$ En avant, les maths!
cinquième année
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
5 e
année
RÉSUMÉ
Dans cette minileçon, l’élève devra déterminer la moyenne, la médiane et le ou les modes d’ensembles de données
PISTES D’OBSERVATION L’élève :
• détermine la moyenne, la médiane et le mode de divers ensembles de données;
• montre sa compréhension de la moyenne, de la médiane et du mode.
MATÉRIEL
• calculatrices;
• cubes emboitables.
CONCEPTS MATHÉMATIQUES
Les concepts mathématiques nommés ci-dessous seront abordés dans cette minileçon. Une explication de ceux-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques.
Domaine d’étude Concept mathématique
Données Mesures de tendances centrales
Nombres Addition de nombres naturels,
de nombres décimaux et de fractions
Nombres Soustraction de nombres naturels, de nombres décimaux et de fractions
Nombres Division de nombres naturels
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
Déroulement
-
Consulter, au besoin, les fiches Mesures de tendances centrales de la section Concepts mathématiques afin de revoir avec les élèves la terminologie liée à ces concepts en vue de les aider à réaliser l’activité.-
Présenter aux élèves l’Exemple 1, soit déterminer les mesures de tendance centrale (moyenne, médiane et mode) d’un ensemble de données portant sur le hockey.-
Allouer aux élèves le temps requis pour effectuer le travail. À cette étape-ci, l’élève découvre diverses stratégies pour déterminer la moyenne, la médiane et le mode d’un ensemble de données.-
Demander à quelques élèves de faire part au groupe-classe de leur solution et d’expliquer les stratégies utilisées pour déterminer la moyenne, la médiane et le mode en utilisant des cubes emboitables et en vérifiant par calcul. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension.-
À la suite des discussions, s’assurer que les élèves établissent des liens entre les 3 mesures de tendances centrales.Note : Au besoin, consulter le corrigé de la partie 1 pour obtenir des exemples de stratégies.
-
Encourager les élèves à améliorer leur travail en y ajoutant les éléments manquants.-
Au besoin, présenter aux élèves l’Exemple 2, soit déterminer certaines données lorsque des mesures de tendance centrale sont connues.CORRIGÉ
EXEMPLE 1
a) Les Sénateurs d’Ottawa ont marqué en moyenne 4 points lors des 3 derniers matchs. Si au cours d’un de ces matchs, ils ont marqué 6 points, alors combien de points ont-ils pu inscrire durant les 2 derniers matchs?
Construis, à l’aide de cubes emboitables, des tours de hauteurs différentes pour résoudre ce problème. Justifie ta réponse.
Je sais que les Sénateurs ont marqué en moyenne quatre points lors des trois derniers matchs. Cela signifie qu’ils ont marqué en tout : points.
Si chaque cube représente 1 point, je dois en utiliser 12. Ensuite, je sais qu’au cours d’un des matchs les Sénateurs ont marqué six points, donc j’ai une tour de six cubes. Puis, il y a plusieurs solutions possibles avec le reste des cubes.
Voici des exemples possibles :
Dans les trois exemples, je pourrais redistribuer les cubes de manière à avoir quatre cubes dans chaque tour, ce qui montre que la moyenne est bien de quatre points.
De plus, dans les trois exemples je peux faire la somme de tous les points (12) et diviser par le nombre de matchs (3), ce qui me donne bien une moyenne de 4
( ).
b) Les Maple Leafs de Toronto ont marqué des points lors des 6 derniers matchs.
Si le mode correspond à 4 points, alors combien de points ont-ils inscrits durant chaque match?
Construis, à l’aide de cubes emboitables, des tours pour représenter le nombre de points inscrits lors des 6 derniers matchs. Justifie ta réponse.
Pour les Maple Leafs, je sais que le mode correspond à quatre points.
Cela signifie que quatre points est la donnée qui est la plus fréquente dans les résultats de l’équipe lors des six derniers matchs.
Voici donc des exemples de réponses possibles :
Dans le premier exemple (à gauche), le nombre 4 apparait trois fois et dans le deuxième exemple (à droite), le nombre 4 apparait trois fois. Donc, dans les deux cas, le nombre 4 est le mode.
c) L’équipe de hockey locale a marqué 3, 2, 7 et 5 points lors des 4 derniers matchs.
Quelle est la médiane de cet ensemble de données?
Construis, à l’aide de cubes emboitables, des tours pour représenter le nombre de points inscrits lors des 4 matchs. Justifie ta réponse.
Pour déterminer la médiane d’un ensemble de données, il faut mettre les données dans un ordre croissant. Je vais donc placer les données dans cet ordre : 2, 3, 5 et 7.
Comme il y a un nombre pair de données (4), je choisis les données qui sont au centre, soit 3 et 5 et la médiane se trouve au milieu de ces deux valeurs.
