THEOREMES DE LEFSCHETZ POUR LES LIEUX DE DEGENERESCENCE O. Debarre

THEOREMES DE LEFSCHETZ POUR LES LIEUX DE DEGENERESCENCE O. Debarre

Soient X une variete complexe projective lisse connexe et Y le lieu des zeros d'une section d'un bre en droites ample sur X. Le theoreme de Lefschetz enonce que la restriction H^p(X

Z

)^!H^p(Y

Z

) est bijective pour p <dimX^;1, injective pour p= dimX^;1. Cela entra^ne le theoreme de Bertini : Y est connexe si sa dimension est au moins 1. Dans le m^eme ordre d'idees, Grothendieck a montre que les groupes de Picard de X et de Y sont isomorphes (quelles que soient les singularites de Y !) si dimY 3.

Etant donnes des bres vectoriels E et F sur X de rangs respectifs e et f, et un morphisme u: E^!F, on considere les lieux de degenerescence

Dr = ^fx²X^jrg(ux)r^g

munis de leur structure reduite. Fulton et Lazarsfeld ont demontre dans FL] l'analogue du theoreme de Bertini : si Hom(E F) est ample, Dr est connexe si sa dimension attendue (r) = dim(X)^;(f^;r)(e^;r) est au moins 1. Nous poursuivons leurs methodes pour obtenir des extensions des theoremes de Lefschetz et Grothendieck mentionnes plus haut. Il y a plusieurs cas de gure :

si Dr^;1 est vide, on peut completement decrire (cf. (1.1)) la cohomologie entiere de Dr jusqu'en degre (r)^;1. Si Dr est normal, et que l'on a les inegalites 0< r <min^fe f^g et (r)3, le groupe de Picard de Dr est isomorphe a Pic(X)

Z

.

Si au contraire susament des lieux Ds, pour s r, sont non vides, la restriction H^p(X

Z

)^!H^p(Dr

Z

) est un isomorphisme pour p assez petit (cf. th. 2.2 pour un enonce precis). Par exemple, si Dr est normal, que Dr^;1 n'est pas vide ou que r= 0, et que (r) 3, les groupes de Picard de X et de Dr sont isomorphes (cor. 3.4).

Dans E], Ein montre ces resultats sur le groupe de Picard dans le cas ou E est trivial, en supposant seulement (r) = 2 mais aussi F ^hhsusamment ampleⁱⁱ et u general (c'est une extension du theoreme de Noether-Lefschetz sur le groupe de Picard d'une surface generale dans

P

³). Lopez (Lo]), puis Ellingsrud et Peskine (EP]), etudient le cas des surfaces generales de

P

⁴ projectivement de Cohen-Macaulay (qui sont des lieux de degenerescence avec r =e^;1 =f ^;2). D'autre part, pour r= min^fe f^g;1 et Dr^;1 vide, toujours sous les hypotheses F ^hhsusamment ampleⁱⁱ et u general, Spandaw determine dans sa these les classes algebriquesde H ^(r)(Dr

Z

).

Nous nous interessons ensuite au cas d'un morphisme u : E^!EL antisymetrique. Tu a demontre que si ^{^2}EL est ample, le lieu de degenerescence

Ar =^fx² X^jrg(ux)2r^g 1

est connexe si sa dimension attendue (r) = dim(X)^;;e;₂^2r est au moins 1. Nous obtenons des extensions des theoremes de Grothendieck et Lefschetz dans ce cadre : la restriction Pic(X) ^!Pic(Ar) est bijective si Ar est normale et (r) 3, et

si Ar^;1 est vide, on peut decrire (th. 4.1) la cohomologie entiere de Ar jusqu'en degre (r)^;1

si au contraire susament des lieux As, pour sr, sont non vides (cf. th. 5.1 pour un enonce precis), la restriction H^p(X

Z

)^!H^p(Ar

Z

) est un isomorphisme pour p assez petit.

Nous terminons par l'etude du cas des bres orthogonaux (dont le cas des morphismes antisymetriques est un cas particulier) : on se donne un bre vectoriel V de rang pair sur X muni d'une forme quadratique non degeneree a valeurs dans un bre en droites L et des sous-bres E et F totalement isotropes maximaux de V. On montre un theoreme de Bertini pour les lieux de degenerescence

O^r =^fx²X ^jdim(Ex ^\Fx)r et dim(Ex^\Fx)r (mod 2)^g

si E FL est ample, O^r est connexe si sa dimension attendue dim(X)^;;₂^r est au moins 1. Cela entra^ne en particulier que les lieux de Brill-Noether d'une variete de Prym P (denis dans W]) sont connexes des que leur dimension attendue est strictement positive, et irreductibles lorsque P est generale.

