Einleitung. w Inhalt. KRIJMMUNGSEIGENSCHAFTEN KONVEXER FLACHEN,

KRIJMMUNGSEIGENSCHAFTEN KONVEXER FLACHEN,

VON

H E R B E R T BUSEMANN und WILLY FELLER

in KOPENHAGEN. in ~TOCKHOLM.

w 2.

w w

w

w w 7.

Inhalt.

Seite

Einleitung . . . 1 Vorbemerkungen fiber Kurven . . . 4 Der Meusniersehe Satz . . . 8 Die Krfimmungen tier Normatschnitte im einzehien FI~chenpunkt 13 Fast iiberall vorhandene Kriimmungseigenschaften der Normalschnitte 23 Uber den Nabelpunktsatz . . . 30 Beispiel einer Fliche, die bis auf eine Nullmenge aus lauter Kugelstficken desselben Radius besteht . . . 34 Kiirzeste Linien . . . 40

Einleitung.

D i e v o r l i e g e n d e A r b e i t s u c h t die E l e m e n t e der D i f f e r e n t i M g e o m e t r i e d e r k o a v e x e n F l ~ c h e n o h n e die iiblichen I ~ e g u l u r i t ~ t s a n n a h m e n zu e n t w i c k e l n . D a b e i t r e t e n vielfuch zwungsl~ufig r e i n g e o m e t r i s c h e U b e r l e g u n g e n a n Stelle d e r son- s t i g e n a n M y t i s c h e n , w o d u r c h sich die M e t h o d e d e r j e n i g e n y o n H J ~ L ~ s L ~ v in s e i n e n )>Grundlag f o r F l u d e r n e s Geometri>~ 1 n i h e r t . W e n i g e r B e z i e h u n g e n be- s t e h e n zu d e n A r b e i t e n y o n BOVLIGA~D u n d seiner Schule, da in d i e s e n - - s o w e i t sie u n s r e n G e g e n s t a n d b e t r e f f e n - - m e h r g e o m e t r i s c h e F o r m u l i e r u n g e n d e r una- l y t i s c h e n Vorg~tnge Ms u n m i t t e l b a r e g e o m e t r i s c h e Ans~ttze g e g e b e n w e r d e n .

M6m. Acad. Roy. So. Let. Danemark, Copenhague, (7) XII, (I9x4).

1--35150. A c t a mathematica. 66. Imprim6 le 26 juillet 1935.

2 Herbert Busemann und Willy Feller.

Unsre H a u p t t h e m a t a sind: Analoga der S~tze yon l~Ieusnier, Olinde Rodri- gues und Euler; der Satz, dass die Kugel die einzige geschlossene Fl~che mit lauter Nabelpunkten ist; schliesslich die Differentialeigenschaften der kfirzesten Linien.

I n w I stellen wir einige Definitionen und Eigenschaften yon Kurven zu- sammen. Der w 2, welcher auch ftir uiehtkonvexe FlSchen gilt, befasst sich mit dem Meusnierschen Satz. Die Einffihrung der folgenden Begriffsbildung ist dabei zweckm~ssig. Die Ebene H heisst im l%nkte P der Fl~che q) Tange~#ialebene im scharfen Sinne (paratingent plan bei Bouligand), wenn fiir jede gegen P kon- vergierende Sehnenfolge Q~Rn s~mtliche Grenzlagen der Geraden QnRn in / / liegen. Beispielsweise ist jede Tangentialebene einer kouvexen Fliiche zugleich Tangentialebene im scharfen Sinne. H a t in einem Punkte P , in Welchem die Fl~che eine Tangentialebene im scharfen Sinne besitzt, ein ebener Schnitt (die Tangentialebene immer ausgenommen) eine Krfimmung ~, so haben alle ebenen Schnitte mit derselben Tangente in P ebenfalls eine Krfimmung, und die zuge- hSrigen Kriimmungskreise liegen auf einer Kugel. Dies bfidet eine unwesent- liche, aber fiir konvexe Fl~ehen wichtige Versch~rfung des Meusnierschen Satzes in der Formulierung yon H~ELMSLEV. a - - Der bekannte Zusammenheng der Kriim- mung einer Flgchenkurve mit der ihrer Projektion auf die Tangentialebene gilt auch bereits unter diesen allgemeinen Voraussetzungen.

In w 3 werden die Kriimmungen der 1Wormalschnitte einer konvexen Fl~che in einem Punkte P untersucht, in dem die Fl~iche eine Tangentialebene hat.

Trggt man die Wurzel aus dem kleinsten (einseitigen) Krfimmungsradius jedes Normalschnitts auf der zugehSrigen Halbtangente yon P aus ab, so beschreibt der Endpunkt eine Kurve, die wir die untere Indikat~ix yon P nennen. Diese ist stets eine kouvexe Kurve (die freilieh ganz im Unendliehen liegen kann). Es folgen Aussagen fiber die analog zu definierende obere Indikatrix. Yon einer I~di]cab'ix schlechthin sprechen wir, wenn beide Kurven zusammenfallen. Jede konvexe Kurve, die P im Im~ern oder am Rande enthdilt, kann als Indikatrix des Fldchenpunktes P auftreten.

Die konvexe Fl~che mSge nun in einer Umgebung yon P eine T a n g e n t i a l

Der K r i i m m u n g s m i t t e l p u n k t ist hierbei n i c h t aufzufassen als Grenzlage des S c h n i t t p u n k t e s benachbarter Kurvennormalen, sondern als Grenzlage der Mittelpunkte der Kreise, die in P die Kurve berfihren, u n d dutch einen benachbarten K u r v e n p u n k t gehen.

~. 8. O. - - Neuerdings h a t auch ]~OULIGAND den Meusnierschen Satz unter geringeren als den klassischen, aber weir sch~rferen als den Hjelmslevschen Voraussetzungen bewiesen. Vgl. im Folgenden S. 11.

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl~chen. 3 ebene u n d in P selbst a u s s e r d e m eine I n d i k a t r i x besitzen; wir b e t r a c h t e n die d u r c h parallele N o r m a l e n v e r m i t t e l t e A b b i l d u n g der Fl~che auf die E i n h e i t s k u g e l . I s t Q ein P u n k t der I n d i k a t r i x von P , in d e m diese eine T a n g e n t e ~ hat, so h a t das sph~risehe Bild jedes e b e n e n F l ~ c h e n s e h n i t t s m i t der T a n g e n t e P Q im B i l d p u n k t y o n P eine T a n g e n t e , u n d diese s t e h t s e n k r e c h t auf ~. Die Schnitt- g e r a d e n b e n a c h b a r t e r T a n g e n t i a l e b e n e n l~[ngs dieser F l ~ c h e n s c h n i t t e h a b e n d a h e r bei A n n ~ h e r u n g a n P eine Grenzlage, u n d diese ist parallel zu ~. Dies ent- s p r i c h t d e m Satze fiber ko~jugierte Richtungen im r e g u l ~ r e n Falle: W e n n die I n d i k a t r i x kei~e Ecken hat, so gibt es zu jeder Richtung dutch P eine ko~jugierte;

diese Beziehung kann sogar symmetrisch sein, ohne dass die I n d i k a t r i x eine Ellipse ist. Zu d e n R i c h t u n g e n /~Q, in d e n e n der R a d i u s v e k t o r der I n d i k a t r i x e i n e n E x t r e m w e r t a n n i m m t , ist die S e n k r e c h t e konjugier~; in diesen R i c h t u n g e n (deren es im a l l g e m e i n e m beliebig viele g e b e n kann) grit die F o r m e l y o n Olinde Rodri- gues fiir die H a u p t l ~ r f i m m u n g s r i c h t u n g e n .

I n w 4 v e r z i c h t e n wir d a r a u f , in jedem P u n k t e gfiltige A u s s a g e n fiber die K r i i m m u n g e n d e r N o r m a l s c h n i t t e zu m a c h e n , u n d erhalt~en s t a r t dessen sch~r- fere S~tze, die a b e r n u r ))]hst iiberall>> (d. h. m i t A u s n a h m e e i n e r !Ylenge yore Masse Null) s t a t t h a b e n . S~tze dieses T y p u s lassen sich natfirlich n u r m i t t t i l f e der T h e o r i e der reellen F u n k t i o n e n gewinnen. K o n v e x e Fl~ichen h a b e n f a s t iiberall eine T a n g e n t i a l e b e n e ~, u n d k o n v e x e K u r v e n h a b e n fast fiberall eine end- liche K r f i m m u n g . ~ Mit H i l f e des ~ e u s n i e r s c h e n Satzes u n d der R e s u l t a t e des w 3 sehliesst m a n hieraus, dass in f a s t allen P u n k t e n der F15che sh'mtliche ebenen Sehnitte eine endliche Kriimmung haben. D a r i i b e r h i n a u s gilt in f a s t allen P u n k t e u der E u l e r s c h e Satz, d. h. die I n d i k a t r i x ist .fast iiberall ein Kegelschnitt m i t dem betreffenden Punier als Mittelpunkt. Es ist vielleicht yon I n t e r e s s e , dass die l e t z t e r e n P u n k t e a n a l y t i s c h so c h a r a k t e r i s i e r t sind: M a n b e t r a c h t e t ein Flgchen- stiiek (P, dass sich e i n d e u t i g a u f eine E b e n e H p r o j i z i e r t u n d f i i h r t in H a u f alle m S g l i c h e n A r t e n k a r t e s i s c h e K o o r d i n a t e n s y s t e m e x , y ein. Stellt m a n in einem dieser S y s t e m e q) in der F o r m z = f ( x , y) dar, so i s t f ( x , y) y o n b e s c h r ~ n k t e r S c h w a n k u n g u n d d a h e r f a s t fiberall n a c h R e c h t e c k e n differenzierbar. ~ Es h a n d e l t 4 Vgl. T. BONNESEN und W. FENCHEL: Theorie der konvexen KSrper; Ergebnisse der Math., III, I, Berlin 1934, S. I3. -- Wir beziehen uns, soweit m5glich, auf diesen Berieht, und zitieren ihn zur Abkiirzung mit B. F.

