D1836. Aux couleurs belges
D,E,F sont les intersections des bissectrices int´erieures deABC avecΓ(cer- cle circonscrit),D0,E0,F0 celles des bissectrices ext´erieures.
Le cercle (F,F A) coupe CBenU etCAenT (sym´etrie autour de la bissec- trice). Il passe aussi parI (\AIB = (π+ACB)/2 =\ AF B/2). Mˆ\ eme chose enD et enE; on retrouve donc les points de l’´enonc´e.
ΓA,ΓB etΓC sont les cercles circonscrits `aAST,BP U etCQR. Leurs cen- tresOa,Ob,Ocsont aux intersections des perpendiculaires aux cˆot´es deABC, par exemple EOa(m´ediatrice deAS) etF Oa(m´ediatrice deAT) pourΓA. Les quadrilat`eresOaIObF,ObIOcD,OcIOaE,OaOObF,ObOOcD,OcOOaE sont des losanges dont les cˆot´es sont ´egaux au rayon deΓ. Les 6 segments issus de I ou deO sont parall`eles aux diam`etresDD0, EE0, F F0, donc les cercles ΓA, ΓB et ΓC ont le mˆeme rayon ´egal `a OI.
OOa est la m´ediatrice de AD0, donc D0 appartient `a ΓA, de mˆeme que son oppos´e diam´etralD”. PuisqueSAT\=BAC, il existe une application lin´\ eaire compos´ee d’une rotation autour deD0 et de l’homoth´etie (D0, OA
OI) qui envoie OaenO,T enC,S enB etD”enD.
Il en r´esulte que ST est perpendiculaire `a DD0, donc `a OI et que les segmentsST,P U etQRsont proportionnels `aBC,AC etAB.
EnfinOI =QRsi le triangleOcQRest ´equilat´eral, dons si ACB\ = 30o.
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