en) une base de E Alors

ESPACES PREHILBERTIENS REELS

E désigne un K-espace vecoriel K=R ou C

I) Structure préhilbertienne réelle :

1°) formes bilinéaires :

a) définition :

Une forme bilinéaire sur E est une application ϕ: E× →E R linéaire par rapport à chacune des places.

(Remarque :

ϕ ( 0 , 0 ) = 0

⁾

b) forme bilinéaire symétrique :

Une forme bilinéaire sur E est symétrique si et seulement si ∀(x,y)∈E×E ϕ(x,y)=ϕ(y,x) c) Expression matricielle d’une forme bilinéaire en dimension finie

Si ϕ est une forme bilinéaire sur E de dimension finie et

B = ( e

₁

, ⋯ , e

_n

)

une base de E Alors ∀( , )x y ∈E²

( X = mat

_B

( x ) et Y = mat

_B

( y ) et A = ( ϕ ( e

_i

, e

_j

)) ⇒ ϕ ( x , y ) =

^t

XAY )

(expression matricielle deϕ )

(

^{( , )}

)

^{( )}

)

( e e M K

Mat

A= _B ϕ = ϕ _{i j} ∈ _n .est appelée matrice de ϕ relativement à la base B Remarque :

Si ϕ est symétrique

^{A = Mat}

^B

^{( ϕ ) =} ( ^{ϕ ( e}

ⁱ

^{, e}

^j

⁾ ) ^{∈ M}

ⁿ

^{( K )}

est une matrice symétrique c) Théorème de changement de base :

Soit ϕ est une forme bilinéaire sur E B et B’ deux bases de E si

A = Mat

B

( ϕ ) A ' = Mat

B_'

( ϕ )

et si P= Mat_B( ' )B Alors A'=^tPAP 2°) produit scalaire :

a) définition :

Un produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique ϕ^{: E}× →^{E R} vérifiant :

{ } ^{0 ( , ) > 0}

−

∈

∀ x E ϕ x x

(on dit que ϕ est définie-positive sur E) ϕ^{( , )x y} est aussi noté x y ou x y. .

Si ϕ est un produit scalaire sur E le couple (E, ϕ) est appelé espace préhilbertien réel

Si ϕ est un produit scalaire sur E et si E est de dimension finie (E, ϕ) est appelé espace euclidien .

b) EXEMPLES :

Exemple 1: produit scalaire canonique sur Rⁿ

l'application:









=

=

→

×

∑

=

XY y x y x y x

R R R

t n

i i i n

n

1

) , ( :

֏

ϕ est un produit scalaire sur E appelé produit scalaire

canonique surRⁿ

Exemple 2: Le produit scalaire canonique sur

M

_n

(R )

est A B =tr(^tAB)

Exemple 3:

( [ ] ) ( [ ] )







=

→

×

∫

^{abf t g t dt}

g f g f

R R b a C R b a C

) ( ) ( )

, (

, , ,

, :

֏

est un produit scalaire sur E=^C

( [ ]

^a,b,R

)

Exemple 4:

[ ] [ ]



 



=

→

×

∫

^0+∞

^{( ) ( )}

⁻

) , : (

dt e t Q t P Q

P Q P

R X R X R

t n

n

֏

est un produit scalaire sur E=

^R

n

[ ] ^X

3°) Norme associée au produit scalaire :

a) Définition :

Soit E, un espace préhilbertien réel l'application notée et définie par







=

→

2

: 1

x x x x

R E

֏

est appelée norme euclidienne associée au produit scalaire.

Remarque :

∀ λ ∈ R ∀ x ∈ E λ x = λ x

b) Inégalité de Cauchy-Schwarz: ∀( , )x y ∈E² x y ≤ x × y c) Formules de polarité:

∀( , )x y ∈E² x+y ²+ −x y ² =2( x²+ y ²) (identité du parallélogramme) ∀( , )x y ∈E² x y =1( x+y²− x²− y ²)

2

4°) Orthogonalité:

a) Définition:

Deux éléments x y, de E sont orthogonaux ssi x y =0 on note alors :x y⊥

Une famille (x₁,⋯,x_p) est orthogonale ssi les vecteurs de cette famille son orthogonaux deux à deux.