Il est probable que les resultats de type Lefschetz obtenus dans le cas antisymetrique subsistent dans ce cas, mais je ne sais pas le demontrer (cf. (6.3)).

Dans cet article, tous les schemas sont de type ni sur le corps des nombres complexes.

On designe par

F

un corps ni ou egal a

Q

.

Je remercie R. Laterveer et W. Fulton de leurs conseils, ainsi que P. Pragacz pour sa lecture attentive d'une premiere version de cet article et ses remarques pertinentes.

I. Lieux de degenerescence 1. Le resultat de Fulton et Lazarsfeld

Soient X une variete complexe projective irreductible et E et F des bres vectoriels sur X de rangs respectifs e et f. Soit u: E^!F un morphisme on considere

Dr =^fx²X^j rg(ux)r^gred

on note r l'inclusion Dr ,^!X et on pose (r) = dim(X)^;(f ^;r)(e^;r). Par la suite, nous supposerons toujours ef (ce que l'on peut toujours faire quitte a remplacer u par son dual).

(1.1) Soient : G = G(e^;r E)^!X le bre en grassmanniennes et S le bre tautologique de rang e^;r sur G. Soit Y le lieu des zeros de la composee

2

S,^! E^{; u!}F:

Le morphisme induit par restriction un morphisme ⁰ : Y ^!Dr propre surjec- tif, birationnel au-dessus de Dr Dr^;1, de bre G(e^;r e^;l) au-dessus de Dl Dl^;1. Fulton et Lazarsfeld montrent que si Hom(E F) est ample, H^q(G Y

F

) s'annule pour q dim(X) + (f +r)(e^;r). Par dualite de Lefschetz, on en deduit, si X est lisse, H^p(G Y

F

) = 0 pour p (r).

La dualite de Lefschetz n'est valable que lorsque G Y est lisse. Elle est remplacee dans le cas general par une suite spectrale

E^pq₂ = H^p(G Y ^H;q(G

F

))⁾H^;p^;q(G Y

F

)

ou ^Hq(G

F

) est le faisceau de bre Hq(G G ^fx^g

F

) en un point x de G (H1], p. 548).

Lorsque G Y est localement intersection complete, le support de ^Hdim(G)+i(G

F

) est de dimension au plus i, pour tout i²

Z

(H1], lemma 4, p. 550). Or la demonstration de Fulton et Lazarsfeld montre que pour tout ferme Z de X, la dimension cohomologique de ^;1(Z) Y est au plus dim(^;1(Z)) +f(e^;r)^;1. On en deduit¹

E^pq₂ = 0 pour p >^;q^;dim(G) +f(e^;r)^;1 d'ou de nouveau

(1.2) Hp(G Y

F

) = 0 pour pdim(G)^;f(e^;r) =(r) sous l'hypothese que X D0 est localement intersection complete².

(1.3) Supposons Dr^;1 vide et notons c l'inverse dans H(Dr

Z

) de la classe de Chern totale du bre vectoriel Ker(u^jDr). La discussion ci-dessus entra^ne que la cohomologie de Dr est, en degre < p, celle du bre en grassmanniennes G. Comme cette derniere est calculee par exemple dans F1], prop. 14.6.5, on en deduit que l'application

M

=(

1::: e^;r⁾ r ¹ e^;r⁰

H^p;2jj(X

F

) ^;! H^p(Dr

F

)

P ^{7;! P}(c)_r

1 Les faisceaux ^Hq ne sont localement constants que sur chaque strate d'une stratication de Whitney de G, et il faut en fait raisonner strate par strate comme dans H2], Lemma 3, p. 134.

2 On a une autre suite spectrale

E^pq₂ = H^p(G Y^H;q(G ^F))⁾H^;p;q(G Y ^F)

qui permet de montrer que l'on a une inclusion H¹(G Y^Q)^,!H2dim(G)^;1(G Y ^Q) sous la seule hypothese que G est normale (FL], lemma 1.3). Il en resulte que D^r est connexe des que (^r)^>0 , sans hypothese sur les singularites de X.

3

est injective pour p(r) , bijective pour p < (r). On a employe les notations standard

j j= 1++ e^;r (c) = det(c_i+j^;i)1ije^;r :

Exemple 1.4.

Soient C une courbe projective lisse de genre g et Jd la jacobienne des classes d'isomorphisme de bres en droites de degre d sur C. Il est montre dans FL] que la sous- variete W_sd de Jd qui parametre les classes d'isomorphisme de bres en droites L sur C tels que h⁰(C L) > s peut s'interpreter comme le lieu Dr pour un morphisme u : E^!F de bres vectoriels sur Jd, avec r=e^;s^;1 et f =e+g^;1^;d, et que Hom(E F) est ample. La variete Y correspondante est habituellement notee G_sd (ACGH], IV, ^x 3) elle parametre les paires ( L]), ou L est un bre en droites de degre d sur C et un sous-espace vectoriel de H⁰(C L) de dimension s+ 1. Par exemple, G⁰_d n'est autre que le produit symetrique Cd, et on deduit de (1.3) un isomorphisme

H^p(Cd

Z

)^{' M}

02jpCd^;1]^j H^p;2j(JC

Z

)

pour p < d. C'est un cas particulier de M], (6.3). On peut calculer de la m^eme facon les groupes H^p(G_sd

Z

) pour p < g^;(s+ 1)(g^;d+s).

