UE Optionnelle 1

UE Optionnelle 1 – AMPI : Etude et dimensionnement des systèmes mécaniques

COURS 3 : Résistance des matériaux (RDM)

SOMMAIRE

RESISTANCE DES MATERIAUX ... 2

I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES ... 2

II. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION ... 5

III. EXTENSION - COMPRESSION ... 8

IV. CISAILLEMENT ... 14

V. MOMENTS QUADRATIQUES ... 16

VI. TORSION ... 18

VII. FLEXION ... 20

VIII. SOLLICITATIONS COMPOSEES ... 24

O. CALVET

RESISTANCE DES MATERIAUX

I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES

I.1. Buts de la résistance des matériaux

La résistance des matériaux a trois objectifs principaux :

 la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (comportement sous l’effet d’une action mécanique)

 l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture)

 l'étude de la déformation des pièces mécaniques.

Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises.

I.2. Hypothèses

I.2.1. Le matériau

 Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop

"fin" pour l'étude qui nous intéresse.

 Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits soient ils, sont identiques.(hypothèse non applicable pour le béton ou le bois)

 Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a les mêmes propriétés mécaniques.(hypothèse non applicable pour le bois ou les matériaux composites)

I.2.2. La disposition de la matière

La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de « poutres ».

Poutre : on appelle poutre (voir fig.1) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne.

Les caractéristiques de la poutre sont :

 ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure.

 section droite (S) constante ou variant progressivement.

 grande longueur par rapport aux dimensions transversales.

 existence d'un plan de symétrie.

G

G

G

(C) Ligne moyenne (S)

FIG.1

I.2.3. Les forces extérieures

 Plan de symétrie : les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan.

 Types d'actions mécaniques extérieures : deux types d'actions mécaniques peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig. 2) :

Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux considérés comme constants.

II. PRINCIPE D’ETUDE D’UNE STRUCTURE EN RDM

II.1. Régles de schématisation

 Poutre  représentée par sa ligne moyenne (oiu fibre de référence)

 Actions de liaison  schématisasées par les composantes de réaction

 Actions extérieures  schématisées par les forces réparties ou ponctuelles ramenées à la ligne moyenne.

 Repère de référence à représenter et report des dimansions « utiles » au calcul.

II.2. Applications

Exemple 2 :

Situation réelle

Définir le modèle RDM et son schéma associé

III. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION

III.1. Contrainte

En chaque point M d’un solide, il existe des efforts intérieures que l’on met en évidence en effectuant ne coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B.

La partie A, par exemple, est en équilibre sous l’action des forces intérieures qui lui sont directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la coupure.

Considérons un point M de S. Soir dS un élément infinitésimal de la surface S, entourant M et n

le vecteur unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l’extérieur de la partie A.

On appelle contrainte en M, relativement à l’élément de surface dS orienté par sa normale extérieure n

, le vecteur :

dS F ) d n , M ( C

 

 

Le vecteur contrainte peut se décomposer en :    



 .n ) n , M ( C

Où  est la contrainte normale et  le vecteur cisaillement.

III.2.Efforts de cohésion ou efforts internes

Soit une poutre (E) en équilibre sous l'action de n actions extérieures. On associe à cette poutre un repère R (x, y, z) dont l'axe x coïncide avec la ligne moyenne de la poutre.

Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal à sa ligne moyenne, situé à l'abscisse x. On définit ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2).

X Y

Z

G x

E1 E2

_{Fig 5}

(E) étant en équilibre, on peut écrire : {

E

 E} = {0}

(E1) étant en équilibre, on peut écrire : {

E

 E1} +{E2  E1} = {0}

(E2) étant en équilibre, on peut écrire : {

E

 E2} +{E1  E2} = {0}

On en déduit :

{E2  E1} = -{

E

 E1} = {

E

 E2}

{E2  E1} est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1). Cette action est due aux efforts de cohésion qui permettent à la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions extérieures.