5 B . F . S . I44.

s d. h. in fast allen Punkten existiert

lira f ( x + hn, y + k~) + f ( x - - hn, y-- kn) -- f@ + hn, y-- kn) --.f(x-- hn, y + k~ ,

n ~ ~ 4 hn kn

Herbert Busemann und Willy Feller.

sieh dann um diejenigen Punkte, in denen I) alle ebenen Schnitte endliehe Kriim- mungen besitzen, und z) alle diese Funktionen f ( x , y) gleichzeitig differenzierbar sind.

Im w 5 wird ohne weitere Regularit$~sannahmen bewiesen, dass ein di, fferen- zierbares Fldchenstiick, das iiberall aus Nabelpunkten besteht, ein Kugelstiick sein muss. Es liegt die Frage nahe, ob es bier geniigt vorauszusetzen, dass das Fl~chenstiick nur fast iiberall aus Nabelpunkten besteht. Dieses ist unter gewis- sen Voraussetzungen der Fall, etwa wenn die Kriimmungen der Normalschnitte beschr~nkt sind, oder wenn die ersten Fl~chenableitungen totalstetig sind. Da- gegen zeigt der w 6, dass der Satz ohne solche Voraussetzungen nicht richtig ist. Wir geben ni~mlieh eine geschlossene differenzierbare konvexe l~ldche an, yon der .fast alle Punkte Nabelpunkte derselben Kriimmung sind, und die doch kei~e Kugel ist; die Kr~mmung kam~ dabei auch gleich Null sein. Diese Fliiche ist gleichzeitig ein Beispiel dafiir, dass die sphiirische Abbildung differenzierbarer konvexer Fli~chen nicht totalstetig zu sein braucht, d . h . dass Nullmengen anf der Fli~che in Mengen positiven Masses auf der Kugel iibergehen kSnnen. Dass das bei beschriinkten Kriimmungen der Normalschnitte nicht vorkommen kann, zeigen wir schon vorher durch Anwendung einer in w 5 vorkommenden Beziehung.

Der letzte Paragraph ist unabhi~ngig yon den 3w 3 - 6 . Nach L~B~SGUn 7 gibt es auf jeder konvexen Fliiehe zwischen je zwei Punkten eine kiirzeste Ver- bindung. In w 7 wird gezeigt, dass eine solche kiirzeste Linie in jedem Punkte P (die Eckpunkte inbegriffen), in dem die Fliiche eine Tangentialebene hat, differenzierbar is~ und eine Schmiegebene besitzt, die durch die Fliichennormale geht. Die Projelction der Li~ie a u f die Tangentialebene hat in solchen Punkteu die Kriimmung Null, selbst wenn die Normalschnitte (und also auch die kiirzeste Linie) kei~e Kriimmung haben.

Vorbemerkungen fiber Kurven.

Alle im Folgenden vorkommenden geometrischen Gebilde liegen im drei- dimensionalen Euklidischen Raum. Grosse lateinischen Buchstaben bezeichnen

w o b e i hn a n d kn zwei N u l l f o l g e n sind, die n u r d e r E i n s e h r ~ n k u n g o < l i m -k~ -< li-mm k n < r u n t e r w o r f e n werden.

7 A n n a l i di M a t e m a t i c a (3), V I I (1902). Vgl. a u c h O. BOLZA: V a r i a t i o n s r e e h n u n ' g , Leipzig u n d B e r l i n 1909, S. 422.

Kriimmungseigenschaften konvexer Fliichen. 5 stets P u n k t e ,

PQ

die abgeschlossene Strecke yon P nach Q, Und

PQ,

w e n n P # Q, die Gerade d u r c h P u n d Q. W e n n R n i c h t a u f der Geraden

P Q - - t

liegt, bedeute ferner

P Q R = R t

die Ebene d u r c h R u n d t. Die E n t f e r n u n g zweier P u n k t m e n g e n a u n d fl wird m i t e(~, fl) bezeichnet.

Es ist bequem, einige gewShnlich n u r fiir K u r v e n definierte Begriffe a u f konvergente P u n k t f o l g e n auszudehnen. W e n n fiir die gegen P konvergierende P u n k t f o l g e {P~} die G e r a d e n

PP~

konvergieren, heisse die Grenzgerade

t Tan- gente

yon

{Pn}.

Es sei d a n n Fp~ der F u s s p u n k t des Lores yon /),~ a u f t; wir n e n n e n die GrSsse a~ = e (P,~, F~%) den

Normalen-

u n d ~,~ =

e(F~,~, P)

den

Tan- gentenabschnitt

yon

Pn

a u f t. E s ist

(I)

^{lira a, 9 - - 0 .}

T n

Der Kreis durch die P u n k t e P u n d Pn m i t der T a n g e n t e t in P heisse

Ndherungskreis

yon Pn beziiglich des L i n i e n e l e m e n t e s (P, t). Sein Radius ist

e~(P, .Pn) _ o~ + ~,~,

(2) Q(Pn)- 2e(Pn, Fl,n) 2an '

wobei fiir an = o die rechte Seite das Symbol ~r darstellt. W e n n e = lira e(P,,) existiert, n e n n e n wir i h n den

Kr~mmungsradius

der P u n k f f o l g e {P,,}. Aus (I)

u n d (2) finder m a n fiir den K r i i m m u n g s r a d i u s :

2 ' g n

(3) e = lim - -

2 fin

Die Zahl I/e bzw. o im Falle e = ~ heisse die K r i i m m u n g von {P,}.

W e n n die k o n v e r g e n t e P u n k f f o l g e P,--~ P eine T a n g e n t e t h a t u n d die E b e n e n P , t konvergieren, n e n n e n wir deren Grenzlage die

Sehmiegebene

y o n {P,~}. W i r spreehen ferner yon einer Sehmiegebene aueh dann, wenn {P~,} zwar keine T a n g e n t e hat, aber alle Teilfotgen m i t T a n g e n t e dieselbe Sehmiegebene besitzen; das ist z. B. bei allen ebenen K u r v e n der Fall. H a t eine P u n k t f o l g e {P,} sowohl eine Schmiegebene H als auch eine K r i i m m u n g I/q, so

hat die Folge der Fusspunkte von Pn auf 1I dieselbe Kriimmung.

Sind

II'

u n d

11"

zwei zueinander senkreehte Ebenen d u r e h t, so h a b e n die F o l g e n der F u s s p u n k t e y o n Pn a u f diesen Ebenen ebenfalls K r i i m m u n g e n

I/e'

a n d

I/e",

u n d es ist

I I I

(4) e e'' e

Herbert Busemann und Willy Feller.

Nun sei Z das topologisehe Bild einer abgeschlossenen Strecke, und P ein Endpunkt desselben. W e n n alle gegen P konvergierenden Punktfolgen auf z eine (und daher dieselbe) Tangente t haben, so heisse

t Tangente

an z in P . W e n n fiir

jede

gegen P konvergierende Sehnenfolge Q,~Rn yon z die Geraden

QnR~--~ t,

so nennen wir

t Tangente im scha~fen Sinne.

Macht man P zum Ursprung und die Tangente im scharfen S i n n e t zur x-Achse eines Koordinatensystems, so h ~ x in einer I-Ialbumgebung des Ur- sprungs, etwa ffir x --> o, eine eindeutige Dars~ellung der Form y---f(x),

z~-g(x).

W e n n die x-Achse im Ursprung nur gewShnliche Tangente ist, so braucht eine solche Darstellung nicht zu existieren. Dass die x-Achse im Ursprung Tangente im scharfen Sinne ist, driickt sich analytisch durch die Beziehungen

lim

f ( x

+ h) - - f ( x ) = lira

g(x

+ h) - - g ( x )

x~+o h ~ + o h

h ~ o h ~ O

~ O

aus. Die Differenzenquotienten yon

f(x)

^und

g(x)

sind daher in einer Umgebung des Nullpunktes beschri~nkt, so dass dort die Ableitungen

f ' ( x ) u n d g'(x)fast

iiberall existieren. Fiir jede Nullfolge {x,~}, fiir die

f'(Xn)

und

g'(x,,)

existieren, gilt

f'(xn)--~ o

und

g'(xn)--* o.

Diese Bedingungen sind auch hinreiehend dafiir, dass die x-Achse im Nullpunkt Tangente im scharfen Sinne istl s

z habe wieder in P die Tangente t (nicht notwendig im scharfen Sinne).