Nous aurons besoin d'une generalisation (basee sur les idees de S]) du resultat de connexite de Fulton et Lazarsfeld, qui fait intervenir la notion de d-connexite. Rappelons qu'un schema X est dit d-connexe s'il est de dimension > d et si, pour tout sous-schema ferme Z de X de dimension < d, le schema X Z est connexe. Les proprietes suivantes sont classiques :

1) un schema est (^;1)-connexe si et seulement s'il est non vide il est 0-connexe si et seulement s'il est connexe.

2) Un schema irreductible de dimension d est (d^;1)-connexe. Toute composante irreductible d'un schema d-connexe est de dimension > d.

3) Si X est reunion de sous-schemas fermes d-connexes X1 ::: Xm, il est d-connexe si et seulement si, pour tous i et j, il existe des indices i0 i1 ::: im avec i0 =i et im =j tels que dim(Xi ^\Xi⁺¹)d pour tout = 0 ::: m^;1.

Proposition 1.5.{

Soient X un schema projectif d-connexe, E et F des bres vectoriels sur X de rangs respectifs e et f, avec Hom(E F) ample, et u: E^!F un morphisme partout de rang k.

Pour tout r k, le lieu Dr est (d^;(f ^;r)(e^;r) + (e^;k)(f ^;k))-connexe. En par- ticulier, si X est irreductible de dimension >(f^;r)(e^;r)^;(e^;k)(f ^;k), le lieu Dr est connexe.

Demonstration. Il sut de traiter le cas k =r+ 1 posons

d⁰ =d^;(f ^;r)(e^;r) + (e^;k)(f ^;k) =d^;e^;f + 2r+ 1 : 4

Notons X1 ::: Xm les composantes irreductibles de X elles sont toutes de dimension

> d par 2). Par S], Lemma 4.1.3 (qui se demontre aussi a partir de ACGH], prop. (1.3), p. 307, en prenant des sections hyperplanes), chaque intersection Xj ^\Dr est d⁰-connexe. Pour tous i et j, il existe par 3) des indices i0 =i i1 ::: im =j tels que dim(Xi ^\Xi⁺¹)d pour tout = 0 ::: m^;1. On a parloc.cit.

dim(Xi ^\Xi^{+1 \}Dr) d⁰

pour tout , de sorte que Dr =j(Xj ^\Dr) est d⁰-connexe par 3).

2. Un theoreme de Lefschetz

(2.1) Restons dans la situation du ^x1, dont nous gardons les notations. Comme remarque dans FL], l'application H^p(r

F

) est injective pour p(r). On posera "(0) = 1, "(1) = 2 et, pour tout entier k strictement positif, "(2k) = 0 et "(2k+ 1) = 1.

Theoreme 2.2.{

Soit X une variete projective irreductible localement intersection complete.

Soient E et F des bres vectoriels sur X, avec Hom(E F) ample, et u : E^!F un morphisme.

Supposons ^m₂]r et (r^;m₂])"(m) l'application H^p(r

Z

) est bijective pour pm. Demonstration. Elle consiste a comparer les suites spectrales de Leray pour l'application : G^!X et sa restriction ⁰ : Y ^!Dr. Les bres de ces deux applications etant des grass- manniennes, les faisceaux R^q

Z

et R^q0

Z

sont nuls pour q impair, de sorte que E^pq₂ =E^pq₃ et ⁰E^pq₂ = ⁰E^pq₃ . D'autre part, par le theoreme de Leray-Hirsch, la suite spectrale

E^pq₂ = H^p(X R^q

Z

) ⁾ H^p+q(G

Z

)

degenere en E2 et les applications H^q(G(e^;r

P

^e)

Z

)^!H⁰(X R^q

Z

) sont surjectives, de sorte que les faisceaux R^q

Z

sont constants. Soit x un point de X, on a

(R^2q

Z

)x ^'H^2q(G(e^;r e)

Z

)^{' M}

r ¹ e^;r⁰

1

+ + e^;r⁼q

Z

et, si x²Dl Dl^;1,

(R^2q0

Z

)x ^'H^2q(G(e^;r e^;l)

Z

)^{' M}

r^;l ¹ e^;r⁰

1

+ + e^;r⁼q

Z

^:

En particulier, la restriction R^2q

Z

^! R^2q0

Z

est surjective pour tout q. Son noyau

K2q est nul sur Dr^;q et, comme R^2q

Z

, il est constant³sur chaque Dl Dl^;1. Plus precisement, il existe une ltration

0 =^F0 ^F1 ^Fq ^Fq+1 =^K2q

3 Alternativement, on peut faire tout le raisonnement avec des faisceaux localement constants a la place de ^Z, puisque le resultat de Fulton et Lazarsfeld que l'on utilise plus bas est aussi valable avec ces faisceaux.