Fig 4

La RDM vise en particulier à vérifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de cohésion à

"transmettre" ne soient supérieurs aux capacités du matériau.

On note :

{



Cohésion} = -{

E

 E1} = {

E

 E2}

III.3. Composantes du torseur de cohésion

Dans le torseur de cohésion, on peut faire apparaître la résultante et le moment qui dépendent de la position de la section (x).

 







 

) x ( M

) x ( Cohésion R

G G





III.3.1. la résultante

Tz Ty N R

R



 N : effort normal, projection de R sur la normale extérieure (x).

 Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droite.

III.3.2. Le moment résultant

De la même manière, on retrouve pour les moments, 3 composantes :

 MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extérieure.

 Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de section droite.

soit :

M fz M fyM t M

R G



Toutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz dépendent de la position de la section droite (x).

On peut donc représenter leurs évolutions à l’aide de diagrammes.

III.3.3. Les sollicitations

Suivant les éléments de réduction non-nuls du torseur de cohésion (N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz ) on peut alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, à savoir :

Composantes Sollicitation

N > 0 Extension (traction)

< 0 Compression

Ty Cisaillement

Tz

Mt Torsion

Mfy Flexion

Mfz

Lorsque l’on a une seule de ces sollicitations on parle de sollicitation simple, sinon on a un problème de sollicitations composées.

G _N

Ty

Tz

R

III.4. Relations entre contraintes et composantes du torseur de cohésion

III.5. Applications

Exemple 1

Le bras [KI] est modélisé par une poutre rectiligne encastrée au point K et supportant l'action du vérin comme l'indique le croquis suivant :

1- Déterminer le torseur de cohésion au point G, distant de x mm de l'origine I.

2- Déterminer la nature des sollicitations dans cette "poutre".

3 -Déterminer la position de la section la plus sollicitée à la flexion simple.

Exemple 2

1) Après avoir déterminé les actions de liaison, calculer le torseur de cohésion dans la zone où se trouve le point G.

2) Cette expression est valable sur quel domaine ?

3) Déterminer la nature des sollicitation dans cette poutre.

4) Que signifie E ? Re ?

X U

V

K

I G

90 mm 320 N

1120 N I(1314)

F = 21 N l = 600 mm b= 20 mm h = 4 mm Matiere : S 340 E = 200 000 Mpa

Re = 340 Mpa

Rg

= 0.6 ^R

^e

s=2

1 2

3

x

PARTIE 2 : LES SOLLICITATIONS SIMPLES

IV. EXTENSION ou TRACTION - COMPRESSION

IV.1. Extension ou Traction

IV.1.1. Définition

Une poutre est sollicitée à l'extension simple lorsqu'elle est soumise à deux forces

directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui tendent à l'allonger.

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

 

) z , y , x ( G

N 0 0 0 0 0 Cohésion









 

 

 

avec N > 0

IV.1.2. Essai d'extension

Une éprouvette en acier est sollicitée à l'extension par une machine d'essai, qui permet de déterminer l'allongement de l'éprouvette en fonction de l'effort qui lui est appliqué.

A B

l

A' l  l B '

F F

0

0

On obtient alors la courbe d’essai ci-dessous

B B A A

G A R

A

(S)

x y

z R

Analyse de la courbe obtenue

 Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa longueur initiale.

Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à l'effort d'extension.

Des essais effectués avec des éprouvettes de dimensions différentes permettent de constater que pour un même matériau, l'allongement unitaire( l / l0) est proportionnel à l'effort unitaire (F / S0)

Les sections droites et planes de l'éprouvette restent droites et planes pendant l'essai.

 Zone ABCD : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale. La partie CD s’accompagne du phénomène de striction (rétrécissement local et permanent de la section).

On ne s'intéressera qu'à la zone des déformations élastiques.

IV.1.3. Déformations élastiques

La propriété constatée ci-dessus a permis pour différents matériaux d'établir la relation :

l l S E

N  

Unités : N en Newton

S en mm²

E en MPa (N/mm²)

l et l en mm.