Wir betrachten alle gegen P konvergierenden Punktfolgen auf z, die mit einer Kriimmung versehen sind. Die untere (obere) Grenze aller so erh~ltenen Kriim- mungen nennen wir die

untere (obere) Kriimmung

yon z in P. Entsprechend wer- den die Begriffe:

Kriimmung, Kriimmu~gsradien und Schmiegebene

erkl~rf,.

geder innere P u n k t Q zerlegt z in zwei Teilbogen zr und zt, welche wir die rechte bzw. die linke Seite yon Q auf z nennen wollen. W e n n zr und zl in Q Tangenten haben, nennen wir diese die

rechte

bzw.

linke Tangente

yon z in Q; wenn beide zusammenfallen, sprechen wir yon einer Tangente schlechthin.

I n anal0ger Weise werden die iibrigen Begriffe definiert.

W i t betrachten nun eine ebene Kurve z, die durch die Gleichung

y = f ( x )

dargestellt ist. Wenn x in x = x 0 eine rechte Tangente besitzt, so existiert die rechte Ableitung

f"(Xo),

und man finder fiir die reehte obere und untere Kriim- mung die Werte

s vgl. w 2, 8 . 8 f .

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl~chen.

2 l i m ~ ' I { f ( ~ x ~ 1 7 6 f~(Xo) } 9

(5) ] / I + [f(~)(Xo)] ~ h-+o h

)/I~n sieht hieraus, dass x in x : x o selbst bei stetiger erster A b l e i t u n g f ' ( x ) eine K r i i m m u n g h a b e n kann, ohne dass eine zweite Ableitung f"(Xo) existiert. 9 E i n Beispiel dafiir liefert y ~ x ~ sin I im N u l l p u n k t . W e n n d a g e g e n die zweite

x

rechte A b l e i t u n g frr(xo) existiert, so besitzt z in x - ~ x o eine rechte K r i i m m u n g

TM,

u n d zwar ist diese gleich

I f-(Xo)

(6) @o : V I + [f~ (Xo) ].3

Insbesondere h a t x, wenn f"(xo) existiert, in x ~ x o eine K r i i m m u n g schlechthin.

I n d e m m a n d a n n (5) u n d (6) a u f die rechte u n d a u f die linke K r i i m m u n g an- wendet, finder m a n

(7) f"(Xo)--~ lira f ( x ~ + h) + f ( x o - - h ) - 2f(Xo) "

h-~ 0 h 2

Bei konvexen K u r v e n liegen die Verh~ltnisse besonders einfach. Es gibt hier in jedem P u n k t eine rechte u n d eine linke Tangente, u n d diese sind monoton. D a h e r h a t die K u r v e iiberall, m i t Ausna.hme h5chstens abz~ihlbar vieler P u n k t e , eine (zweiseitige) T a n g e n t e ; diese ist stets zugleich T a n g e n t e im scharfen Sinne. Die M o n o t o n i t ~ t der T a n g e n t e n h a t zur Folge, d a s s f a s t iiberall auch eine zweite Ableitung n d e r die K u r v e darstellenden F u n k t i o n existiert.

W i c h t i g ist, dass zum Unterschiede gegen nichtkonvexe K u r v e n hier aus der Existe~z der rechten (linkenj Kriimmung die der zweiten rechten ~linken) Ab- leitu~g folgt. 12

Schliesslich sei noch der Blaschkesche Auswahlsatz ~ erwiihnt: Aus eider gleichmh'ssig beschrhb]~ten Folge konvexer Kurven {x~} lh'sst sich eine Teilfolge {x~}

9 N u r w e n n m a n d e n K r i i m m u n g s r a d i u s v e r m S g e d e r G r e n z l a g e des S c h n i t t p u n k t e s b e n a c h - b a r t e r N o r m ~ l e n definiert, i s t die E x i s t e n z d e r K r i i m m u n g g l e i c h b e d e u t e n d m i t der E x i s t e n z d e r z w e i t e n A b l e i t u n g .

io vgl. B. JESSEN: O m k o n v e k s e K u r v e r s K r u m n i n g . M a t e m a t i s k T i d s s k r i f t B, 1929, K o p e n h a g e n .

11 d. h. g e n a u e r : Die A b l e i t u n g e n tier r e c h t e n u n d der l i n k e n A b l e i t u n g s t i m m e n a u s s e r h a l b e i n e M e n g e v o m M ~ s s o fiberein.

I~ vgl. JESSEI~, a. ~. O.

13 vgl. B . F . S . 34.

Herbert Busemann und Willy Feller.

auswdhlen, welche gegen eine (lconvexe) Kurve x Iconvergiert.

Dabei konvergieren die Kurven

mit ihren Tangenten

im folgenden Sinne: Es sei P,~ ein P u n k t auf x,,~, und

_P,~

konvergiere gegen einen Punkt, in welchem x eine Tangente hat.

Dann konvergieren die Stiitzgeraden yon x,,, in P~ gegen diese Tangente.

2.

Der Meusniersche Satz.

Es sei q) ein topologisches Bild der

Kreisscheibe,

und P ein innerer P u n k t yon @. Eine Ebene H heisse im Punkte

P Tangentialebene yon q) im scharfen Sinne,

wenn fiir

jede

gegen P konvergierende Sehnenfolge

QnR,~

yon q) s~mt- liche Grenzlagen der Geraden

QnR~

in H liegen. H a t q) in P eine Tangential- ebene im scharfen Sinne, und steht diese nicht senkrecht zur

x,y-Ebene,

so kann man q) in einer Umgebung yon P eindeutig in der Form

z : f ( x , y)

dar- stellen. Fiir eine so dargestellte Fl~che kann man die geometrische Definition auch folgendermassen formulieren: q) hat in (x0, Yo) dann und nur dann eine Tangentialebene im scharfen Sinne, wenn die Limites

[im

f ( x + h, y) -- f ( x , y) __ f~(Xo, Yo),

(x, y) ~ (so, Yo) h

h ~ o

(,)

lim

f ( x , y + k) -- f ( x , y)

= f y ( x 0 , yo)

(x, y) ~ (xo, Yo) k

k ~ 0

existieren. H a t insbesondere q~ in

jedem

P u n k t e eine Tangentialebene, so ist diese d o r t und nur dort Tangentialebene im scharfen Sinne, wo sie stetig ist.

Der Vollst~ndigkeit halber geben wir noch an, was die Tangentialebene im scharfen Sinne fiir die Funktion

f ( x , y)

bedeutet. W i r werden a b e r yon dem folgenden Kriterium

keinen Gebrauch

machen:

Die Fldche z ~ f ( x , y) hat i~ (Xo,Yo) dann und nur dann eine nicht zur x,y-Ebene senkrechte Tangentialebene im scha~fen Sinne, wenn: I)f~(xo,Yo)und fy(xo, Yo) existieren, 2) es eine Umgebung yon (Xo, Yo) gibt, in der f ( x , y) fiir fast

alle 14rerte der einen VerS~derlichen totalstetig in der anderen ist 1~, und

3)

die

14 N a c h LEBESGUE ist g ( x ) in einem I n t e r v a l l t o t a l s t e t i g , w e n n d a r i n g ' ( x ) fast iiberall exi- s t i e r t u n d fiir jedes T e i l i n t e r v a l l

St

g ' ( x ) d x = g ( x l ) - - g~xoj

S o

ist.

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl~ichen. 9 daher f a s t iiberall existierenden Ableitungen f~,(x,y) und f u ( x , y ) in (xo, Yo)ste- tig sind.

Beweis. a) W e n n es in (xo, Yo) eine T a n g e n t i a l e b e n e im scharfen Sinne gibt, so sind die in (I) v o r k o m m e n d e n D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n in einer U m g e b u n g yon (x0, Y0) besehr~nk~. D a h e r ist f ( x , y) als F u n k t i o n einer Veriinderlichen so- gar fiir alle W e r t e der anderen totalstetig. 15 Die S t e t i g k e i t der partiellen Ab- leitungen in (xo, Y0) ergibt sich aus (~).

b) Die drei B e d i n g u n g e n seien erfiill~. W i r haben zu zeigen, dass fiir alle Folgen (Xn, y~) ---> (XO, YO) u n d hn --~ o, fiir die

(2) lim f(x,~ + h~, y~,) -- f ( x n , yn)

n ~ oo h ? t

existiert, dieser Grenzwer~ gleich f~(x0, Y0) is~. D a z u w~hlen wir y~ so nahe an yn, dass die Folge

f ( x , + h,, .V~) - - f ( x ~ , .V;,) ha

denselben Grenzwert hat, wie (2), und derart, dass f ( x , y~) totalstetig ist. D a n n ist

x n + h n i.a

f ( x n + hn, y'n) -- f ( x n , y~) = ]] fa:(X, y;~) d x = hn J n ,

Z n

wo z/n eine Zahl ist, die zwischen dem M a x i m u m und dem M i n i m u m yon f~(x, y~) im I n t e g r a t i o n s i n t e r v a l l liegt. W e g e n der dritten B e d i n g u n g ist wirklich

lim f ( x ~ + h~, y~) -- f ( x n , y'~) _ lim ~/~ -~ fx(xo, Yo) hn

W i r b e t r a c h t e n noch speziell die konvexen Fldchen. t I i e r umhiillen die Stiitzebenen in einem P u n k t e P stets einen konvexen H a l b k e g e l , dessen Er- zeugende die Halbt.angenten s~mtlicher ebener Fl~ichenschnitte in /) sind. N u n liegt die Fl~che ganz auf einer Seite jeder ihrer Stiitzebenen, so dass .]ede Grenz- lage yon Stiitzebenen wieder eine Stiitzebene ist. Andrerseits gibt es zu j e d e r Fli~chensehne eine parallele Stiitzebene, woruus man u n m i t t e l b a r schliesst, dass jede Tangentialebene einer konvexen Fldche zug!eich Tangentialebeue im scha~fen

Sinne ist.

is vgl. etwa H. LEBESGUE: Lemons sur l'Int6gration, Paris I928, S. 77 und I8 3.