5

veriant ^Fi+1=^Fi ^'

Z

^rX Dⁱ r^;q⁺i pour 0iq, ou les ri sont des entiers.

L'assertion a demontrer decoule de (1.2) pour m= 0 supposons-lavraie pour tout entier

< m. On peut supposer aussi r < e on verie que dans ce cas, on a pour tous entiers ts 0 les inegalites

(2.3) (t) (t^;s) +s(s+ 2)

(2.4) "(t) + t

2](t

2] + 2)> t :

Premier pas.

Supposons 0p < m et q+ ^p₂]r. On a H⁰(^K2q) = 0 si (r^;q)0 H^p+1(^K2q) = 0 si (r^;q^;p

2]) "(p) : Considerons la suite de cohomologie associee a la suite exacte

0^!

Z

X Dr^;q⁺i ^!

Z

X ^!

Z

Dr^;q⁺i ^!0:

Le theoreme de Fulton et Lazarsfeld (cf. (1.2)) entra^ne que H⁰(

Z

X Dr^;q⁺i) est nul lorsque (r^;q+i)0. Comme la fonction est croissante, on en deduit H⁰(^K2q) = 0 lorsque (r^;q)0.

D'autre part, on a par (2.1) des suites exactes

0^!H^p(

Z

X)^!H^p(

Z

Dr^;q⁺i)^!H^p+1(

Z

X Dr^;q⁺i)^!0

lorsque p < (r^;q+i) l'hypothese de recurrence entra^ne alors H^p+1(

Z

X Dr^;q⁺i) = 0 si l'on a de plus (r^;q+i^;p₂])"(p) et p < m. Comme la fonction est croissante, on a donc H^p+1(^K2q) = 0 lorsque (r^;q^;p₂])"(p) et p < m, puisque l'on a alors, par (2.3) et (2.4),

(r^;q)(t^;q^;p

2]) + p 2](p

2] + 2)"(p) + p 2](p

2] + 2)> p : Ceci montre le premier pas.

Deuxieme pas.

Supposons ^m₂]r et (r^;m₂])"(m). L'application naturelle ^pq1 :E^{pq1 !0}E^pq1 est injective pour p < m et p+q m. D'autre part,

⁰E^{m10 '0}E^m₂ ^{0 '}H^m(Dr

Z

).

Supposons p+ 2qm. L'hypothese (r^;m₂])"(m) entra^ne (r^;q)(r^;m

2 ])"(m)0 et, si p+ 2q < m,

(r^;q^;p

2])"(p) 6

en eet, si q+ ^p₂]<^m₂], cela decoule de (2.3), et si q+ ^p₂] = ^m₂], on a "(p)"(m). On considere le diagramme commutatif :

H^p(^K2q)

?

y

H^p(X R^2q

Z

) ^;dp3!2q H^p+3(X R^2q;2

Z

)

?

y^{p32q ?yp3+32q;2}

H^p(Dr R^2q0

Z

) ^;0dp3!2q H^p+3(Dr R^2q;20

Z

)

?

y

H^p+1(^K2q)

il resulte du premier pas que l'application ^p₃^2q est injective, et bijective si p+ 2q < m. Supposons maintenant p+q m comme d^pq₃ = 0, on a ⁰d^pq₃ = 0 pour p+q < m. En particulier, ⁰E^pq₄ est un sous-groupe de ⁰E^pq₃ qui lui est egal pour p=m et, le m^eme raisonnement s'appliquant a chaque cran de la suite spectrale, ⁰E^pq1 est un sous-groupe de

⁰E^pq₃ qui lui est egal pour p=m, de sorte que ^pq1 est injective.

Conclusion.

Supposons p+qm et (r^;m₂])"(m) on en deduit (r)> m par (2.3) et (2.4), de sorte que la restriction : H^p+q(G

Z

)^!H^p+q(Y

Z

) est bijective par (1.2). Comme ^pq1 est injective (deuxieme pas), il en resulte que Gr est bijective, ainsi donc que ^m10, qui, par le deuxieme pas, n'est autre que H^m(r

Z

).

Remarque 2.5.

