Commande supervisée d'un système à événements discrets. Une approche par l'outil Grafcet

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE

N° d’ordre :

Série :

Mémoire de Magistère

Présenté Par

AL ANI INES

Option

Contrôle

Membres du jury

Président M. F Soltani Professeur Université Mentouri Constantine Rapporteur Mlle. N Mansouri Professeur Université Mentouri Constantine Examinateur M. A Zatri Professeur Université Mentouri Constantine Examinateur M. A Chaoui Maître de conférences Université Mentouri Constantine Invité M. H Hamdi Chargé de cours Université Mentouri Constantine

(2)

Remerciements

Je remercie tout d’abord Dieu Tout Puissant de m’avoir permis de

terminer ce travail.

Je tiens à exprimer mes sincères remerciements à mon encadreur,

Mr H.Hamdi,

pour son soutien et ses précieux conseils.

Je remercie également Mr H.ALLA, inspirateur de ce sujet, pour ses

orientations, sa documentation et ses judicieuses recommandations.

Je remercie Mlle N.Mansouri, mon encadreur administratif, qui m’a

soutenue, conseillée et permis de mener ce travail à son terme.

Je tiens à exprimer ma reconnaissance et ma gratitude à tous mes

professeurs, particulièrement ceux qui m’ont soutenue durant mes

années d’études.

Enfin, je remercie les membres du jury pour avoir accepté de juger

ce modeste travail.

AL-ANI INES

(3)

Dédicaces

Je dédie ce modeste travail à

Mes très chers parents qui m’ont éclairée le chemin du succès

en me donnant la main tout au long de mes années d’études. C’est

grâce à eux que j’en suis arrivée à ce stade.

Mes frères et sœurs qui ont toujours été près de moi pour

m’encourager et me soutenir.

Ma très chère tante et sa famille.

Mon mari qui ma soutenu moralement et physiquement dans les

plus difficiles moments.

Ma belle famille.

Ma famille en IRAQ.

L’âme de mes grands parents.

Mes amis ainsi que tous ceux qui ont été à mes cotés pour

m’aider et me soutenir durant toutes mes années d’études.

(4)

SOMMAIRE

INTRODUCTION

……….………..…..1

CHAPITRE I

Supervision des systèmes à événements discrets

I.1. Principe de supervision .….………..……….…..………….4

I.2. Techniques de base utilisées en supervision .….………..………...…..5

I.2.a. Méthode basée sur les automates………....….5

I.2.b. Méthode de l’invariant …………..….……….……..….6

I.2.c. Méthode de sur état………...8

I.2.d. Méthode structurelle...………...………..………...…..10

CHAPITRE II

Supervision des SED modélisés par Grafcet

Introduction ………..………..……….…….…..………..12

II.1. Supervision par le principe de précédence II.1.a. Concepts de transitions contrôlable, incontrôlable, interdit………..……..12

II.1.b. Concepts d’états admissible, frontière, admissible...14

II.1.c. Synthèse du superviseur ………...….14

II.2. Application de la méthode de précédence sur le procédé SPT………...…22

II.2.a. Graphes d’états du SPT…………...………...……….23

II.2.b. Synthèse du superviser du procédé (SPT) ……….………….……...24

II.2.c. Fonctionnement du procédé SPT supervisé………..…….30

II.3. Application de la méthode structurelle sur le procédé SPT………...32

II.3.a. Réduction des contraintes par la méthode de l’invariant ………...…..…..33

II.3.b. Détermination des étapes de contrôle ………...…...……..34

II.3.c. Etablissement du Grafcet supervisé ………….………...…….….37

II.4. Comparaison des résultats obtenus par les deux méthodes…….………….…...….37

(5)

CHAPITRE III

Exemple d’implémentation sur API

Introduction ………..………..…...39

III.1. Description et principe de fonctionnement du procédé AME ..………...…...…39

III.2. Synthèse du superviseur III.2.a. Recherche d’états interdits ……….……..……….41

III.2.b. Détermination du superviseur ………...44

III.2.c. Fonctionnement du procédé supervisé ..………...…...47

III.3. Implémentation du Grafcet de commande supervisée III.3.a. Adressage des entrées / sorties……….………...50

III.3.b. Programme séquentiel en langage PL7-2………....……….…....…...51

III.3.c. Programme postérieur (actions) en langage LADDER………...53

III.3.d. Programme préliminaire ………...………..……...54

III.4. Conclusion………...………..……...56

CONCLUSION

……….………...57

(6)

Liste des figures

Figure1.1 Schéma modulaire du procédé étendu avec superviseur……. ………4

Figure 2.1 Graphe d’Etats Accessibles ………13

Figure 2.2 Détermination des étapes EPré et ESuc ……….….19

Figure 2.3 Conditions de supervision vérifiées sur le GEA. ……….….20

Figure 2.4 Système de Pesage et Transport (SPT). ……….….22

Figure 2.5 Grafcets de commande du SPT………...….….23

Figure 2.6 Grafcet du procédé (SPT) non supervisé. ……….….….23

Figure 2.7 Graphe d’états accessibles du procédé (SPT) non supervisé………24

Figure 2.8 Graphe d’états accessibles simplifié du procédé (SPT) non supervisé……..…..27

Figure 2.9 EPré et ESuc de l’étape E3 sur le GEAS…..………27

Figure 2.10 EPré et ESuc de l’étape E12 sur le GEAS………..28

Figure 2.11Conditions de supervision sur le GEA du SPT……….…..28

Figure 2.12 Graphe d’Etats Accessibles Simplifié du SPT………29

Figure 2.13 Grafcet de commande du procédé (SPT) supervisé………30

Figure 2.14 Graphe d’états accessibles sous superviseur du SPT………..30

Figure 2.15 Grafcet de commande simplifié du procédé (SPT) supervisé………..31

Figure 2.16 Couplage de la synchronisation avec la commande………...………..32

Figure 2.17 Grafcet de commande du procède avec synchronisation……..………..32

Figure 2.18 Grafcet de commande du SPT avec le superviseur de Kattan…….…………..37

Figure 3.1 Identification des actionneurs………..………39

Figure 3.2 Identification des détecteurs de fin de course……….………….40

Figure3.3 Cycle de fonctionnement du procédé AME………...40

Figure 3.4 Grafcets partiels du procédé AME………..………..41

(7)

Figure 3.6 Graphe d’état accessible du procédé AME non supervisé………....43

Figure 3.7 Graphe d’états accessibles simplifié du procédé AME non supervisé…………45

Figure 3.8 Le GEAS avec ordre d’occurrence de Epré et Esuc………..46

Figure 3.9 GEA avec les conditions de précédence ………....47

Figure 3.10 Grafcet de commande supervisé de AME……….………....48

Figure 3.11 Graphe d’états accessibles sous superviseur de AME……….…...48

(8)

Liste des tableaux

Tableau 2.1 Table de réduction sur états – contraintes……….26

Tableau 3.1 Table de réduction sur états - contraintes………..44

Table 3.2 Adresses des entrées………....…50

(9)

(10)

INTRODUCTION

1

INTRODUCTION

Dès ses origines, la théorie des systèmes et leur commande s'est intéressé à des systèmes physiques, décrits généralement par les équations différentielles ou aux

dérivées partielles, auxquelles obéissent les phénomènes physiques correspondants.

