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Un aquarium dans mon ordinateur

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Un aquarium dans mon ordinateur

Lisl Weynans

October 8, 2019

(2)

Le calcul scientifique

C’est quoi? A quoi ça sert?

(3)

Calcul scientifique

• C’est quoi?

Branche des mathématiques où on développe, étudie, programme sur ordinateur, des méthodes de résolution approchéede problèmes mathématiques modélisant des phénomènes physiques, biologiques, etc

• A quoi ça sert?

Faire des prédictions, remplacer des expériences coûteuses, difficiles ou impossibles à réaliser

(4)

Calcul scientifique:

A quoi ça sert?

Exemple: Hydrocéan, société de simulations pour la construction navale

(5)

Météorologie

Provenance des images: site web de Météo France

(6)

Réchauffement climatique

4. Les scenarios pour le XXIeme siècle 5. Plus de glace de mer au pole Nord

Couverture de glace estivale [1980-1999]

observation

Disparition de la glace de mer en été Couverture de glace estivale [2080-2099]

Provenance de l’image: D. Swingedouw (EPOC)

(7)

La démarche d’étude

1 Modélisation:

Elaborer un modèle mathématique qui représente le problème considéré

2 Approximation:

Construire une méthode numérique pour calculer une solution approchée

3 Implantation algorithmique:

Programmer efficacement et sans bugs la méthode numérique

(8)

La démarche d’étude

En vrai, pour que ça serve vraiment:

1 Echanges avec physiciens, biologistes, médecins, etc

2 Modélisation

3 Approximation

4 Implantation algorithmique

5 Validation du modèle mathématique en comparant les résultats à des expériences

(9)

Discrétisation pour la méthode numérique

∂u

∂t(t, x) +∂u

∂x(t, x) = 0sur[0,1]

u(0, x) = u0(x)sur[0,1]

u(t,0) = u(t,1)

On cherche une solution approchée sous forme discrète:

uni,j sur les pointsxi=i dx, yj=j dy d’une grille, aux instants successifstn =n dt

dy

dx

i!1 i i+1

j+1

j

j!1 x(i,j)

y(i,j)

(10)

Discrétisation

∂u

∂t(t, x) +∂u

∂x(t, x) = 0sur[0,1]

u(0, x) = u0(x)sur[0,1]

u(t,0) = u(t,1)

• u(tn+1, xj)−u(tn, xj) dt

| {z }

∂u∂t

+u(tn, xj+1)−u(tn, xj−1) 2dx

| {z }

∂u∂x

≈0

• un+1j −unj

dt +unj+1−unj−1 2dx = 0

• Formule pour calculeru en chaque point, à chaque instant:

un+1j =unj − dt

2dx(unj+1−unj−1)

(11)

Transport 1D: précision

(12)

Transport 1D: précision

(13)

Transport 1D: précision

(14)

Transport 1D: précision

(15)

Transport 1D: précision

(16)

Transport 1D: précision

(17)

Transport 1D: stabilité

(18)

Transport 1D: stabilité

(19)

Transport 1D: stabilité

(20)

Transport 1D: stabilité

(21)

Transport 1D: stabilité

(22)

Discrétisation

Etude des propriétés de ces solutions approchées:

• Stabilité (pas d’oscillations parasites)

• Précision: vitesse de convergence vers la vraie solution quand le maillage devient très fin

• Conservation des propriétés de la vraie solution: symétrie, conservation de l’énergie...

• ...

(23)

Discrétisation: maillages

Provenance des images: Jean-François Remacle, UCL

(24)

Exemple: Nage de poissons

(25)

Exemple: Nage de poissons

(26)

Exemple: Nage de poissons

Modèle de Navier-Stokes incompressible (vitesse/pression)

∂u

∂t + (u· ∇)u=−∇p+ 1 Re∆u

| {z }

fluide

Ns

X

1=1

χi(ui−u)

| {z }

solides

dans Ω,

∇ ·u= 0 dans Ω, u=uf sur ∂Ω

,→ Mêmes equations pour fluide et solides (χi= 1 solide, χi = 0 fluide)

(27)

Exemple: Nage de poissons

(28)

Exemple: Nage de poissons

(29)

Exemple: Nage de poissons

(30)

Exemple: Nage de poissons

(31)

Exemple: Nage de poissons

(32)

Exemple: Nage de poissons

(33)

Exemple: Nage de poissons

(34)

Exemple: Nage de poissons

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Exemple: Nage de poissons

(36)

Exemple: Nage de poissons

(37)

Exemple: Nage de poissons

Etude de l’efficacité de la nage

(38)

Exemple: Nage de poissons

Il nous faut une forme de poisson réaliste!

(39)

Exemple: Nage de poissons

Modèle de poisson plus réaliste

(40)

Exemple: Nage de poissons

Course-poursuite

(41)

Exemple: Nage de poissons

Une méduse

(42)

Ca marche aussi avec des éoliennes

(43)

Des questions?

Références

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