E est une caractéristique du matériau appelée module d'élasticité longitudinal ou module de Young.

Lors de cet essai, on met aussi en évidence une autre caractéristique de l’élasticité ; il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et l'allongement relatif longitudinal (l / l) hors phénomène de striction.

On peut écrire :

l

l d

d  

 

Unités :  sans unité

d et l en mm.

appelée coefficient de poisson est aussi une caractéristique du matériau il est de l'ordre de 0,3 pour les aciers

IV.1.4. Exemples comparatifs de déformation entre différents matériaux

kN

kN mm mm

Exemples d’essai de traction

IV.1.5. Contraintes

Soit (E1) le tronçon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal à sa ligne moyenne .

F E1

x y

z G

(S) R

R =N .x

fi g .8

Le tronçon (E1) est en équilibre sous l'action de F et des efforts de cohésion dans la section droite (S).

Soit S l'aire de la section droite (S). On définit la contrainte  dans la section droite (S) par la relation :

S

 N



avec  : contrainte normale d'extension (> 0) en MPa.

N : effort normal d'extension en Newton.

S : aire de la section droite (S) en mm².

La contrainte permet de "neutraliser" la surface et par conséquent de comparer des éprouvettes de sections différentes.

IV.1.6. Loi de HOOKE Nous avons déjà vu que

S



N

 et que

ll

SFE , on peut en déduire que :



  E . l E l 



loi de HOOKE

l

l est l'allongement élastique unitaire suivant x, il est généralement noté 

Unités :  en Mpa

E en Mpa

 sans unité

IV.1.7. Caractéristiques mécaniques d'un matériau

 Contrainte limite élastique en extension e

C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée aussi limite d'élasticité Re.

 Contrainte limite de rupture en extension r

C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée aussi nommée résistance à la traction R.

 Allongement A%

A l l

%

 

l

⁰

*

0

100

avec : l₀ : longueur initiale de l'éprouvette.

l : longueur de l'éprouvette à sa rupture.

Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

IV.1.8. Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension pe.

On a :

s

pe



e

 

s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

pe réelle

S N 







IV.1.9. Influence des variations de section

Si le solide étudié présente de fortes variations de sections, les relations précédentes ne s'appliquent plus. On dit qu'il y a concentration de contraintes. On doit alors pondérer nos résultats à l’aide d’un coefficient k, en posant :

max = k.  k est le coefficient de concentration de contraintes Exemples de cas de concentration de

contrainte :

IV.2. Compression

IV.2.1. Définition

Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui tendent à la raccourcir.

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

 

) z , y , x ( G

N 0 0 0 0 0 Cohésion









 

 

 

avec N < 0

3.2.2 Essai de compression

Une éprouvette semblable à celle utilisée pour l'essai d'extension en acier est sollicitée à la compression par une machine d'essai.

Analyse de la courbe obtenue

 Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa longueur initiale.

Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à l'effort de compression.

Des essais effectués avec des éprouvettes de

dimensions différentes permettent de constater que pour un même matériau, l'allongement unitaire( l/l0) est proportionnel à l'effort unitaire (F/S0).

Les sections droites et planes restent droites et planes pendant l'essai.

 Zone AB : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

IV.2.2. Déformations élastiques

La propriété constatée ci-dessus a permis pour différents matériaux d'établir la relation :

l l

S F   E 

avec l < 0

Pour les aciers, le module d'élasticité longitudinal E est le même en compression qu'en extension.

IV.2.3. Contraintes

On définit la contrainte  dans la section droite (S) par la relation :

 

N

S

^{avec :}  < 0 car N < 0 IV.2.4. Loi de HOOKE

Nous avons déjà vu que  

N

S

^{et que}

F

S E l

 

l

, on peut en déduire que :

^{  E } _l ^{l  E .} 

B B A A

G A R A

(S)

x y

z R

F(N)

l (mm) O 

A B

l

l

est le raccourcissement élastique unitaire suivant x, il généralement noté  IV.2.5. Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension pe. On a :

s

pe



e

 

s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

pe réelle

S N 

  

V. CISAILLEMENT

V.1. Définition

Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise à deux systèmes d'action de liaison qui se réduisent dans un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne à deux forces directement opposées.