En 1980 le monde de l'Automatique a pris en compte la gestion et la commande des"Systèmes à Événements Discrets" SED, où l'espace d'état est un ensemble

discret et le changement d’état s’effectue à des instants précis. A chacune de ces

transitions on peut associer un événement. Les variables d'état peuvent prendre des valeurs continues, par contre leur début et leur fin sont conditionnés par des événements.

Dans ces systèmes, l'essentiel de l'enchaînement dynamique des tâches provient du phénomène de synchronisation, nécessaire dans le cas de l'exclusion mutuelle ou de la compétition pour l'utilisation de ressources communes [1].

De nouveaux outils et de nouvelles méthodologies ont été développés afin de modéliser, analyser les performances et concevoir la commande de tels systèmes. Parmi les plus courants on peut citer les réseaux de files d'attente, le suivi de "trajectoire" des transitions [2], les réseaux de Pétri et algèbre linéaire [3], les automates et langage formel [4], la théorie des régions [5].

La modélisation des systèmes à événement discret utilise la notion de représentation modulaire. Chaque système est composé de deux parties, le procédé

étendu et le superviseur.

Un superviseur est un SED qui permet de modifier le fonctionnement d’un procédé en interdisant la génération par le procédé de certains événements. Les techniques qui permettent de le synthétiser de façon systématique sont basées sur le concept de contrôlabilité, qui est la clef de la théorie de Ramadge et Wonham [6].

La théorie de la supervision des systèmes à événements discrets fournit des techniques qui permettent de garantir, à priori, que le fonctionnement du système supervisé respectera un cahier de charges imposé. Cette théorie, initiée par les travaux de Ramadge et Wonham dans le début des années 80, est basée sur l’utilisation des modèles automates et des langages formels. L’inconvénient de cette technique est l’explosion combinatoire du nombre d’états.

Charbonnier [7] a pu faciliter la synthèse du superviseur en combinant Grafcet,

(11)

INTRODUCTION

des spécifications du superviseur est contrôlable par rapport au langage du procédé étendu, le Grafcet de spécification lui-même constitue le Grafcet du superviseur. Cependant le problème n’est pas résolu dans le cas où le langage des spécifications est non contrôlable.

Pour résoudre ce problème, plusieurs méthodes de synthèse de commande basées sur les Réseaux De Pétri "RDP" ont été proposées. Dans ce contexte l’ensemble des marquages interdits correspond aux séquences d’événements interdits.

Yamalidou [8] a représenté les spécifications de fonctionnement traduisant les états qui

doivent être interdits (marquages interdits) sous forme de contraintes. Son principal apport, qui a été capital pour les travaux qui ont suivi, a été la formulation sous forme mathématique des contraintes et de la matrice d’incidence du procédé. Chaque état interdit amène à une contrainte de fonctionnement.

Moody [9] a modifié les contraintes afin de construire les places de contrôle du

superviseur optimal.

Mais le nombre de contraintes peut être important. Dideban et Alla [10] ont présenté des méthodes systématiques qui permettent de réduire le nombre de contraintes pour les réseaux saufs et conservatifs. Dideban a également proposé [11] une généralisation de la méthode pour l’étendre à des RDP non saufs.

Cependant toutes ces techniques présentent l’inconvénient majeur d’obtenir une commande qui n’est pas directement opérationnelle. En effet il faut passer par la phase de traduction sous forme de Grafcet (avec tous les inconvénients que cela comporte), pour pouvoir implémenter le résultat sur un Automate Programmable Industriel (API).

Kattan [12] a appliqué la méthode de l’invariant pour synthétiser une supervision de

commande basée sur le Grafcet. Cependant au moment de la création du superviseur, il réutilise le concept de matrice d’incidence du RDP. Au final les résultats obtenus ne diffèrent pas beaucoup de ceux obtenus avec les RDP. En plus d’être une approche structurelle, la différence principale de la méthode est l’essai d’obtention du superviseur directement sous la forme d’un Grafcet.

Notre travail consiste à développer une technique qui permet de synthétiser un superviseur de commande qui soit optimal (le plus simple possible), en utilisant l’outil

Grafcet de bout en bout. Le Grafcet sera utilisé dans toutes les phases de conception,

de la modélisation du procédé et de sa commande à la synthèse du superviseur. Le gros avantage de l’utilisation du Grafcet est d’obtenir un résultat qui est directement implantable sur un API.

(12)

INTRODUCTION

3 Ce document qui résume notre travail est structuré en trois chapitres. Le premier résume les travaux qui représentent une extension importante de la théorie de

Ramadge & Wonham, et qui sont la base de la supervision des SED. Parmi ceux là,

nous insisterons sur les concepts d’invariant et de sur état.

Le deuxième chapitre est consacré à l’exposé de notre technique. Après une brève définition des concepts de transition contrôlable, incontrôlable et interdite, on aborde les concepts d’états acceptable, frontière et interdit, déduits du graphe d’états accessibles. Ces concepts sont utilisés pour déterminer l’ensemble de contraintes équivalent au graphe, puis cet ensemble est réduit en utilisant la notion de sur état, pour aboutir à un ensemble d’étapes de contrôle. Cet ensemble est enfin minimisé grâce à la technique de précédence pour obtenir le superviseur optimal. A chaque étape de notre approche, nous gardons présent à l’esprit l’optimalité du modèle. Ensuite les résultats obtenus seront appliqués sur un exemple simple, dans un but de comparaison avec ceux obtenus par la technique de Kattan (méthode structurelle de supervision basée sur le Grafcet).

Le troisième chapitre traite du volet implémentation. Nous appliquons la technique développée à l’exemple concret d’un poste d’alimentation, matriçage et évacuation de pièces. L’alimentation est effectuée par un robot électropneumatique, le matriçage et l’évacuation de ces pièces s’effectue par des vérins électropneumatiques.

L’ensemble a un fonctionnement automatique, et nous traitons la conception et l’implémentation de la commande supervisée, sur l’automate programmable industriel

(13)

CHAPITRE

I

Supervision des systèmes

à événements discrets

(14)

CHAPITRE 1 Supervision des systèmes à événements discrets

4

I.1. Principe de supervision

Un système est constitué de trois modules : procédé, commande, superviseur (cf. figure 1.1).

