MATHEMATIQUE ET

INITIATION

MATHEMATIQUE ET

EPREUVES OPERATOIRES

La rénovation de l'enseignement mathématique à l'école primaire, effective depuis une dizaine d'années déjà dans les classes expérimentales, a amené les psy- chologues généticiens à poser un certain nombre de questions nouvelles, en particulier celle~ci: Le dévelopR pement de la pensée logique, repéré par l'accès aux stades opératoires successifs, n'est-il pas accéléré Ou

tout au moins modifié chez les enfants qui reçoivent cette formation mathématique?

La difficulté Qui s'attache à la définition de ladite formation mathématique ainsi qu'à celle des stades, fait qu'il ne semble guère possible de donner une réponse directe à ceUe question. Cela exigerait, d'ailleurs, un imposant dispositif expérimental qui n'est pas à notre portée dans l'état actuel des choses. Le but des in\!esti~

gations que nous allons rapporter ci-dessous est donc bien plus modeste. Il s'agissait simplement de déterminer si l'entralnement à une structure mathématique donnée avait une influence sur des épreuves psychologiques por- tant sur des opérations intellectuelles faisant appel à cette structure et, parallèlement, sur l'accès au stade opéra- toire correspondant à ces épreuves.

les structures retenues ont 'été: le gro,upe" de Klein et le produit cartésien' qui ont fait l'objet de deux recher~

ches distinctes confiées à des stagiaires psychologues scolaires, dans le cadre· de leur «mémoire». La procé~

dure s'est déroulée en trois temps;

- pré-lest:

- entrainement (pour le groupe expérimental seule- ment) ;

- post-test.

Les tests ont été individuels et l'entraTnement collec- tif. Les épreuves du pré-test ont donné lieu à une petite étude statistique visant à vérifier que les deux groupes (le groupe expérimental et le groupe témoin) étaient bien comparables.

Nous avions tout d'abord pensé utiliser des classes expérimentales, celles des écoles annexes des écoles normales de Chambéry et de Grenoble. Mais, d'une part, l'entraînement à ces structures y. était étalé sur trop longtemps pour nous permettre d'appliquer valablement les mêmes épreuves pour le pré-test et le post~test.Et si on avait décidé de s'en tenir à la seule étape finale de l'enseignement, le pré-test aurait alors été faussé par le début de l'entralnement. D'autre part, il était pratiquement impossible de constituer un groupe témoin rigoureusement comparable à un tel groupe expérimental, puisque même s'il l'avait été sur le plan socio-culturel, la ·différence d'attitude entre les professeurs aurait creusé un décalage trop important entre les deux groupes. Nous avons donc finalement opté pour des classes non encore touchées par le renouveau mathématique' preprement dit. C'est F. Longeot qui a choisi les épreuves et C. Hug qui a conduit les séances d'entrainement.

Nous nous proposons de présenter pour chacune de ces investigations, tes épreuves utilisées, le type d'en- tralnement auquel ont été soumis les enfants du groupe ex.périmental et les résultats obtenus. Nous livrerons ensuite nos commentaires avant de conclure sur l'intérêt de ces recherches.

1. - LE GROUPE DE KLEIN

Les deux stagiaires psychologues scolaires (1) qui se sont intéressésàce thème ont intitulé leur «mémoire .. :

« Effets de l'enseignement du groupe de Klein à l'école primaire, sur la formation du groupe INRC et le passage au stade opératoire formel». La recherche a été effec- tuée en 1969-1970 sur un échantillon de 84 filles de 8 à 12 ans, élèves d'une école primaire de la banlieue de Grenoble, réparties en quatre classes; deux C.E. 2 et deux C.M.1. Bien que, d'après la directrice de l'école,

(1) Mme et M. Terme.

les classes parallèles aient été formées de la façon la plus homogène possible, nous souhaitions partager _cha~

que classe en deux pour constituer le groupe expérimen- tai (G.E.) et le groupe témoin (G.T.). En effet, cela aurait permIs des comparaisons Intra-classes éliminant la varia- ble «professeur... Malheureusement, pour des raisons purement matérielles, cette nouvelle répartition des élèves n'a pas été possible au moment olt

a

débuté l'entrajne~

ment, si bien que le groupe expérimentai et le groupe témoin ont été formés chacun des élèves de deux classes, une de C.E.2 et une de C.M.1.

1) Epreuves :

Trois épreuves ont été choisies pour cette étude:

- coordination des couples;

- quantification des probabilités;

- logique des propositions.

a) Coordination des couples (2):

On présente à l'enfant quatre tableaux de huit cases chacun organisés comme le montre la figure ci~dessous:

, , ^{2 _~

1

• ^{~ 53 f}

G , _{t f$ ~}

t , ^~ _œ

(Hachuré: rouge, Non hachuré: bleu

1 : identique, G : grandeur, C : couleur, D : les deux)

(2) Voir Piaget (J), Grize _(J.~e.), Szeminska (A.) et Vlnh 8ang.

- E~lstémologle et psychologie de la fonction, PUF, 1968, chapitre premier.

On présente à l'enfant ces tableaux comme des

« magasins>f qui permettent de changer de fleurs. Après lui avoir exposé la consigne et l'avoir entratné à faire des échanges, on lui demande comment on peut s'y pren- dre dans quatre cas successifs:

- J'ai une petite rouge, je veux une grande bleue. S'il trouve D, on dit «D est fermé, comment fais-tu? .., s'il trouve, «Peux~tu faire autrement?>f, si «Non>f, «Com- ment sais-tu?»

- J'ai une grande rouge, je veux une petite rouge (fer- mer G), etc.

- J'aî une petite bleue, je veux une petite rouge (fer~

mer C), etc.

- La grande fleur bleue est fanée, alors je veux la changer maîs je veux toujours une grande fleur bleue (fermer 1). etc.

b) Quantification des probabilités:

On montre à l'enfant des jetons jaunes (12) et d'autres jetons jaunes (8) portant une croix noire sur l'une des faces. On lui explique qu'on va faire deux tas avec des

D

• ^{~ tE t !}

~ ES ^~ "1

jetons de ces deux sortes et que, quand ils seront tournés tous du côté jaune, il faudra qu'il désigne celui des deux tas qui est le plus avantageux, c'est-à-dire le tas dans lequel on a le plus de chance de prendre un jeton avec une croix du premier coup.

On explique les consignes à "enfant, on lui fait faire deux exemples puis on lui présente les huit items du test, dans l'ordre:

On demande à chaque item une justification du choix.

c) Logique des propositions:

On dispose devant le sujet une feuille représentant les cinq raisonnements plus l'exemple et on lui commu- nique les consignes. Il doit indiquer la ou les conclusions qu'il juge valables. Les cinq raisonnements proposés sont les suivants:

Premier raisonnement:

o Le champignon appelé arominia fait partie des rhodomes.

-0 Les rhodomes sont des champignons vénéneux.

Conclusions;

1 - L'arominia est un champignon vénéneux.

2 - L'arominia n'est pas un champignon vénéneux.

3 - On ne peut pas le savoir.

Deuxième raisonnement:

• Si vous faites du canot, alors il fait beau.

• Finalement vous faites du canot.

Conclusions:

1 ~ Il fait beau.

2 - 11 ne fait pas beau.

3 - On ne peut pas le savoir.

Troisième raisonnement:

• Si le concierge était complice, alors la porte de l'appartement était ouverte,

• Si le cambriolage a eu lieu à minuit, alors le concierge était complice.

• On a pu prouver que la porte de l'appartement n'était pas ouverte.

Conclusions:

1~ Le concierge n'était pas complice.

2 - Le concierge était complice, 3 - Le cambriolage a eu lieu à minuit.

1) 1/4 - 2/4 2) 3/5 - 3/7 3) 2/4 - 1/2 4) 1/2 - 1/3

5) 2/4 - 3/7 6) 2/6 - 1/3 7) 2/6 - 3/8 8) 3/9 - 2/6

4 - Le cambriolage n'a pas eu lieu à minuit.

5 - On ne peut pas savoir si le cambriolage a eu lieu à minuit.