On a R²⁰

Z

^'

Z

Dr^;1, d'ou un diagramme commutatif a lignes exactes, ou tous les groupes de cohomologie sont a coecients dans

Z

:

0 ^! H²(X) ^H;2!() H²(G) ^! H⁰(X) ^;0! H³(X) ^H;3!() H³(G) ^! H¹(X)

?

yH²(r) ^{?y ?y}H⁰(r^;1) ^?yH³(r) ^{?y ?y}H¹(r^;1)

0 ^! H²(Dr) ^H;2(!0) H²(Y) ^! H⁰(Dr^;1) ^;0d!023 H³(Dr) ^H;3(!0) H³(Y) ^! H¹(Dr^;1) Supposons 0< r < e et (r) 3. Si Dr^;1 n'est pas vide, on en deduit le diagramme

0 ^;! H³(X) ^;! H³(G) ^;! H¹(X)

?

y

?

yH³(r) ^{?y ?y}H¹(r^;1)

0 ^;!

Z

^{c;1 ;!} H³(Dr) ^;!0 H³(Y) ^;! H¹(Dr^;1) 7

ou c est le nombre de composantes connexes de Dr^;1. En particulier, le conoyau de l'injection H³(r

Z

) contient

Z

^c;1 : il peut ^etre arbitrairement grand et ne peut ^etre contr^ole seulement par une condition sur (r) .

Exemple 2.6.

On garde les notations de l'exemple 1.4. et on suppose g^;(s+ 1 + ^m₂])(g^;d+ ^m₂])"(m). Le theoreme entra^ne que la restriction H^p(Jd

Z

)^!H^p(W_sd

Z

) est bijective pour tout pm. Soit : Cd^!Jd l'application d'Abel- Jacobi. La variete C_sd =^;1(W_sd) parametre les diviseurs eectifs D sur C tels que h⁰(C ^OC(D)) > s (ACGH], IV, ^x 1). Avec les notations de ^x 1, on a un diagrame commutatif

P

?S ^;e!

P

E

y ^?y

G = G(s+ 1 E) ^;! Jd

qui induit par restriction le diagrame commutatif

^;1(G_sd) ^;e!0 C_sd

?

y

?

y

Y = G_sd ^;!0 W_sd

La bre de ^e0 en un point D est la grassmannienne G(s H⁰(C ^OC(D))=

C

sD).

Le raisonnement de la demonstration du th. 2.2 s'applique aux morphismes ^e et ^e0 : si g^;(s+ 1 + ^m₂])(g^;d+ ^m₂])"(m), la restriction H^p(

P

E

Z

)^!H^p(C_sd

Z

) est bijective pour pm comme la restriction H^p(

P

E

Z

) ^!H^p(Cd

Z

) est bijective pour p < d (ex. 1.4), on en deduit que la restriction H^p(Cd

Z

) ^!H^p(C_sd

Z

) est bijective pour pm.

3. Groupes de Picard et cohomologie du faisceau structural

Pour obtenir des informations sur la cohomologie de ^ODr connaissant celle du faisceau

C

Dr, il est utile d'avoir des informations sur les applications naturelles ^p_Dr : H^p(Dr

C

Dr)^!H^p(Dr ^ODr) :

La theorie de Hodge entra^ne qu'elles sont surjectives si Dr est lisse, ce qui n'est malheureusement que rarement le cas. Par les travaux de du Bois, Kollar et Steenbrink (K], cor. 12.9), cela reste vrai si Dr n'a que des singularites rationnelles, ce qui n'est le cas que dans la situation generique (les singularites determinantielles sont rationnelles). Nous demontrons un resultat similaire avec des hypotheses plus faibles nous dirons qu'un schema X verie la propriete (Pp) s'il est regulier en codimension p et de profondeur > p en ses points fermes de codimension > p. Un schema normal verie (P1).

8

Proposition 3.1.{

^{Soit X} une variete projective veriant la propriete (Pp). L'application ^p_X est surjective et

H^p(X ^OX)^'Gr_0FGr^W_p H^p(X

C

) :

Demonstration.Si X est de dimension p, il est regulier et la proposition est claire. Supposons donc X de dimension > p. Soit L un faisceau inversible ample sur X. Comme X est de profondeur > p en ses points fermes, il existe par G2], Exp. XII, cor. 1.4, un entier m0 tel que Hⁱ(X L^;m) = 0 pour ip et mm0. Le sous-schema Y de X deni par l'annulation de p sections generales de L^m0 est regulier et, si est l'inclusion de Y dans X, la restriction H^p( ^O) est injective.