Le procédé représente la partie physique du système avec tous les dispositifs de fonctionnement, qui seront pilotés par le module de commande. Le procédé fournira les événements concernant les fonctions qui doivent être accomplies pour que le module commande puisse donner les ordres d’action nécessaires au bon fonctionnement. On appelle procédé étendu l’ensemble constitué du procédé et de la commande.

Figure1.1 Schéma modulaire du procédé étendu avec superviseur.

Pour illustrer l’utilité du superviseur on doit faire appel à la notion de la contrôlabilité des

SED.

La contrôlabilité est le concept le plus important sur lequel sont basée toutes les

études établies dans ce domaine. Dans le procédé on a des actions et des événements, les actions sont les ordres ∑ envoyés par la commande vers le procédé _co

et les transitions ∑ représentent la réponse du procédé aux ordres reçus. _pr La commande a le pouvoir de gérer les actions du procédé mais non pas celui de les

interdire car elle ne fait pas la différence entre les événements contrôlables ∑ et _c incontrôlables ∑ (_u ∑_co∈∑_c∪∑_u, ∑_pr ∈∑_c∪∑_u), ceci est le rôle du superviseur.

Un événement contrôlable est un événement qui peut être interdit ou autorisé par

un superviseur, mais ce dernier ne peut effectuer la même opération avec les événements incontrôlables car ils ne le permettent pas.

L’occurrence des événements incontrôlables provoque des défaillances dans le fonctionnement du procédé. Le rôle du superviseur sera de prédire ces défaillances

(15)

puis les interdire en intervenant sur les événements contrôlables, pour assurer que le fonctionnement du système en boule fermée (procédé bouclé avec le superviseur) réponde aux exigences de fonctionnement décrites dans le cahier de charges.

Pour synthétiser le superviseur soit on a recours aux automates & langages formels, soit on procède à la synthèse directe en se basant sur l’outil utilisé pour modéliser la commande, c’est le RDP ou le Grafcet.

Les modules de commande et de supervision sont séparés. Cela ajoute des performances à la modélisation, car si on modifie les spécifications ou contraintes de fonctionnement à imposer au niveau de la supervision, le système de commande ne doit pas être modifié. Seul le superviseur sera modifié. Il en est de même pour les systèmes modulaires constitués de sous systèmes, et par voie de conséquence de modules de commande propres à ces sous systèmes, ceci facilitera la modification et l’extension. Cette caractéristique est à la base de la modélisation des systèmes à événements discrets.

I.2. Techniques de base utilisées en supervision

I.2.a. Méthode basée sur les automates

Cette technique [6] présente les principes de base de la supervision, elle est basée sur les automates et les langages formels pour synthétiser le superviseur. En plus de l’explosion combinatoire du nombre d’états, l’application de cette technique est lourde car on effectue beaucoup de transformations pour aboutir au modèle automate du procédé sous supervision.

Pour résoudre ce problème d’autres techniques ont été développées. Parmi les plus importantes on peut citer celle de charbonnier [7] où la commande et la supervision sont modélisées par le Grafcet, mais le test de la contrôlabilité est implémenté sur le modèle automate.

La commande de chaque sous système est représentée par un Grafcet indépendant, le superviseur doit quant à lui assurer le respect des spécifications de commande.

Puis il faut modifier les Grafcets de commande en leur rajoutant des conditions pour qu'ils prennent en compte la supervision. Ces conditions doivent être reportées sur les événements contrôlables.

(16)

6 Le Grafcet de commande sous supervision de chaque sous système sera ensuite exprimé par un modèle automate, et le Grafcet de supervision sera exprimé par une machine de Moore. Puis Tous ces automates seront combinés pour obtenir le modèle automate de la commande sous supervision.

Ces transformations sont faites pour pouvoir exprimer le superviseur et la commande par un modèle accepteur, afin de vérifier la contrôlabilité des spécifications de supervision par rapport au langage du procédé étendu (commande), par le biais de l’algorithme de Kumar [13]. Si la contrôlabilité n’est pas satisfaite, il faut refaire la synthèse du modèle accepteur du langage suprême contrôlable (le plus grand langage contrôlable) du fonctionnement désiré.

On remarque que l’avantage de cette étude réside dans l’utilisation du Grafcet

comme outil de modélisation, mais la synthèse du contrôleur est très lourde. Le problème d’explosion combinatoire est résolu uniquement en partie, car il ne

l’est pas dans le cas où le langage des spécifications est non contrôlable.

De plus la commande est modifiée (plus précisément ses Grafcets) selon les spécifications de supervision, ce qui ne répond pas au but de la modélisation en modules.

I.2.b. Méthode de l’invariant

Yamalidou [8] utilise le réseau de Pétri pour modéliser la commande et la supervision (RDP sauf), et le quasi-RDP pour synthétiser le superviseur de commande, le but étant d’obtenir un graphe de marquage qui satisfait les spécifications de fonctionnement en boucle fermée. L’occurrence d’événement incontrôlable provoque des défaillances dans le fonctionnement, ces défaillances sont représentées par des états appelés états interdits et frontières (un état correspond a un ensemble de places marquées), donc l’interdiction d’état revient à interdire le marquage équivalent.

Soit P1P2...Pn un état interdit, alors le marquage m1m2..mn sera interdit.

Cela se traduit sous forme de contrainte linéaire par : 1 1 − ≤

∑

= n m n i i (1.1)

qui indique que la somme des marquages mi doit être inférieure ou égale au nombre de

places n moins un, pour s’assurer qu’au moins une place est non marquée (un état non atteint).

(17)

Pour satisfaire cette condition on ajoute au RDP des places de contrôle, qui seront définies à partir des contraintes. Le nombre de places de contrôle dépend du nombre de contraintes.

Soit un procédé P dont la commande est modélisé par un RDP constitué de p places et t transitions, dont la matrice d’incidence est donnée par Dp(p.t).

Le nombre de contraintes k (égal au nombre d’états frontières) sera exprimé sous la forme de : m b n i i ≤

∑

=1

(n est le nombre de places dans chaque contrainte, b le nombre max de marquages qui ne doit pas être dépassé).

Chaque contrainte permet de définir un vecteur Lj de dimension (1.p).

Les places qui appartiennent à la contrainte prennent la valeur 1 dans Lj , et les autres

prennent 0. Comme j varie de 1 jusqu'à k on peut alors construire la matrice des contraintes L(k.p) depuis l’ensemble de contraintes :

            = ) . 1 ( . . ) . 1 ( ) . ( 1 p L p L p k L k (1.2)

La matrice d’incidence DC du contrôleur est définie par : DC =−L.DP (1.3)

où chaque ligne de la matrice DC représente une place de contrôle ( DC a une

dimension (k.t) ), les transitions qui possèdent 1 et -1, seront utilisées comme sortie et

entrée pour la place de contrôle.