Quatrième raisonnement:

• S'il fait beau jeudi, alors ou vous allez vous baigner ou vous allez à la pêche.

• Jeudi vous n'êtes pas allés vous baigner et vous n'êtes pas allés à la pêche.

Conclusions:

1 - Il a fait beau jeudi.

2 - Il n'a pas fait beau jeudi.

3 - On ne peut pas le savoir.

Cinquième raisonnement:

• Si la police suit une mauvaise piste, alors les jour- naux annoncent de (ausses nouvelles.

• On est maintenant sûr que les journaux annoncent de fausses nouvelles.

Conclusions:

1 - La police suit une mauvaise piste.

2 - La police ne suit pas une mauvaise piste.

3 - On ne peut pas savoir si la police suit une mau- vaise piste.

Les items de chaque test ont été choisis en fonction de difficultés qui correspondent au stade opératoire concret, préformel et former, c'est-à-dire que feur réso- luUon ne devrait être accessible qu'à des sujets ayant atteint le stade correspondant.

Le stade concret est caractérisé par:

- coordination des couples avec manipulation et transformations directes si les tableaux sont cachés;

- quatre items de probabilité: 1/4 - 2/4, 3/5 - 317, 1/2 - 1/3, 2/4 - 3/7 ;

- le premier et le deuxième raisonnement de logique des propositions.

Le stade préformel est appréhendé par les items:

- 1/2 - 2/4 et 2/4 - 3/7 (selon la réponse) ; - coordination des couples, transformations indirec-

tes tableaux cachés.

Le stade formel:

A : - deux items de probabilité: 2/6 - 1/3, 3/9 - 2/6 ; - Je troisième et le quatrième raisonnement de

logique des propositions.

B : - un item de probabilité: 2/6 - 3/8;

- le cinquième raisonnement de logique des propo- sitions.

2) Entralnement (groupe expérimental):

L'enseignement du groupe de Klein a consisté en deux séances d'une heure. Il serait trop long et hors de notre propos d'en faire un compte rendu exhaustif. Il est toute- fois n.écessaire d'en présenter les principales étapes afin d'éclairer l'analyse qui suivra. Nous adopterons l'abrévia- tion M pour la Maîtresse et E pour les Elèves.

On distribue à chaque enfant une grande feuille sur laquelle est dessiné un rectangle et une petite feuille de la taille de ce rectangle avec un coin marqué d'une tache de couleur, très nette d'un côté, juste perceptible de l'autre.

M, montrant la petite feuille: «Si c'était une vitre et ça (montrant le rectangle de la grande feuille) une fenêtre, de combien de façons pourrait-on mettre la vitre en place? .,

E: 2.

M : «Viens montrer comment. Qui en trouve d'autres?"

E : «11 y en a quatre.»

L'élève présente les quatre façons à ses camarades et explique qu'il n'yen a plus d'autres.

M : «Maintenant on va déplacer la petite feuille d'une position à une autre. Pour s'y retrouver, on va choisir une position de départ.»

M présente les quatre déplacements a, b, e, c à partir de la position de départ.

E : «C'est comme si on n'avait rien fait.»

E : «C'est comme si on avait fait e.»

M : «Essayez d'écrire cela.»

Les enfants n'étant pas habituées à manier des éga~

lités, beaucoup ne proposent rien. Une fillette écrit cepen- dant au tableau:

a a

=

^e

M demande alors de compléter d'autres égalités:

a b = ? b b = ? etc.

Quand on commence à en avoir plusieurs, M suggère de les consigner dans une table à double entrée qu'elle prépare au tableau. Les enfants, non habituées à ce type de présentation, éprouvent des difficultés à la simple lecture de la table, ne sachant pas dans quelle case elles doivent écrire, par exemple, le c de :

ab

=

^c

Ces difficultés provisoirement surmontées, les élèves remplissent toutes les cases et font des remarques:

- a b ça fait la même chose que b a (intuition de la commutativité),

- dans les lignes et les colonnes du e on a les mêmes lettres que dans les marges (e est élément neutre), - sur la diagonale il n'y a que des e (chaque élément

est à lui~même son propre symétrique).

Aucune intuition de l'associativité, celle-ci n'étant pas

e c ,b

1 1

a

~

l:':~

position de départ

, , , ,

~ ~~

M entraîne les élèves à effectuer ces déplacements, déjà à partir de la position conventionnelle de départ puis à partir de n'importe quelle position. Quand les enfants semblent à l'aise dans ces manipulations, M poursuit:

M : « On reprend la position de départ, on fait a et encore a, qu'est-ce que ça fait?"

directement décelable sur la table de composition. Cette table est vite connue par cœur par les enfants qui ont remarqué: "quand on prend deux lettres autres que e, il y en a une qui reste et c'est celle-là qu'il faut mettre dans la case du tableau ",

M : «Maintenant nous avons a et une lettre qu'on ne

conn ait pas, on va mettre x, on sait que: a x :::::: b, qui peut dire quelque ·chose sur x? ..

E: «x :::::: C, on le trouve dans le tableau si on ne s'en souvient plus...

D'autres équation simples sont facilement résolues par les enfants.

La deuxième séance a lieu quinze jours plus tard.

Après un rapide rappel de ce qu'on avait désigné par

a,

b,e, c la première fois, les élèves ont facilement recons- titué la table de composition des déplacements. Elles se souvenaient très bien des diverses remarques faites à propos de ceUe table. La séance a été presque entière- ment consacrée à des résolutions d'équations dans ce groupe. Les enfants ont découvert que, dans le cas où on compose plusieurs déplacements Identiques, le résul- tat est ce déplacement si leur nombre est impair et e si leur nombre est pair.

Pour x x :::::: a, elles ont eu tendance à donner deux valeurs différentes à x pour que cela soit possible et n'ont accepté que difficilement qu'il n'y ait pas de solu- tion.

Pour x x == e, en confrontant mutuellement leurs réponses, les élèves ont trouvé les quatre solutions:

x a

x ;::;: b x ;::;: c x ::; e

Le préMtest avait eu lieu au cours de la deuxième quinzaine de février, l'enseignement s'est effectué en deux séances d'une heure à chaque classe du groupe expéri- mental, en avril, enfin le post-test a eu lieu au cours de la première quinzaine de juin.

3) Résultats:

Les stagiaires ont procédé pour chacun des trois tests à des comparaisons de fréquences. AttachonsMnous tout d'abord à l'épreuve de coordination des couples puisque, en tout état de cause, c'est la seule qui ait un lien direct avec le groupe de Klein. Pour répartir l'effectif en deux classes: réussites et échecs, ils ont utilisé la médiane de la distribution de l'ensemble des deux groupes qui se trouve être sensiblement la même pour [e préMtest et le post-test. Elle est située entre les scores 3 et 4 (le barème de notation permettait des scores allant de o à 13). L'épreuve statistique de comparaison de fréM quences entre le GE et le GT par un calcul de khi deux donne un résultat non significatif tant pour le pré-test que pour le post-test. L'épreuve de comparaison des résul~

tats du pré-test et du posHest à l'intérieur de chaque groupe aboutit également à un khi deux non significatif.

La médiane étant située à la même hauteur dans les différentes distributions, on pouvait s'attendre, en prati- quant là la coupure, à des khi deux non significatifs.

C'est pourquoi F. Longeot a suggéré de recommencer les calculs en coupant cette fois entre les scores 5 et 6, la coupure correspondant au seuil où l'enfant passe du stade concret à un stade postérieur au stade concret.

Voici le tableau ainsi obtenu:

Coordination des couples

GE GT

préMtest r.:>st-test pré·test

!

^.)OSHdst

Stade concret

...

34 30 35 33

Stade postérieur

au stade concret ... 9 13 6 8

Totaux

...

'3 43 41 41

Les comparaisons de fréquences calculées à partir de là donnent des valeurs dukhideux un peu plus élevées mais sans qu'aucune n'atteigne toutefois le niveau de signification, même au seuil de .10. Manifestement on ne peut rien conclure sinon que l'enseignement du groupe de Klein n'a apparemment pas eu d'effet sur les perfor- mances à l'épreuve de «coordination des couples ".

