1029 1010
2019
2003
Donner les résultats sous forme de fraction
Une urne contient trois boules rouges et cinq boules vertes.
Les boulessont indiscernables au toucher
On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne On considère les événements suivants :
A: «les deux boules tirées sont rouges»
:
B «la première boule tirée est rouge»
:
C «la deuxième boule tirée est verte»
1) montrer que 6
( ) 56
p A et 21 ( ) 56
p B
2) calculer ( ) p C
3) calculer p B( C)
4) les événements BetCsont-ils indépendants? Justifier la réponse
Un sacS1 contient deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes. Un autre sacS2 contient deux boules blanches, deux boules rouges et une boule verte. Toutes Les boules sont
indiscernables au toucher
On considère l’expérience suivante:
on tire une boule du sac S1puis on tire une boule du sac S2 On considère les événements suivants : :
A «les deux boules tirées sont blanches»
B : «les deuxboules tirées sontde couleurs différentes»
1) montrer que 1
( ) 12 p A
2) montrer que 7
( ) 24
p B (B l’événement contraire deB ) et en déduire p B( )
3) calculer p A( B)
Tousles résultats seront donnés sous forme de fraction Un sac contient 8boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges,3 boules blanches et 2 boules vertes
On tire simultanément au hasard trois boules du sac On considère les événements suivants : :
A «les trois boules tirées sont blanches»
B «les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux»
:
C «il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées»
1.a) montrer que 1
( ) 56 p A 1.b) calculer p B( ) etp C( )
2) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées.
2.a) copier et remplir le tableau ci- contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2 3 ( i)
p X x
2.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable aléatoire X
Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher portant respectivement les numéros : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6
On tire simultanément au hasard deux boules du sac On considère les événements suivants:
:
A «les deux boules tirées portent chacune un numéro pair»
:
B «les deux boules tirées portent chacune un numéro impair»
:
C «l’une deux boules tirées porte le numéro 2»
1.a) montrer que 1
( ) 5 p A 1.b) calculer p B( )
1.c) calculer p C( ) 2) calculer la probabilité conditionnelle p CA( )
3) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules tirées portant un numéro pair
3.a) copier et remplir le tableau ci- contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2
( i) p Xx
3.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
Un sac contient neuf boules indiscernables au toucher portant respectivement les numéros : 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2
On tire simultanément au hasard deux boules du sac 1) montrer que le nombre de cas possibles est 36
2) soitX la variable aléatoire qui correspond à la somme des deux nombres portés par les deux boules tirées
2.a) montrer que 12
( 2) p X 36 2.a) copier et compléter le tableau ci-contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2 3 4
( i)
p X x 12
36 2.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
Un sac contient trois boules blanches portant les nombres 0 ;1 ;2 deux boules noires portant les nombres 1 ;2
toutes les boules sont indiscernables au toucher
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules du sac 1) On considère les deux événements suivants :
:
A «les deux boules tirées portent le nombre 1»
B : «la première boule tirée est blanche»
a) montrer que 1
( ) 10
p A
b) calculer la probabilité deB et montrer que 1
( )
p AB 20 c) les événements AetBsont-ils indépendants? Justifier la réponse 2) soitX la variable aléatoire qui correspond au produit des deux nombres portés par les deux boules tirées.
2.a) copier et compéter le tableau ci- contre enjustifiant les réponses
xi 0 1 2 4
( i) p X x 8
20 2.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable aléatoire X
2éme Bac Sc.Economie
PROBABILITES
2019 Session De Rattrapage
2019 Session Normale 2018 Session De Rattrapage
2018 Session Normale
2017 Session Normale
2017 Session De Rattrapage
Un sac contient 7 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges,2 boules blanches et 2 boules vertes On tire simultanément au hasard deux boules du sac 1) On considère les événements suivants :
A: «les deux boules tirées sont de la même couleur»
B «parmi les deux boules tirées, il y a une au moins qui est de couleur rouge»
a) montrer que 5
( ) 21 p A
b) calculer la probabilité de B
c) montrer que 1
( )
p AB 7
d) est-ce que les événements A et Bsont indépendants ?justifier 2) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules rouges tirées.
2.a) copier et remplir le tableau ci- contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2
( i) p X x
2.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
Un sac contient 11 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges, 3 boules blanches et 4 boules vertes
On tire simultanément au hasard trois boules du sac 1) On considère les événements suivants :
A: «les trois boules tirées sont de la même couleur»
B «tirer une seule boule de chaque couleur »
C:«les trois boules tirées sont de deux couleurs différentes»
a) montrer que 3
( ) 55 p A
b) calculer la probabilité de B et en déduire que 36 ( ) 55 p C 2) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées.
2.a) copier et remplir le tableau ci- contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2 3 ( i)
p X x
2.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 5 boules rouges et 3 boules vertes
On tire simultanément au hasard deux boules du sac 1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 28 2) On considère les événements suivants :
A: «les deux boules tirées sont de la même couleur»
B«les deux boules tirées sont de couleurs différentes»
montrer que 13
( ) 28
p A puis calculer la probabilité de B 3.a) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules vertes tirées, montrer que 10
( 0)
p X 28 3.b) copier et remplir le tableau ci-
contre en justifiant les réponses xi 0 1 2 ( i)
p X x
2.b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges,5 boules blanches et 2 boules vertes
On tire simultanément au hasard trois boules du sac 1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 021 1) On considère les événements suivants :
A: «les deux boules tirées sont de la même couleur»
B«parmi les deux boules tirées, il y en a une au moins qui est de couleurblanche»
a) montrer que 11
( ) 120 p A
b) calculer la probabilité de B
2) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules vertes tirées.
2.a) copier et remplir le tableau ci- contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2
( i) p Xx
Un sac contient 9 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges,2 boules blanches et 4 boules vertes
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules du sac 1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 22
1) On considère les événements suivants : A «tirer une boule blanche en premier» :
B« les deux boules tirées sont de la même couleur»
a) montrer que 2
( ) 9 p A
b) calculer la probabilité de B et en déduire que 13 ( ) 18 p B (B l’évènement contraire deB )
3) sachant que la première boule tirée est blanche, calculer la probabilité pour tirer deux boules de couleurs différentes 4) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules blanches tirées. remplir le tableau ci-
contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2
( i) p X x
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges,2 boules blanches et 3 boules vertes
On tire simultanément au hasard trois boules du sac 1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 56 2) On considère les événements suivants :
A «parmi les boules tirées, il n’existe aucune boule verte» : B«une boule est verte et les deux autres tirées sont blanches » C: «une boule est verte et les deux autres tirées sont rouges »
D«les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux»
a) montrer que 5 ( ) 28 p A
b) calculer la probabilité des évènements : B ,C etD 3) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées.
3.a) montrer que 15
( 1) p X 28 3.b) copier et remplir le tableau ci- contre en justifiant les réponses
xi 0 1 2 3
( i)
p Xx 15
28
2016 Session Normale
2015 Session Normale
2014 Session Normale
2015 Session De Rattrapage
2016 Session De Rattrapage
2014 Session De Rattrapage
couleurs tirées
Donner les résultats sous forme de fraction
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 4boules rouges, boules blanches et 3 3boules vertes On tire simultanément au hasard quatre boules du sac 1) On considère les événements suivants :
A:«les quatre boules tirées sont de la même couleur»
B « une seule boule blanche»
C:«tirer trois boules même couleur et une d’une autre couleur»
a) montrer que 1
( ) 210 p A b) calculer p B( )
c) montrer que 19
( ) 105 p C
2) sachant que l’événement C est vérifiée calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche
Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction
Un sac contient 7 boules indiscernables au toucher : trois boules numérotées par 5 , deux boules numérotées par 4 et deux boules numérotées par 3
On tire simultanément au hasard deux boules du sac On considère les événements suivants : :
A «les deux boules tirées portent chacune un numéro impair»
:
B «la somme des deux numéros sur les deux boules tirées est supérieur ou égal à 9»
1.a) déterminer le nombre de tirages possibles 1.b) calculer p A( )
2) montrer que 3
( ) 7 p B
3) sachant que l’événement B est vérifiée calculer la probabilité de tirer deux boules portantes chacune un numéro impair
4) est-ce que les événements A et Bsont indépendants ? justifier
Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, dont trois boules blanches, quatre boules vertes et une boule rouge
On tire simultanément au hasard trois boules de l’urne soit la variable aléatoire qui correspond X aunombre de 1) vérifier que les valeurs prises par sont 1X , 2 et 3
2) montrer que 5
( 1) p X 56
3) calculer p X( 3) puis p X( 2)
4) calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X
Un sac contient 12 boules indiscernables au toucher : 5 boules rouges,4 boules blanches et 3 boules vertes
On tire simultanément au hasard trois boules du sac 1) On considère les événements suivants :
A: «les trois boules tirées sont de la même couleur»
B «tirer au moins une boule verte parmi les boules tirées»
a) montrer قيفوتلابque 3 ( ) 44 p A
b) calculerp B( ) et en déduire p B( )
2) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules vertes tirées
a) vérifier que les valeurs prises par X sont : 0 , 1 , 2 et 3 b) déterminer la loi de probabilité de X
Une urne contient sept boules indiscernables au toucher, quatre boules rouges, trois boules vertes
On considère l’expérience aléatoire suivante : On tire une boule b de l’urne et on marque sa couleur : - si b est rouge alors on la remet dans l’urne et puis on tire une deuxième boule
- si b est verte alors on ne la remet pas dans l’urne et puis on tire une deuxième boule
On considère les événements suivants:
A:«les deux boules tirées sont de la même couleur»
B « tirage d’une boule rouge dans le deuxième tirage»
1) montrer que 23
( ) 49
p A (on peut utiliser l’arbre des probabilités) 2) calculer p B( )
3) est-ce que les événements A etBsont indépendants ? justifier
Un sacU1 contient trois boules blanches, et deux boules rouges.
Un autre sacU2 contient deux boules blanches et trois boules rouges. Toutes Les boules sont indiscernables au toucher on tire une boule du sac U1 puis on tire une boule du sac U2 :
A «les deux boules tirées sont de la même couleur»
:
B «la boule tirée de U1 est rouge»
1) calculer p B( )et montrer que 12 ( ) 25 p A
2) sachant que la boule tirée de U1 est rouge qu’elle est la probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur
Un bureau d’études est constitué de 21 ingénieurs d’informatiques et de génie civil et sont distribués selon le tableau ci-dessous:
homme femme Informatique 5 3
Génie civil 8 4
On a choisit par hasard et simultanément trois personnes de ce bureau pour participer à une formation professionnelle 1.a) A: «tous les personnes choisis sont des femmes»
montrer que 7 ( ) 228 p A
1.b) sachant que tous les personnes choisis sont des femmes calculer la probabilité qu’elles soient de même spécialité 2) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de spécialités des personnes choisis
a) montrer que 69
( 1)
p X 285et déduire la loi de probabilité deX b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
On a un dé de forme cubique non truqué dont les faces portent les numéros 1 , 1 , 1 , 2 , 2 et 3 successivement
On jette le Dé deux fois successives et on marque dans chaque fois le numéro porté par la face de haut. On considère les événements : A:«Avoir deux fois le numéro 3»
B «Avoir deux numéros dont le produit est plus petit ou égal à6»
1. a) montrer que 1
( ) 36 p A
b) montrer queBest l’événement contraire deAet déduirep B( ) 2) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois ou apparait le numéro 3
a) déterminer les valeurs deX et la loi de la variableX b) calculerE X( ) l’espérance mathématique de la variable X
2013 Session Normale 2011 Session Normale
2012 Session Normale
2010 Session Normale 2011 Session De Rattrapage 2013 Session De Rattrapage
2012 Session De Rattrapage 2010 Session De Rattrapage
Un sac contient six boules rouges dont quatre portent le numéro1 et deux portent le numéro 2 ; et huit boules vertes dont cinq
portent le numéro 1 et trois portent le numéro 2 On tire simultanément au hasard deux boules du sac 1) calculer le nombre de tirages possibles
2) On considère les événements suivants :
A: «les deux boules tirées sont de la même couleur»
B «les deux boules tirées portent le même numéro»
i) montrer que 43 ( ) 91
p A puis calculer la probabilité de B ii) sachant que les deux boules tirées sont de la même couleur quelle est la probabilité qu’elles portent le même numéro ? 3) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules rouges tirées
déterminer les valeurs deX et la loi de la variableX
Une étude sur un dé truqué a donnée les résultatssuivants:
numéro de la face 0 2 3 4 5 6
probabilité de la face 2 20
4 20
6 20
5 20
1 20
2 20 1) On jette le Dé deux fois successives et on marque dans chaque fois le numéro porté par la face de haut.
i) soitA: «avoir deux numéros impairs» ; montrer que 81 ( ) 400 p A ii) soit : B«avoir deux numéros dont la somme est supérieur ou égal à10 » ; calculer la probabilité de B
iii) sachant que deux numéros sont impairs quelle est la probabilité que leurs somme soit supérieur ou égal à10 ?
2) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois ou apparait le numéro 2
déterminer les valeurs deX et la loi de probabilité de la variableX
Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction Un sac contient10 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 10 respectivement
On tire successivement et avec remise trois boules du sac 1) calculer le nombre de tirages possibles
2) montrer que la probabilité de tirer trois boules numérotées toutes les trois par un nombre pair est 1
8
3) en déduire la probabilité de tirer trois boules dont au moins une porte un nombre impair
4) sachant que les trois numéros des trois boules tirés sont pairs calculer la probabilité de tirer trois boules dont la somme des numéros est 24 .
Un sac contient (10)boules indiscernables au toucher : trois boules numérotées par 0 , trois boules numérotées par 2 trois boules numérotées par 3 et une boule porte le numéro 1
1) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules tirées qui portent le numéro 1
i) déterminer les valeurs prises parX
ii) déterminer la loi de probabilité de la variable X
2) calculer la probabilité de l’événement: « tirage de trois boules dont une seule porte le numéro 1 et les deux autres portent toutes les deux un nombre pair »
Une compagnie a procédé à un choix aléatoire de deux personnes parmi 6 hommes et 4 femmes pour les embaucher aux deux postes de directeur et directeur adjoint tel que le premier tirage au sort
pour le poste de directeur et le deuxième tirage au sort pour le poste deson adjoint
1) montrer que le nombre de cas possibles est : 90 2) On considère les événements suivants :
A: «les deux personnes choisis sont de même sexe»
B « les deux personnes choisis sont de sexes différents»
C: «le poste du directeur est pris par une femme » i) calculer p A( ) et calculerp B( )
ii) montrerquep C( )0, 4
3) sachant que le poste du directeur est pris par une femme quelle est la probabilité que les deux personnes choisis soient de sexes différents ?
Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher : boules blanches et 3 3 boules noires
On tire simultanément au hasard quatre boules du sac 1) calculer la probabilité de chacun des événements :
A: «les deux boules restantes dans le sac ont la même couleur»
B « les deux boules restantes ont deux couleurs différentes»
2) soitX la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules blanches restantes dans le sac. déterminer les valeurs deX et la loi de la variableXet calculerE X( )
Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges2 boules vertes et une boule bleu
On tire au hasard successivement et sans remise trois boules du sac 1) calculer la probabilité de chacun des événements :
A: «parmi les trois boules tirées il n’y a pas a boule bleu B« avoir une seule boule verte parmi les trois boules tirées»
2) est-ce que les événements A etBsont indépendants ? justifier
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 boules blanches et 4 boules noires
On tire simultanément au hasard trois boules du sac 1) soit A: «tirer au moins une boule noire»
montrer que 5 ( ) 6 p A
2) on répète l’expérience précédente 5 fois en remettant à chaque fois dans le sac les trois boules tirées ; quelle est la probabilité pour que l’événement A se réalise exactement trois fois ?
Un sac contient (10) boules indiscernables au toucher : une boule numéroté par 0, trois boules numérotées par 0 , quatre boules numérotées par 2 et deux boules numérotées par 3
On tire simultanément au hasard trois boules du sac 1) calculer le nombrede tirages possibles
2) calculer la probabilité de l’événement A: «parmi les boules tirées deux exactement portent le même numéro»
3) soitX la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules qui portent le numéro 2. déterminer les valeurs deX et la loi de probabilité de la variableXpuis calculerE X( )
4) on répète l’expérience précédente dix fois en remettant à chaque fois dans le sac les trois boules tirées ; quelle est la probabilité pour que l’événement A se réalise exactement six fois ?