Le marquage initial des places de contrôle sera obtenu à partir de la formuleµC0 =b−L.µP0, (1.4a)

où µc0 désigne le marquage initial des places de contrôle, et µp0 celui des placesdu

procédé. Si on exprime les marquages sous forme vectorielle, la relation 1.4 devient :

          •             −           =           pp p k k ck c P P p L p L b b P P .. ) . 1 ( . . ) . 1 ( .. .. 1 1 1 1 (1.4b)

(18)

8 La technique de Yamalidou permis de trouver les places de contrôle nécessaires à l’élimination des contraintes du fonctionnement. Son inconvénient est le nombre important de places de contrôle, car chaque contrainte introduit une place de contrôle. Pour réduire ce nombre Yamalidou a développé la méthode de l’invariant.

Le quasi-RDP exprime tous les états par lesquels passera le système (procédé étendu avec les spécifications de fonctionnement). Une transition incontrôlable ∑ est _U franchie si les places situées en amont et appartenant au RDP de commande d’un procédé (ou sous système) sont marquées (elle n’inclue pas les spécifications de la commande), indépendamment du marquage des places situées en amont de cette transition, et appartenant aux RDP des autres sous systèmes.

Les transitions qui provoquent des défaillances dans le système sont appelées transitions interdites. Tout état placé en amont est un état interdit. S’il possède au moins une transition contrôlable en amont il sera traité comme état frontière. Sinon on cherche le premier état qui se situe en amont de l’état interdit et qui dispose au moins d’une transition contrôlable en amont pour qu’il soit un état frontière.

D’après les états frontières on constitue l’ensemble des contraintes linéaires. Pour réduire ce nombre on fait appel à la méthode de l’invariant.

Cette technique permet de remplacer r contraintes constituées de n places par une seule contrainte constituée de n-1 places, si certaines conditions sont vérifiées :

- Il faut que les r contraintes possèdent n-1 places communes,

- les places non communes exprimées sous forme de vecteur X satisfont l’équation de l’invariant XT(1.p)⋅D_p(p.t)=0_{(donc forment un ensemble de places X}

i

qui ne peuvent jamais être marquées en même temps, invariant).

Soient r états frontière P1Pk...Pj, P2Pk...Pj, .., PrPk..Pj. Chaque état est constitué de

n places (n>2), exprimées sous forme de contrainte linéaire par : 1 M .. M M₁+ _k+ + _j≤n− 1 M .. M M₂₊ _k ₊ ₊ _j_≤_n₋ _(1.5) … 1 M .. M M_r + _k + + _j≤n−

Si M₁₊M₂ ₊..₊M_r ₌1_{, les places P}_1, _{.., P}_r_{forment un invariant, donc on peut}

remplacer les r contraints linéaires par une seule:

(19)

Dans le cas où l’équation d’invariant n’est pas vérifiée cette technique de réduction de contraintes n’est plus valable.

I.2.c. Méthode de sur état

Le travail de Dideban [11] est complémentaire à celui de Yamalidou. Il a utilisé la même démarche pour trouver les places de contrôle et déterminer le marquage initial, mais pour réduire les contraintes il a développé la méthode de sur état.

Dideban considère que si l’ensemble des états interdits possède un élément commun Pi alors on peut empêcher l’occurrence de ces états en interdisant l’occurrence de cet élément Pi, appelé sur état.

L’approche revient à interdire un nombre réduit de sur état, mais qui couvre le maximum de contraintes, à condition qu’il n’inclue pas de sur état admissible.

La technique appliquée est résumé comme suit :

Pour chaque état frontière de dimension n, on réalise le sur état bi qui représente

l’ensemble des états obtenus par toutes les combinaisons possibles des places constituant la contrainte, et dont la dimension est inférieure ou égale à n.

Soit P1P3 un état frontière, son sur état est donné parb 1 =

P

1

, P

3

, P

1

P

3 .

L’union des bi forme l’ensemble global de sur état frontière

      ∪ = = i n i b B 1 1 .

De la même façon on constitue l’ensemble de sur état admissible

10

alors on peut écrire M_i1+M_i2...+M_ir ≤1.

Donc les r contraintes (M_i1₊M_x _≤1_, M_i2₊M_x _≤1_{, ..,} M_ir₊M_x _≤1_{) linéaires seront} remplacées par une seule M_x ₊M_i1...₊M_ir _≤1_.

L’ensemble réduit de contraintes obtenues depuis la technique de sur état et de fusionnement permet de faire le choix des éléments qui couvrent toutes les contraintes linéaires.

Réduire le nombre de contraintes entraîne la réduction du nombre de places de contrôle.

Cette combinaison de techniques (Invariant et sur état) a permis de faciliter la synthèse du superviseur de contrôle, pour un procédé dont la commande est effectuée par l’outil RDP.

L’inconvénient réside dans l’implémentation de la commande supervisée sur les Automates Programmable Industriel, qui n’est pas évidente. La solution qui a été appliquée consiste à transformer le RDP de la commande supervisée en Grafcet, car elle représente la voie d’implémentation directe.

I.2.d. Méthode structurelle

Pour résoudre le problème d’implémentation Kattan [12] a adapté une méthode, en

utilisant le Grafcet comme outil de modélisation. Mais pour synthétiser le superviseur il a appliqué directement les résultats obtenus à partir des études basées sur la modélisation RDP.

Vu que le Grafcet de commande a une structure similaire a celle du RDP sain,

Kattan a pu utiliser la technique de l’invariant pour synthétiser le superviseur exprimé

sous forme matricielle, depuis la matrice du procédé et la matrice des contraintes. Il a eu un superviseur qui a des performances identiques à celui obtenu par l’utilisation du

RDP.

Cette technique a permis de profiter des avantages apportés par l’outil de modélisation Grafcet dans l’implémentation sur API, donc de résoudre les difficultés d’implémentation causées par le RDP. De plus contrairement à celle de Charbonnier [7], elle ne modifie pas les Grafcets de commande des sous systèmes.

(21)

Cependant elle n’est pas optimisée, aussi bien pour le nombre d’étapes que celui des contraintes.

Notre but sera de profiter des avantages d’implémentation directe du Grafcet, en développant un technique basée sur le Grafcet de bout en bout : de la modélisation du procédé à l’implémentation sur API en passant par la synthèse du superviseur sous forme d’étapes de Grafcet. De plus le superviseur synthétisé devra être optimal.

On profitera bien entendu des résultats et des théorèmes obtenus pour le RDP sauf compte tenu de la nature discrète des événements générés par le Grafcet, et de la nature booléenne du franchissement des transitions.

Comme notre technique est également structurelle (basée sur la structure du Grafcet plutôt que le développement de grammaires et langages), la méthode de Kattan sera utilisée comme support de comparaison afin de déterminer les performances de notre technique.

