., 2010;Vachon, 2012). Therefore, the real trajectory of the launcher should be very close to the reference trajectory. This knowledge adds a source of navigational information without requiring additional sensors.

The main idea is that initially, the position and attitude of the launcher are well known. As the mission progresses, the vehicle may deviate from the reference trajectory because of the disturbances. By weighting the confidence we have on the fact that the launcher follows the reference trajectory, it is possible to exploit this information to improve the performance of the navigation solution.

The GNC (Guidance, Navigation and Control) system is the most important investment in development, testing and validation with respect to software design (Ferguson,2011). To avoid having to repeat the certification of equipment already present and which have been proven, it may be desirable to avoid the modification of existing systems (Goodman and Propst,2008;Ferguson,2011). The use of the reference trajectory data requires no changes in the guidance and control equipment because, for the implementation considered, the data is stored in the memory of the navigation solution.

During the endoatmospheric phase, open loop guidance is performed and only the attitude of the vehicle is controlled. Therefore, the effect of external disturbances on the position of the launcher should be compensated in the exoatmospheric phase (Hanson et al.,1995;Lu et al.,2003;Vachon, 2012). Considering the differences between these two phases, they are treated independently. Thus, this article aims to validate the concept of using data from the reference trajectory in a navigation solution for the endoatmospheric phase. The exoatmospheric phase will be discussed in a later paper. The second section introduces the GNC function principle. The third section presents the simplified model employed to validate the concept proposed. The fourth section shows the mathematical development of

the resulting navigation solution. The fifth section compares the new navigation solution, which uses the reference path, to a solution that does not use it.

1.2

GNC function

The GNC function manages the movement of the launcher throughout the mission. The process consists of two nested loops. The outer loop establishes the optimal trajectory to be followed by the launcher to achieve the objective of the mission and the inner loop takes the actions to match the optimal trajectory (de Castro Leite Filho,2000;Bletsos,2004;Vachon,2012). Also, the GNC function has access to a prioriknowledge. Data includes information on wind profiles, on the vibrational patterns, on the desired orbit and on the reference path (Hanson et al.,1995;Lu et al.,2003;Bletsos,2004;Vachon, 2012).

1.3

Simplified model

A complete non linear simulator of the launcher is available. However, in order to prove the concept and make the analysis clearer, a simplified model is exploited in the course of this paper. This one considers the control and launcher grouped as shown in figure1.1, where aB_ref and[ωref]B_IBare respectively the

reference acceleration and angular velocity expressed in the body frame. These values will be used as the unperturbed forces acting on the launcher.[ωw]B_IBis the angular velocity induced by the wind

represented in the body frame. r_refE is the reference position given in the Earth frame, rE_e and v_eEare the estimated position and velocity expressed in the Earth frame.[Tref]E_B,[Td]EBand TBE are rotation

matrices from the body frame to the Earth frame representing respectively the reference, desired and estimated attitudes. aB_r,[ωr]BIB, vrEand rrEare the real acceleration, angular velocity, velocity and

position of the launcher, aB_m,[ωm]BIB, vEmand rEmare the corresponding measurements and ∆aBm,

[∆ωm]B_IB, ∆vEmand ∆rEmthe associated measurement noises. The INS values (accelerometers and

rate gyroscopes) are represented in the body frame and the GPS (Global Positioning system) values (position and velocity) are in the Earth frame. To ensure an easy transfer of the navigation algorithm to the nonlinear simulator, the simplified model is designed to be as close as possible to this one. The gain scheduling performed in the control function to account for the change in the dynamics of the launcher tends to makes the overall control and launcher angular dynamics equation constant. Therefore, for the purposes of this work, a linear time invariant function will be exploited. Since open loop guidance is performed during the endoatmospheric phase, the desired attitude sent to the control function corresponds to the reference trajectory attitude[Td]EB= [Tref]E_B. As mentioned previously,

the vehicle position and velocity are not controlled, therefore only the attitude data from the reference trajectory is used as additional information for the navigation.

For the rest of the analysis, the guidance, the control and the launcher are considered ideal, unless otherwise stated. Thus, their model is identical to the reality. The reference trajectory takes into account

Guidance Control and launcher [Td]EB [ωw]BIB Sensors aB_r, [ωr]BIB, vE_r, r_rE ∆aB_m, [∆ωm]B_IB, ∆vmE, ∆r_mE Navigation a B m,[ωm]BIB, vEm, rmE A priori knowledge • [Tref]E_B rE_e, vE_{e T}E B aB_ref,[ωref]B_IB rE_ref

FIGURE1.1 – Simplified GNC loops. The dashed line represents the reference attitude data added to

the navigation.

the wind profile on the launch site and it can be updated using the day of launch wind data. But, even with this information, the stochastic nature of the wind makes it the most difficult perturbation to anticipate (Hanson et al.,1995;Mori,1999;Lu et al.,2003;Duplain,2012). Therefore, this one is the only external disturbance considered in the analysis presented. Accordingly, in the course of this article, the only sources of errors making the launcher diverging from its reference trajectory are the navigation error and the wind.

To further simplify the model some assumptions are made : — A null wind is used as the wind profile.

— The launcher is rigid.

— The actual wind is modeled by an angular velocity perturbation. — The Earth is considered to be spherical for gravity calculations.

— The sideslip angle is considered small enough to neglect its effect on the aerodynamic force. — Except for the wind, the effect of the forces affecting the axial acceleration and the angular

velocity is precomputed.

— The roll rate is considered as unaffected by the wind.

— Only the random walk is modeled for the accelerometers and rate gyroscopes imperfections (i.e. the bias is known and canceled, and the mission is short enough to consider it to be constant). These simplifications are intended to avoid overburdening the analysis and do not have impact on the understanding of the principle. For the purpose of this research, the endoatmospheric phase ends when the guidance switches from open loop to close loop mode. This occurs 160 seconds after the beginning of the mission. At this point the altitude is around 100km which corresponds to the Kármán line.

1.4

Mathematical developpement of the navigation solution

This section presents the mathematical development of a navigation solution which uses the reference trajectory. First, the propagation of the divergence between the actual and the reference attitude is analysed for the yaw angle. Then, the implementation of the principle in a three-dimension navigation solution is introduced.

1.4.1 Propagation of the divergence from the reference attitude

In order to exploit the reference trajectory in the navigation solution, it is important to understand how the difference between the actual path of the vehicle and the reference trajectory propagates. As previously mentioned, during the endoatmospheric phase, only the attitude data from the reference trajectory is employed. Figure1.1is used to better understand the mathematical developments presented in this section.

The development in this section is done in the body frame ; this allows to demonstrate the principle considering only one dimension. As the principle is the same for each axis, only the propagation of yaw is presented here.

The open loop transfer function for the control and launcher yaw dynamics is Gψ(s). Considering that

wind effect is represented by angular velocity variation, this one must be integrated to get angular deviation, so let’s define :

GI(s) =

1

s (1.1)

The real yaw ψrof the launcher is given by :

ψr= Gψ(s) (ψd− ψe) + GI(s)ωwψ (1.2)

where ωwψ is the yaw angular speed induced by the wind, ψdand ψeare respectively the desired and

estimated yaw. The equation of the latter is :

ψe= ψr+ δ ψe (1.3)

where δ ψeis the yaw estimation error of the navigation. Inserting (1.3) in (1.2) :

ψr= Gψ(s) (ψd− ψr− δ ψe) + GI(s)ωwψ (1.4)

and isolating ψrin the previous equation gives :

ψr= Gψ(s) 1+ Gψ(s) ψd | {z } unperturbated trajectory + GI(s) 1+ Gψ(s) ωwψ | {z } error caused by the wind − Gψ(s) 1+ Gψ(s) δ ψe | {z } error caused by the navigation (1.5)

The reference yaw ψref is the yaw which would be followed without perturbations, thus it can be

expressed as only the first term of equation (1.5) : ψref =

G_ψ(s) 1+ Gψ(s)