(E) (P)

F F' A

B

Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux tronçons E1 et E2 glissant l'un par rapport à l'autre dans le plan de section droite (P).

F

F' E1

E2

(P)

(E1) (S)

x y

z G

T

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

 

) z , y , x (

G Tz 0

0 Ty0 0 Cohésion















 

remarques :

 on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une unique composante T en réalisant un changement de repère.

Tz

T

 le cisaillement pur n'existe pas, il subsiste toujours de la flexion...

V.1.1. Déformations élastiques

La modélisation ci-dessous d’une sollicitation de cisaillement permet d'établir la relation :

x G y S F

 



Unités : F en Newton S en mm² G en MPa

y et x en mm.

G est une caractéristique appelée module d'élasticité transversal ou module de Coulomb.

Matériau Fontes Aciers Laiton Duralumin Plexiglas

G (MPa) 40000 80000 34000 32000 11000

V.2. Contraintes

On définit la contrainte  dans une section droite (S) par la relation :

  T S

avec :  : contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne).

T : effort tranchant en Newton.

S : aire de la section droite (S) en mm².

V.3. Relation entre contrainte et déformation

Nous avons déjà vu que  

T

S

^{, que}

F

S G y

 

x

 et nous savons que F=T. On en déduit que :

 

 

G . x G y



 .

  



y

x

est appelé glissement relatif.

V.4. Caractéristiques mécaniques d'un matériau

 Contrainte tangentielle limite élastique e

C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique. Pour l'acier, cette valeur est comprise entre 250 MPa et 600 MPa.

 Contrainte tangentielle de rupture r

C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette.

V.5. Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique de cisaillement p. On a :

s

p e

  

(S0 )

(S )

 

y x

F

s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

p réelle

S T 

  

VI. MOMENTS QUADRATIQUES

VI.1. Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe de son plan

Définition

Soit (S) une surface plane et un repère orthonormé (O, x, y) associé.

Le moment quadratique élémentaire de dS par rapport à (O, x) , noté IOx est défini par

IOx = y² . dS

et pour l'ensemble de la surface (S) : Iox =



S

y² .dS Remarques :

 L'unité de moment quadratique est le mm⁴ (ou le m⁴)

 Un moment quadratique est toujours positif.

 Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donnés à la suite du cours.

VI.2. Moment quadratique d'une surface plane par rapport a un axe normal. Moment quadratique polaire.

Définition

Soit (S) une surface plane et un repère orthonormé (O,

  

x y z , ,

) associé.

Le moment quadratique polaire élémentaire dedS par rapport à (O,



z

) perpendiculaire en O au plan de la figure et noté IO est défini par :

   IO = ² . dS

et pour l'ensemble de la surface (S) : Io =



S

² . dS Propriété :

Considérons le moment quadratique polaire IO de la surface (S) par rapport à (O,



z

) perpendiculaire en O à son plan.

Notons : IO =

( )S



^.S

Soient x et y les coordonnées du point M. On a :

^ = x² + y² On a donc : IO =

( )S



^{.S =}

( )S



^{x2.S +}

( )S



^{y2.S Soit : IO} = I^Ox + I^Oy

O dS M (S)

y y

x

O (S)

dS M

 y

x z

O (S)

S M

 y

x z

x y

VI.3. Moments quadratiques utiles

b h

G x

y

a

a G x

y

G x

d y

G

D y d x

I

^GX

I

^GY

I

^G

= I

^O

bh 12

3

hb

12

3

bh

12

( b + h )

2 ²

a 12

4

a

12

4

a

6

4

d 64

 4

d

64

 4

d

32

 4

64 d )

 4

(D -

⁴

d )