(22)

CHAPITRE

II

Supervision des SED

(23)

CHAPITRE II Supervision des SED modélisés par Grafcet

Introduction

Les études basées sur le RDP pour commander les systèmes à événements

discrets ont permis d’obtenir une technique qui facilite la synthèse du superviseur, qui

est exprimée par des places de contrôle. Le nombre d’arcs n liés à chaque place de contrôle dépend du nombre pi de places qui constituent la contrainte linéaire (n=2pi). Une contrainte est constituée au minimum de deux places donc le nombre d’arcs sera au minimum 4.

Kattan [12] a utilisé les résultats développés pour les études de synthèse basées

sur le RDP en les appliquant à la synthèse basée sur le Grafcet. Il a adopté le même principe de synchronisation que celui du RDP, ainsi que la technique de réduction du nombre de contraintes.

Notre objectif est d’utiliser le Grafcet de bout en bout (de la spécification jusqu’à l’implémentation sur API) tout en nous efforçant de synthétiser le superviseur, le plus simple possible, qui satisfait les spécifications de fonctionnement.

II.1. Supervision par le principe de précédence

On va utiliser le Grafcet pour commander et synchroniser le fonctionnement du procédé, les contraintes imposées par les transitions incontrôlables seront réduites par la méthode du sur état. Pour aboutir au plus simple superviseur de contrôle on a développé une méthode basée sur le principe de " précédence" qu’on a appelée

"technique de prédécesseur et de successeur".

Dans ce qui suit, on décrit le détail des étapes à suivre pour obtenir le

superviseur.

II.1.a. Concepts de transitions contrôlable, incontrôlable, interdit

On réalise les Grafcets de commande (pour chaque sous système) ainsi que le

Grafcet de spécification qui permet la synchronisation entre ces derniers. Ensuite on

relie tous ces Grafcets pour obtenir le Grafcet de commande global qui permet d’obtenir le graphe "d’états accessibles" GEA.

Le GEA décrit le comportement du Grafcet de commande avec synchronisation. Le changement d’une étape Xi du Grafcet (activation ou désactivation) provoque un changement d’état de Ei vers Ej du GEA. Un état du graphe sera représenté par une

(24)

13 Figure 2.1 Graphe d’Etats Accessibles.

Le passage d’un état accessible Ei vers un autre Ej se fait par le franchissement d’une transition ti du Grafcet. On attribue à l’arc qui relie les deux états accessibles, l’information sur l’identité de la transition franchie. On a trois représentations différentes de transitions:

Transition contrôlable ou à événement contrôlable. Transition incontrôlable ou à événement incontrôlable. Transition interdite ou à événement interdit.

Définition 1: Transition contrôlable

Les transitions sont contrôlables (en d’autres termes les événements associés sont contrôlables), quand le franchissement de ces transitions, si elles sont validées par l’activité de leur(s) étape(s) amont, peut être autorisé ou interdit par une action du contrôleur autorisant ou pas la prise en compte de l’occurrence de l’événement qui leur est associé.

Définition 2: Transition incontrôlable

Les transitions sont dites incontrôlables (en d’autres termes les événements associés sont non contrôlables), quand le franchissement de ces transitions, si elles sont validées par l’activité de leur(s) étape(s) amont, sur occurrence de l’événement qui leur est associé, ne peut en aucun cas être interdit.

Un événement incontrôlable (correspondant au franchissement d’une transition incontrôlable) peut poser problème au niveau de la synchronisation, correspondant à une convergence en ET représentée par une sortie de séquence simultanée. Si le sous système force le passage de la transition sans attendre l’information de synchronisation apportée par la spécification, on aboutit à une situation interdite qui ne satisfait pas les spécifications de fonctionnement.

Donc implicitement ce type de transition va provoquer des problèmes de synchronisation.

E1E2 E1E3 .… EnEm

(25)

Définition 3 : Transition interdite

On dit qu’une transition (à événement incontrôlable) est interdite s’il s’agit d’une transition aboutissant à une situation interdite, qui ne satisfait pas les spécifications de fonctionnement.

II.1.b. Concepts d’états admissible, frontière, interdit

Le superviseur doit assurer l’accomplissement des exigences de fonctionnement. Au préalable il faut d’abord extraire tout type d’anomalie rencontrée dans le graphe d’états accessibles. Dans ce contexte on définit trois types d’états :

Définition 4 : Un état interdit _{est un état qui ne doit jamais être atteint car il a en}

aval au moins une transition interdite. L’ensemble des états interdits est représenté par

EI.

Pour pouvoir exclure ces états ils doivent avoir au minimum une transition contrôlable en amont, mais ce n’est pas le cas dans la majorité des situations, donc on fait appel aux états frontières.

Définition5 : état frontière _{est un état interdit qui dispose au minimum d’une}

transition contrôlable en amont. Si cette condition n’est pas vérifiée l’état frontière sera l’état situé en amont de l’état interdit et qui dispose d’une transition contrôlable en amont. L’ensemble des états frontière est représenté par E_B.

Définition6 : état admissible _{est un état qui n’est ni un état frontière ni un état}

interdit, c’est donc un état qui satisfait les spécifications de fonctionnement.

Exprimé autrement, on peut dire que c’est un état dont on est sûr que l’activation ne provoquera pas d’aléa de fonctionnement dans le système.

L’ensemble des états frontière est représenté par EA .

II.1.c. Synthèse du superviseur

Pour empêcher le franchissement des transitions incontrôlables qui aboutissent à des situations interdites, on interdit l’accès aux états défendus (précédant les transitions "indésirables") depuis les états autorisés immédiatement en amont. Cela se traduit par l’interdiction du franchissement d’une transition contrôlable.

L’algorithme, basé sur l’interdiction des états frontières, comprend les étapes suivantes :

- détermination des contraintes par les états frontières,

- réduction du nombre de contraintes par la méthode du sur état, - calcul du superviseur par la méthode de précédence,

(26)

15 - simplification et constitution du superviseur,

- vérification du fonctionnement du système en boucle fermée.

II.1.c.1. Transformation des états frontières en contraintes linéaires

Si E1E2….En est un état frontière constitué de n étapes, l’interdire revient à dire

qu’on doit avoir au moins une étape inactive. On peut exprimer cela sous forme de contrainte linéaire par 1

1 − ≤

∑

= n E n i i (2.1)

(Ei= 1 correspond à l’activation de l’étape Ei du Grafcet).

Les états frontières seront tous exprimés sous la forme de contraintes linéaires. Une étape de contrôle est une étape ajoutée au Grafcet initial qui permet de satisfaire ces contraintes. Le nombre d’étapes de contrôle dépendra du nombre de contraintes. Ce dernier sera réduit par la méthode du sur état.

II.1.c.2. Réduction du nombre de contraintes par la méthode du sur état

Dans cette méthode au lieu d’interdire n états frontières constitués de x étapes, on interdira r états frontière constitués de y étapes (r pn, y px), mais qui couvrent toutes les contraintes, à condition qu’il n’y ait pas d’état admissible inclus dans l’interdiction (n, r, x, y : naturels positifs).