Il en va de même pour les autres épreuves. Aucun des calculs portant sur des comparaisons de fréquences n'a abouti à une valeur du khi deux qui soit significative à un seuil convenable. Finalement, l'intérêt de cette cOUM pure est dévié sur une comparaison entre les trois épreu- ves qui met en évidence des décalages sensibles d'acces- sion aux stades préformel et formel comme le montrent les tableaux ci-dessous:

Quantification des probabilités

GE GT

préMtest post·test p'é-t." ¹po"-""

Stade concret '2

---

"

- - - -^{41 40}

Stade postérieur

au stade concret 1 1 0 1

- - - -

Tolaux 43 43

"

⁴¹

Logique des propositions

GE GT

pré~test post-test pré-test post~test

Stade concret

...

29 24 27

---

22

Stade postérIeur

'"

stade concret

...

14

,.

¹⁴

,.

Totaux

...

43 43 41 41

Il. - PRODUIT CARTÉSIEN

Ce travail a été intitulé: « Etude de l'effet d'un entraî- nement scolaire du produit cartésien sur le stade opéra- toire auquel se trouvent les enfants" par les deux stagiaires psychologues scolaires (3) qui en ont fait leur

« mémoire". L'échantillon a été constitué de 73 enfants (36 filles, 37 garçons) d'une école primaire de la banlieue de Grenoble répartis en quatre classes de C.M. 1. Les âges s'échelonnaient de 9 ans à 11 ans 10 mois. Le partage de la population en deux groupes comparables a été effectué à partir des résultats au pré-test. Le groupe expérimental (GE) comprend 37 élèves et le groupe témoin (GE) en comprend 36, garçons et filles étant harmonieuse- ment répartis entre les deux.

1) Epreuves:

Quatre épreuves ont été choisies pour ce travail:

matrices intersection

combinatoire avec des chiffres combinatoire avec des jetons.

a) Matrices:

On soumet à l'enfant huit dessins représentant:

- deux hommes: • un bOcheron

• un monsieur avec un cartable deux dames "une dame qui fait les commissions

• une élégante qui se promène deux garçons • un garçon accroupi jouant aux billes

• un garçon revenant de ['école deux filles • une fille sautant à la corde

• une fille avec une balle

, Ces dessins sont présentés mélangés, en tas, devant Jenfant. Il s'agit pour lui de distribuer librement ces images en quatre classes, puis en deux classes et à

(3) Mlle Auzan et Mme Riboud.

nouveau en deux autres classes. On considère, en effet, que les personnages peuvent être classés selon deux critères différents: J'âge et le sexe. Les questions sont ainsi posées:

oc Fais quatre tas avec tous les dessins en mettant ensemble ceux qui vont bien ensemble."

ocMaintenant, fais deux tas avec tous les dessins en mettant ensemble ceux qui vont bien ensemble."

oc Refais autrement. fais deux autres tas en mettant ensemble ceux qui vont bien ensemble."

A ['issue de chaque classification, on demande à l'enfant: «Pourquoi as-tu mis ces images ensemble?"

en montrant chaque tas.

b) Intersection:

On présente à l'enfant, d'une part une rangée de des^w sins d'objets verts (une tulipe, un livre, une poire, une casquette) et, d'autre part, une rangée de feuilles d'arbres de couleurs différentes (jaune, rouge, marron, orange).

L'une des rangées est perpendiculaire à l'autre, selon la disposition ci-dessous:

vert

jaune marron rouge orange Il s'agit de remplir, en imagination, la case vide (point de jonction des dessins), c'est-à-dire de choisir un élé- ment commun aux deux classes. Après la passation de la première épreuve, on contrôle la réponse de l'enfant en lui présentantà nouveau un matériel presque identique (une rangée d'objets jaunes et une rangée de fleurs de diverses couleurs). On lui demande de justifier son choix.

c) Chiffres:

On présente à l'enfant une quarantaine de cartes

(une dizaine portant le chiffre 1, une dizaine d'autres le 2, une dizaine le 3 et d'autres le 4). Ces cartes sont dispo- sées devant l'enfant en quatre tas espacés et dans l'ordre:

, 2 3 4

On dit à l'enfant: «Avec deux de ces cartons tu peux faire un nombre de deux chiffres. Tu vas essayer, avec ces chiffres, d'écrire tous les nombre différents ayant deux chiffres chacun." Après avoir laissé travailler l'en- fant, on lui pose des questions du genre: «Est-ce que tu les as tous? Pourquoi?»

d) Jetons:

Cinq tas de jetons, alignés, assez espacés, sont posés sur la table devant l'enfant: un rouge, un bleu, un jaune, un vert, un blanc. On dit à l'enfant: «Avec ces jetons, tu vas faire tous les couples de deux couleurs différentes ne se répétant pas.» On lui pose le même genre de questions que dans l'épreuve précédente, quand il a terminé son travail.

Pour la détermination du niveau, les stagiaires ont utilisé une notation en trois stades: 0, l, Il, le stade 1 illustrant le stade opératoire concret, le stade Il définis- sant le début des opérations formelles:

- le stade 0 : est caractérisé, dans chaque épreuve, par un score inférieur à celui qui autorise la classification au stade 1 ;

le stade 1: correspond:

9 pour les matrices, à la réussite complète

• pour les intersections, à la réussite complète éga~

lement

• pour les chiffres, à la construction de tous les nombres, sans méthode apparente

• pour les jetons, à la découverte des 10 couples sans méthode apparente;

le stade Il : correspond pour les chiffres, comme pour les jetons, à la réussite complète avec une méthode systématique.

Signalons que l'ordre de passation a été le suivant:

1. Matrices, 2. Chiffres, 3. Intersection, 4. Jetons.

2) Entraînement (groupe expérimentai):

L'enseignement a consisté, là aussi, en deux séances d'une heure. En voici les principales étapes:

M : «On va dessiner des petits bateaux. On a le droit de prendre une coque bleue, une coque rouge, une coque verte. On a droit à une voile noire et à une voile jaune.

Pour chaque bateau, il faut une coque et une voile. Sur voIre feuille, dessinez tous les bateaux possibles.,.

E: «Est-ce qu'on peut prendre plusieurs fois la même coque?»

M : «On peut prendre plusieurs fols la même coque ou la même voile mais on n'a pas le droit de répéter plu- sieurs fois le même bateau."

Cette explication a' été suffisante pour permettre à la quasHotalité des élèves de dessiner les 6 bateaux.

M : «Essayez de disposer les bateaux pour qu'on com- prenne bien comment on les a tous trouvés. »

Un élève vient au tableau proposer la diSposition ci~

dessous:

Aussitôt après, un autre vient dessiner "une autre façon» (disposition verticale).

M : «Pour qu'on voie bien les lignes et les colonnes, qua pourrait-on faire?»

E: «Un tableau» et cet élève vient le tracer au tableau, sur l'exemple précédent.

M efface alors tout ce qui se trouve dans les cases du tableau en ne conservant que le cadre et les marges et, montrant successivement quelques-unes des cases:

«Quel bateau mettrait-on ici? Pourquoi? Et là? etc.»

M propose ensuite aux enfants de compléter, toujours avec les mêmes bateaux, un tableau où, seules, deux cases sont remplies.

L'exercice suivant porte sur un ensemble de trois vases et un ensemble de trois fleurs. Les élèves sont invités à fnire tOlIS les dessins d'«un vase avec une fleur" possibles. La première séance s'achève sur la reconstitution, avec les mêmes éléments, d'un tableau incomplet pour lequel Il se trouve qu'il y a deux solutions.

La deuxième séance commence par un rappel du travail précédent avec, cette fois, la constitution de petites maisons à l'aide d'un mur (de 3 couleurs au choix) et d'un toit (de 4 formes possibles).

M, avant que les enfants ne commencent les dessins:

«Avez-vous une idée du nombre de maisons que vous allez construire?"

E: 12

M : Pourquoi?

E : «A chaque mur on pourra mettre 4 toits différents, ça fait en tout 3 fols 4 maisons, douze maisons.»