64

 4

(D -

⁴

d )

32

 4

(D -

⁴

VI.4. Théorème de Huygens

Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

² .d S I I

^Oy



^Gy



IOy : moment quadratique de (S) par rapport à (O,y

) (mm⁴) IGy : moment quadratique de (S) par rapport à (G,y

) (mm⁴) S : aire de la section (S) (mm²)

d : distance entre les axes (O,y

)et (G,y

) (mm)

Exemple : calculer le moment quadratique de l’equerre /

Gx

: I

^Gx

Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK 12

10 100

³

1

1

x

I

^Gx

;

5 5 1 3

1 1

1

10

12

² 10 10 ).

10 . 100 12 (

10 .

² 100

.

   





I S d I

^{Gx Gx}

12 50 . 10

³

2 2^Gx

I

4 4 2 3

2 2

2

20 . 10

12 10 .

² 125 20 ).

10 . 50 12 (

50 .

² 10

.

   





I S d

I

Gx Gx

 I

Gx

I

1Gx

I

2Gx

41 , 2 . 10

4

mm

4

VII. TORSION

VII.1. Définition

Une poutre est sollicitée en torsion simple

lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à des liaisons dont les torseurs associés se réduisent à deux torseurs couples opposés dont les moments sont parallèles à l'axe du cylindre. (on suppose la poutre comme cylindrique et de section circulaire constante)

Les éléments de réduction en G du torseur des

efforts de cohésion s'expriment par

 

) z , y , x ( G 000 M t00 Cohésion











 

VII.2. Déformations élastiques

G2 MG2

G1 G

x (S1)

(S)

(S2)

M1 M M2

M'

M'2



G M M'



Constatation sur la déformation d’une poutre en torsion : L'angle  croit de façon linéaire avec x, l'abscisse de la section droite étudiée :  = k.x

La propriété constatée ci-dessus a permis d'établir la relation :  

M t x .

M G 2 G

G 2 1 M

G 1

G

(S )

x y

z R

M G 1

M G G

1

Unités : Mt moment de torsion en N.mm

G module d'élasticité transversal en MPa

 en radian

Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm⁴

En définissant l'angle unitaire de torsion par :  =  / x (exprimé en rad/mm), notre relation devient alors :

I

O

. . G Mt

 

VII.3. Contraintes

G

(S)

x y

z R MG1

MG G1

(E1)

G



(S)

_{M a x}

M

M

v

Soit M un point de la section droite (S) de la poutre situé à une distance  du centre G de la section (voir ci-dessus). On définit la contrainte de torsion  en M par la relation :



 









O

M I

M t

avec :  contrainte tangentielle en MPa.

Mt moment de torsion en N.mm

Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm⁴

Contrairement aux phénomènes étudiés jusqu'à maintenant, la contrainte varie en fonction du point choisi dans une section droite. Plus ce point est éloigné du centre de la section, plus la contrainte y sera importante.

La contrainte est maximale pour  = maxi , soit :



 





i max

O

M

I

M t





VII.4. Conditions de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique p (voisine de la contrainte pratique de cisaillement). On a :

s

p e

  

s est un coefficient de sécurité.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

p i max

O réelle

I

M t 



 

 

 

 



VII.5. Influence des variations de section

Si le solide étudié présente de fortes variations de sections, les relations précédentes ne s'appliquent plus. Il faut alors appliquer un coefficient de concentration de contraintes

Exemple : épaulement

r/D D/d

0,1 0,05 0,02

1,09 1,3 1,5 1,7

1,2 1,5 1,7 2,5

1,5 1,7 2,2 2,7

VIII. FLEXION

Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la flexion plane simple.