ψd (1.6)

Therefore, the divergence of the launcher from the reference attitude is given by :

δ ψref = ψr− ψref (1.7) = GI(s) 1+ Gψ(s) ωwψ− Gψ(s) 1+ Gψ(s) δ ψe (1.8)

Unfortunately, for the observation equation, ψrand δ ψref are unknown values. Inserting (1.3) in (1.7)

gives :

δ ψref = ψe− δ ψe− ψref (1.9)

ψe− ψref = δ ψref+ δ ψe (1.10)

∆ ψref = δ ψref+ δ ψe (1.11)

where ∆ ψref is the difference between the estimated and reference yaw, which is a known value.

1.4.2 Implementation

The baseline navigation system uses a GPS/INS in a loosely coupled configuration. The error state model estimates the attitude, velocity and position errors in the Earth frame (Savage,2007;Waldmann, 2007;Ma et al.,2009). This model is augmented to estimate the difference between the launcher and reference attitude. Since the launcher attitude dynamics equation is given in the body frame, the error state vector of the augmented model is also defined in the body frame. The complete error state model is given by : " ˙ x_lc ˙ x_a # = " A_lc1 0 A1 Aa # "x_lc x_a # + " B1 B2 0 0 0 Ba #     [∆ωm]BIB ∆aB_m [ωw]B_IB     (1.12)     δv_eE δr_eE ∆Ψ_refB     =    C1 0 C2 0 C3 Ca    "x_lc x_a # (1.13)

where x_lcis the loosely coupled error state vector, Alc1is the corresponding propagation matrix, B1

and B2 are the rate gyroscope and accelerometers noise input matrices.[∆ωm]BIB and ∆a B

mare the

rate gyroscope and accelerometers noise vectors given in the body frame. C1 and C2 are the observation matrices for the velocity error δvEe and the position error δrEe. The details of these vectors and matrices

can be found in appendix.

The vector x_arepresents the state that estimates the difference between the launcher and reference attitude. The matrix Aarepresents the close loop angular dynamics of the launcher. A1 indicates the

propagation of the loosely coupled attitude error into the augmented model (i.e. how the attitude estimation error of the navigation is manifested in the launcher angular dynamics). Bais the wind effect

input matrix and[ωw]B_IBis the angular velocity created by the wind. Finally, C3 and Cacombine the

loosely coupled attitude estimation error and the difference between the launcher and reference attitude to compute the difference between the navigation and reference attitude ∆Ψ_refB. The sizes and values of these matrices and vectors depend on the angular dynamics of the launcher, the details for those used in the current works can be found in appendix.

1.5

Performance comparison

The performance is analysed for four conditions. The first two are intended to validate the principle of using the reference trajectory. For those tests, the navigation model corresponds exactly to the launcher model, The precision gain and the robustness to GPS outage are evaluated using the estimation covariance matrix of the navigation Kalman filter. However, in real life, the launcher model and the statistics of the perturbations affecting it are not always perfectly known. For this reason, two basic robustness tests are performed on the augmented model to ensure that this one can handle both modelling and parameters errors. First, the simulation parameters are presented, then the simulation results are analysed.

1.5.1 Simulation parameters

The simulated mission is intended to put a satellite on a circular sun-synchronous orbit at an altitude of 500 km. The launch is performed from Churchill, Manitoba in Canada. Figure1.2(a)shows the launch site and figure1.2(b)the trajectory as a function of time during the endoatmospheric phase. During this phase, two engines are fired. One during the first 109 seconds and the second for the remaining time. Based on previous works achieved on the non linear launcher simulator, wind effect becomes negligible after 90 seconds of flight where the altitude is 26 km. Considering this, the simulations are done with a high wind power for the first 90 seconds of the mission and negligible wind power afterwards. In order to evaluate the robustness of the navigation solution to a GPS outage, the whole endoatmospheric phase is performed without GPS measurement. This one is simulated by a very high noise level on the velocity and position measurements. The following list summarizes the simulation parameters :