M : «Autre chose, maintenant: c'est la fête, des filles et des garçons vont danser ensemble. Il y a 5 filles: Isa- belle, Françoise, etc. et 4 garçons: Michel, etc. On va mettre un garçon avec une fille. Maintenant on ne fait plus de dessins, on écrit. On met le garçon d'abord.l '

M interroge les élèves sur le nombre de choix de chaque danseur, précise les conventions d'écriture et demande d'écrire tous les couples.

Il y a deux types de réponses, suivant que [e tableau a été présenté «horizontalement» ou «verticalement", la plus fréquente ayant été la première. Les couples ont été écrits correctement.

M propose ensuite un tableau à compléter dans une autre situation: Il y a un ensemble d'enfants désignés par des lettres et un ensemble de jeux repérés par des numéros, il s'agit d'écrire tous les couples (un enfant, un jeu). Deux exercices rapides terminent la séance et visent à contrôler que tous les enfants savent trouver le nombre de couples, éléments du produit cartésien de deux ensembles, dès qu'ils connaissent le nombre d'élé- ments de chacun de ces ensembles.

Le pré-test a eu lieu fin février-début mars 1971, la première séance d'entraînement s'est déroulée fin mars et la deuxième, quinze jours plus tard, en avril. Les enfants ont été soumis au post-test fin mai-début juin 1971.

3) Résultats:

Voici le tableau d'ensemble des résultats:

Groupe Groupe

Epreuves Stades témoin expérimental

pré-test post-test pré-teilt po:::t~test

Matrices 0 25 22 24 18

1 11 14 13

"

Intersection 0 21

,.

²²

---

¹⁸

1 15 17 15 19

Chiffres IJ01 ₁₈

• •

₂₁^{78 1013}_{14 25}⁶⁶

- ^{- - -}

Jetons 0 7 5 10 7

1

"

^{11 15 14}

"

^{15 20 12 16}

..

-

Rappelons que pour les épreuves (, Matrices" et

" Intersection ", le stade 1 représente la réussite complète,

tandis que cette même réussite est sanctionnée pour les épreuves «Chiffres" et «Jetons .. par le stade II.

Apparemment, les deux groupes semblent avoir pro- gressé entre le pré-test et le post-test pour les quatre épreuves. En ne tenant compte que des réussites complè~

tes, les «gains~ entre le pré-test et le post-test sont les suivants:

Epreuves Groupe Groupe

témoin expérimental

Matrices + 3 + 6

Intersection + 2 + 4

Chiffres +3 +11

Jetons + 5 + 4

Oans ['ensemble des épreuves, on constate que les enfants du Groupe Expérimental ont progressé en plus grand nombre que ceux du Groupe Témoin, en particulier à l'épreuve «Chiffres ...

Ces progrès sonHls dus au hasard ou sont-ils signi- ficatifs ? Les deux stagiaires ont procédé, pour chacune des quatre épreuves et chacun des deux groupes, à une comparaison de fréquences aboutissant au test statistique du khi deux. Sur les huit calculs ainsi effectués, sept conduisent à un khi deux non significatif, même au seuil de .10. La seule excepton concerne le GE, pour l'épreuve des Chiffres, où le khi deux obtenu: 5,26 est significatif à .05. Quant aux différences entre le GT et le GE au post-test, elles ne sont significatives pour aucune des épreuves. L'effet de l'entraînement qui apparatt pour l'épreuve des Chiffres n'a donc pas été suffisant pour différencier les deux groupes.

III. - COMMENTAIRES

A) POINT DE VUE DE COLETTE HUG 1) Sur la méthode s,ulvIe:

La brièveté de l'entraînement a nui à ces deux tra- vaux et plus particulièrement au premier. Si l'enseigne~

ment a été suffisant pour permettre aux enfants de résou~

dre allègrement des équations dans le groupe de Klein, il a été trop bref pour leur donner de cette structure une maîtrise assez grande pour autoriser des transferts aussi lointains que ceux qui étaient demandés dans les épreu- ves. Dans le deuxième cas, cet inconvénient a été mini- misé. En effet, j'avais initialement prévu de présenter aux enfants directement la notion de couple et de produit cartésien comme il est tout à fait possible de le faire au niveau du C.M. 1. Mais lorsque j'ai pris connaissance du détail des épreuves et que j'ai pu mesurer à quel pornt

elles faisaient plus appel à des paires qu'à des couples, il m'a semblé nécessaire de reconsidérer mon projet d'enseignement. J'ai alors tout simplement opté pour la voie que nous abordons couramment avec les tout-petits dans les classes expérimentales. Il s'ensuit que la pré- sentation qui a été faite était très élémentaire pour des élèves de C.M. 1. Ils ont d'ailleurs suivi très aisément.

En deux heures iL a été faclle de faire acquérir à ces enfants ce qU'acquièrent en quelques séances des petits du C.P. ou du C.E.

L'analyse des résultats est décevante car l'outil sta- tistique choisi ne semble pas adapté à l'objet auquel on l'applique. Ce qui frappe en regardant ces résultats, c'est la cascade de « non significatif ". La comparaison de fréquences et l'épreuve du khi deux ont l'inconvénient, dans des cas comme ceux-ci où les variations sont minimes, de fondre l'ensemble des résultats et d'effacer les éventuelles aspérités de la distribution. Pour essayer d'y voir un peu plus clair dans ce qui s'est passé, il peut être intéressant d'examiner les résultats de chaque enfant du Groupe Expérimental au pré-test et au post-test afin de mettre en évidence leur «gain" ou leur «perte ".

Pour l'épreuve de coordination des couples, par exemple, alors que l'ensemble des gains est de 42 points et le total des pertes de 39 points seulement, l'examen détaillé montre qu'il n'y a que 15 enfants qui ont gagné pour 19 qui ont perdu, comme le fait apparaître l'histogramme ci-dessous:

Coordination des couples. G,E. (43 sujets)

« Gains» et «pertes .. entre le pré-test et le post-test.

10 9 B 7 6 5 4 3 2

o 1

-7-6-5-4-3-2-10 +1+2+3+4+5+6+7+8

Si la distribution est, en gros, normale, elle culmine du côté des pertes, ce qui tendrait à montrer, si effet il y a eu, que cet effet a plutôt été négatif...

Il convient de signaler encore un point qui concerne la deuxième recherche et qui a, d'ailleurs, été soulevé par les stagiaires: après le pré-test, les enfants ont pu

s'entrainer tout à loisir à ('épr,e.lJve des chfffres et, dans une moin'dre mesure, à celle des jetons. En effet, pour cette dernière Il faut du, matériel mais pour les chiffres on n'a besoin de rien d'autre que d'un papier et d'un crayon ét la consigne est des plus taclles à mémoriser.

On' peut même aller plus loin, Non seulement les enfants ont pu s'amuser à chercher la solution en dehors du temps d'épreuve mais ils ont pu s'entr'aider abondam- ment lors des passations, C'est l'inconvénient des tests aux consignes trop faciles à retenir lorsqu'ils doivent être soumis, individuellement, à une population d'enfants qui ont, à côté, tout le loisir d'en discuter librement. Cela pourrait expliquer à la fois le nivellement des résultats entre les deux groupes au post-test et la supériorité des progrès aux épreuves «chiffres» et «jetons", les deux autres étant, du fait des Images, moins facilesà rapporter.

Il ressort de tout cela que ces deux expériences n'ont pas pu vraiment atteindre leur but. Mais elles sont intéres- santes surtout par la confrontation qu'elles introduisent entre l'aspect mathématique et l'aspect génétiqueà propos d'une même structure.

2) Sur l'adéquation entre les épreuves et l'entraîne- ment:

A l'origine il n'avait été question que d'épreuves construites à partir de la structure choisie. L'extension du thème de recherche au stade opératoire correspondant à ces épreuves a provoqué l'adoption d'autres épreuves.