Considerons les complexes !_0X et !_0Y construits par du Bois dans dB]. On a un diagramme commutatif

H^p(X

C

) ^;!pX H^p(X ^OX) ^;!pX H^p(X !_0X)

?

y

?

yH^p(^O) ^?y

H^p(Y

C

) ^;!pY H^p(Y ^OY) ^;!Yp H^p(Y !_0Y)

ou _Y^p est bijective car Y est lisse, et H^p( ^O) est injective comme on vient de le voir, de sorte que _X^p est injective. Mais _X^{p p}_X est surjective car X est propre, donc _X^p est surjective, donc bijective, et ^p_X est surjective.

Soit :X^{e !}X une desingularisation de X. Comme se factorise a travers , on a un diagramme commutatif

H^p(X

C

) ^H;;p(;;!C) H^p(X^e

C

)

^{pX?y p}

eX

?

y

H^p( ^O) : H^p(X ^OX) ^H;;p(;;!O) H^p(X^{e O}_X^e) ^;! H^p(Y ^OY)

qui entra^ne que H^p( ^O) est injective. Le noyau de H^p(

C

) est Wp^;1H^p(X

C

) (De], prop.

8.2.5) on en deduit ^p_X(Wp^;1H^p(X

C

)) = 0 et un diagramme Gr^W_p H^p(X

C

) ,^! H^p(X^e

C

)

^{pX?y p}

eX

?

y

H^p(X ^OX) ^H;;p(;;!O) H^p(X^{e Oe}_X) : Le noyau de "^p_X est donc

Gr^W_p H^p(X

C

)^\Ker^peX = Gr^W_p H^p(X

C

)^\F¹H^p(X^e

C

) :

Comme les morphismes de structures de Hodge sont stricts, le membre de droite est F¹Gr^W_p H^p(X

C

), ce qui prouve la proposition.

9

Corollaire 3.2.{

^{Soient X et Y} des varietes projectives et f : Y ^!X un morphisme. On suppose que X verie la propriete (Pp).

a) Si H^p(f

C

) est injective, il en est de m^eme de H^p(f ^O).

b) Si Y verie la propriete (Pp) et que H^p(f

C

) est bijective, il en est de m^eme de H^p(f ^O).

Demonstration. Soit :Y^{e !}Y une desingularisation de Y. La composee Gr^W_p H^p(X

C

)^;!Gr^W_p H^p(Y

C

)^;!H^p(Y^e

C

)

est injective car le morphisme de droite l'est par De], prop. 8.2.5.2 et le morphisme de gauche par hypothese, puisque les morphismes de structures de Hodge mixtes sont stricts. On en deduit que l'application induite

Gr_0FGr^W_p H^p(X

C

)^;!Gr_0FH^p(Y^e

C

)

qui par la proposition s'identie a H^p(f ^O), est aussi injective, d'ou a). Le b) resulte du fait que les morphismes de structures de Hodge mixtes sont stricts.

On veut maintenant montrer un resultat analogue pour les groupes de Picard. Si X est une variete projective, on note Pic(X) son groupe de Picard, Pic⁰(X) la composante connexe de l'element neutre, et NS(X) le quotient Pic(X)=Pic⁰(X) c'est un sous-groupe de H²(X

Z

), il est abelien de type ni. Si X est normale, Pic⁰(X) est une variete abelienne (G1], cor. 3.2) dont l'espace tangent a l'origine est H¹(X ^OX) et le groupe Pic(X) est isomorphe a Pic⁰(X)NS(X).

Proposition 3.3.{

^Soient X et Y des varietes projectives irreductibles, avec X normale, et f : Y ^!X un morphisme.

a) Si H¹(f

Z

=`

Z

) est injective pour tout entier ` premier, Pic⁰(f) est injective.

b) Si H¹(f

Z

) est bijective et que H²(f

Z

^=`

Z

) est injective pour tout entier ` premier, Pic(f) est injective et son conoyau est sans torsion si de plus Y est normale, Pic⁰(f) est bijective.

c) Si X verie (P2), que Y est normale et que H¹(f

Z

) et H²(f

Z

) sont bijectives, Pic(f) est bijective.

Demonstration. Pour tout entier premier `, on a un diagramme commutatif issu des suites exactes 0 <sup>!</sup>` ^!Gm ^{;(!)` G}m ^!0 pour X et Y :

H⁰(X ^O_X) ^! H¹(X

Z

=`

Z

) ^! Pic(X) ^;!` Pic(X) ^! H²(X

Z

=`

Z

)

?

yH⁰(f^O ) ^?yH¹(f^Z=`<sup>Z</sup>) <sup>?y</sup>Pic(f) <sup>?y</sup>Pic(f) <sup>?y</sup>H<sup>2</sup>(f<sup>Z</sup>=`^Z)

H⁰(Y ^O_Y) ^! H¹(Y

Z

=`

Z

) ^! Pic(Y) ^;!` Pic(Y) ^! H²(Y

Z

=`

Z

) 10

Les hypotheses de a) entra^nent que la multiplication par ` est injective sur le noyau de Pic(f), donc sur celui de Pic⁰(f), qui est ainsi sans torsion. Comme c'est un sous-groupe d'une variete abelienne, il est nul, d'ou a).