(si la famille se réduit à 1 seul élément , elle est orthogonale.)

b) Théorème de Pythagore: si (x₁,⋯,x_p) est une famille orthogonale alors x_i x

i p

i i

p

= =

∑

⁼

∑

1 2

2 1

(réciproque fausse exemple dans R² la famille x₁=(1,2) x₂=(0,2) x₃=(0,−1))

c) corollaire: Une famille (x₁,⋯,x_p) orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

d) Procédé d'orthogonalisation de Schmidt :

Soit

n ≥ 2

et

( x

₁

, ⋯ , x

_n

)

famille libre de E alors la famille définie par :

[ ]

i

k

i i i

i k k

k

y

y y

y x x

y n k x

y ∑

= + +

+

= −

−

∈

∀

=

1 1 1

1 1

1

, 1 , 1

est une famille libre et orthogonale de E,

vérifiant:

∀ k ∈ [ ] ^{1 ,} n vect ⁽ y

1

^, ⋯ ^, y

n

⁾ = vect ⁽ x

1

^, ⋯ ^, x

n

⁾

^.

e) Exemple : dans ^R2

[ ]

^X muni de la structure euclidienne définie par

[ ] [ ]



 



=

→

×

∫

^{0+∞ −}

2 2

) ( ) ( )

, : (

dt e t Q t P Q

P Q P

R X R X R

֏

t

othogonaliser la base

(

^1,X,X2

)

^.

f) Définition:

(x₁,⋯,x_p) est une famille orthonormale ssi ∀( , )i j ∈1,p ² x x_{i j} =δ_{i j,} ( symbole de Kronecker) Remarque : Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base orthonormale.

g) propriétés :

soit

( )

^E,ϕ est un espace euclidien B =(e₁,⋯,e_n) une base quelconque de E et

A = Mat

B

( ϕ )

i) si B est orthogonale pour ϕ alors A est diagonale est ses éléments diagonaux sont strictement positifs, et si B est orthonormale pour ϕ alors A est l'identité

ii)si B est orthogonale pour ϕ alors

∑

=

=

∈

∀

ⁿ

i

i i i

i

e

e e

e x x

E x

1

iii) si B =(e₁,⋯,e_n) une base quelconque de E alors det (A)>0.

5°) Parties orthogonales :

a) Théorème et définition:

Soit A une partie non vide de E espace préhilbertien réel , l'ensemble des vecteurs de E othogonaux à A est noté A^⊥. C'est un sous-espace vectoriel de E, appelé orthogonal de A.

Si A est un sous espace vectoriel de E alors A et A^⊥ sont en somme directe.

En particulier E^⊥ =

{ }

0E

c) Théorème :

Si F est un sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien E Alors

E = F ⊕ F

^⊥

c) projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace préhilbertien.

Soit F est un sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien E , la projection de E sur F parallèlement à F^⊥ est appelée projection orthogonale sur F et notée p_F et on a :

Si (f₁,⋯,f_p) une base orthogonale de F alors ∀ ∈x E p_F( )x =

∑

= n

i

i i i

i

f

f f

f x

1

; Conséquence : interprétation géométrique de l’orthogonlaisation de Schmidt.

Exemple : dans

^R

3

[ ] ^X

muni de la structure euclidienne définie par

[ ] [ ]



 



=

→

×

∫

^{0+∞ −}

3 3

) ( ) ( )

, : (

dt e t Q t P Q

P Q P

R X R X R

֏

t

Déterminer le projeté orthogonal de

X

³sur F=vect

(

^1,X,X2

)

^.

d)Théorème et définition :

Soit F est un sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien E et x∈E. Alors 1)

( ∀ ^y ∈ ^F ) ( ^y ≠ ^p

F

^{( x )} ⇒ ^x − ^y > ^x − ^p

F

^{( x )} )

2)

inf x y x p

_F

( x )

F

y

− = −

∈

Le nombre réel

inf x y x p

_F

( x )

F

y

− = −

∈ est noté

d ( x , F )

et appelé distance de x à F.