Il importe de voir comment les unes et les autres se situent par rapport au côté mathématique de ces investi- gations.

a) Epreuves en rapport avec J'entralnement mathé- matique:

Coordination des couples (Groupe de Klein)

Dès que le test des magasins a été choisi, j'ai décidé d'éviter de présenter le groupe de Klein à partir d'une situation trop voisine de celle de ce test. C'est pourquoi j'ai éliminé, en particulier, la présentation de ce groupe à l'aide des «machines» (opérateurs) à changer la forme, la couleur, etc... Je me suis reportée sur les isométries du rectangle dont le ( dispositif» est bien distinct de l'autre. L'ensemble considéré est t'ensemble des quatre

«déplacements" a, b, c, e, chaque déplacement étant, en fait, une bijection de l'ensemble des sommets du rectangle sur lui-même. Muni de la loi de composition des bijections, li a une structure de groupe commutatif qui, de plus, présente la particularité que chaque élément est à lui-même son propre symétrique. Il s'agit bien d'un groupe de Klein.

Même chose pour la «coordination des couples» où, soit dit en passant, li ne s'agit pas de couples au sens mathématique du terme mais des bijections de l'ensemble

des quatre fleurs sur lui-même. L'ensemble de ces bijec- tions appelées «magasins^{\0> :} l, G, D, C, muni de ta toi de composition des bijections, a également une structure de groupe de Klein. Voici les tables de chacun de ces deux groupes:

La similitude entre les deux situations, sur le plan :nathématique, va, même plus loin que l'isomorphisme entre ces tables. Dans l'un et l'autre cas, en effet, il 3'agit d'opération (loi de composition des biiejCtiOns) da~s

un ensemble (respectivement {e, a, b,

cl

^{et l, G, C, 0}

^P

dont les éléments agissent sur un autr ensemble (res- pectivement : l'ensemble des 4 sommets du rectangle et l'ensemble des 4 fleurs).

La divergence entre les deux situations, sur le plan pratique, est que les enfants n'ont pas été amenés à travailler au même niveau. A aucun moment, dans l'épreuve des magasins, ils n'ont été invités à composer des bijections même si cela pouvait être demandé avec un autre vocabulaire. Toutes les questions portent sur l'échange entre une fleur et une autre, c'est peut-être d'ailleurs pour cela que l'épreuve a été appelée impro- prement «coordination des couptes". l'attention des enfants a été presque exclusivement attirée sur les fleurs quand elle n'a pas été détournée ailleurs. Je pense, par exemple, à l'influence perturbatrice de phrases comme celles-ci dans les consignes (nous n'avons présenté plus haut qu'un aperçu des consignes et non le texte complet) : «A présent, le magasin D est fermé, comment

fais~tu?» si «Je ne peux pas .., dire «Quand tu vas à l'école et que ta route est barrée, que fais-tu? - un détour 1 Eh bien, essaie ici de' faire un détour!" Même sans insister sur le côté non dépouillé de ces invitations qui tendent à éloigner l'enfant du domaine dans lequel on voudrait le placer, il faut bien reconnaitre que cette épreuve présente une différence de fond avec ce qui a été enseigné.

Au cours des deux séances de mathématiques sur le groupe de Klein, le «dispositif" n'a été utilisé qu'assez peu, au début. juste pour donner une illustration

!

^{e a b c}

e e a b c

a ^a e c b

b b c e a

c c b a e

Î

^{1 G C 0}

r 1 G C D

,

G G 1 0 C

C C 0 1 G

0 0 C G 1

à la structure abordée. Cette Illustration n'était d'ailleurs pas nécessaire pour "étude mathématlque du groupe. On aurait très bien pu le présenter sans le moindre habillage

« concret ... J'en avals pris un pour rester plus près du modèle de l'épreuve des magasins. Toutes les questions posées aux enfants ont visé exclusivement à les faire travailler dans le groupe, c'est-à-dire lei, à composer des bljectlons. Pour mettre en relief la distinction entre les deux plans auxquels a été situé le travail dans les deux cas, disons que si j'avais procédé comme pour l'épreuve des magaslns, j'aurais da faire regarder les coins du rectangle et poser des questlons du type: «Le coin en haut à gauche, je voudrais qu'il soit en bas, à droite, quel déplacement je dols faire?.. et si la réponse était c: «Le mécanisme du déplacement c ne marche pas, comment peut-on faire autrement?^Il

A mon avis, ce genre de question fait appel à autre chose qu'à la simple possibilité de composer des bijec- tions. Et pour qu'une compétence, aussi indiscutable soit- elle, dans ce dernier domaine, aide à répondre sans entraînement spécifique à des questions de ce type, il me semble indispensable qu'elle aille de pair avec le pouvoir de «dépouiller.. les situations proposées. Assez peu d'élèves de notre échantillon ne possédaient ce pouvoir qui semble relever du stade formel classique. Cette inter- prétation pourrait expliquer à la fois que la majorité d'entre elles aient été classées pour cette épreuve au stade concret et que l'entraînement mathématique à une opération de groupe n'ait pratiquement pas eu d'effet sur des échanges de fleurs, même régis par le même groupe.

Chiffres (Produit cartésien)

Rappelons que «deux ensembles E et F étant donnés, on appelle produit cartésien de Epar F l'ensemble des couples (x, y) où x appartient à E et y appartient à F".

Seule l'épreuve des chiffres mettait en œuvre la structure de produit cartésien. Encore cela concernait·11 un cas particulier, celui du produit cartésien d'un ensemble par lui-même, en l'occurrence lei, l'ensemble des chiffres 1, 2, 3, 4. Ce cas n'est pas premIer chez. l'enfant et it est probable que les élèves auraient mieux réussi à un pro- duit cartésien de Epar F avec E différent de F. Par ailleurs cela aurait mieux correspondu à l'enseignement donné. Mais peu importe, l'épreuve des chiffres et l'entraî- nement mathématique reposaient sur la même structure et ont été abordées au même niveau, c'est là l'essentiel.

Ce n'est donc pas un hasard si cette épreuve est la seule pour laquelle les progrès du Groupe Expérimental ont été significatifs.

b) Autres épreuves:

Les deux autres épreuves utilisées avec l'entraînement au groupe de Klein n'avaient rien à voir, du pol nt de vue

mathématique, avec ce groupe. Elles devaient simplement permettre de situer le niveau opératoire des enfants. (f

reste qu'on peut s'Interroger sur leur contenu mathéma- tique.

Quantification des probabilités

Il s'agit, Ici, du rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles. Noto'ns que cette épreuve est la plus sévère pour le partage des enfants selon les stades puisqu'elle les situe presque tous au stade concret.

logIque des propositions

Les trois derniers raisonnements sont donnés comme caractérisant le stade formel classique. Or celui-ci doit aller de pair avec le «groupe INRC ". On sait que ce groupe a une parenté de structure avec le groupe de Klein. Il se trouve, pourtant, que l'entraînement n'a eu aucune influence sur les résultats à cefte épreuve. Nous nous y.attendions, d'ailleurs. En effet, le groupe 1 N R C sert aux psychologues généticiens à décrire un mode de pensée révélateur d'un certain niveau mais, en général, sa structure de base n'est pas présente dans les épreuves correspondant à ce niveau. En tout cas, elle ne l'est pas ici.

Il s'agH d'une épreuve de déduction pour laquelle on ne voit pas très bien, d'ailleurs, quelle peut être la démarche des enfants. Ils n'ont reçu aucune initiation au modus tof/ens ou â la négation de la disjonction. Hs ne possèdent donc pas les outils nécessaires. Comment pour- raienHls procéder, sinon empiriquement, avec une cau- salité dans Je vague et le flou? L'épreuve semble plutôt de nature à révéler un certain «flair ...

Cette remarque est susceptible d'éclairer le fait, noté par les deux stagiaires à propos de Jeur expérIence, Que cette épreuve ait donné des résultats non homogènes avec ceux des autres tests en ce qui concerne le stade formel. Alors que pour la «coordination des couples» il y avait relativement peu d'enfants ayant dépassé le stade concret et encore moins pour la «quantification des pro~

babilités ", il Y en avait presque la moitié pour la «logi- que des propositions ". Nous avons remarqué, en outre, que certains sujets, très bien classés dans les deux pre~

mières épreuves étaient situés presque en bas de l'échelle dans cette épreuve et inversement.

