OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE

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OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE

J´er´emy Girin, Yoann Le Henaff

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J´er´emy Girin, Yoann Le Henaff. OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE. 2016. <hal- 01334838>

HAL Id: hal-01334838

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OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE

L'objectif de ces recherches est de montrer, à-travers trois exemples, l'optimisation naturelle des alvéoles dans un poumon. Pour ce faire, nous étudierons le nombre d'alvéoles que l'on peut mettre au maximum dans trois configurations alternatives.

Ces configurations alternatives sont les objets géométriques suivants :

répétant ces opérations un nombre infini de fois.

Le tétraèdre de Sierpinsky, nous partons d’un tétraèdre régulier d’arête initiale L0, et à chaque

itérations, on obtient 4 tétraèdres d’arête L0/2 à la

place du tétraèdre initiale. Le tétraèdre de Sierpinsky est l'objet que nous obtenons en répétant ces

opérations un nombre infini de fois.

Les cubes de Cantor : nous partons d’un cube d’arête initiale L0, puis nous le remplaçons par 8 autres

cubes à chacune de ses extrémités, d’arête L0/3. Les cubes de Cantor sont les cubes que nous obtenons

en répétant ces opérations un nombre infini de fois.

L'éponge de Menger : nous partons d'un cube de longueur _{0 , puis nous creusons ses faces de} façon à obtenir un creux carré de côté _{3 au milieu de chaque face. Cette opération définit ainsi 8}

carrés autour du creux, chacun d'arête

3 . Nous creusons de nouveau dans ces carrés, de façon à

obtenir un creux carré d'arête

0

3 3

0

LE POUMON :

Le modèle de poumon considéré est un modèle simplifié : un poumon est considéré comme étant un pavé droit de 200mm de hauteur et de profondeur, et de 100mm de largeur. De plus, le nombre d'alvéoles dans un poumon humain est estimé entre 250 et 700 millions. Nous prendrons donc le chiffre de 250 millions pour expliciter au mieux la différence entre une organisation alvéolaire efficace, et une peu efficace.

Une alvéole sera considérée comme une sphère de 0,1 mm de rayon, qui est donc contenue dans un cube de 0,2mm d'arête (on considère le cube car c'est l'espace qui va être occupé par une alvéoles lorsqu'elle va être accrochée sur les parois de l'éponge.

I ÉPONGE DE MENGER :

Le principe va être d'accrocher les alvéoles pulmonaires sur les surfaces des éponges. Le nombre d'éponges dans un poumon va être un paramètre qui va varier. De plus, on ne va pas remplir le poumon avec des éponges idéales (c’est-à-dire creusée à l'infini), mais avec des éponges creusées jusqu'à une certaine itération (que l'on va pouvoir calculer).

Il va donc falloir calculer le nombre d'éponges dans un poumon, ainsi que la surface qu'une éponge présente, afin de pouvoir calculer le nombre d'alvéoles dans un poumon.

Nombre d'éponges dans un poumon :

On considère la configuration initiale suivante : on remplit le poumon (cadre noir) avec 4 éponges (arêtes rouges). Chaque éponge peut ensuite être considérée soit comme une éponges, soit comme 8 éponges plus petites (arêtes bleues). On définit ainsi le paramètre Nsous−divisions qui donne le nombre de fois que l'on a divisé chaque éponge en

huit, à-partir des 4 éponges initiales. On en déduit le nombre d'éponges en fonction du nombre de sous-divisions : Néponges=4∗8N sous−divisions

Surface éponge :

On va considérer ici deux types de surface sur une éponge : la surface extérieure, qui correspond à la surface à l'extérieur du cube, et la surface intérieure qui se trouve à l'intérieur du cube, et qui est créée lorsqu'on creuse l'éponge.

Surface extérieure :

La surface extérieure correspond à une face qui a été creusée Nmax fois,

avec Nmax qui donne l'itération maximale, c’est-à-dire l'itération jusqu'à laquelle

une alvéole ne rentre plus dans un creux (c’est-à-dire quand l'arête du creux est plus petite que l'arête du cube qu'occupe une alvéole).