Le nombre de contraintes ainsi que le nombre d’étapes présentées dans chaque contrainte sera réduit.

En premier lieu il faut construire les ensembles de sur états frontières et admissibles, puis ôter de l’ensemble des sur états frontières les éléments qui appartiennent à l’ensemble des sur états admissibles. Ensuite pour obtenir l’ensemble réduit des sur états frontières il suffit d’éliminer les états redondants.

a. Ensembles de sur états frontières et admissibles

Définition7 : sur état

Soit Ei= { Ei1Ei2…Eim } un état du système. L’ensemble des sur états de Ei noté

E

i sur

est égal à l’ensemble des parties de Ei sans l’ensemble vide.

En d’autres termes le sur état

E

i sur

est l’ensemble de toutes les combinaisons d’étapes possibles obtenues à partir de l’état Ei.

Ainsi par exemple pour l'état frontière bi=E1E2E3, l’ensemble de ses sur états est

(27)

L’union des

b

isur forme l’ensemble

B

1 global des surétats frontières

sur i 1 = 1

=

∪

b

B

n i

(n=card (EB) est le nombre d’états frontière).

Il en est de même pour l’ensemble des états admissibles EA qui donnera

l’ensemble des sur états admissibles

A

1 :

sur i m i

a

A

1 =

1

=

∪

(m=card (EA) est le nombre

d’états admissibles)

b. Suppression des sur états admissibles de l’ensemble des sur états frontières

Par construction de l’ensemble des sur états frontières

B

1, on peut avoir introduit

des sur états admissibles appartenant à

A

1. Il faut alors les supprimer.

B

2

’

B2 = '2− 2 ∈ '2/∃ 2i∈ '2Λ 2 ⊂ 2 : il faut supprimer b2j de la liste

B

2’si b2j

est un sous ensemble de b2i qui est inclus dans

B

2’.

d. Réduction du nombre de sur états

Depuis la liste

B

2 on choisit les sur états qui couvrent toutes les contraintes

linéaires. Pour le faire on construit d’abord un tableau de sur états et de contraintes : les sur états en lignes et les contraintes en colonne. Puis en adoptant une technique proche de celle de Mc Cluskey en logique combinatoire [14], on attribue à chaque sur

état la liste des contraintes qui le couvrent. L’ensemble de contraintes réduit C2 est

constitué des sur états qui couvrent le maximum de contraintes tout en éliminant la redondance.

L’algorithme de construction de l’ensemble C2 est le suivant :

• Lecture des tableaux

B

2 (sur états) et E_{B (contraintes).}

(28)

17 - Prendre un élément de

B

2 et l’écrire dans D. Lui associer (c'est-à-dire écrire dans

2.

- Refaire le même travail pour tous les éléments de D

- Supprimer du tableau

C

2 tous les éléments qui ne possèdent pas de contraintes. e. fusionnement des contraintes

Soient {EiEi1, EiEi2, EiEi3, .., EiEin} des éléments de

C

_2,où Ei, représente une

étape commune (ECM) à toutes les contraintes, et Ei1, Ei2, Ei3, .., Einreprésentent les

étapes non communes (EN-CM). Si aucun des éléments de l’ensemble {Ei1Ei2, Ei1Ei3, …,

Ei1Ein, Ei2Ei3, Ei2Ei4, .., Ei2Ein, ..,Ein-1Ein}, obtenu par combinaison des étapes non

communes, n’appartient à l’ensemble des sur états admissibles

A

1 (cela signifie que

les étapes non communes Ei1, Ei2, Ei3, .., Einne sont jamais toutes actives en même

temps), alors on peut fusionner les contraintes en écrivant [11]:

1 E E_i₊ _i1_≤ 1 E E_i + _i2 ≤ 1 E E_i ₊ _i3 _≤ _⇔E_i ₊E_i1₊E_i2₊ ₃₊..₊ _≤1 in i E E (2.2) …. 1 E E_i ₊ _in _≤

(29)

1 peuvent être fusionnés ou non:

• Si les éléments de

C

1 sont non fusionnés et représentés par ExEy..Ew , ces étapes

ne doivent pas être actives en même temps,

1 E .. E E E ..E E E E_x _y _z _w_∈_C₁⇒ _x ₊ _y ₊ _z₊ ₊ _w _≤_n₋ _(2.3) Il faut que la désactivation de chaque étape de la contrainte (notée↓ Ei) permette

( a) l’activation (notée↑Ei) des autres. Si le nombre d’étapes qui constituent la

contrainte augmente, implicitement le nombre de conditions augmente.

(

)

(

)

(

)

(

↓ ↑ ⋅↑ ⋅↑ ⋅⋅

)

∧ ∧ ↑ ⋅ ⋅ ↑ ⋅ ↑ ↓ ∧ ↑ ⋅ ⋅ ↑ ⋅ ↑ ↓ ∧ ↑ ⋅ ⋅ ↑ ⋅ ↑ ↓ ⇔ − ≤ + + + + z y w y w z w z w z y x E E ... E E E E E E 1 E .. E E E x w x z x y y x E E E E E E E E n a a a a (2.4)

Donc on aura besoin de n conditions pour éviter l’activation simultanée de ces étapes.

Chaque condition sera exprimée par une étape de contrôle. Le nombre d’arcs liés à cette étape est égal au nombre d’étapes qui constituent chaque condition: un arc entrant provenant de l’étape désactivée, et n-1 arcs sortants pour valider l’activation des n-1 étapes restantes.

Le but est de synthétiser un superviseur qui accomplit la même tâche mais qui a une taille réduite. Pour cela il faut réduire le nombre de conditions ainsi que le nombre d’étapes qui constituent chaque condition.

(30)

19

Notre approche consiste à dire qu’au lieu que la désactivation de chaque étape de la contrainte autorise l’activation des autres, il suffit qu’elle autorise l’activation de l’étape qui lui succède dans le "graphe d’états accessibles simplifié" GEAS1 du procédé non supervisé. Ainsi l’ordre d’occurrence des étapes qui constituent la contrainte va définir les conditions d’activation.

Considérons l’exemple précédent et supposons que : 1 E .. E E E ..E E E

E_x _y _z _w_∈_C₁ ⇒ _x ₊ _y ₊ _z ₊ ₊ _w _≤ _n₋ _{, où l’ordre d’occurrence dans le}

GEAS du procédé non supervisé est donnée par : Ey , Ex, Ez, .., Ew . Par conséquent

(

Ey Ex

) (

Ex

)

(

E Ew

) (

Ew Ey

)

n− ⇔ ↓ ↑ ∧ ↓ ↑ ∧ ∧ ↓ ↑ ∧ ↓ ↑ ≤ + + + + _y _z _w a a _z _..a a x E E .. E 1 E .. E (2.5)

Le nombre d’étapes dans chaque condition a diminué de n à 2.