D'autres chercheurs ont signalé des décalages du même type, ce qui renforce la remarque. A propos des moyennes obtenues aux épreuves de développement logi- que chez des enfants qui ont ou n'ont pas bénéficié de pédagogie moderne des mathématiques, ils constatent;

« Une évidence ressort de la lecture de ce tableau, celle de l'inégalité de fa relation entre fa durée d'application de la pédagogie moderne et chacune des épreuves logi-

ques. CeUe relation est très marquée pour les Combina- toires, Inexistante pour (a logique des Propositions (4) ...

A mOn avis, l:m peut émettre les hYPothèses explicatives suivantes: tout d'abord, les élèves ayant bénéficié de la pédagogie moderne ont presque à coup sOr été Initiés aux activités combinatoIres, d'où un effet probable d'en- trainement. Mais ce n'est pas tout. L'épreuve Combina- toires peut révéler des possibllités d'organisation logique de la pensée. Tandis que l'épreuve de Logique des Pro- positions, en l'absence de règles, ne peut pas jouer ce rôle. Les mêmes chercheurs annoncent un peu plus loin:

«Nous avons ici une variation significative, celle de la Logique des Propositions, mais elle concerne un écart dans lequel l'échantillon témoin a un progrès supérieur à l'échantitton expérimental (5)... Cette constatation s'accorde avec ce que'- nous avons avancé plus haut.

Il convient également d'examiner les trois autres épreuves utilisées avec le produit cartésien pour volr ce qu'elles représentent sur le plan mathématique.

Matrices

L'épreuve dite « matrices .. n'a rien à voir avec les ma- trices en mathématiques. Sans doute ce terme est-il utilisé au sens du langage courant, toutefois il risque d'introduire une ambiguïté. Il s'agit, dans cette épreuve, d'une situa- tion de tri comme on en propose couramment dans les écoles maternelles. Encore celle~ci n'est-elle pas ce qu'il est Convenu d'appeler une «bonne^Il situation de trI. En effet, perceptlvement, il y a 4 catégories d'individus. Le choix des attributs n'est pas des plus heureux: il est difficile pour un enfant de prendre les grands et les petits d'après ce genre d'images; plus difficile encore de sépa- fer selon les sexes car dans la vie courante, en Europe occidentale du moins, il n'y a guère de situation comme celle-là. Les stagiaires ont bien remarqué que les attributs imposés n'étaient pas prégnants et qu'II existait de mul- tiples partages possibles. Certains enfants

ont

mis d'un côté les personnages qui portent quelque chose et de l'autre ceux qui n'ont rien dans les mains, d'autres ont fait des familles (un homme, une femme, un garçon, une fille), etc. Les situations de tri constituent habituellement des initiations aux classifications mathématiques et aux relations d'équivalence.

Du point de vue mathématique, on n'est donc pas là dans le domaine du produit cartésien. Or, du point de vue psychologique, certains voient, au contraire, une parenté entre l'épreuve des chiffres (produit cartésien) et l'épreuve

(4) J. Pelnard·Considère et J. Levasseur, Pédagogie nouvelle en mathématiques et développement Intellectuel. - ln Revue Française de Pédagogie, NI> 23, avril·mai-jufn 1973, p. 14.

(5) Ibid .• p. 20.

des matrices (situation de tri) parce qu'elles nécessjte~t toutes deux «ta structure de groupement de la muttipll~

cation bi:-univoque du stade opératoire concret... Oette difficulté de vocabulaire illustre les problèmes de langage auxquels on est con1ronté du fait de la distanceent~eles concepts mathématiques et les concepts psychologiques.

Le passage des termes d'un domaineà l'autre est souvent source de confusion.

Intersection

L'épreuve appelée «intersection~ se situe égale.me~t au niveau perceptif. Du point de vue mathématique II n y a pas grand~chose dessous. Il n'y a pas, à proprement parler de notion ensembliste donc pas d'intersectiond'en~

sembl~. Ces deux rangées de dessins ne constitueraient d'ailleurs pas un bon préalable aux ensembles du fait que toute l'attention est attirée sur l'attribut commun. Or les éléments d'un ensemble n'ont pas d'attribut commun sinon d'appartenirà cet ensemble. La disposition contraignante et trop chargée ne se prêterait guère non plus à une initiation aux paires (une forme, une couleur). Pas plus que les «matrices» cette épreuve ne semble susceptible de révéler une compétence mathématique ou d'être faci- litée par une telle compétence.

Jetons

L'épreuve des jetons qui a l'air très VOisine de celle des chiffres est en réalité bien distincte de celle:CÎ SUT

le plan matttématique. On a un ensemble de 5 couleurs, il s'agit de former toutes les paires de couleurs possibles.

Rappelons qu'une paire est un ensemble de deux éléments (pas d'ordre entre les deux éléments) alors qu'un couple est ordonné. Avec deux. éléments a et b, on a une seule paire: {a. b} := {b, a} et deux couples (a, b) ~ ^{(b, a).}

Cette épreuve est la recherche de toutes les parties à deux éléments d'un ensemble à cinq éléments. L'enfant qui vient d'acquérir une méthode à propos du produit cartésien et qui croit qu'il s'agit ici de la même chose est plutôt gêné. Les stagiaires l'ont remarqué dans un certain nombre de cas.

Les épreuves en jeu, ici, ne sauraient définir, à elles seules, les stades opératoires, toutefois, eUes y partici- pent. Dès lors qu'on s'interroge sur l'effet éventuel d'un entraînement mathématique sur la compétence révélée par ces épreuves, il est légitime de se demander quelle part de cette compétence relève des mathématiques et quel éclairage cela donne sur le stade génétique corres- pondant. L'essai d'analyse ci~dessus n'avait pas d'autre but.

Qu'on le veuille ou non, il faut bien reconnaître qu'entre la progression de la formation mathématique et la succession des stades opératoires, les points de jonc-

tion sont loin d'être toujours clairement définis.- Pour une recherche aussi modeste que celle relatée cl-dessus, nous avons vu que sur 7 épreuves, une seule présentait une réelle parenté avec l'entrainement mathématique _corres~

pondant. Les autres épreuves apparaissent si étrangères à l'enseignement donné qu'on 'imagine mal en quoi elles auraient pu en être influencées. Nous n'ignorons pas que le caractère ponctuel de la recherche a renforcé cet aspect. Une Investigation du même type mais portant, cette fols, sur des années d'enseignement expérimental.

aurait probablement moins sou1fert de la non-adéquation entre les épreuves et la formation mathématique. Encore que la disparité entre les deux puisse resurgir comme on l'a vu à propos de la recherche évoquée p. 15.

pour que ce genre d'investigations soit plus valide, il conviendrait d'approfondir les questions de vocabulaire afin de parvenir, au moins sur certains points, à un lan~

gage commun dépourvu d'ambiguïté. Il Y a là, n'en dou- tons pas, «du paÎn sur la planche1>. tant pour les ensei- gnants de mathématiques que pour les psychologues généticiens.

Bl POINT DE VUE DE FRANÇOIS LONGEOT a) Epreuves en rapport avec l'entralnement mathématique

(coordination de coupfes et chiffres).

S'il faut toujours employer le langage mathématique pur des leçons pour espérer que les enfants comprennent les nouvelles situations qu'on leur présente, c'est que J'enseignement n'est pas immédiatement généralisable, contrairement à ce que l'on affirme parfois. Remarquons d'ailleurs qu'on ne change le langage et qu'on ne parle de «détoursl> dans l'épreuve dite de coordination de couples qu'après l'échec initial du sujet qui n'a pas pu reconnaître la similitude des deux situations (celle de la vitre et celle de l'échange des fleurs).

Le dépouillement du langage et des situations mathé- matiques est sans doute souhaitable dans l'enseignement.