Nmax

Sext ,face. L20 correspond à la surface totale d'une face, et

Nmax

permet de prendre en compte la surface qui n'a pas été creusée lors de la construction de l'éponge. Et on a 6 faces extérieures :

N 2

8

max

Sext

Surface intérieure :

Pour passer de l'itération i à l'itération i+1, on creuse le cube que l'on a l'étape i. On créé donc un arbre autour de chaque cube, composé de 6 cubes Li

d'arête , chacun ne présentant que 4 faces sur lesquelles il est possible 3 d'accrocher des alvéoles.

De la même façon que pour la surface extérieure, on a

max−

Sint, face. L'apparition du terme

−0,2∗4∗Li s'explique par le fait qu'il ne faille pas que des alvéoles occupent

le même espace (problème qui peut apparaître à la jonction entre 2 faces). On enlève alors l'espace qu'occuperait une alvéole dans le calcul de la surface utile afin que ce problème ne se pose plus.

Le terme p(i) correspond à un pourcentage utile (cf. le paragraphe qui est dédié à son explication).

Pour avoir la surface totale présente à l'intérieur de l'éponge, on effectue la somme de toutes les surfaces intérieures.

Calcul du nombre d'alvéoles :

S Le nombre d'alvéole par face est défini par : Nalvéoles,face=Ent( 2 )

0,2

On a alors le nombre

d'alvéole total : N

( (i))

NalvéolesNfaces , avec

Nfaces=4∗20i−1

Calcul de l'arête des cubes :

Afin de pouvoir mettre des alvéoles sur toutes les faces des éponges, il faut les espacer d'au moins 0,4mm (pour pouvoir mettre des alvéoles sur les deux faces qui auraient été en contact). Il faut également mettre un espace de 0,2mm entre les alvéoles aux extrémités et la paroi du poumon. On a alors :

arête hauteur poumon−espaceinter−éponges 200−0,4∗Népongesenhauteur

L = =

nombre d' éponges surlahauteur du poumon Nombred ' éponges surlahauteur du poumon

Calcul du pourcentage utile :

Le pourcentage utile définit la partie de la

L

On trouve au maximum 182 millions d'alvéoles, pour un nombre total de un million d’éponges environ éponges.

surface sur laquelle il est possible d'accrocher les alvéoles. Il est calculé en effectuant le rapport de l'aire occupée par les alvéoles et de l'aire d'une face.

Le nombre d'alvéoles le long d'une arête est

alvéoles

bleue alvéole

. L'aire occupée par les alvéoles est .

Le pourcentage est donc p rouge 2 0 ,

2

II TETRAEDRE DE SIERPINSKY

Pour la comparaison avec le poumon, nous un pavé droit de dimension 20*20*10cm ce qui fait un volume de 4000cm3 _{soit 4l(similairement à l’éponge de Menger).}

Considérons tout d'abord que la pyramide doit avoir approximativement le même volume que le poumon modélisé par le pavé droit :

Volume initial à l'étape 0:

V p

Pour simplifier, nous prendrons l

Le volume d'une alvéole(qui sont des sphères) est donc V a r3 avec un rayon alvéolaire de

0,1mm donc V a≃0,00419mm3

Soit l la longueur de l’arête du tétraèdre :

1) comparaison pyramide alvéole

Dans cette première partie, nous allons considérer que les petites pyramides(pleines) formées sont les alvéoles, et nous allons tenter de me rapprocher de leur volume réel.

Le volume d'une des ces petites pyramides est définie selon la suite suivante que nous déterminons, avec l la longueur initiale des arrêtes du tétraèdre(dans notre cas 32,4cm).

V n Il faut résoudre pour avoir n tel que Vn=Va

Nous obtenons n environ égale à 10 (cela correspond à des alvéoles de 0,00373mm3

Au rang 10, nous avons 1048576 alvéoles(il y a une alvéole au premier rang, et 4 fois plus au rang n+1 qu'au rang n).

Rang Longueur l (arête des

petits tétraèdres) en cm

Volume des petites pyramides

Nombre d'alvéoles

10 32,4/1024 0,00373 mm3 _1048576

Nous pouvons considérer que 4,19∗10−3≃3,73∗10−3

Il y aurait donc 1048576 alvéoles dans un poumon, ce qui est très loin des 250 millions d'alvéoles présentes en réalité. Ce modèle pulmonaire n'est donc pas très efficace du point de vue du nombre alvéolaire.