Remarque:

d

²

( x , F ) = x

²

− p

_F

( x )

²

= x − p

_F

( x ) x

II) Endomorphismes orthogonaux, endomorphisme symétrique:

dans tout le paragraphe

(

^E,

)

est un espace euclidien 1°) Définition

un endomorphisme de E est appelé endomorphisme orthogonal de E si et seulement si il conserve le produit scalaire. l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est noté O(E)

1°) Théorème de caractérisation des endomorphismes orthogonaux : si

f ∈ L (E )

alors les propositions suivantes sont équivalentes:

i)

f ∈ O (E )

ii) f conserve la norme

iii) f transforme toute base orthonormée de E en en une base orthonormée de E

iv) Il existe une base orthonormée de E dont l'image par f est une base orthonormée de E 3°) Théorème:

i) ( ( ), )O E est un sous groupe de (GL E( ), ) appelé groupe orthogonal de E.

ii)^SO(E)=

{

^{u∈O(E)det(u)=+1}

}

est un sous groupe de( ( ), )O E appelé groupe spécial orthogonal ou groupe des rotations vectorielles de E.

4°) Matrices orthogonales a) Définition

A∈M_n( )R est appelée matrice orthogonale si et seulement si elle vérifie A⁻¹=^tA l'ensemble des matrices orthogonales est noté O(n)

b) théorème de caractérisation des matrices orthogonales Soit A∈M_n( ) les propositions suivantes sont équivalentes R i)

A ∈ O (n )

ii) il existe une base orthonormale B et un endomorphisme orthogonal f de E tels que :A= Mat_B( )f

iii) les colonnes de A forment une base orthonormée.(Les lignes de A forment une base orthonormée.)

c) Exemples :

















−

−

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

θ θ

θ θ

B

Toute matrice de passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée est orthogonale.

5°) Théorème :

i) O(n) est un sous groupe multiplicatif de GL_n( ). R

ii) SO(n)=

{

^{M∈O(n)detM=1}

}

est un sous groupe multiplicatif de O(n) appelé groupe spécial orthogonal d'ordre n.

6°) Théorème : si

M ∈ O (n )

alors

^{det M ∈} { ^{− 1 , + 1} } ^{et sp ( M ) ⊂} { ^{− 1 , + 1} }

7°) Endomorphismes Symétriques , Matrices symétriqu es:

a) Théorème: soitf un endomorphisme de E , B une base orthonormale de E et A= Mat_B( )f , les propositions suivantes sont équivalentes:

i)^∀

( )

^{x,y ∈E2 f(x) y = x f(y)}

ii) ^tA= A

tout endomorphisme vérifiant l'une des propriétés précédentes est appelé endomorphisme symétrique de E

b) Théorème Fondamental de diagonalisation des endomorphismes symétriques:

soitf un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien E alors on a : i) le polynome caractéristique de f est scindé sur R.

ii) les sous espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux iii) il existe une base orthonormée de E formée de vecteurs propres def

c) Corollaire:

Toute matrice A symétrique réelle est diagonalisable , et il existe une matrice P orthogonale telle que

tPAP= P⁻¹AP =D diagonale on dit que A est diagonalisable dans le groupe orthogonal. Exemple:

diagonaliser dans O( )3 la matrice

 







 







=

0 0 0

12 12

12 12

12 12

A

IV) Formes quadratiques :

a) Définition:

Soit E un espace euclidien de dimension n

( ) a

i _1≤i_≤n et

( ) a

i j _≤i<j≤n , 1

2 ) 1 ( n +

n

réels donnés ,

B = ( e

₁

,..., e

n

)

une base de E

le polynome en les coordonnées

∑ ∑

≤

<

≤

=

+

=

=

n j i

j i j i n

i i i i

n

a x a x x

x x q x q

1 , 1

2 ,

1

, , )

( )

( ⋯

_où

∑

=

=

ⁿ

i i i

e x x

1

est appelé forme quadratique sur E.

exemple :

q ( x , y , z ) = 2 x

²

− y

²

+ 2 xy − 2 xz + 6 yz

b) écriture matricielle d’une forme quadratique sur E

si on pose :

 



 





≤

<

≤

=

≤

<

≤

=

=

=

n i j pour b

b

n j i a pour

b

n i

pour a

b

i j j i

j i j i

i i i

1 2 1

,..., 1

, ,

, , ,

« Règle de dédoublement des termes »

et

^{B =} ( ) ^b

^i,j ₁¹_≤^≤i_j^≤_≤ⁿ_n^et

X = ( ) x

i _1≤i_≤n alors on peut écrire matriciellement

q ( x ) =

^t

XBX

c) Théorème : ( forme réduite en base orthonomée d’une forme quadratique)

Si q une forme quadratique sur E alors il existe une base orthonormale

C = ( ε

₁

, ^⋯ , ε

_n

)

telle que l'expression de q dans cette base soit

q x x

^t

X D X

n

i i

i

= ′ ′

= ∑

=1 '2

)

( λ

où l’on a noté

Exemple :déterminer la forme réduite en B.O.N de

q ( x , y , z ) = xy + xz + yz

TD ESPACES EUCLIDIENS

MATRICES ORTHOGONALES FORMES QUADRATIQUES

EXERCICE 1

Soit A une matrice de ^Mn

( )

^R telle que :

^{A =} ( ) ^a

^kj

^{avec a}

^kj

⁼ _∫

₀^π2

^{sin kx sin jx dx}

^.

