G20201. Borne de triangles On donne un ensemble

G20201. Borne de triangles

On donne un ensemble S de segments, au nombre de s. On considère les triangles, au nombre det, dont les 3 côtés sont éléments deS. Montrer que t²/s³est borné supérieurement, et déterminer la meilleure borne supérieure.

Solution

Si les segments sont tous les segments reliantnpoints (graphe complet), on a s=C_n²,t=C_n³, ett²/s³= 2/9−(6n−8)/(9n²−9n), aussi voisin qu’on veut de 2/9 par valeurs inférieures sin est grand. Pour un ensemble quelconque de segments, cette majoration se vérifie directement pour les petits nombres de segments.

Dans le cas général, soit un point P extrémité commune de segments (au nombre ded). Tout triangle ayant un sommet enP utilise une desC_d² paires formées avec deux des dsegments adjacents à P, et un des s−dsegments non adjacents àP.

Hypothèse de récurrence : pour un nombre de segments s⁰ < s, le nombre de triangles respecte la limite t⁰²/s⁰³ < 2/9. Les triangles sans sommet en P sont en nombre t⁰ plafonné du fait du nombre s⁰ = s−d des segments disponibles.

Ainsit−t⁰ ≤min(s−d, C_d²) ; mais par la formule de la moyenne p2s³/9−^p2(s−d)³/9 =d^p(s−θd)/2> d^p(s−d)/2.

Si on suppose t²/s³ >2/9, on at−t⁰ > d^p(s−d)/2 et cela conduit à une contradiction, car

s−d > d^p(s−d)/2 donne ^p2(s−d)> d, C_d²> d^p(s−d)/2 donne ^p2(s−d)< d−1.

Ainsi 2/9 est une borne supérieure det²/s³; c’est la meilleure possible, car tout nombre strictement inférieur peut être dépassé par un graphe complet ayant un nombre de sommets assez grand.