Codes de Reed-Solomon en m´etrique de Lee

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Codes de Reed-Solomon en m´ etrique de Lee

Guillaume Quintin Equipe PICC´

Laboratoire XLIM – UMR CNRS Universit´e de Limoges

Mardi 25 mars 2014

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La m´ etrique de Lee (1)

I Introduit pour les codes correcteurs par Lee en1958[Lee58].

I Soit q et x deux entiers positifs tels que x∈[0,q−1].

I Le poids de Leedex ∈Z/qZ est d´efinie par w_L(x) := min (x,q−x)

• 0

•1

• 2

• x= 3

•4 5• 6 •

7•

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La m´ etrique de Lee (2)

I Pour un vecteur (y₁, . . . ,y_n) son poids de Leeest wL(y1, . . . ,yn) :=

n

X

i=1

wL(yi).

I Attention :

I wL = poids deLee.

I w_H = poids deHamming.

I Lam´etrique de Leeest utilis´ee pour

I Les transmissions utilisant la modulation de phase.

I La bijection [HKC⁺94]

certains codes lin´eaires surZ/4Zen m´etrique de Lee

≈

certains codes non lin´eaires sur F2 en m´etrique de Lee

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Rappels sur les codes de Reed-Solomon (1)

I On fixen et k des entiers positifs tels que 0<k <n.

I On se donne

x₁, . . . ,x_n∈Z/qZ tels que ∀i 6=j (x_i−x_j)∈(Z/qZ)^×. C’est-`a-dire PGCD(xi−xj,q) = 1.

I Le code de Reed-Solomondeparam`etres [n,k]_Z_/q_Z est l’ensemble

RS :=

(f(x₁), . . . ,f(x_n))∈(Z/qZ)ⁿ avec degf <k

.

I Sa distance minimale de Hammingest telle que dH(RS) := min{w_H(x) pour x∈RS etx 6= 0}

=n−k+ 1.

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Rappels sur les codes de Reed-Solomon (2)

I Le code RS est optimalpour la m´etrique de Hamming car dH(RS) =n−k+ 1.

I On peut corriger jusqu’`a n−k

2

erreurs de Hamming de mani`ere efficace.

I Beaucoup d’algorithmes de d´ecodage unique existent [Pet60, Ber68, Mas69, SKHN75, Jus76, Bla83, BW86, TERH88, SFWHYHAYW01, Gao02].

I Mais on peut également décoder jusqu’à j

n−p

(k−1)n k

erreurs deHamming avec l’algorithme dˆu `a Guruswami et Sudan.

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Qu’en est-il en m´ etrique de Lee ?

1. Roth etSiegel [RS94] ont donn´e un algorithme ne corrigeant pasbeaucoup d’erreurs de Lee.

2. Roth etTal[TR03] ont ensuite essay´e d’adapterl’algorithme deGuruswami-Sudan en m´etrique de Lee pour corriger plus d’erreur.

3. Armand et de Taisneont travaill´e sur le mˆeme sujet que Roth et Talmais sur lesanneaux finis.

4. X.-W. Wu, Kuijper et Udaya ont ensuite sorti une série de papiers introduisant une nouvelle idéeet étendant le décodage en métrique de Lee aux codes géométriques [WKU03, WKU04, WKU05, WKU04, WKU07, WH08].

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Mais...

1. Que vaut d_L(RS) (distance minimale) ? 2. Le code RS est-il optimal ?

3. Y a-t-il un borne de Singleton en m´etrique de Lee ? 4. Peut-on corriger jusqu’`a

dL(RS)−1 2

erreurs de Lee en temps polynomial (enn et k) ?

5. Y a-t-il une borne de Johnson en métrique de Lee ? 6. Peut-on décoder en liste jusqu’à la borne de Johnson ?

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La distance minimale de Lee du code RS (1)

Plusieurs cas possibles :

I On a n´ecessairementd_H(RS)≤d_L(RS)≤n.