On ne saurait ex.iger que l'univers physique et social de l'enfant respecte un tel dépouillement. Dans sa vie quoti- dienne non scolaire et même dans ses activités scolaires non mathématiques l'enfant rencontre des situations qui l'obligent à raisonner. Le psychologue pose la question ainsi: pourra-t-il mathématiser, raisonner sur ces situa- tions imprévues mais réelles? La transitivité, par exempte, peut être acquise grâce à un enseignement mathéma- tique pur, mais l'enfant s'en servira-t-il pour comprendre des phénomènes physiques tels que la transmission médiate d'un mouvement (une bille vient frapper la pre- mière de trois billes accolées et seule la troisième part) ? Les études de psychologie génétique montrent que lors- qu'on n'enseigne pas spécialement cette notion logique

l'enfant la _const~uiten passant par certains stades et peut ensuite l'utiliser dans des situations diverses. Oes recher~

ches du genre de celle qui est présentée Ici montrent que si les notions sont enseignées à des enfants qui ne les ont pas encore élaborées par eux-mêmes, elles ne peuvent pas être employées en dehors du cadre scolaire et de ses situations mathématiquement pures.

On a parfois justifié la réforme des mathématiques en invoquant l'importance grandissante dans le monde moderne du pouvoir de mathématiser ou de formaliser les situations. C'est déjà un résultat intéressant de savoir que l'enseignement rénové des mathématiques ne permet pas aux enfants de mathématiser mieux et plus rapidement le réel, que cette formalisation du réel ne s'accomplit pas directement à partir de l'enseignement. Ce dernier n'ap~

prend pas à passer du monde intelligible des idées pures au monde sensible dans lequel s'exercent à tous moments nos activités intellectuelles. le problème qui se pose à la psychologie génétique de l'intelligence est d'établir les conditions qui permettent aux enfants de progresser dans leur compréhension logique des situations réelles ou pro- ches du réel. C'est à cette étude qu'est consacré par exemple l'ouvrage d'Inhelder (B), Sinclair (H), Bovet (M) : Apprentissage et structure de la connaissance (P.U.F., 1974).

b) Autres épreuves

La quantification des probabttltés est pour l'essentiel une épreuve de propo.rtionnalité. On peut montrer que les proportions, quand elles sont présentées sous cette forme d'un rapport à établir entre deux rapports de cas favo~

rables à des cas possibles, mettent en jeu des raisonne- ments dont la structure est le groupe INRC. L'impression contraire provient de ce que la démonstration qu'en donne Piaget, dans De la logique de l'enfant à ra logique de l'adolescent, n'est pas satisfaisante.

Une fois admis ce point, il reste à en signaler deux autres concernant la structure de groupe INRC, iso~

morphe à celle du groupe de Klein: 1) elle est moins faciiement reconnaissable dans les proportions et par conséquent elle ne pourra pas être utilisée par l'enfant si celui-ci ne l'a acquise que scolairement au lieu d'en disposer déjà pour l'avoir construite en dehors d'un ensei~

gnement spécialisé; 2) d'après les travaux de Piaget, elle est décalée génétiquement (stade formel) par rapport au groupe de Klein (stade concret) parce qu'elle consiste psychologiquement en opérations sur des opérations (négation de la réciproque ou réciproque de ia négation), c'est-à-dire en une coordination des deux formes de réversibilité opératoire, ce qui n'est pas le cas du groupe de Klein. Les deux groupes sont mathématiquement parents puisqu'ils sont isomorphes mais ils sont psycho~

logiquement fort différents.

La logique des propositions pose effectivement un problème dans notre expérimentation. Sur le plan théo~

rique, il est exact que les items retenus n'exigent pas toujours la mise en œuvre du groupe INRC mais, par 3xemple à l'item 3, seulement le modus tolleos à partir ::le l'implication: p_~q ; or

q ;

donc

p.

L'item 5 demande je ne pas confondre implication et équivalence, en l'oc- currence de ne pas conclure illégitimement de p ~q :Jue deux cas sont possibles, p

A

q et

P A q,

comme si on avait posé p~q, par suite de ne pas tirer p de la seule affirmation de q. Le groupe INRC n'est pas directement en jeu ici non plus. C'est d'autre part, dans toutes les recherches utilisant ce genre d'épreuves, l'item le plus tardivement réussi. Dans notre étude, pratique- ment aucun enfant ne l'a réussi. On pourrait en revanche soutenir que l'item 4 fait appel à une connaissance du groupe INRC puisqu'il est présenté sous la forme d'une implication suivie de la corrélative de la réciproque. Pour répondre à la question le sujet doit en principe compren~

::tre que cette corrélative de la réciproque est la néga~

tion: CR = N = RC. Le groupe INRC fonctionne dans l'item 4 de la manière suivante : r_~(p V q) ; or

p

1\

q :

donc p V q ; donc

r.

A partir de 1== P V q, la transforma~

tion de V en A est la corrélative (C

=

^{P A} q), la trans- formation de p en

p

^{et de q en}

q

est la réciproque (R .=

p

V

q)

et les deux transformations ensemble sont la négation (N =

fi

1\

q ::;

p V q). On tire alors par modus totlens la fausseté de r dans r~(p V q), puisque p V q.

La structure du groupe INRC parait donc présente dans cet item, mais à condition que le raisonr'lement du sujet soit bien celui qui vient d'être décrit. Si c'est te cas, la psychologie génétique de J'intelligence a précisément établi qu'à un certain moment du développement intellec~

tuel et en relation avec d'autres conquêtes opératoiïes il n'est nullement besoin de fournir des règles au sujet pour qu'il raisonne de la sorte. Il en dispose en effet sans les avoir apprises au sens scolaire du mot, c'est la défi~

nition même du stade formel.

Malheureusement pour ce test dans la présente recherche, C. Hl!g a certainement raison quand elle fait remarquer que les sujets s'y sont pris autrement, ont usé d'intuition ou de flair. La relative facilité du test le montre par comparaison avec d'autres études dans lesquelles il a été utilisé aussi. La nature du raisonnement employé par les enfants n'a pas été contrôlée ici, si bien qu'il vaut mieux ne pas tenir compte de cette épreuve.

Matrices. Cette épreuve, empruntée à Piaget et Inhelder (La genèse des structures logiques élémentaires, page 169), présente en effet les inconvénients signalés par C. Hug : les classifications sont compliquées par la tentation de recourir à des critères secondaires (porter quelque chose, etc.) qui interfèrent avec les critères prin- cipaux (âge et sexe). Nous sommes d'accord avec elle sur

le principe qu'il vaut mieux se servir de situations plus pures pour évaluer la posslblllté des enfants de réaUs.er des classifications multiplicatives réversibles (structure de groupement de la multiplication bl~univoque des classes logiques). Ce n'est pas que nous revenions sur l'intérêt de contrôler si l'enfant est susceptible de loglciser _des données empiriques. Mais encore fautRil que les épreuves choisies permettent d'évaluer les processus que l'on désire étudier et ce n'était pas le cas avec ces matrices.

Dans des recherches ultérieures nous avons adopté une situation beaucoup plus simple, à savoir des cartons représentant des formes (cercles et carrés) et deux cou~

leurs (bleu et rouge), en conservant les mêmes consignes.

L'épreuve est considérablement améliorée comme l'a montré son analyse hiérarchique.

Quant à sa structure mathématique, elle nous paraît bien consister en un produit cartésien d'un ensemble de 2 formes par un ensemble de 2 couleurs: carré, cercle

x

rouge, bleu déterminant des couples = carrés rouges, carrés bleus, etc., même si l'ordre n'intervient pas Ici.

Quand on cherche les couples d'un produit cartésien, Il faut en général tenir compte de l'ordre: le couple (x, y) n'est pas, en général, le même couple que (y, x). En général seulement, car dans l'épreuve des matrices Il revient au même d'écrire A x B et B x A. Nous avons néanmoins affaire à un authentique produit cartésien. Les concepts mathématiques et les concepts psychologiques ne sont pas si éloignés qu'on pourrait le penser, mais les difftcultés de vocabulaire sont réelles, comme le remar- que C. Hug. Il vaudrait mieux sans· doute que le psychoR logue parle de produit cartésien à propos de cette épreuve pJutôt que de multiplication bi~univoque de classes 10giR ques.