• Si

C

1 contient des contraintes fusionnées, ECM +ENCM1+ENCM2+..+ENCMi ≤1

Il faut que la désactivation de l’étape commune ↓ECM permette l’activation des

étapes non communes et vice versa. Elle sera donc exprimée par :

(

)

(

)

(

)

(

NCMi CM

)

CM NCM CM NCM NCM CM E E E E E E E E ↑ ↓ ∧ ∧ ↑ ↓ ∧ ↑ ↓ ∧ ↑ ∨ ⋅ ⋅ ∨ ↑ ∨ ↑ ↓ ⇔ ≤ + + + + a a a a ... E E 1 E .. E E E 2 1 NCMi NCM2 1 NCMi NCM2 NCM1 CM (2.6)

Réduire le nombre de conditions et le nombre d’étapes dans chaque condition revient à déterminer pour chaque étape commune ECM, en utilisant le GEAS, l’étape

prédécesseur EPré et successeur ESuc depuis les étapes EN-CM qui constituent la

contrainte (sachant que les bouclages seront pris en considération) (cf. figure 2.2).

Figure 2.2 Détermination des étapes EPré et ESuc .

(Les étapes de la contrainte sont notées ECM et ENCM)

1

:Ce graphe représente le fonctionnement désiré du procédé.

Il est obtenu du GEA en supprimant tous les états frontières et interdits

EPré t8 t4 ExECM ExEN-CM1 EyEx EyE N-CM2 ExEz t5 t1 t6 ESuc EyEz

C

1 (fusionnées ou non) aboutit à la diminution du nombre de conditions de supervision.

Une deuxième simplification peut avoir lieu si certaines conditions sont vérifiées. • Cas des contraintes fusionnées

(

↓ EPré a↑ ECM

) (

∧ ↓ECM a↑ESuc

)

Les conditions de supervision permettent d’interdire le passage d’un état admissible qui inclut Epré vers un état frontière qui inclut ECM, ou d’un état admissible qui

inclut ECM vers un état frontière qui inclut ESuc . L’interdiction de ces passages implique

le blocage des états qui mettent le système dans des états frontières ou interdits.

Si depuis un état admissible qui inclut EPré on peut passer à un état frontière

qui inclut ECM (condition de précédence CPré), alors on conserve la condition de

supervision ↓E_Pr_é a↑E_CM. _{Ceci va donner naissance à une étape de contrôle dont} l’entrée est EPréet la sortie est ECM.

Si depuis un état admissible qui inclut ECM on peut passer à un état frontière

qui inclut ESuc (condition de succession CSuc ), alors on va conserver la condition de

supervision ↓ECM a↑ESuc, ce qui va donner naissance à une étape de contrôle dont

l’entrée est ECMet la sortie est ESuc (c.f figure 2.3) .

Figure 2.3 Conditions de supervision vérifiées sur le GEA. t2 État frontière t8 t4 ExECM ExEz EyEPré EyECM ExESuc t5 t1 État Admissible t5

(32)

21 Dans le cas contraire, la condition de supervision est inutile et sera donc supprimée.

• Cas des contraintes non fusionnées

(

↓E_y a↑E_x

) (

∧ ↓E_x a↑E

)

∧..∧

(

↓E_wa↑ E_y

)

z

Chaque contrainte non fusionnée est exprimée par un ensemble de conditions sous la forme de (↓Ei a↑Ej). Chaque condition donnera naissance à une étape de

contrôle si depuis un état admissible qui inclut Ei (étape désactivée) on peut passer à

un état frontière qui inclut Ej (étape activée). L’entrée d’étape de contrôle sera Ei

et la sortieEj .

c. Recherche de l'étape initiale

Une condition de supervision vérifiée implique une étape de contrôle ajoutée au superviseur. Comme indiqué précédemment, la simplification des conditions de supervision permet d’une part de réduire le nombre d’étapes de contrôle, et d’autre part de limiter le nombre d’arcs entrant ou sortant d’une étape de contrôle à un seul arc.

Parmi les étapes de contrôle on doit avoir une étape qui sera initialement active, sinon le système sera bloqué. On recherche dans le GEAS du procédé non supervisé (sans état frontière ni état interdit) la première occurrence d’une étape de type ECM ou

Activée

E _{. L’étape de contrôle qui l’active (et donc qui la précède) sera considérée comme} étape initiale.

d. Vérification du fonctionnement du système en boucle fermée

On doit vérifier que le modèle obtenu traduit bien le cahier de charges.

Pour cela on réalise d’abord le GEA du procédé supervisé à partir du Grafcet de commande avec les étapes de contrôle. Puis on vérifie que ce GEA ne comporte ni état frontière ni état interdit.

En effet le superviseur a pour rôle d’influer sur le fonctionnement du système en interdisant les états frontières et interdits. Par conséquent les états interdits et leurs arcs amont et aval seront automatiquement supprimés et les spécifications de fonctionnement seront ainsi satisfaites.

(33)

II.2. Application de la méthode de précédence sur le procédé SPT

On va appliquer la technique de supervision développée sur l'exemple donné figure 2.4. Le procédé est constitué de deux sous systèmes qui assurent le pesage de produits puis leur transport.

Figure 2.4 Système de Pesage et Transport (SPT).

A l'état initial, la cuve C1 est vide (zéro z de la bascule), et le wagon est en

position gauche (détecté par x).

Le cycle de travail consiste à peser successivement les deux produits A et B jusqu'aux niveaux a et b.

Si le wagon est dans la position X1 on peut vider la cuve C1.

Dès que le niveau z de la balance est atteint, le wagon W sera déplacé vers la position Y1 par l’action de la commande W1. Dans cette position le wagon sera vidé par

l'action Vin (on ne s’intéresse pas au détail de l a vidange).

Après la fin de la vidange (détectée par vi) la commande W2 permet le retour du

wagon à sa position initiale.

Les évènements b, ↑X, vi sont incontrôlables.

II.2.a. Graphes d’états du SPT

II.2.a.1. Grafcets de commande et de synchronisation du SPT

Les commandes du système de pesage et de transport sont modélisées séparément, puis ont effectue la synchronisation.

Y a X1 Y1 W1 W2 X W dcy1 dcy2 A1 Va Vb B1 z b Vc C1

(34)

23 Figure 2.5 Grafcets de commande du SPT.

Les transitions à événements contrôlables sont t1=dcy1,t2= ↑Z, t3=a, t5=z, t11=dcy2, t13=y.

Les transitions à événements incontrôlables sont t4=b, t12=↑X, t14=vi, t15=x.

La synchronisation se fait grâce aux événements ↑Z et ↑X (z et x sont des

conditions initiales). L’ouverture de la vanne (commande Vc) de la cuve C1 ne peut

avoir lieu que si le wagon W est en position gauche, détectée par ↑X. La commande de

déplacement à droite du wagon (W1) ne peut se faire que si la cuve C1 est vide,

détectée par le zéro de la bascule↑Z.

