Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°30
Questions de cours
Question n°1 :Définition de f(x) tend versℓ∈Rquand x tend versa∈Rpour une fonction f ; définition de la notion de propriété locale ena∈Rpour une fonction ; si une fonction admet une limite finie ena∈R, alors elle est bornée localement ena(preuve dans le casa∈R).
Question n°2 :Théorème de la limite monotone pour les fonctions (énoncé) ; la fonction
x7→
Zx 1 e−t
2 2 dt admet une limite finie en+∞.
Question n°3 :Définition de la continuité d’une fonction sur un intervalle ; si une fonction est continue sur un in- tervalleI et s’il existea∈I tel que f(a)>0 alors f est minorée par f(a)2 localement ena(preuve en s’appuyant sur un graphique).
Question n°4 :Composition d’une limite de suite par une fonction (énoncé et preuve dans le cas où la suite converge vers a ∈ R et où la fonction admet pour li- miteℓ∈Rena) ; la fonction sin n’a pas de limite en+∞
(preuve).
Question n°5 :Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires (énoncé et preuve par dichotomie) ; théo- rème des valeurs intermédiaires (énoncé : trois formula- tions d’un même résultat).
Limites et continuité
• Les 15 définitions des notions de limite pour une fonction.
• Théorème sur l’unicité de la limite et définition du symbole lim pour les fonctions.
• Définition de la notion de propriété locale ena∈R pour une fonction.
• Si une fonction admet une limite finie ena∈R, alors elle est bornée localement ena.
• Opérations sur les limites.
• Composition d’une limite de suite par une fonc- tion.
• Passage à la limite dans une inégalité large pour les fonctions.
• Théorème d’encadrement pour les fonctions.
• Théorème de domination pour les fonctions.
• Théorème de la limite monotone pour les fonc- tions.
• Définition de la continuité (resp. continuité à gauche, continuité à droite) d’une fonction en un point.
• Prolongement par continuité d’une fonction en un point.
• Image d’une suite de limite a par une fonction continue ena.
• Opérations sur les fonctions continues en un point.
• Définition d’une fonction continue sur un inter- valle.
• Résultats sur la continuité des fonctions usuelles.
• Opérations sur les fonctions continues.
• Cas particulier du théorème des valeurs intermé- diaires et algorithme de dichotomie.
• Théorème des valeurs intermédiaires (3 formula- tions d’un même résultat).
• Calcul de l’image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone.
• Définition d’un segment.
• Théorème sur les extrema d’une fonction conti- nue sur un segment.
• Théorème de la bijection.