2--35150. Acta mathematica. 66. Imprim6 le 26 juille$ 1935.

10 Herbert Busemann und Willy Feller.

Der Begriff der Tangentialebene im scharfen Sinne liefert die naturgem~s- sen Voraussetzungen des MEUSNJERschen Satzes:

Die Flh'che q) habe im Puukte P im scharfen Si~ne die Tangentialebene 1I.

E s seien P~--) P und 13;'~--+ P zwei Folgen von Flit'chenpunkten mit derselben Tan- gente t und mit Schmiegebeuen, die gegen die F15chennormale in P um ~ ~ z_ und

2

~T p

, $ ' ~ ~ geneigt sind. Sind dann die Winkel der Verbindungslinien P,~P'~ mit t nach unten beschrffnkt, und hat {P.} die Kriimmung I - , so besitzt { ~ } die Kriim-

q mung ~ m i t I

Q

Q'

( 3 ) c o s a - - c o s

Zum Beweise legen wir das Koordinatensystem so, dass P in den Ursprung, t in die x-Achse und H in die x,y-Ebene f~llt. Es sei P,~-~(x,,y,,,,z,O und

f . p

P~ ---- (x;~, y[, z~), ferner seien ~ und ~,~ die Winkel der z-Achse gegen die Ebenen durch t und P,~ bzw. P;', so class

(4) z~ --~ y~ tg ~n, z~ = y~ tg ~' ^{~ t .}

Da die Winkel zwischen /)~P;'~ und der x-Achse nach unten beschr~nkt sind, kann der Richtungsfaktor

p

X n - - X n

y,~ -- y,~ r

nur endliche H~ufungswerte haben. W e g e n yn - - ---) O~ - - Y~ ~ P o

X n X n

folgt hieraus

!

(5) lim x~_~ I.

X n

Nach (4) erh~lt man ferner, weil die x,y-Ebene Tangentialebene im scharfen Sinne ist,

t !

lim z~ -- z~ _{- -} lim z,, - - Zn _{~ O~}

I f

y n - - y n Z n Z n

tg ~,~ tg ~;~

Krfimmungseigenschaften konvexer Fl~chen. 11 so dass auch

p

(6) lim z~

Zn

ist. N u n haben die Tangenten- u n d N o r m a l e n a b s c h n i t t e (vgl. w I, S. 5 ) d e r beiden P u n k t f o l g e n folgende W e r t e :

P

Zn . f p v 9 _ _ Z, - - .

~ : n ~ X n , (~n COS ~ n ' ~ : n ~ X n ~ an COS ~

N a c h Voraussetzung is~ also

x , ~ cos a~

lim - Q ;

2 Zn

aus (5) u n d (6) f o l g t d a h e r die B e h a u p t u n g :

P2 i 2 r ~p

lim ~ ~ lira x~ cos ~ =~ r cos

t !

2 ~n 2 Zn COS

Fiir K u r v e n auf Fl~chen bedeutet der Satz folgendes: 16

Die FlSche q) habe in P eine Tangentialebene im scha~fen Sinne. ~ und ~' seien zwei yon P ausgehende Kurven a u f q) mit derselben Halbtangente t in P und Schmiegebenen, die mit der Fliichennormalen in P die Wi~kel ~ ~ ~ und ~' ~ ~-

2 2

bilden. Dann gilt sowohl fiir die oberen als auch fiir die unteren Kr~u yon • und ~' in P

Q ,o t

c o s ~ c o s ~ '

Es sei ni~mlich {Pn} eine beliebige gegen P konvergierende P u n k t f o l g e a u f x m i t dem K r i i m m u n g s r a d i u s q; P~ sei ein P u n k t von x', der in derselben zu t senkrech~en Ebene wie P~ liegt. D a n n h a t n a c h dem soeben bewiesenen Satze

p , I

{ ,d die X r i i m m u n g -w m i t (3); aus der W i l l k i i r l i c h k e i t der Folge {Pn} f o l g t Q

die B e h a u p t u n g .

16 Der f01gende Satz ist im Wesentlichen m i t dem yon ttJELMSLEV (a. a. O.) iiquivalent, welcher eine stetige T~ngentialebene in der U m g e b u n g yon lP voraussetzt. E i n e Bemerkung yon BOULIGAND (Gdomdtrie infinitdsimale directe, Paris I932 , S. I 7 3 - - I 7 4 ) fiber die Notwendigkeit yon weiteren, wesentlich schRrferen Voraussetzungen kSnnte insofern missverst~ndlich Sein, als in seinem Beispiel die partiellen Ableitungen u n s t e t i g sind.

12 Herbert Busemann und Willy Feller.

Fiir eine sp~tere Anwendung geben wir noch eine Tblgerung aus dem Meusnierschen Satze an. W e n n zwei Fl~chen 9 1 und q)-2 in einem gemeinsamen Punkte P nicht zusammenf~llende Tangentialebenen im scharfen Sinne haben, so gibt es in einer Umgebung yon P noch weitere Punkte, die beiden Fl~chen gemeinsam sind. Diese Schnittpunkte bilden eine Kurve z, die in P eine Tan- genre t i m scharfen Sinne besitzt. Haben nun die Normalschnitte von O~ und q)~

in der Richtu~g t in P e~dliche positive Kriimmungsradien Q1 und Q~, so hat z in P eine Sehmiegebene (und daher auch eine Kriimmung).

Es sei n~miich {P,} eine beliebige gegen P konvergierende Punktfolge auf u, mit einem Kriimmungsradius Q und einer Schmiegebene, die mit den Fl~chen- normaten in P die Winkel ~l und ~ bildek Dann ist

(7) e -

c o s ~i (Ji, i ~ I, 2.

:Nun ist entweder ~ + ~ oder ] ~ -- .~] einer der Winkel zwischen den beiden F1Kchennormalen. Bezeichnen wir diesen mit v, so ist v ~ o, und aus (7) erhElt man in beiden F~llen

(8) cos v + sin v tg -~ = Q~ 9

Q~

Fiir ~1 kommen also nur zwei Werte in Frage, woraus man schliesst, dass u in P eine Schmiegebene besitzen muss. Denn wenn es auf u zwei Punktfolgen P~ --, P und P~ -~ P mit verschiedenen Schmiegebenen ~ und 5' g~be, s o w~re jede Ebene eines Winkelraums zwischen ~ und 2:' Schmiegebene einer bestimm- ten Punk~folge auf z.

Die Lage der Schmiegebene ergibt sich aus den jeweiligen GrSssenverh~lt- nissen. I n dem Falle, den wir spiiter brauchen werden, ist

(9) Q-' < I cos I.

Q~

D~ sin v und tg ~1 positiv sind, kann hier die Schmiegebene den spRzen Winkel zwischen den F1Echennormalen n i c h t zerlegen.

E s mag bier noch eine bekannte Beziehung Erw~hnung finden, die bereits unter den hier gemachten Voraussetzungen richtig ist. Die FlSche (P babe in P die Tangentialebe~e 1I im scha~fen Sinne, und der Normalschnitt mit der Tangente t

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl&chen. 13 habe in P die eudliche Kr~Tmmung --.I Eine Flh'chenkurve z mit der Tange~te t

Q,

in P hat in P dann und nur dann eine eudliche Kriimmung I/Q, wenn ihre t)ro - jelction a u f 1I ei~e Kriimmu~g -- hat; dann gilt I

Qg

I I I

-- 2

--__ -- -- o

Zum B e w e i s e m a c h e n wir P zum Ursprung, x,y-Ebene. 9 habe die D a r s t e l l u n g z : f ( x , y ) ; die y ~ g ( x ) darges~ellt. Es is~

2 : lira 2 If(x, o)]

Q~ x ~ 0 X 2 '

u n d im Falle der Existenz

(Ii)

_{! ~ lim}

I g(x) I

Q.q x ~

I 2gg~(x) + p ( x , g ( x ) ) .

(I 2) - -~- lim

Q x '~

t zur x-Achse u n d H zur P r o j e k t i o n x' sei d u r c h

W e i l die x, y-Ebene im N u l l p u n k t T a n g e n t i a l e b e n e im scharfen Sinne ist, g i l t lira f ( x , y) -- f ( x , o)

x ~ 0 y

y ~ O

- - O ,

u n d d a h e r ist fiir jede K u r v e y ~ g(x), ffir welche x~ beschr~nkt ist, Y lira f ( x , y) -- f ( x , o)

x ~ 0 X2 ~ O .

Die R i c h t i g k e i t einer der beiden G l e i c h u n g e n (Ix) u n d (I2) zieht also die der anderen nach sich, u n d d u r c h Einsetzen erh~lt m a n die Beziehung (IO).

w

Die Kriimmungen der Normalschnitte im einzelneu Fl~chenpuukt.