Montrer que det A > 0.( indication faire apparaître A comme la matrice d’un produit scalaire) EXERCICE 2

a) Soit F un sev de dimension finie d’une espace préhilbertien E montrer que

( ) ^F

^{⊥ ⊥}

^{= F}

^.

b)Dans l'espace vectoriel R⁴ muni du produit scalaire canonique, on considère le sous-espace F engendré par les vecteurs : ^V1⁼

(

^1,1,1,1

)

, ^V2⁼

(

^-1,-1,-2,2

)

, ^V3 ⁼

(

^-1,5,-4,8

)

, ^V4⁼

(

^-3,1,-5,3

)

. Déterminer un système d'équations et une base orthonormale de F^⊥ puis de F.

EXERCICE 3 Polynômes de Legendre

1°) Soit f et g deux fonctions indéfiniment dérivab les sur [-1,1] à valeurs dans R.

démontrer la formule dite " d'intégration par parties itérée":

∫ ∑ ∫

−

−

−

=

−

−

−

  + −

  −

=

¹

1 ) ( 1

1 1

0

) 1 ( ) 1 (

1

)

(

( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )

)

( t g t dt f t g t f t g t dt

f

^{n n}

n

k

k n k k

n .

2°) on note pour

k ∈ N *

^{on note}

h

k

( x ) = ( x ² − 1 )

^k et pour tout j

^∈ [ ^{0 ; k − 1} ]

j

( )

^j _j^k

x x h

d

L = d

montrer, en utilisant la formule de Liebniz montrer que

L

j

( ) ^x

est un polynôme admettant +1 et –1 pour racines.

3°) Dans l'espace vectoriel euclidien E_n+1 des fonctions polynômes de degré au plus n, muni du produit scalaire

( )

^{f,g E f g 1f}

( ) ( )

^{t gtdt}

1 - 2

1 +

n ⁼

∫

∈

∀ .

On désigne par F=

( )

f_i 0_≤i≤n la base orthonormale déduite de la base canonique de E_n+1 par

orthonormalisation de Schmidt. On considère pour ^k∈

{

^0,1,⋯,n

}

, la fonction polynôme g_k définie par :

( )

k

( )

^k

k

k x

x

x 1

d

g = d ²− .

a) Déterminer Fdans le cas n = 2.

b) Soit ^k∈

{

^0,1,⋯,n

}

^{et P∈R X tel que deg}

( )

^{P <k}. Montrer que : g_k P =0.

c) En déduire que, pour tout ^k∈

{

^0,1,⋯,n

}

, il existe un réel non nul λ_k tel que : f_k =λ_kg_k. Exercice 4: Méthode des moindres carrés :

1°) Soit

 







 







−

= 1

1 1

2 1 1

A

et

 







 







= 2 3 1

B

.

L’équation

AX = B

admet-elle une solution dans

R

²?

2°)

R

ⁿ et

R

^p sont munis de leurs structures euclidiennes canoniques. Soit

A ∈ M

_p,n

( R )

une matrice de rang n, déterminer KerA.

3°) Soit

X ∈ Ker

^t

AA

montrer que

AX = 0

en déduire que ^t

AA

est inversible.

4°) on note

H

la matrice appelée matrice « chapeau » et définie par

^{H = A *} (

^t

^{A * A} )

⁻¹

^*

^t

^A

Montrer que

Im H ⊂ Im A

5°) a) Calculer ^t

H

;^t

HH

;^t

HA

b) soit

X ∈ R

ⁿmontrer que

^{X − HX ∈} ( ^{Im A} )

^⊥.

c)En déduire que

H

est la matrice de la projection orthogonale de

R

ⁿ sur

Im A

6°) Soit

B ∈ R

^p Montrer qu’il existe un unique

X

0

∈ R

ⁿ( que l’on exprimera en fonction de

A

et de

B

tel que

HB = AX

₀^,

X

0est appelé pseudo solution ou solution au sens des moindres carrés de l’équation

AX = B

7°) Déterminer la pseudo solution pour l’exemple du 1°.