2) Fixation des alvéoles sur les triangles

Nous allons maintenant voir s'il serait plus efficace de fixer les alvéoles sur la pyramide. Par exemple, après la première

itération:

Nous pouvons fixer une alvéole entre les quatre pyramides.

Pour calculer les dimensions de cette alvéole, il faut

d'abord partie de la géométrie plane, en se servant du

cercle inscrit: le diamètre de l'alvéole sera le même

que celui du cercle inscrit aux triangles équilatéraux

Pour un triangle équilatéral, le rayon du cercle inscrit vaut R pour un rayon de 0,1mm

L mm

Il faut donc chercher à obtenir une longueur l de côté pour les petits triangle égale à environ 0,346mm, toujours en partant d'un tétraèdre initial d'arête L=34,2cm.

Pour calculer le nombre d'alvéoles que nous pourrions pourrais fixer sur ce tétraèdre, nous élaborons une suite Un, qui compte le nombre d'alvéoles en fonction du rang:

Au rang 1: U1 = 1

Il n’y a qu’un trou pour placer une alvéole

Au rang 2:

Nous avons 4 fois la dernière pyramide,

U2=4*1+3+3(3-2)

U2=10

Au rang 3:

De même, U3=4*10+3*3+3(3*3-2)=70

Au rang 4:

U4=4*70+3*3*3+3(3*3*3-2)

U4=382

C’est encore la même chose.

Nous pouvons donc en déduire que : Un+1=4Un

+ 3n ₊₃₍₃n _-2)

Nous avons donc le tableau suivant:

Rang Longueur l Un = nombre d'alvéoles

0 32,4cm 0 1 32,4/2cm=17,1cm 1 2 32,4/4cm=8,55cm 10 3 32,4/8cm=4,275cm 70 4 32,4/16cm=2,138cm 382 5 32,4/32cm=1,069cm 1846 6 32,4/64cm=5,344mm 8350 7 32,4/128cm=2,671mm 36310 8 32,4/256cm=1,3336mm 153982 9 32,4/512cm=0,668mm 642166 10 32,4/1024cm=0,334mm 2647390

Nous pouvons considérer que 0,346mm est environ égale à 0,334mm

Nous pouvons également ajouter des alvéoles à l’extérieur, sur tous les triangles, il y en a 3^n par faces, donc on ajoute 4*3^10, soit 236196

III CUBE DE CANTOR

1) Si l’on considère qu’un cube correspond à une alvéole

Soit a, l’arête du cube initiale, le volume du cube est V 0=a3 . 3

Le volume d’un cube du premier rang est V 1= a

27

a3

De même, le volume d’un cube du second rang est V 2= 2727 =27a32

Nous pouvons en déduire que le volume d’un petit cube en fonction du rang est de V n=

a3

n

27 Nous voulons obtenir un volume proche de celui d’une alvéole réelle ; soit V a≃0,000419cm3 .

Nous partirons la encore de notre représentation théorique du poumon composée de 4 cubes de 10*10*10cm soit 1000cm³.

Il suffit donc de résoudre(en mm) :

Cela signifie que pour avoir des cubes se rapprochant de la taille réelle des alvéoles, il faut aller au 6ème _rang.

Or, le nombre de cube en fonction du rang est : N=8^n.

Au 6ème _{rang, il y aura 262144 cubes, ici encore à multiplier par 4, soit 1048576 cubes, nous nous}

rapprochons donc très légèrement du nombre voulu.

Nous pouvons en conclure que le cube de cantor ne pourrait pas permettre de synthétiser efficacement un poumon, du point de vue du nombre d’alvéoles.

Nous allons considérer que les alvéoles ouvrent une surface de 0,2 par 0,2mm.

Nous attendons l'étape à partir de laquelle les cubes de Cantor ont une arrête de dimension environ égale à 0,2mm.

Page La dimension de l'arête d'un cube est de a/3^n avec a l'arête initiale du cube, 10cm pour nous. Nous résolvons 100/3^n = 0,2 <=> n=5,7.

Si nous prenons la sixième itérations, nous avons 1572864 alvéoles, en plaçant 6 alvéoles par cube(une sur chaque face) et en sachant qu’il y a 8 fois plus de cubes à l’itération n+1 qu’à l’itération n.