VIII.1. Hypothèses

En plus des hypothèses déjà énoncées au début du cours de RDM, la flexion plane simple nous amène à supposer que :

 la ligne moyenne de la poutre est rectiligne.

 la section droite de la poutre est rectiligne.

 la poutre admet un plan de symétrie longitudinal.

 toutes les forces appliquées à la poutre sont disposées perpendiculairement à la ligne moyenne et dans le plan de symétrie longitudinal (ou symétriquement par rapport à celui- ci).

 les forces appliquées sont soit concentrées en un point, soit réparties suivant une loi déterminée.

ligne moyenne

Plan de symétrie longitudinal et plan des charges

VIII.2. Définition

Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe z

(voir ci-contre).si pour chacune des sections droites, le torseur de cohésion se réduit, dans le repère R (G,x,y,z)

 de

définition des sollicitations :

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

 

) z , y , x (

G 0 M fz

0 Ty0 0 Cohésion















 

Remarque : si

Ty

est nul, alors la sollicitation est appelée flexion pure

Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant

Ty dx

dMfz  

x

d D

r

z

y

T G Mf

(S)

VIII.3. Contraintes

Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales . Les contraintes de cisaillement  sont négligeables.

La contrainte normale s en un point M d'une section droite (s) est proportionnelle à la distance y entre ce point et le plan moyen passant par G.

y Iz .



M f



VIII.4. Conditions de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension pe. On a :

s

pe  e

 

s est un coefficient de sécurité

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

pe

i max

Gz i réelle max

y I

M f 

 

 

 







VIII.5. Etude de la déformée

Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante :

y I E Mf  . . 

Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce aux conditions aux limites (appuis, encastrements...).

exemple de conditions aux limites :

Appui simple y = 0

Encastrement y = 0 y' = 0

VIII.6. Exemple

GZ GZ

GZ fz

I E F x I

E x F I

E x M

y 2 . . .

. 2 . ) .

(

''

  





x F y I

E .

^GZ

. '' . .

2



première intégration 2

1

. ² ' . . .

2 E I

^GZ

y



F x



C

x M

G



zone où les fibres sont tendues

y

zone où les fibres sontcom prim ées

M

²

1

. ' . . .

4 E I

^GZ

y



F x



C

recherche de C

1

: y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

4

² . 4

.²

0Fl C¹C¹Fl

4

²

² . . ' . . .

4 E I

^GZ

y



F x



F l deuxième intégration :

3 2 3 2

3 2

12

².

. . 3 . . 4 4

².

. 3 . .

4

² . .3 . . .

4EI^GZyF x Fl xC Fx Fl xC  Fx  Fl xC

recherche de C

2

: y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe

y

) I

GZ

E

x l F x y F

. . 48

².

. . 3 . . 4

³



y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

GZ GZ

GZ

GZ EI

F l I

E l F l

I E

l F l

I E

l l l F F

y 48. .

2 ) (2 .

. 48

2 ) 3 ( 2 .

. 48

2 ) 3 8 ( 4 .

. 48

².2 . . 8 3 . .

4 ^{3 3 3 3 3}

3

 

 



 





I

GZ

E l y F

. . 48

.

3



VIII.7. Flexion de poutres hyperstatiques

Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis. Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations.

Exemple 1

Une poutre AB en HEA 600 (I_GZ/v = 4786 cm³ ; E = 2.10⁵ MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux extrémités supporte en C une charge

F y



.



5000



Déterminer les actions en A et B Equations de statique :

2 /

2

1 B F

A^S ^S (symétrie)

0

2

^{2 2}

.

1 

Fl



M

 

B



l



M

^{A S B S S} :

2 0

2

²

1 

Fl



M

 

Fl



M

^{A S B S}

donc MA¹SMB¹S

le système est hyperstatique d’ordre 1 Equation de déformation :

Calcul du moment fléchissant quand

0x2l

   















 













 





















x A M

A x A M

A T

T

S S A S S G

S A S G S ext coh

. 0

0 0 0

. 0

0 0 0

1 1 1

1 1

1 MfzA¹S.xMA¹S

Utilisation de l’expression de la déformée

S A S

GZ

y A x M

I

E . . ''

 ¹

.

 ¹

B

A C

y

F

x

l l/2

1 2

S

B

A C

y

F

x

A

1S

B

2S

S

M

A^1

S

M

B2

1 1

1

.