Das konvexe Fl~chenstiick 9 habe in P die Tangen~ialebene H . D u r c h jede yon P a u s g e h e n d e H a l b t ~ n g e n t e t~ an @ legen wir die durch die Fl~chen-

14 Herbert Busemann und Willy Feller.

n o r m a l e b e g r e n z t e H a l b e b e n e : der e n t s t e h e n d e N o r m a l h a l b s e h n i t t heisse • W i r n e n n e n zur A b k i i r z u n g die obere (untere) K r i i m m u n g y o n z 9 in P die zu t 9 ge- hb'rende obere (untere) Normalkriimmung, u n d b e z e i e h n e n sie m i t I bzw. m i t I

f9 e~

Zu j e d e m N o r m a l s c h n i t t gehSren also z w e i obere (untere) N o r m a l k r i i m m u n g e n . W e n n s~Lmtliche N o r m a l s c h n i t t e K r i i m m u n g e n haben, so e x i s t i e r e n alle 2qormal- k r t i m m u n g e n , u n d e s ist @9 = @9+z.

Tri~gt m a n ]flQ_~ u n d ] f ~ yon P aus uuf t 9 ab, so besehreiben die E n a - p u n k t e zwei Gebilde in H , welche die untere bzw. die obere I n d i k a b ' i x heissen mSgen. W e n n beide z u s a m m e n f a l l e n , so sprechen wir yon der I n d i k a t r i x yon P . W e n n alle :Normalschnitte i n P (zweisei~ige) K r f i m m u n g e n haben, so ist die I n d i k a t r i x eine M i t t e l p u n k t s k u r v e m i t P a l s Mittelpunk~. W i r d e n k e n uns dabei na~urgemiiss jede H a l b t a n g e n t e t 9 m i t einem u n e n d l i c h f e r n e n P u n k t versehen.

I s t d a n a etwa ego = ar so n e n n e n wir die u n t e r e I n d i k a t r i x fiir ~ - - ~ o stetig, w e n n lim e9 = ~ is~. E t w a s a l l g e m e i n e r s p r e c h e n wir yon I n d i k a t r i z e n a u c h

9 ~ 9o

d~nn, wenn es in P zwar keine T a n g e n t i a l e b e n e gibt, a b e r der T a n g e n t i a l k e g e l ein ebenes Stiick enthis I n diesem Falle sind die b e i d e n I n d i k a t r i z e n n u r im b e t r e f f e n d e n e b e n e n W i n k e l r a u m definiert.

Z u r n~iheren U n t e r s u c h u n g der K r i i m m u n g s e i g e n s c h a f t e n aueh in solchen P u n k t e n f i i h r e n wir f o l g e n d e B e z e i c h n u n g ein:

r, q~ seien Polarkoordinaten in der x , y - E b e n e . E s sei r ein fester Wi~kel, o < oJ <-- 2 ~ , und fiir 0 <-- ~ <-- eo stelle

= f ( r , 9), f >- o,

ein konvexes Fldchenstiick @ dar, dessert ebene Schnitte 99 = konst, i m Koordinaten- ursprung Taugenten haben, die sfmtlich in der x, y-Ebene liege~7. W e n n also ins- besondere co = 2~v ist, so ist P ein i n n e r e r P u n k t y o n O, a n d die x, y , E b e n e ist T a n g e n t i a l e b e n e y o n @ in P . I m F o l g e n d e n d e n k e n wir uns den W i n k e l q9 im- m e r auf das I n t e r v a l l o g ~ - < - ~ beschr~nkt.

Die zur R i c h t u n g ~ g e h S r e n d e un~ere bzw. obere N o r m a l k r i i m m u n g h a t den Wer~

(I) I = lim 2 ] f ( r ' ~ ~ bzw. I = ~ 2 I f ( , ' , ~ ) l .

Qfp r ~ o @9 r ~ o

h W i r projizieren sh a u f Es sei sh die S c h n i t t k u r v e y o n q) m i t der E b e n e z = - .

2

Kriimmungseigenschaften konvexer Fliichen. 15 die x , y - E b e n e u n d vergrSssern die P r o j e k t i o u von /) aus ghnlich im Masstab V h : I ; die so e n t s t e h e n d e K u r v e heisse ah. Die K u r v e n g l e i c h u n g e n l a u t e n :

8 h :

h h

f ( r , 9~) = = - , z = - ;

2 2

h

~ - , Z ~ O . 2

W i r k S n n e n die Opera~ion, welche die K u r v e sh in ah iiberfiihrt, auch als Ab- b i l d u n g der Fliiche auf den b e t r a c h t e t e n W i n k e l r a u m der x , y - E b e n e auffassen:

tier (anf sh liegende) F l g c h e n p u n k t Q ( r , q % , ~ ) ha~ als B i l d p u n k t den (auf ah liegenden) P u n k t Q ' ( r ' r o,O )

Es sei n u n {Pn} eine gegen P konvergierende Folge yon Fli~chenpunkten die alle auf dem N o r m a l s c h n i t t 9~=q% liegen. Sind ( r n , ~ 0 o , ~ ) die Koordi-

( )

n a t e n yon P,~, so ist P,~ = r . = 1 / ~ ' f 0 , o sein Bildpunkt, u n d e s ist naeh (I):

, ,

< lim r~ ~2 lira r~ --<

M a n sieht ohne weiteres, dass es zu j e d e r zwischen ]/~,r. a n d ]/~ro gelegenen Zahl r' eine solche P u n k t f o l g e {P,,} g i b t , dass

tim r~ = r'

wird. B e t r a c h t e t m a n a l s o fiir eine Folge h~--~ o den Schnittpunkt. yon ah~ m i t der H M b g e r a d e n q~ -~ ~Oo, so erfiillen die t t i ~ u f u n g s p u n k t e dieser P u n k t e fiir siimt- liche Folgen h,~--~o g e n a u 17 die Strecke ]f_~,po<--r'--<l/~,p. a u f 9 ~ = ~ o . W i r e r h a l t e n a u f diese Weise zwanglos die beiden I n d i k a t r i z e n yon P , zu deren be- quemeren S t u d i u m w i r folgende B e z e i c h u u n g e n e i n f i i h r e n :

7~ sei der D u r c h s c h n i t t , F , die V e r e i n i g u n g s m e n g e der d u r c h die K u r v e n 17 Man sieht bereits daraus, dass in LP dann und nur dann alle Normalschnitte einseitige Kriimmungen haben, wenn die Kurven ~h fiir h ~ o konvergieren. Die Grenzkurve iSt dann die Indikatrix, die daher stets eine konvexe Kurve ist.

16 H e r b e r t Busemann und Willy Feller.

a~ fiir h < i / n b e g r e n z t e n a b g e s c h l o s s e n e n Bereiche. ~s Fiir n - - , r w~tchst 7~

m o n o t o n , wiihrend F~ m o n o t o n f~llt; w i r setzen

7 = l i m 7~, F ~ l i m Fn, (welche B e r e i c h e s e l b s t r e d e n d a u c h u n b e s c h r ~ n k t sein kSnnen).

Die u n t e r e I n d i k & t r i x .

D i e u n t e r e I n d i k a t r i x liegt o f f e n b a r g a n z a u f d e m R a n d e yon 7. A n d r e r - seits ist 7~ als D u r c h s c h n i t t k o n v e x e r B e r e i c h e selbst k o n v e x , u n d dasselbe g i l t d a h e r a u c h y o n 7- D e r P u n k t P l i e g t i m I n n e r e n o d e r a u f d e m R a n d e y o n 7;

i m l e t z t e n Falle enth~l~ d e r R a n d yon 7 e v e n t u e l l eine o d e r zwei yon P aus- g e h e n d e S t r e c k e n : a b g e s e h e n v o m I n n e r n dieser S t r e c k e n s t i m m t d e r R a n d y o n 7 mi~ der u n t e r e n I n d i k a t r i x fiberein. W i r h a b e n also:

I m Inneren jedes ebenen Stiicks eines Tangentialkegels einer konvexen FlSche liegt die untere Indikatrix a u f einer konvexen Kurve. Die oberen Normalkriim- mungen sind daher mit Ausnahme yon h6chstens zwei Stellen stetig im Sinne der

Gleichung

l i m e_~ ~ #r

D i e I n d i k a t r i x k a n n n a t t i r l i c h uuch g a n z i m U n e n d l i c h e n liegen. D e r P u n k t P lieg~ n i c h t n o t w e n d i g i m I n n e r e n d e r I n d i k a t r i x , selbst w e n n 9 in P eine T a n g e n t i a l e b e n e b e s i t z t (d. h. w e n n ( o ~ 2 ~ ist). Z . B . k a n n d e r K r e i s x ~ + ( y - - I ) ~ I die I n d i k a t r i x d a r s t e l l e n ; d a n n sind die zu den R i c h t u n g e n z ~ ~0 --< 2 z g e h S r e n d e n oberen N o r m a l k r i i m m u n g e n unendlich. D a s ist der F a l l i m P u n k t e u ~ o der k o n v e x e n Fl~che: x : u ~ ( I + u) c o s v , y--~u~(I + (i + u) sinv),

u v

z ~ - - ; dass diese Fl~che k o n v e x ist, e r k e n n t m a n z. B. d a r a n , dass die G a u s s s c h e

2

K r i i m m u n g in allen P u n k t e n a u s s e r u - ~ o p o s i t i v i s t . Die obere Indikatrix.