Sous les hypotheses de b), NS(f) est injective, donc aussi Pic(f) par a). Le diagramme ci-dessus montre que la multiplication par ` est injective sur le conoyau de Pic(f), qui est donc sans torsion. Si Y est normale, le cor. 3.2 montre que l'application tangente a Pic⁰(f) est bijective, d'ou b).

Sous les hypotheses de c), le cor. 3.2 entra^ne que H¹(f ^O) est bijective et H²(f ^O) in- jective. Une chasse au diagramme issu des suites exactes exponentielles 0^!

Z

^{!O!O !}0 pour X et Y permet de conclure.

Placons-nous dans la situation du ^x1, en supposant pour simplier X lisse. Le cor. 3.2 et (2.1) entra^nent que H^p(r ^O) est injective pour p(r). Si Dr est normal et (r) 2, l'application H¹(r ^O) est bijective par le th. 2.2 et le cor. 3.2. Plus generalement, si (r^;p=2]) "(p) et que Dr est non singulier en codimension p et a la dimension attendue (donc qu'il est de Cohen-Macaulay), H^p(r ^O) est bijective. C'est aussi le cas pour p < (r) lorsque Dr est lisse et Dr^;1 vide par (1.3).

Il est tentant de conjecturer (comme dans Ma], p. 415) que H^p(r ^O) est bijective pour p < (r). Laytimi a obtenu dans L] des resultats dans ce sens en utilisant des theoremes d'annulation sous l'hypothese que Dr a la dimension attendue, ils entra^nent la conjecture lorsque X est une variete torique ou abelienne, ou lorsque r = min^fe f^g;1, ou lorsque e =f =r+ 2 (cf.aussi Ma], ou, sous des hypotheses plus restrictives sur E et F, la conjecture est montree avec les m^emes methodes).

Corollaire 3.4.{

On se place dans la situation du ^x1, avec X localement intersection complete normale.

a) Si (r) 1, l'application Pic⁰(r) est injective.

b) Si (r) 2, l'application Pic(r) est injective et son conoyau est sans torsion si de plus Dr est normale, Pic⁰(r) est bijective.

c) Si Dr est normale, X non singuliere en codimension 2, et (r)3,

si Dr^;1 est vide et 0< r < e, on a Pic(Dr)^'Pic(X)

Z

det(Ker(u^jDr))]

si Dr^;1 n'est pas vide ou si r= 0, l'application Pic(r) est bijective.

Demonstration. Les points a) et b), ainsi que le deuxieme cas du point c), decoulent de la proposition, du th. 2.2 et de la rem. 2.5. Pour le premier cas du point c), on applique le raisonnement de la demonstration de la proposition au diagramme commutatif a lignes exactes

H¹(X^?

Z

) ^! H¹(X ^OX) ^! Pic(X)

Z

^! H²(X

Z

)

Z

^! H²(X ^OX)

yH¹(r^Z) ^?yH¹(r^O) ^{?y ?y ?y}H²(r^O)

H¹(Dr

Z

) ^! H¹(Dr ^ODr) ^! Pic(Dr) ^! H²(Dr

Z

) ^! H²(Dr ^ODr) 11

Ceci demontre le corollaire.

Ce resultat est bien s^ur a rapprocher du theoreme de Lefschetz de Grothendieck (G2], Exp. XII, cor. 3.6) qui demontre le point c) dans le cas e=f = 1 et r= 0, en toute caracteristique (moyennant une hypothese d'annulation de certains groupes de cohomologie qui decoule du theoreme de Kodaira en caracteristique 0 et pour X lisse) et sans hypothese sur les singularites de D0. La methode de Grothendieck semble dicile a generaliser, m^eme dans le cas E trivial (et F ample) on aurait en eet besoin de l'annulation des groupes de cohomologie Hⁱ(X S^kF) pour i= 1 2 et k >0, alors que seuls les groupes Hⁱ(X S^kFdet(F)) sont nuls en general.

Exemple 3.5.

Soient C une courbe projective lisse de genre g et d un entier veriant 3d g^;1. La variete W⁰_d denie dans l'exemple 1.4 est normale, de la dimension attendue d. Si C n'a pas de g¹_d, on a Pic(W⁰_d)^'Pic(Jd)

Z

W⁰_d^;₁].

Supposons a partir de maintenant que C a un g_d¹. La restriction Pic(Jd)^!Pic(W⁰_d) est bijective par le cor. 3.4.

Si C n'est pas hyperelliptique, cela entra^ne que pour tout point x de C, le di- viseur de Weil W⁰_d^;₁+x de W⁰_d n'est pas

Q

-Cartier : en eet, si : Cd ^!W⁰_d est l'application d'Abel-Jacobi, il decoule de M] (ou de l'exemple 1.4) qu'aucun multiple non nul de ^;1(W_d^0;₁+x) = Cd^;1+x n'est dans Pic(Jd). Comme le complementaire de ^;1((W_d⁰)lisse) dans Cd est de codimension au moins 2, le groupe de Picard de (W⁰_d)lisse

est isomorphe a celui de Cd, de sorte que la restriction Pic(W⁰_d)^! Pic((W⁰_d)lisse) est injective de conoyau isomorphe a

Z

.

En revanche, si C est hyperelliptique d'involution associee , que # est un diviseur th^eta convenable sur Jd, et que x est un point de C tel que (x)⁶=x, on a

(# +x^;(x))W⁰_d= (g^;d+ 1)^;W⁰_d^;₁+x :

En particulier, W_d^0;₁+x n'est pas un diviseur de Cartier dans W⁰_d (puisque la classe de # n'est pas divisible dans Pic(Jd)), mais est

Q

-Cartier. Comme le complemen- taire de ^;1((W⁰_d)lisse) dans Cd est un diviseur irreductible, le noyau de la restriction Pic(Cd)^!Pic(^;1((W⁰_d)lisse)) est engendre par la classe de ce diviseur, et la restriction Pic(W⁰_d)^!Pic((W⁰_d)lisse) est injective de conoyau isomorphe a

Z

=(g^;d+ 1)

Z

.

II. Lieux de degenerescence antisymetriques 4. Le resultat de Tu

Soit X une variete complexe projective irreductible. Soient L un bre en droites et E un bre vectoriel de rang e sur X muni d'une forme antisymetrique u: EE^!L, c'est-a- dire d'une section de ^{^2}EL, ou encore d'un morphisme antisymetrique v: E ^!E L. On

12

considere

Ar =^fx²X ^jrg(ux)2r^gred

et on pose (r) = dim(X)^;;e;₂^2r. La forme antisymetrique ux est de rang 2r si et seulement s'il existe un sous-espace isotrope de Ex de dimension e^;r. On introduit donc de nouveau le bre en grassmanniennes : G = G(e^;r E)^!X et le lieu des zeros Y de la composee ^OG u

;!^2EL^{;rest!:^2}SL. Le morphisme induit par restriction un morphisme ⁰ : Y ^!Ar propre surjectif. En appliquant la methode de FL] a une construction de Pragacz (P1]), Tu demontre dans T], p. 391 (il fait l'hypothese que L est trivial, mais sa demonstration marche en general) que si ^{^2}EL est ample, H^q(G Y

F

) s'annule pour q dim(X) +^;₂^e+r. On en deduit, comme dans le ^x1, si X est localement intersection complete, H^p(G Y

F

) = 0 pour p(r). Notons r l'injection de Ar dans X et celle de Y dans G. Dans le diagramme commutatif (ou les groupes de cohomologie sont a coecients dans

F

)

H^p(X) ^;H;p;(!) H^p(G)

H^p(r)

?

?

y

?

?

yH^p()

H^p(Ar) ^H;;p;(!0) H^p(Y)

H^p() est injective pour p(r), le resultat de Tu montre que H^p() l'est aussi, et il en donc de m^eme de H^p(r).

On suppose Ar^;1 vide. On note c l'inverse dans H(Ar

Z

) de la classe de Chern totale du bre vectoriel Ker(v^jAr) (on montrera dans la prop. 6.4 que c1 c3 c5 ::: sont dans le sous-anneau _rH(X

Z

)c2 c4 :::] de H(Ar

Z

)). Puisque Ker(v^jAr) est de rang e^;2r, on a (c) = 0 si e^;2r+1 ⁶= 0. Enn, si et sont des partitions, on notera la partition obtenue en rearrangeant les parts de et de en ordre decroissant.

Theoreme 4.1.{

Soit X une variete projective irreductible localement intersection complete.

Soient E un bre vectoriel et L un bre en droites sur X, avec ^{^2}EL ample, et E ^!EL un morphisme antisymetrique. Supposons Ar^;1 =^? l'application

M

=(

1 ²:::⁾ r ^{1 20}

H^p;4jj(X

F

) ^;! H^p(Ar

F

)

P ^{7;! P}(c)_r

est injective pour p(r), bijective pour p < (r). Demonstration. On a

⁰(^X

(c)_r) =^X

(c)

l'application ^P7!P(c), a valeurs dans H(G

F

), est injective, est injective pour p(r), donc aussi l'application du theoreme. On conclut avec le lemme suivant, ou les groupes de cohomologie sont a valeurs dans

F

.

13