En effet (1, . . . ,1)∈RS et w_L(1, . . . ,1) =n.

I Un polynôme de petit degré doit prendre beaucoup de valeurs différentes.

n

k ≤ ¹₄ ⇒ dL(RS) =n

1

4 ≤ ^k_n ≤ ¹₃ ⇒ d_L(RS)≥2n−4(k−1)

1

3 ≤ ^k_n ≤ ¹₂ ⇒ d_L(RS) =??

1

2 ≤ ^k_n ≤1 ⇒ d_L(RS) =??

I LorsqueZ/qZ=Fq etn=q et ^k_n ≤ ¹₂ alors d_L(RS) =n.

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La distance minimale de Lee du code RS (2)

I Supposons ¹₃ ≤ ^k_n ≤ ¹₂.

I Nous ne savons que d_L≥d_H.

I Supposons de plus que{x₁, . . . ,xn}soit unsous-groupe de (Z/qZ)^× et tel que Card(G)>2k.

Th´eor`eme Lorsque

n q

6=

n−k+1 q

alors d_L>d_H.

QuandZ/qZ=Fq et n=q−1 alorsn =−1 modq et on a automatiquement descrit`eres ne d´ependantque de q etd_H.

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La distance minimale de Lee du code RS (3)

I Supposons ¹₂ ≤ ^k_n.

I Nous ne savons que d_L≥d_H.

I A-t-on dL=dH ?

I Recherche exhaustive de codes en Magma.

I Pour chaque premierp ∈[11,31], il existe un code de Reed-Solomon int´eressant.

I Sa longueur estp−1.

I Son rendement est compris dans [0.50,0.56].

I Etd_L=d_H.

I Il existe des codes de Reed-Solomon tels que d_L=d_H pour divers rendements dans [0.50,1].

I Aucun code de Reed-Solomon avecd_L=d_H n’a été trouvé avec un rendement dans ₁

3,¹₂ .

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D´ ecodage unique en m´ etrique de Lee (1)

Deux situations possibles :

Ici~e = (e₁, . . . ,e_n)∈(Z/qZ)ⁿ d´esigne l’erreur.

e_i w(ei)

w_L(~e)≈ ⁿ₂ tandis que w_H(~e)< τ.

(Ici τ désigne un rayon de décodage d’un décodeur en Hamming.)

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D´ ecodage unique en m´ etrique de Lee (2)

ei

w(e_i)

w_L(~e)≈ ⁿ₂ tandis que w_H(~e)τ maisw_L(ei) est petit pour chaquei = 1, . . . ,n.

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D´ ecodage unique en m´ etrique de Lee (3)

Entr´ee : le mot re¸cuy = (y₁, . . . ,y_n).

Sortie : l’unique mot de code `a distance de Lee au plus _n−1

2

dey.

1. Ex´ecuter un d´ecodeur de Hamming sury.

2. Si le d´ecodeur retourne c ∈RSalors retourner c.

3. Sinontrouver une courbe Q(X,Y) = 0 qui passe par les points (y_i −u,x_i), . . . ,(y_i+u,x_i) pouri = 1, . . . ,n et pour un certainu.

4. Trouver les racines deQ(X,Y).

5. Retourner la racinef₀(X) deQ(X,Y) de degr´e <k telle que w_L(y−(f₀(x₁), . . . ,f₀(x_n)))≤

n−1 2

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Perspectives

I Et la distance minimale ?

I Peut-on la trouver ?

I Ou en trouver une bonne approximation ?

I On a envie de penser qu’on peut faire mieux pour d´ecoder !

I Pourquoi utiliser du d´ecodage en liste (de Hamming) ?

I Peut-on utiliser les r´eseaux ?

I Ou un autre algorithme pour gagner en complexit´e ?

I Qu’en est-il du d´ecodage en liste en suivant cette id´ee ?

I Avant, peut-on “am´eliorer” la borne de Johnson en m´etrique de Lee ?

I Peut-on atteindre la borne de Johnson ? en temps polynomial ?

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