Fn is~ als V e r e i n i g u n g s m e n g e k o n v e x e r , P e n t h a l t e n d e r Bereiche ein Stern- b e r e i c h m i t P a l s Z e n t r u m , d. h. w e n n Q' ein P u n k t yon 1~ ist, so liegen alle P u n k t e der S t r e c k e P Q ' in I n . D a h e r ist a u c h F ~ l i m F . ein S t e r n b e r e i c h mi~

P a l s Z e n t r u m . Die E n d p u n k t e d e r v o n P a u s g e h e n d e n u n d F b i l d e n d e n S t r e c k e n

is W e n n w i r v o m I n n e r e n d e r K u r v e 6 h s p r e c h e n , s o m e i n e n w i r n a t i i r l i c h d a s v o n 6 h u n d d e n H a l b g e r a d e n r = o u n d ~p = o~ b e g r e n z t e G e b i e t .

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl~ichen. 17 bilden o f f e n b a r die obere I n d i k ~ t r i x . D i e s e A u s s a g e liisst sich n o c h versch~rfen.

W e n n Q ' = (r', ~0) ein im E n d l i c h e n g e l e g e n e r P u n k t von F ist, so g i b t es eine F o l g e h,~-~ o derart, dass der S c h n i t t p u n k t y o n ah~ m i t ~p = ~0 g e g e n Q' strebt.

A u s der F o l g e {ah,~} k S n n e n wir eine k o n v e r g e n t e Teilfolge a u s w ~ h l e n (w I, Schluss); die G r e n z k u r v e ist natiirlich k o n v e x uncl e n t h ~ l t n a c h Definition 7 im I n n e r e n . I s t also Q' ein _Punkt yon F , so i s t die konvexe Hiille yon Q' u n d der unteren I n d i k a t r i x in F enthalten.

N u n m S g e n die o b e r e n N o r m a i k r i i m m u n g e n in P s~mtlich endlich sein;

d a n n schneider 7 a u f j e d e m H a l b s t r a h l q~ ~ konst, eine Strecke ab, u n d aus d e m l e t z t e n S~tze f o l g t u n m i t t e l b a r , dass fiir o --< F ~ co

lira ~ ~ ~o

~P~ ~Po

is~, d . h . dass die obere I n d i k a t r i x n a c h u n t e n h a l b s t e t i g ist. Fiir o < ~c < co k a n n aber die U n g l e i c h u n g n i c h t s t a t t h a b e n , D e n n zu j e d e m 9~ m i t o < 9~ < co g i b t - e s eine in 7 e n t h a l t e n e S t r e e k e s, die a u f ~ = 9~ s e n k r e c h t steht. Die kon- vexe Hiille yon s u n d j e d e m P u n k t y o n F liegt g a n z in F , w o r a u s miihelos

lim Q~, ~ ~ folgt. W i r h a b e n somit:

D i e z u den Richtungen eines ebenen I ~ k e l r a u m s eines Tangentialkegels yon q) gehig'enden oberen Normalkriimmungen seien endlich; dann sind die unteren Nor- malkriimmungen in j e d e r inneren t~ichtung stetig i m S i n n e der Gleichung

lim Q~ ~ # ~ o .

Fiir die beiden, d e n ebenen W i n k e l r a u m b e g r e n z e n d e n R i c h t u n g e n ~o = o u n d

~o ~ co gilt

lim ~p --> ~o.

~ ~o

Ob die obere I n d i k a t r i x bei e n d l i c h e n oberen N o r m a l k r i i m m u n g e n n o c h m e h r c h a r a k t e r i s t i s c h e E i g e n s c h a f t e n hat, bleibt dahingestellt. ~9

19 Zusatz bei der Korrektur. Dieses ist nicht der Fall. Es besteht niimlich, wie wir an einer anderen Stelle zeigen werden, der folgende Satz: Es sei y eine den Punkt 1)ira Inneren ent- haltende konvexe Kurve, und / ' eine Kurve, die mit irgend einem Punkt Q' zugleich die konvexe Hiille yon Q' + y umfasst; dann gibt es eine konvexe Fliiche, fi~r die im 1)unkte ] ) die obere In.

dikatrix gerade I" ist, w~hrend die untere rail Z zusammenf~illt. Mit denselben Hilfsmitteln kann man auch die Unstetigkei~spunkte tier Indikatrizen untersuchen, und es ergibt sich leicht, dass jede konvexe Kurve, die 1)im Inneren oder auf dem Rande enthiil~, als Indikatrix auftreten kann; wit haben daher den urspriinglich hier vorgesehenen Beweis dafiir gestrichen (vgl. die Bemerkung auf S. 18).

3--35150. Acta mathematica. 66. Imprim6 le 26 juillet 1935.

18 H e r b e r t Busemann und Willy Feller.

D i e I n d i k a t r i x .

Es sei {~,~} eine in o < ~ < w d i c h t e F o l g e yon R i c h t u n g e n , u n d die Nor- m a l s c h n i t t e ~ = ~ m 5 g e n in P endliche (einseitige) K r i i m m u n g e n haben. D a n n schneiden 7 u n d F auf den H a l b g e r a d e n ~ = ~,~ dieselben S t r e c k e n aus, u n d aus den eben bewiesenen E i g e n s c h a f t e n dieser B e r e i c h e f o l g t daher, dass die beiden I n d i k a t r i z e n yon P z u s a m m e n f a l l e n . W i r h a b e n also:

Fallen im Fliiehenpu~kt P .fiir eine in o ~--q~ ~--co diehle ~fenge von Rich- tungen die obere uncl untere Normalkriimmung zusammen, und sind sie endlich, so existiert in P eine b~dikatrix. Diese ist stets eine konvexe Kurve.

Jede k o n v e x e K u r v e x k a n n als I n d i k a t r i x eines P u n k t e s P einer k o n v e x e n Fl~che a u f t r e t e n , u n d zwar k a n n P j e d e r im I n n e r e n a9 yon x gelegene P u n k t sein. • habe n~imlich in e b e n e n P o l a r k o o r d i n a t e n s 9~ die G l e i c h u n g )~= s D a n a h a t die Fl~che

r 2

Z - -

2

X~ (~)

im P u n k t e r = o eine T a n g e n t i a l e b e n e , u n d dieser P u n k t h a t x als I n d i k a t r i x . Dass die FlSche k o n v e x ist, e r k e n n t m a n z. B. d a r a n , dass die e b e n e n S c h n i t t e z = k o n s t . 5hnliche u n d ~hnlich gelegene k o n v e x e K u r v e n sind, w~ihrend die S c h n i t t e 9~ = konst. P a r a b e l n sind.

E i n e G l e i c h m g s s i g k e i t s e i g e n s c h a f t .

Es sei {P,~} eine g e g e n P k o n v e r g i e r e n d e P u n k t f o l g e auf (P m i t der Tan- W i r setzen etwa P n ~ (r,~,q~,h'~), so dass q~,~--,~0 0. D e r N~herungs- genre t,po.

kreis des N o r m a l h a l b s c h n i t t s m i t der R i c h t u n g ~ h a t den R a d i u s

4 ,.~ hn e ( P , , ) - hn - - r , ~ + 4 ,

( )

wo r , ~ - 1/.h~, ~,~, o der P~ e n t s p r e e h e n d e Punk~ auf ~hn ist~. N u n ist offenbar, falls Q~ u n d Qq~ in ~o s t e t i g sind,

9 ,, . t

~< h m r,~ ~ h m r~ ~ , also auch

Kriimmungseigenschaften konvexer Flgchen. 19 W e n n der P u u k t P eine I n d i k a t r i x besitzt, so ist @,po = @*po; wir haben dami~

g e f u n d e n :

Die Fliiehe @ habe in P eine I n d i k a t r i x , u n d es sei {P~,} eine gegen P konvergierende P u n k t f o l g e a u f 9 mi~ der T a n g e n t e t,p0; ferner sei @,p in ~o stetig. D a n n streben die R a d i e n der Kreise durch P u n d P~, deren E b e n e n senkreeht zu / / sind u n d die H in P beriihren, gegen den zur R i c h t u n g t~o ge- h S r e n d e n N o r m a i k r t i m m u n g s r a d i u s . Die t~adien der Niiherungskreise der Normal- halbschnitte approximieren also ausserhalb beliebig Meiner Umgebu~gen der etwaigen (hSchstens zwei) Unstetiglceitsstellen der Indikatrix die Normallcriimmungsradien gleichmSssig.

Konjugierte Richtungen. Hauptkr~immungsrichtungen.

W i r wollen n u n u n t e r s u e h e n , was von den m i t dem Begriff der k o n j u g i e r t e n R i c h t m l g e n z u s a m m e n h i n g e n d e n T a t s a c h e n e r h a l t e n bleibt. W i r setzen voraus, dass die Flh'che in einer Umgebung yon P else Tangentialebene besitzt, und zwar soll die Tangentialebene H in P mit der Flh'che nut P gemeinsam haben. In P selbst soll es eine f s d i k a t r i x geben, die P im I n n e r e n enth~tlt, u n d n i c h t ganz im U n e n d l i c h e n liegt (d. h. die N o r m a l k r i i m m u n g e n sollen endlich sein, u n d n i c h t s~mtlich verschwinden).

W i r beweisen zun~chs~ f o l g e n d e n Satz fiber das durch parallele N o r m a l e n v e r m i t t e l t e sph~rische Bild des Fl~chenstiicks q):

.Es sei Q ein Punkt der Indikatrix yon P, in dcm diese eine Tangente ~ be- sitzt, und z eine yon P ausgehende Flh'chenkurve, die in P die Tangente P Q und eine endliche obere Kriimmung besitzL Da~m hat das sphh'rische Bild von z im Bildpunkt yon P eine Tangente, und zwar steht diese senkrecht zu ~.

Zum B e w e i s e m a c h e n wit H zur x, y-Ebene, u n d P Q zur positiven x-Achse;

das Fli~chenstiick 9 babe die D a r s t e l l u n g z ~ f ( x , y ) . • sei zuni~chst der S c h n i t t der Fl~iche m i t der Ebene y = z t g ~9, m i t ~9 # ~ . W i r fiihren in der Kurven-

2 Z

ebene reehtwinklige K o o r d i n a t e n x u n d u - - ein; z h a t d a n n die G l e i c h u n g cos ,~

u cos ~ - ~ f ( x , u sin ~).

Da • konvex ist u n d n a c h Voraussetzung in P e i n e rechte K r i i m m u n g hat, exi- stier~ (vgl. w I, S. 7) fiir x = o die rechte zweite A b i e i t u n g yon u n a c h x, u n d zwar ist n a c h dem ~r Satze

20 Herbert Busemann und Willy Feller.

d~u - - lim - - f ~ ( x , y) d x ~ ~ + o x [fv(x, y) sin a - - cos .9]

wobei f ~ ( o , o ) die zweite rechte A b l e i t u n g bezeichnet.

also lgngs jedes ebenen Schnitts durch die x-Achse (3) lim f~(x, Y) - - f ~ ( o , o).

9 z ~ + O X

= o ) .

cos

W e g e n fy(o, o) = o ist

N a c h

(2)

sind die T a n g e n t e n der K u r v e n sh u n d ah in entsprechenden P u n k t e n parallel; die Tangen~e an sh h a t aber den Rich~ungs~angens

(x, .v) f / * , v)

Weft die K u r v e n ah n a c h der Schlussbemerkung des w I m i t i h r e n T a n g e n g e n gegen die I n d i k a t r i x konvergieren, isg lgngs x

,. f~(x, y)

(4) n m . , ~ - - -- tg a,

. ~ + o / v ( x , y)

wo a den W i n k e l zwischen der T a n g e n t e ~ der I n d i k a t r i x u n d der x-Achse be- zeichnet. Aus (3) u n d (4) folgt die Existenz yon

(5) lim ~,(x, g) _ _ I .f.x(O, o),

9 ++0 x tg a

wobei (x, y) wieder l~tngs • zu n e h m e n ist.

Die Koordina~en des sphiirischen Brides des Fliichenpunktes (x, y, f ( x , y)), d. h. die R i c h t u n g s k o s i n u s der Fl~chennormalen sind n u n

i

VI VI

^{_ ~ 2 .2 2}

Ngherb m a n sich l~ngs x dem N u l l p u n k t , so besitzen diese Gr5ssen n a c h (3) u n d (5) fiir x = o Ableitungen n a c h x, also auch nach der Bogenlgnge yon z;

diese Ablei~ungen sind gleich

(6) - - f ~ ( o , o), f ~ ( o , o) _{- - ~ 0 .} tg a

Der Vektor m i t diesen K o m p o n e n t e n steht in der T a t senkrecht auf ~, w o m i t die B e h a u p t u n g fiir ebene Schnitte bewiesen ist. J e d e Flgchenkurve endlicher oberer K r i i m m u n g mit der T a n g e n t e P Q verlguf~ aber n a c h dem Meusnierschen

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl~chen. 21 S a t z e in einer U m g e b u n g y o n P zwischen zwei e b e n e n S c h n i t t e n m i t d e r s e l b e n T a n g e n t e ; i h r sph~risches Bild m u s s d a h e r die gleiche T a n g e n t e besitzen, wie das Bild dieser e b e n e n Schnit~e.

V o n b e s o n d e r e m I n t e r e s s e ist d e r Fall, dass P_Q s e n k r e c h t zu ~ steh~; w i r wollen eine solche R i c h t u n g Hauptkriimmungsrichtung n e n n e n . Die Normalkr~Tm.

mung ~immt in einer Haptkr~mmungsrichtung ei~en Extremwert im schwachen Sinne an. ~o Fiir eine I - I a u p t k r i i m m u n g s r i c h t u n g ist a ~ ~r/2, u n d die G r 5 s s e n (6) n e h m e n die W e r t e fx~(o, o), o, o, an. D a h e r g i l t f o l g e n d e r S p e z i a l f a l l u n s r e s S a t z e s : E s sei z eine von P ausgehende Fldchenkurve, die in P eine endliche obere Kriimmung und el'he Tangente besitzt, welche in eine Hauptkriimmungsrichtung fdllt. Ist dann I/r die zugeh6rige Normalkriimmung, und ~ der ~'lh'che~normalen-

vektor, so gilt in P

(7) d% = 7 " 7 ,

wobei s die B o g e n l ~ n g e u n d V d e n E i n h e i t s v e k ~ o r der T a n g e n t e y o n z bezeichnet.

D i e s e s ist das g e n a u e A n a l o g o n d e r Formel yon Olinde t~odrigues.

W i r wollen u n s r e n S a t z n o c h g e o m e t r i s c h i n t e r p r e t i e r e n . Es sei _P' ein v a r i a b l e r Punk~, u n d g ( P ' ) die S c h n i t t g e r a d e der T a n g e n t i a l e b e n e in P' m i t der- j e n i g e n in P . W i r lassen P' l~ngs e i n e r K u r v e z m i t d e r T a n g e n t e t u n d end- l i c h e r o b e r e r K r i i m m u n g in P g e g e n zP s t r e b e n : w e n n d a n n g(P') fiir j e d e solche K u r v e d e r s e l b e n G r e n z l a g e zustrebt, n e n n e n w i r diese G e r a d e konjugiert zu t.

D a n n k S n n e n w i r u n s r e n S a t z so f o r m u l i e r e n :

Wenn die Indikatrix von P im Punkte Q eine Tangente ~ hat, so existiert eine zu P_Q konjugierte Gerade, und zwar ist sie parallel zu ~. Insbesondere stehen die zu den Hauptkr~mmungsrichtungen konjugierten Geraden senkrecht a u f ihnen.

D e r Beweis e r g i b t sich u n m i t t e l b a r d a r a u s , dass a u f d e r K u g e l k o n j u g i e r t e R i c h t u n g e n s e n k r e c h t z u e i n a n d e r s t e h e u , u n d die T a n g e n t e des s p h ~ r i s c h e n Bildes y o n z s e n k r e c h t zu t ist.

W e n n t k o n j u g i e r t zu t' ist, so b r a u c h t d e s h a l b t' n i c h t k o n j u g i e r t zu t zu sein. D i e I n d i k a t r i z e n , fiir welche diese B e z i e h u n g s y m m e t r i s c h ist, lassen sich alle angeben2~; es sind n i c h t n u r die Ellipsen.

~o Wir haben vorausgesetzt, dass die Indikatrix in Q eine Tangente hat;' daaber auch Ecken auftreten kSnnen, braucht nicht jede Richtung, in der die l~ormalkrfimmung einen Extremwert an- nimmt, eine Itauptkriimmungsrichtung zu sein. Es gibt daher nicht in jedem Punkt mit Indikatrix eine 'Hauptkriimmungsrichtung, es k~nn deren aber beliebig viele gebem

21 Vgl. RADON: ~ber eine besondere ArC ebener konvexer Kurven, Ber. Verh. S$iehs. Akad.

Wiss., Leipzig, 68, (I916), S. I23.

22 Herbert Busemann und Willy Feller.

U b e r e i n e n G r e n z w e r t y o n B l a s c h k e .

W i r wollen noch zeigen, wie sich eine von BLASCHKE herriihrende geo- metrische Deutung der Gaussschen Kriimmung auf Punkte mit beliebiger Indi- katrix fibertragen liisst.

q) sei eine (nicht notwendig differenzierbare) konvexe Fl~che mit einer Tangentialebene in P . I n P soll es ferner eine beschr~nkte Indikatrix geben, d . h . die Normalschnitte in P sollen einseitige, yon Null verschiedene Kriim- mungen haben. Wir machen wieder P zum Ursprung und die Fliichennormale zur z-Achse, und stellen die Fl~che in Zylinderkoordinaten in der Form z ~ f ( r , q~) dar, etwa mit f > ~ o. Es handelt sich dann um eine Absch~tzung der Oberfl~che t2(h) der durch die Ebene z ~ h abgeschnittenen Fl~chenkappe. r = ~(99) sei die Gleichung der Projektion des Fl~chenschnitts s2h mit tier Ebene z ~ h, ~(h) der I n h a l t dieser konvexen Kurve. Da tier Fl~cheninhalt einer geschlossenen kon- vexen Fl~che stets grSsser ist als derjenige, einer ganz in ihr enthaltenen kon- vexen Fl~ehe 2~, ist Y2(h) kleiner als ~(h) vermehrt um den I n h a l t des senkrechten Zylinders mit dem Querschnitt s2h zwischen z = o und z ~ h. W i r haben also

:~(h) < t](h) --< Z(h) + 2 z h - m a x ~(9~), und daher

Nun ist

aim Y](h)_ l~m Z(h)

h h

if

27g

z ( h ) =

0

~2 (q~) Richtung q~

hierin strebt 2 h gegen den zur gehSrenden Normalkriimmungs- radius Q(~o), und .zwar gilt wegen der Gleichmiissigkeitseigenschaft dieser Kon- vergenz (vgl. S. I 8 - - I 9 )

2 ~

aim (h)--h aim (h)--h fe( )

0

oder in Worten:

Die F16"che @ habe in P eine Tangentialebene und eine beschrh'nkte Indikatrix.

Bezeiehnet .Q(h) den Flh'eheninhalt der Kappe, die yon der zur Tangentialebene in P

~2 vgl. B . F . S . 47.

Kriimmungseigenschaften konvexer Fliichen. 2 3 parallelen Ebene im Abstand h abgeschnitten wird, so existiert lira 2 ~,~ ~ und ist gleich dem arithmetischen Mittel der Normallo'iimmungsradien in P.

Ist die Indikatrix insbesondere eine Ellipse, so kann man Q in der Form

darstellen und erhi~l~

oder

cos~9 + wsin'~

I

~) O, Q-2

lim t2(h) h

27C

0

Qlq~---lim ~2~h] ' dieses ist die Formel yon BLASCHK~,. ~

Es sei noch bemerkt, dass die durch die sph~rische Abbildung der Fl~che definierte G~usssche Krihnmung, falls sie existiert, bei allgemeiner Indikatrix nicht gleich dem Blaschkeschen Grenzwert ist. Bildet man n~mlich die zum P u n k t e r - - o wie eben definierte Fl~chenkappe mit dem I n h a l t ~ ( h ) d u r e h parallele N ormalen auf die Kugel ab, und

fiir die konvexe Fl~che

ist X2*(h) der I n h a l t des Brides, so ist z. B.

Z - -

I qt_ sin'~ ~o

[g2(h)]~= 9 lim ~2(h) 2 1/2 lim ~ 2 ~ hi I 6 ' ~--* (h) - - 5 '

w

F a s t iiberall v o r h a n d e n e K r i i m m u n g s e i g e n s c h a f t e n der N o r m a l s c h n i t t e . W i r verlassen n u n die Frage nach den im einzelnen P u n k t bestehenden Eigenschaften der Normalkriimmungen, und suchen mit Hilfe der Theorie der reellen Funktionen sch~rfere, dafiir aber n u t fast iiberall giiltige Aussagen zu gewinnen.

28 vgl. W. BLASCttKE: D i f f e r e n t i a l g e o m e t r i e I, B e r l i n I924, 2. Aufl, S. 85.

24 Herbert Busemann und Willy Feller.

z : f ( x , y ) stelle ein konvexes Fl~chenstiick q) dar, dessen Stiitzebenen nirgends zur x,y-Ebene senkrecht stehen. Jeder ebene S c h n i t t der Fl~iche hat als konvexe Kurve fast iiberall eine Tangente. Nach dem iiblichen Schlussver- fahren bilden daher fiir jedes feste a die Fl~chenpunkte, in denen der Fl~chen- schnitt mit einer Ebene y--~ x tg a + Konst. keine Tangente hat, eine Nullmenge A~. Es seien a und fl zwei Winkel, und A - - A ~ + A ~ . Dann haben in jedem Fl~chenpunkt, der nicht in l / liegt, zwei ebene Schnitte der Fl~che eine Tan- genre: Die Nullmenge A besteht daher ge~au aus denjenigen Punkten, in denen q) keine Tangentialebe~e hat.

Ferner besitzen alle ebenen Fl~chenschnitte in fast allen P u n k t e n auch eine endliche (zweiseitige) Kriimmung. Ist also a ein fester Winkel, so bilden die Fl~chenpunkte, in denen der Fl~ichenschnitt mit der Ebene y ~ x t g a + Konst.

keine endliche Kriimmung hat, eine Nullmenge A',. Nun sei die Folge {a~}

dieht im Intervall - - ~ , , und

A ' ~ ~ A ' ~ .

Natiirlich ist ~ / ~ _//', und A ' ist wieder eine Nullmenge. W e n n der P u n k t P(xo, Yo) nicht in A ' liegt, haben alle Sehnitte der Fl~che mit den Ebenen Y -- Yo ~ (x -- xo) tg a~ in P eine endliche Kriimmung. Da auf konvexen Fl~chen jede Tangentialebene zugleich Tangentialebene im scharfen Sinne ist (vgl. w 2, S. 9), kSnnen wir den Meusnierschen Satz anwenden und sehliessen, dass auch die zugehSrigen Normalsehnitte in P eine endliche Kriimmung besitzen. Daher hat P eine Indikatrix (vgl. w 3, S. I8), und zwar ist diese, weft die rechten und linken Kriimmungen der Normalschnitte zusammenfallen, eine Kurve mit P als Mittelpunkt. A ' besteht umgekehrt n u r aus solchen Punkten, in denen nicht aUe Normalschnitte endliche zweiseitige Kriimmungen haben. Es gilt also fol- gender Satz:

A u f jedem konvexen Fldchenstiic]~ 9 gibt es eine Nullmenge A ' derart, dass in jedem A ' nicht angehSrendem Fliichenpun~te siimtliche ebenen Schnitte endliche Kriimmungen habe~. Die Indil~atrix ist in diesen Punkten ei~e konvexe Kurve mit dem Flh'chenlgunkt als Mittelpunkt.

Es gilt aber noch mehr. Wir wollen einen Fl~chenpunkt P , in dem die Indikatrix ein Kegelsehnitt (Ellipse oder Geradenpaar) mit P a l s Mittelpunkt ist, als ~ormalen Fl~chenpunkt bezeichnen. Es soll gezeigt werden, dass yon einer

Kriimmungseigenschaften konvexer Fl~chen. 25 Iqullmenge ~4" abgesehen, alle Fl~chenpunkte

normal

sind, d. h. dass in ihnen der Eulersche Satz gil~. 2~

W i r werden zun~chst nich~ auf der Fl~che, sondern in der x , y - E b e n e operieren. I s t tt eine P u n k t m e n g e auf der Fl~che, so bezeichnen wir ihre Pro- jektion auf die x, y-Ebene mit #; insbesondere ist also @ der Definitionsbereich von

f(x,y).

Ist tt eine Nullmenge auf O, so is~ auch # eine Nullmenge, und umgekehrt. Das kann man z . B. daraus entnehmen, dass fiir konvexe Fl~chen in der Form

z = f ( x , y)

die bekannte Oberfl~chenformel gilt. ~5

Nach ~ I, S. 7 folgt bei konvexen K u r v e n aus der Existenz der Kriim- mung die der zwei~en Ableitung. I n allen P u n k t e n yon q), die nicht der Null- menge A ' angeh5ren, haben also die Schnitte der Fl~che mit allen Ebenen y = x tg a + Konst. als F u n k t i o n der L~nge auf den Spurgeraden dieser E b e n e a in der x, y-Ebene erste und zwei~e Ableitungen. W i r bezeichnen diese m i t f ~ ( x , y) und f,~(x, y). Es ist z. B,

fo( 0, v0) =

f ( x , ( x - Xo) + Vo) ,

X ~ X o

und

i n s b e s o n d e r e f . : f v .

Unser erstes Ziel ist eine Beziehung zwischen den Ableitungen

f~.(xo, Yo)

als F u n k t i o n yon a in einem festen P u n k t P abzuleiten.

Dazu fiihren wir die zu

f(x, y)

gehSrige additive I n t e r v a l l f u n k t i o n T'(I) ein: I s t I ein durch die Ungleichungen

x o - - h ~ x < x o + h , y o - - k ~ y < y o + k

definiertes Iutervall, das in die Zahl

@ liegt, so ordnen wir ihm als F u n k t i o n s w e r t ~6

(i) F(I)=A(xo, Yo;h,k)=f(xo+h, Yo+k ) + f(xo--h, yo--k)--

--f(Xo- h, Yo + k) --f(Xo + h, Y o - k)

~4 E s sei b e m e r k t , d a s s d e r f o l g e n d e B e w e i s die K o n v e x i t ~ t der Fli~che n u r s c h w a c h a u s - n u t z t . D e r B e w e i s g i l t ffir j e d e F l ~ c h e z = f ( x , y), w e n n n u t I ) f v o n b e s c h r i i n k t e r S c h w a n k u n g ist, u n d 2) i n f a s t a l l e n P u n k t e n (xo, Yo) die F u n k t i o n f ( x , yo + (x--x~))tga) ffir ~ e d e s ~z e i n e z w e i t e A b l e i t u n g b e s i t z t .

~5 vgl. S. SAKS, T h d o r i e de l ' I n t d g r a l e , W a r s z a w a I933, S. 12I (Satz y o n Tonelli).

~ Bei h i n r e i c h e n d r e g u l i i r e m f ( x , y) i s t n a t i i r l i c h xo+h yo+k

F ( I ) = f / . f x v ( x , y ) c l x d y .

xo--h yo--I~

4--35150. Acta mathematica. 66. I m p r i m ~ lo 26 julnet 1935.