Intersections. Nous n'admettons pas entièrement la remarque suivant laquelle «les éléments d'un ensemble n'ont pas d'attribut commun sinon d'·appartenir à cet ensemble ". On peut définir un ensemble par une propriété commune aux éléments qui en font partie. Cette définition en compréhension est fournie aux élèves tout autant que la définition en extension, d'après le programme d'Initia- tion aux mathématiques. On peut dès lors soutenir que des notions ensemblistes figurent dans cette épreuve, empruntée comme la précédente à la Genèse des struc- tures logiques élémentaires (page 178), dans laquelle il s'aglt de concevoir l'intersection d'un ensemble de feuilles et d'un ensemble de verts. On pouvait s'attendre à ce qu'un entrainement du produit cartésien donne aux enfants une compétence pour découvrir des intersections.

Or, il n'en est rien.

Jetons. Nous sommes tout à fait d'accord pour décrire cette épreuve comme la recherche de toutes les parties à deux éléments d'un ensemble à cinq éléments. C'est un aspect des opérations combinatoires qui caractérisent

le début du stade formel. CeluÎRcj .est défini par Piaget comme la p'ossibllité de construire méthodiquement, J'en.

semble des parties d'un ensemble. Demander, seulement au sujet le,s parties à deux éléments est une tâche plus facile dont la réussite est observée au stade préformel c'estRàRdire à un niveau du développement qui dépass~

les opérations concrètes mais auquel l'usage des Opéra~

tions formelles est encore limitéà des cas simples. Nous avions choisi à dessein d'appliquer aux enfants cetle épreuve avec celle des matrices et celle des chiffres qui sont des produits cartésiens compréhensibles déjà au stade des opérations concrètes et avec l'épreuve d'Inter.

section qui suppose un produit logique réussi au même niveau. Nous faisons l'hypothèse que dans le cas où l'acquisition scolaire du produit cartésien entralnerait des progrès aux matrices, à l'intersection et aux chiffres, elle n'en susciterait aucun à l'épreuve des jetons qui supposa une structure logique appartenant au stade suivant.

Nous désirions éprouver cette hypothèse en pensant en particulier à l'Idée de Piaget· d'une filiation génétique entre les classifications, accessibles au stade concret, et la combinatoire, accessible seulement au stade formel parce qu'elle consiste en une généralisation des classîfiR caUons, en une espèce de classification des classifications (toutes les classifications de deux éléments possibles dans un ensemble de cinq éléments). En laissant de côté les matrices que leur dispositif défectueux rendent inutiliR sables, on ne constate certes aux jetons aucun progrès du groupe expérimental par rapport au groupe témoin mais on n'en constate pas non plus à l'intersection. Les seuls progrès enregistrés concernent les chiffres, épreuve présentée dans les termes mêmes de l'entraînement mathématique, comme le fait observer C. Hug. A notre avis, ces résultats rejoignent ceux de l'étude sur le groupe de Klein dans laquelle aucun progrès n'était enregistré, même à l'épreuve de coordination de couples (échanges de fleurs) dont la structure est bien celle du groupe de Klein mais que l'on présente aux enfants en des termes différents de ceux de l'enseignement qu'lis reçoivent. Cela suffit pour leur rendre la tâche Irréalisable alors que s'ils disposent déjà du groupe de Klein avant l'expérience ils savent l'utiliser dans cette épreuve.

Pour conclure, nous souScrivons aux deux remarqu,es finales de C. Hug. Il convient en effet d'élucider le vocaR bulaire afin de parvenir dans une mesure suffisante à un langage commun aux mathématiciens et aux psycholoR gues. Il faut surtout faire porter l'Investigation sur les effets d'un entraînement mathématique de plus longue:

durée, comme l'ont faitJ. Peinard et J. Levasseur et tout:

récemment R. Boshî (6). L'absence de progrès opératoire,

(6) Boshl (R.). - Apprentlssage des .. mathématiques rr."·:

d~rnes» et développement de la pensée logique C~~Z l'enfant"

thèse de 3e cycle, Université de Lyon Il.

dans les raisonnements d'enfants soumis à une, influence pédagogique d'une durée aussi brève ne prouve pas grand-chose, nous en sommes bien' conscient. Elle a toutefois le mérite. de montrer que le niveau intellectuel de l'enfant ne dépend pas uniquement ni directement ni immédiatement d'un enseignement même particulièrement bien conçu dans son programme et dans ses méthodes.

L'opinion inverse que nous avons entendu soutenir par- fois par des pédagogues enthousiastes est démentie par l'expérience. Les stade opératoires décrits par la psycho- logie génétique existent, ils ne son.t pas bouleversés dans leur apparition et dans leur succession par un enseigne- ment ponctuel. Au contraire ils permettent ou non de tirer parti de cet enseignement, c'est-à-dire de généraliser ou non les connaissances nouvelles qu'il apporte.

C) COMPLËMENT, PAR COLETTE HUG

Il me semble que cette présentation des points de vue a suffisamment mis en évidence les problèmes sans qu'il soit besoin d'expliciter les arguments avancés de part et d'autre. Sans doute est-if préférable, au stade actuel de nos recherches, de laisser cette discussion ouverte. Il est cependant un point sur lequel je souhaite donner tout de suite un complément d'information pour éviter un malentendu, c'est celui qui concerne le dépouil- lement des situations.

«On ne saurait exiger, dit F. Longeot, que l'univers physique et social de l'enfant respecte un tel dépouille- ment. » Il n'en est, bien sûr, pas question. C'est au contraire parce que la réalité est complexe et embrouil- lée et parce que l'enfant la rencontre telle quelle qu'il doit être armé pour y faire face. Les outils mathématiques dont il peut disposer sont d'autant plus efficaces qu'li en possède une idée claire ou, en d'autres termes, que l'image mentale à laquelle il se réfère est partlculière- ment nette.

Or il nous est apparu que cette image mentale de référence, longtemps liée à la situation où la structure a été découverte, est d'autant plus précise que la situa- tion était préalablement dépouillée de sa gangue. Ce dépouillement, d'ailleurs, est non seulement bénéfique pour l'image mentale qui restera, il est souvent Indispen- sable pour que la découverte puisse avoir lieu. D'où la

visée pédagogique suivante: dépouiller les situations lors- qu'il s'agit de présenter les structures afin que celles-ci soient abordées dans la clarté et non dans 'la confusion.

Par la suite, progressivement, faire utiliser les outils clai- rement dominés dans les situations complexes de la réalité.

Il s'agit donc là d'un souci d'ordre didactique. Les applications des mathématiques.à l'univers physique et social de l'enfant sont innombrables. Encore faut-il que celui-ci possède quelques outils mathématiques pour pou- voir les utiliser. Qu'il' soit capable d'en découvrir de lui- même, dans la réalité brute qui l'entoure, nous n'en doutons pas. Mais pour ceux qu'il n'aura pas découverts seul, bien qu'il aurait pu le faire, mieux vaut ['aider en lui épurant les situations plutôt que de le laisser enre- gistrer des pseudo-connaissances embrouillées, plus ou moins erronées et, à coup sûr, inefficaces.

Cela dit, au niveau où s'opère la recherche comme celle qui nous préoccupe ici, s'il existe une exigence à respecter c'est d'accorder le vocabulaire afin de parler de la même chose tant en psychologie qu'en mathéma- tique lorsqu'on fait porter l'investigation sur une structure définie dens ce dernier domaine. Il ne saurait être ques- tion d'espérer que telle structure soit perçue par l'enfant dans une situation faisant manifestement appel à une autre structure. C'est le point essentieL

Cette exigence respectée, il reste que la structure en question n'est peut-être pas encore assez clairement dominée par l'enfant pour qu'il soit en mesure de la percevoir n'importe où. Mais cela ne veut pas dire qu'if soit incapable de la manier. C'est pour en juger qu'il peUL être intéressant de présenter des situations dépouillées.

On y constate alors souvent que la difficulté ne résidait pas dans la structure en elle-même mais dans la tâche·

de dépouillement, ce qui incite à une grande prudence:

dans les conclusions.

On voit qu'il reste beaucoup à faire pour approfondir."

les liens entre l'initiation mathématique et le niveau opé- ratoire ce qui est, somme toute, fort encourageant.

Colette HUG, François LONGEOT, U.E.R. de psychologie et des sciences de l'éducation de Grenoble.