2 . ² ' .

. I y A x M x C

E

^GZ  ^S  ^A^S 

2 1 1

3

1 .

2 . ² .6

.

. x M x C x C

A y I

E ^GZ  ^S  ^A^S   0

0 ) 0 (

'  C¹ y

0 0 ) 0

(  C2

y donc

2 . ² .6

.

. ¹

3

1 x M x

A y I

E ^GZ  ^S  ^AS

Compte tenu de la symétrie de la déformée :

) 0 ( 2 ' l



y

donc

4 . 2

2)² 2 ( .2

2)² 2 ( .2 2

2)² ( .

0 ¹

1 1 1 1

1

1 A l

l l A l M

l M A M l

l

A ^S

S S A S

S A S

A

S 





 



      



1

F 2

A

^S donc

8

2

.

1

M F l

M

^AS ^BS

Torseur de cohésion pour

0x2l

   



























































































 





4) 2.(

0 2 0

0 0

2 0 8

2 0 0 0

0 2 2 0

0 0

0 2

0 2 /

0 0

1 1 F x l

F Fx

Fl F M Fx

F M Fx

F T

Tcoh

G G

S A G

S A G

S ext

Fxz Fl Fx Fl Fx Fl x F

A Fl GA M

M^{G S A S S} 

2. 8 2 8

00 2 00 8 00 02 0 00 8 00

1

1  

 





 









 ^{ }



Torseur de cohésion pour

l



x



l 2

   













































 































)) 4 (

2.(

0 2 0

0 0

2 ) ( 8 0 . 2 0

0 0

) .(

0 2 0

0 0

2

2 F l l x

F x

l l F F F x

l B M

T F Tcoh

G G S

S G B

S ext

x z l Fl F x l Fl F x l F Fl x F

l B Fl

GB M

M^{G S B S S} 

2 . ) ( 8 2

) ( 8

00 2

) (00 8

00 02 0 00 8 00

2 2

2   

 



 







 

 







 ^{ }



Effort tranchant

0



x 2 l

:

Ty F 2500 N 2







l l



x



2

^:

Ty F 2500 N 2





Moment fléchissant

0

x :

M

^fz

Fl 2500 N . m 8

4 . 5000

8

 





2

x l

^:

M

^fz

Fl 2500 N . m 8

4 . 5000

8

 



xl ^:

M

fz

Fl 2500 N . m 8

4 . 5000

8

 





Flèche maximale au point C

² 16. 12. 2 . ² .6

.

. ^{1 3}

3

1 x M x F x Flx

A y I

E ^GZ  ^S  ^A^S  

6 . ) 32 2 1 3 (1 32 64 96 .4 16 .8 . 12 .

3 3

3 3 3

3 Fll Fl Fl Fl Fl

F l y I

E ^GZ       

IGZ

E l y F

. . 192

.³





 

^{l mm}

y 1,74

4786000 .

200000 .

192

4000 . 5000 2

3 





IX. SOLLICITATIONS COMPOSEES

IX.1. Principe de superposition

Dans la limite des déformations élastiques, le vecteur déformation en un point, du à un système de forces extérieures est égal à la somme géométrique des vecteurs déformation dus à chacune des forces du système agissant séparément.

Pour une poutre soumise à la traction flexion ou à la de la flexion torsion, on peut donc de manière séparer faire l’étude de chaque sollicitation simple et faire ensuite la sommation des résultats (déformation et contrainte).

IX.2. Critère de von misès

Dans le cas de poutres soumises à une flexion (générant une contrainte normale maximale σ

_max

) et à une torsion (générant une cission maximale τ

_max

), le critère est (forme de Huber) :

B

A C

y

F

x

A

^1S

B

2^S

S

M

A1

M

B2S

y

B A

C

x

8



Fl 8 Fl

A B

C

8

x

Fl

8



Fl

A

B C

D A

B

D A

C

D

= +