D 1986. L’orth-au-centre
Démontrer que le rayon du cercle circonscrit à un triangle est égal au rayon du cercle exinscrit touchant en , en et en si et seulemente si l’orthocentre du triangle est au centre du cercle ).
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Usaremos la notación habitual para un triángulo : lados y ; semiperímetro . Es sabido que por tanto es perpendicular a y, en consecuencia es paralelo a la bisectriz interior . Del mismo modo significa que es paralelo a la bisectriz interior . Por último y de aquí, es perpendicular a la otra bisectriz .
Basaremos la resolución del problema en los siguientes puntos:
1.- Los triángulos y son perspectivos. Su centro de perspectiva es y es el triángulo diagonal del cuadrilátero completo .
2.- Si un cuadrilátero completo es cíclico, el ortocentro de su triángulo diagonal es el centro de la circunferencia
circunscrita .
3.- Sean el radio del ex- círculo de centro y el radio de la circunferencia
.
Demostración de 1
Utilizando coordenadas baricéntricas relativas al triángulo , tenemos para los vértices del triángulo las siguientes:
Con estos datos obtenemos las ecuaciones de las rectas que unen los vértices del mismo nombre:
La concurrencia de estas rectas viene asegurada por la anulación del determinante formado por sus coeficientes, esto es,
(la tercera fila es la suma de las otras dos).
Resolviendo el sistema formado por dos de estas rectas se obtiene el centro de
perspectiva, el punto .
Demostración de 2
Queremos demostrar que el diámetro OA’ es perpendicular al lado B’C’. Bastará con probar que la recta m paralela a B’C’ por O es el diámetro conjugado del que pasa por A’. La recta m y su paralela B’C’ se encuentran en el punto del infinito =B’C’∩m. La polar de , punto de la recta B’C’, pasa por A’ (pues el triángulo A’B’C’ es autopolar) y por O (por estar en la recta del infinito), luego es el diámetro OA’, y esto demuestra que OA’ es una altura del triángulo diagonal.
Repitiendo el proceso con los otros vértices se concluye que O es el ortocentro.
Demostración de 3
-Primero vamos a encontrar una expresión algebraica que relacione los dos radios. Sabemos que
y también y . (Ver primera figura).
A partir de la identidad trigonométrica podemos poner y despejar
(*).
Si , en la relación anterior podemos despejar .
Por tanto
En coordenadas baricéntricas la ecuación de la circunferencia circunscrita es
Si sustituimos el punto ,
Del cálculo anterior se deduce que
(***)
Las expresiones (**) y (***) concluyen la demostración.
Finalizamos con una figura en la que se expone la situación del problema:
