Note sur les séries divergentes

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. C ATALAN

Note sur les séries divergentes

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 18

(1859), p. 195-198

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(2)

NOTE SUR LES SÉRIES DIVERGENTES;

PAR M. E. CATALAN.

I. En rédigeant, Tannée dernière, un Traité élémen- taire des séries, je remarquai cette proposition très-simple, qui infirme la plupart des théories imprimées et ensei- gnées :

La somme d'un nombre indéfiniment grand (*) de

(**) Indéfiniment grand signifie ici : qui croit indéfiniment.

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termes consécutifs peut avoir pour limite zéro, sans que la série soit convergente.

Pour vérifier ce théorème, il suffit de considérer la série divergente

et de prendre la somme des n termes qui suivent le nihne. On obtient ainsi

Tous les termes du second membre sont moindres que -— ; donc

San — oⁿ <C^ y ?

et, conséquemment,

lim(S^2M—- S^ft) = o.

II. Si, dans une série divergente, la somme d'un nombre indéfiniment grand de termes a quelquefois pour li- mite zéro, cette somme peut, à plus forte raison, tendre vers une limite finie, s'il existe, entre le nombre n de ces termes et le rang a du premier d'entre eux, une re- lation convenablement choisie. Par exemple,

(i) Jim (—î 1 - h . . -+-—) = /2.

Cette formule (*) est devenue la question 458. Généra- lement , les solutions m'ont paru, ou inexactes, ou trop compliquées : j'espère que la démonstration suivante sera jugée simple et rigoureuse :

III. THÉORÈME (évident au moyen d'une figure). Soit

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f (x) une Jonction positive et indéfiniment décroissante, du moins à partir de x = a — i ; soit F (x) la fonction primitif e de f (x). On a

IV. COROLLAIRE. *Sï le nombre entier n est une fonc- tion donnée du nombre entier a, qui devienne infinie en même temps que a, et si la différence F (a H- n) — F(a) tend vers une limite A lorsque a croît indéfiniment,

V. APPLICATIONS. I ° . Soient

f(a) = ~> n = (p —

p et q étant deux nombres entiers donnés. On aura

donc,

[

^{I T 1} ⁱ ^l

a a-\-i « + 2 pa -\- q — IJ En particulier,

(i) lira I -H 1 h...H l-r L = / 2 .

v ' L<2 a -f-1 <z-h2 2fl — I J

2°. Soient

(5)

( 198) d'où

la ta

puis / = li et

lim

3°. Soient, enfin,

étant un nombre entier.

Ces hypothèses donnent

(a-hi)/(m-i)

i

=r./2.

F ( J C ) = a v / ï + C , F ( a - f - w ) — F ( f l ) = 2 ;

donc

limim -pz. 4- ,

Isfb' sjb"*^ ²^{-f-a b J}

2 .

V I . Remarque. A c a u s e d e s i n é g a l i t é s ( 2 ) , ( 3 ) , o n a

1 1 1

1 1 1

— -f- , H-... 4- - = =

ce qui est assez curieux.