Figure 2.6 Grafcet du procédé (SPT) non supervisé.

II.2.a.2. Graphe d’états accessibles du SPT

Le graphe d’états accessibles décrit les phases successives par lesquelles passera le système. t15 t14 t12 t11 22 dcy1 a b 2 3 4 Vb z 5 z dcy2 x y Vi 14 15 vin W2 12 1 11 Va 23 13 W1 Vc x t3 t4 t5 t1 3 t13 t15 t5 t15 t14 t13 t12 t11 t5 t4 t2 t1 _dcy₂ z x z x 23 22 y Vi 13 14 15 W1 Vin W2 11 _dcy₁ a b 3 4 5 Va Vb Vc 1 Pesage Synchronisation Transport z 2 12 x t3

(35)

Figure 2.7 Graphe d’états accessibles du procédé (SPT) non supervisé.

II.2.a.3. Extraction des anomalies

Commençons par définir les ensembles des états frontières EB, interdits EI et

admissibles EA. Ils sont déduits directement du graphe d'états accessibles:

E_A = {E1E11E22, E2E11E22, E3E11E22, E4E11E22, E5E11, E1E11E23, E2E11E23,E1E12E23, E2E12E23, E1E13, E2E13,

E1E14, E2E14, E1E15, E2E15}. (2.8)

EI = {E1E12E22, E2E12E22, E3E12E22, E4E12E22, E5E12, E4E11E23, E4E12E23, E4E13, E4E14, E4E15}. (2.9)

EB={ E1E12E22, E2E12E22, E3E12E22, E4E12E22, E5E12, E3E11E23, E3E12E23, E3E13, E3E14, E3E15}. (2.10)

II.2.b. Synthèse du superviser du procédé (SPT)

II.2.b.1. Réduction du nombre de contraintes linéaire

• On exprime les états frontières sous forme de contraintes linéaires E1+E12+E22 ≤2(au maximum deux étapes actives sur trois)

E2+E12+E22 ≤2

E3+E12+E22 ≤2

E4+E12+E22 ≤2

E5+E12 ≤1 (au maximum une étape active sur deux) (2.11)

E3+E11+E23 ≤2 E3+E12+E23 ≤2 E3+E13 ≤1 E3+E14 ≤1 E3+E15 ≤1 t11 t12 5.13 5.11 5.12 5.11.23 5.12.23 5.15 5.14 5.13 t11 t12 t12 t11 t11 t11 t14 t14 t14 t14 t13 t13 t13 t13 t11 t11 t11 t11 t12 t12 t12 t12 t12 t12 t15 t5 t4 t4 t4 t4 t4 t4 t3 t3 t3 t3 t3 t3 t3 t1 t1 t1 t2 t2 t2 t2 t2 2.13.22 3.13.22 4.13.22 1.13.22 1.11.22 2.11.22 3.11.22 4.11.22 1.12.22 2.12.22 3.12.22 4.12.22 1.11.23 2.11.23 3.11.23 4.11.23 1.12.23 2.12.23 3.12.23 4.12.23 1.15 2.15 3.15 4.15 1.14 2.14 3.14 4.14 1.13 2.13 3.13 4.13 t1 t1 t2 t2 _t4

(36)

25

• Construction de l’ensemble de sur états frontières et admissibles B1 et A1

b

1 est:

b

1sur={E1, E12, E22, E1E12, E1E22, E12E22, E1E12E22}.

b

2 est:

b

2sur= {E2, E12, E22, E2E12, E2E22, E12E22, E2 E12E22}.

…..

b

10 est :

b

10sur={E3, E15, E3E15}.

L’ensemble des sur états frontière est donné par sur i 10 1 1 ∪b B i=

= ,

B

1

= {

b

1sur

, b

2 sur

, ..,b

10 sur

}.

B

1={ E1, E2, E3, E4, E5, E11, E12, E13, E14, E15, E22, E23, E1E12, E1E22, E2E12, E2E22, E3E12, E3E22,

E4E12, E4E22, E12E22,E5E12, E3E13, E3E14, E3E15 ,E3E11, E11E23, E12E23, E3E23, E1E12E22,

E2E12E22, E3E12E22, E4E12E22, E3E11E23, E3E12E23}. (2.12)

a

15est:

a

15sur={ E2, E15, E2E15}.

L’ensemble des sur états admissibles est donné par sur i i a A 15 1 1 ∪ =

= , _A1= {a1sur,a2 sur, .., a15 sur}.

A

1={ E1, E2, E3, E4, E5, E11, E12, E13, E14, E15, E22, E23, E1E11, E1E22, E2E11, E2E22, E3E11, E3E22,

E4E11, E4E22, E11E22, E5E11, E1E11, E1E23 , E2E11, E2E23,E11E23,E1E12, E2E12, E12E23, E1E13,

E2E13, E1E14, E2E14, E1E15, E2E15, E1E11E22, E2E11E22, E3E11E22, E4E11E22, E1E11E23, E2E11E23,

E1E12E23, E2E12E23}. (2.13) • Suppression des sur états admissibles de l’ensemble de sur états frontières

Il faut supprimer les sur états admissibles inclus dans

B

2 pour éviter leurs

• Suppression des sur états non minimaux

Les sur états redondants de la liste

B

2

’

seront supprimés afin d’obtenir

(37)

B

2={ E3E12, E3E13, E3E14, E3E15, E3E23, E4E12, E5E12, E12E22}. (2.15) • Choix des sur états qui couvrent un maximum de contraintes linéaires

Tableau 2.1 Table de réduction sur états – contraintes.

Le tableau 2.1 permet de définir l’ensemble réduit de sur états :

C

2 ={ E3E13, E3E14, E3E15, E3E23, E5E12, E12E22}. (2.16) • Fusionnement des contraintes par recherche d’éléments communs

On a deux ensembles de contraintes linéaires.

Le premier est donné par: E3 + E13 ≤ 1, E3 + E14 ≤ 1, E3 + E15 ≤ 1, E3 + E23 ≤ 1

L’étape 3 est un élément commun ECM pour cet ensemble de contraintes. Comme

{

E₁₃_E₁₄,E₁₃_E₁₅,E₁₃_E₂₃,E₁₄_E₁₅,E₁₄_E₂₃,E₁₅_E₂₃

}

_∉_A1, _{on peut} _alors _remplacer _les contraintes par :

E3 + E13 + E14 + E15 + E23 ≤ 1. (2.17)

2 . E3E14 E3E12 E3E23 E3E15 E1E12E22 E12E22 E5E12 E4E12 E3E14 E3E12E22 E5E12 E3E12E23 E3E13 _E 3E15 √ √ √ √ √ √ E3E13 E2E12E22 E4E12E22 E3E11E23 B2 \ B1