EXERCICE 5

Soit

( )

^E,ϕ un espace vectoriel euclidien.

1°) a) Démontrer que , pour tout sous-espace F de E,

et

S

_F l’application linéaire de E dans E définie par

( ) ^{x x}

S F

x ∈

_F

=

∀

^et

∀ ^x ∈ ^F

^⊥

^S

F

( ) ^x = − ^x

Montrer que S_F un automorphisme de E

S

F est appelé symétrie orthogonale par rapport à F et lorsque F est un Hyperplan de E

S

F est appelé relexion d’hyperplan F

b) Vérifier que

S

_F est un endomorphisme orthogonal relativement à ϕ. 2°) Soit H un hyperplan et a un vecteur non nul de H^⊥. Pour x de E, montrer que

( ) ^a

a a x x

x S

_H

2 ²

−

=

.

EXERCICE 6

1°) Trouver la matrice A de la symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel d'équation : 2x+y-z=0.

2°) a) Montrer que A est une matrice orthogonale.

b) Montrer que :

∀ ^M ∈ ^O

n

( ) ^{R Com M = (det M) M}

^.

c) En déduire la valeur de det A.

3°) Préciser les sous-espaces propres de A.

EXERCICE 7

Montrer que lea matrices :

















=

0 1 0

0 0 1

1 0 0

P₁ est orthogonale.

Déterminer la nature géométrique de la transformation associée.

EXERCICE 8

Soit E le sous-espace de R[X] des polynômes de degré au plus n.

On considère l'application ϕ ^{de E2} dans R définie par : ^∀

( )

^{P,Q ∈E2ϕ}

( )

^{P,Q =}

_∫

₋⁺₁^1P~

( ) ( )

^{xQ~ x}

( )

^{1+x2 dx}

1°) Montrer que (E, ϕ ) est un espace euclidien.

2°) On suppose que n = 2.

a) Ecrire la matrice de ϕ dans la base canonique

(

^1,X,X2

)

^.

b) Déterminer une base orthonormale de (E, ϕ ) par orthonormalisation de la base canonique.

EXERCICE 9

Définition :Si E est un espace vectoriel de dimension n

Un hyperplan de E est un sous espace vectoriel de E de dimension n-1

Soit E = R X₃ muni de sa structure euclidienne canonique ( c'est-à-dire que

(

^1,X,X2,X3

)

^{est une}

base orthonormale de E ).

1°) Soit ^H=

{

^P∈E/P~

( )

^{1 =0}

}

, montrer que H est un hyperplan de E . Déterminer une base orthonormale de H

2°) En déduire la projection orthogonale de X sur H.

EXERCICE 10

Pour tout réel a, on considère l'endomorphisme f_a de l'espace vectoriel euclidien R³ muni du produit scalaire canonique, défini par :

( ^{x y z} ) ^{R f}

a

( ^{x y z} ) ( ^{a x y z x a y z x y a z} )

3

= + + + + + +

∈

∀ , , , , , ,

.

1°) Démontrer que f_a est symétrique.

2°) Déterminer une base orthonormale formée de vecteurs propres de f_a. EXERCICE 11

On dit qu'un endomorphisme symétrique f d'un espace vectoriel euclidien E est positif lorsque : 0

) ( E

x∈ ≥

∀ f x x .

1°) Montrer que f est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.

2°) On suppose E = R³. Pour quelles valeurs deλ l'endomorphisme f dont la matrice dans une base orthonormale de E est :

















1 1 1

= M

λ λ

λ λ

λ λ

est-il positif ? EXERCICE 12

Dans ^On

( )

^R , on considère la matrice ^M=

( )

^{mij .}

Montrer que : m n

n n

i j j i=

∑

=

∑

^≤

1 1

.

Exercice 13 : Réduction de Gauss d'une forme quadratique

La méthode de Gauss permet de décomposer toute forme quadratique q sur l'espace euclidien

R

ⁿ

sous la forme

∑ ( )

=

=

^r

i

i

i

f u

u q

1

)

2

( )

( α

^où

(

f₁,⋯,fr

)

est une famille de r formes linéaires indépendantes

Principes de la méthode : 2 cas peuvent se produire :

1^er cas tous les termes carrés sont nuls (principe 1) exemple :

soit

q

la forme quadratique sur

R

⁴ définie par :

q ( x , y , z , t ) = xy + xz + yz + zt

on regroupe tous les termes contenant un des facteurs du 1^er terme croisé :

zt z y x q zt yz xz xy t z y x

q ( , , , ) = ( + + ) + =

₁

( , , ) +

on factorise

q

₁

( x , y , z ) = ( x + z )( y + z ) − z ²

on écrit

[ ( ) ( ) ] [ ( ² ) ( ^² ) ^² ]

4

² 1 4 ²

) 1 )(

( x + y x + z = x + z + y + z + x + z − y + z = x + y + z + x − y

et par conséquent

^{q x y z t =} ( ^{x + y + z} ) ⁺ ( ^{x − y} ) ^{² − z ² + zt}

4

² 1 4 2

) 1 , , , (

( ) ( ) ^{² ( , )}

4

² 1 4 2

) 1 , , ,

( x y z t x y z x y q

₂

z t

q = + + + − +

où

q

_2,

( z , t ) = − z ² + zt

est une forme quadratique sur

R

² contenant un terme carré qui constitue le deuxième cas de figure de la décompostion de Gauss (voir plus loin)

le calcul précédent a permis de ramener l’étude d’une forme quadratique

q

définie sur

R

ⁿà celle d’une forme quadratique

q

₂définie sur

R

ⁿ⁻².

2^ème cas il existe un terme carré non nul (principe 2) exemple

q ( x , y , z ) = y ² + 2 xz + 2 yz

On regroupe tous les termes contenant au moins un des facteurs du carré :

xz z y q xz yz y

z y x

q ( , , ) = ( ² + 2 ) + 2 =

₁

( , ) + 2

on écrit

q

1

⁽ y ^, z ⁾ = y ^² + ² yz = ( y + z ) ^² − z ^²

et par conséquent

q ⁽ x ^, y ^, z ⁾ = ( y + z ) ^² + q

2

⁽ x ^, z ⁾

où

q

_2,

( x , z ) = − z ² + 2 xz

est une est une forme quadratique sur

R

²

le calcul précédent a permis de ramener l’étude d’une forme quadratique

q

définie sur

R

ⁿà celle d’une forme quadratique

q

₂définie sur

R

ⁿ⁻¹.

En appliquant les deux principes précédents achever la décomposition de

zt yz xz xy t z y x

q ( , , , ) = + + +

et de

q ( x , y , z ) = y ² + 2 xz + 2 yz

EXERCICE 14

Cas dégalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz

Montrer que

x ; y = x • y

si et seulement si la famille

( ) ^{x; y}

^{est liée}

Cas dégalité de l’inégalité triangulaire

Montrer que

x + y = x + y

si et seulement si la famille

( ) ^{x; y}

est positivement liée ( c’est à dire

( ^{xy =} ) ^ou ( ^{∃ λ ∈ R}

+*

^{tq y = λ x} )

0

)

Pour s’exercer :

EXERCICE I

Dans Rⁿ muni du produit scalaire canonique, on considère un vecteur a non nul et un vecteur b unitaire non colinéaire à a.

Notations : Soit x∈Rⁿ. On note X la matrice colonne des coordonnées de x dans la base canonique B de Rⁿ. On pose M = I - 2 X X^t . On appelle f l'endomorphisme de Rⁿ tel que : ^MatB

( )

^f =^M. 1°) Démontrer qu'il existe un vecteur unitaire x tel que ^f

( )

^{a = ab.}

2°) Vérifier que f est un endomorphisme orthogonal symétrique.

3°) Démontrer que f est une symétrie orthogonale.

EXERCICE J

Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien E.

Soit p la projection orthogonale sur F et s la symétrie orthogonale par rapport à F.

Montrer que : s = 2 p - Id_E

Dans R⁴ muni du produit scalaire canonique, on considère le plan P d'équations :





=

− + +

=

−

− +

0 3

0 t z y x

t z y x

1°) Déterminer une base orthonormale de P.

2°) Trouver la matrice par rapport à la base canonique de R⁴ , de la symétrie orthogonale par rapport à P.

Exercice K

On considère la forme quadratique q définie sur R² par :

( )

^{x,y ∈R2q}

( ( )

^x,y

)

⁼

(

^x2−y2

)

^{cos2α−2xysin2α}

∀

où α est un réel donné.

Donner une forme réduite de q.