AQ.AC puis 30AP = AQ.AC

D244 – Un cercle rencontre un parallélogramme [** à la main]

Solution

Le triangle PQR est semblable au triangle CBA . En effet comme les quatre points A, P, Q et R sont cocycliques, RPQ = QAR = BCA et PRQ = PAQ = BAC. Les deux triangles PQR et CBA ont donc leurs angles aux sommets P,Q et R d’une part et C,B et A d’autre part égaux deux à deux. Il en résulte que

AC PR AB QR BC

PQ  .D’où

7 8 14 16 AC AB PQ

QR    . On en déduit l’unique mesure des côtés QR = 8 et PQ = 7 du

quadrilatère APQR. D’autre part PR = 2 AC.

Par ailleurs O étant sur la bissectrice de l’angle BAD, on a AP = AR et le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère APQR inscrit dans le cercle de centre O permet d’écrire AP.QR +AR.PQ = AQ.PR..D’où la relation AP.AB + AR.BC = AQ.AC , ce qui donne AP(AB +BC) = AQ.AC puis 30AP = AQ.AC.

Posons AC = 2c, AP = p, AQ = q, BAC= . La relation précédente s’écrit : 15p = qc.

La loi des cosinus appliquée aux triangles ABC et APQ donne les deux relations : )

cos(

. AC . AB 2 AC AB

BC² ² ²  et PQ² AP² AQ²2AP.AQ.cos() D’où :

pq 2

49 q p c 16

15 ) c

cos(

2 2

2  

 



 . Comme

q p

c15 , on obtient : q²p² 56 qui a pour unique solutions entières q = 15 et p = 13. D’où AC = 2c = 26 et PR = 13.

Le triangle APR dont les trois côtés sont égaux à 13 est équilatéral.