Pour déterminer la médiane, je fais donc la moyenne de ces deux valeurs, soit . La médiane correspond donc à quatre points.
EXEMPLE 2
a) Dessine ou construis à l’aide de cubes emboitables, 3 tours dont la médiane et la moyenne sont 7. Chaque tour doit être construite en utilisant un nombre de cubes emboitables différent. Justifie ta réponse.
STRATÉGIE
Construction de 3 tours dont la médiane et la moyenne sont 7.
Exemple de réponse possible :
Je sais que la moyenne des trois tours est 7, cela signifie donc que je vais avoir cubes emboitables au total.
Je sais aussi que la médiane doit être 7. Cela signifie que la donnée centrale est 7 et comme il y a trois tours, c’est la tour du milieu qui a 7 cubes. Il me reste à placer 14 cubes dans les deux autres tours.
Si je place les tours dans l’ordre croissant alors je pourrais avoir la première tour avec six cubes et la dernière tour avec huit cubes.
Je peux maintenant vérifier, à l’aide d’un calcul, que la moyenne des trois tours que j’ai trouvées, composées de 6, 7 et 8 cubes est bien de 7.
Moyenne = 7.
b) Dessine ou construis, à l’aide de cubes emboitables, 6 tours dont la moyenne et le mode sont 8. Certaines des tours doivent être de hauteurs différentes.
Justifie ta réponse.
STRATÉGIE
Construction de 6 tours dont la moyenne et le mode sont 8 Exemple de réponse possible
Je sais que la moyenne des six tours est 8, cela signifie donc que je vais avoir cubes emboitables au total.
Je sais aussi que le mode est 8. Cela veut dire que cette donnée est la plus fréquente dans mon ensemble de données. Il faut aussi que mes tours aient des hauteurs différentes tout en gardant 8 comme valeur la plus fréquente.
Voici donc la représentation de mes six tours de cubes emboitables.
Je peux construire quatre tours ayant huit cubes, un tour ayant 10 cubes et un tour ayant six cubes pour un total de 48 cubes.
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
Déroulement
-
Au besoin, demander aux élèves de faire quelques exercices de la section À ton tour!. Ces exercices peuvent servir de billet de sortie ou autre.-
Recueillir les preuves d’apprentissage des élèves et les interpréter pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s’améliorer.Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s’il y a lieu.
CORRIGÉ
EXEMPLE 1
Voici un tableau qui permet de comparer la teneur en protéines de différentes boissons froides. Enrico veut convaincre son ami, à l’aide des mathématiques, que ces boissons froides sont très riches en protéines, éléments indispensables pour notre santé.
Boissons froides (250 ml) Protéines (g)
Lait 3,25 % 8,5
Lait 2 % 8,6
Lait 1 % 8,5
Lait au chocolat 1 % 8,1
Lait de poule 9,6
Lait de chèvre 7,3
Boisson de soya enrichie 8,5
a) Quelle mesure de tendance centrale devrait-il utiliser? Justifie ta réponse.
Pour savoir quelle mesure de tendance centrale utiliser, je dois déterminer chacune d’elles :
Le mode :
Le mode est 8,5, car c’est la donnée la plus fréquente dans l’ensemble des données. Elle est présente trois fois.
La médiane :
Je place les données dans un ordre croissant : 7,3 8,1 8,5 8,5 8,5 8,6 9,6.
Il y a 7 données (nombre impair). La médiane est donc la 4e donnée (celle du milieu), soit 8,5.
La moyenne :
La moyenne est donc d’environ 8,4.
Pour convaincre son ami que ces boissons froides sont très riches en protéines, Enrico devrait utiliser le mode ou la médiane. Ces mesures de tendance centrale sont un peu plus élevées que la moyenne.
b) Quels renseignements chaque mesure de tendance centrale donne-t-elle?
Le mode montre que la quantité de protéines qui revient le plus souvent dans ces sept boissons froides est de 8,5 g.
La médiane montre que la moitié des sept boissons froides citées a 8,5 g de protéines ou moins, tandis que l’autre moitié en a 8,5 g ou plus.
La moyenne montre que si toutes les boissons froides citées contenaient la même quantité de protéines, cette quantité serait de 8,4 g.
EXEMPLE 2
Abdul a obtenu 204 points, puis 195 points lorsqu’il a joué les 2 premières parties de quilles. Combien de points a-t-il obtenus lorsqu’il a joué la troisième partie si la moyenne des 3 parties est de 206 points? Justifie ta réponse.
Je sais que la moyenne des trois parties est de 206 points. Pour connaitre le
nombre de points total obtenus lors des trois parties alors je multiplie la moyenne par 3, soit points en tout.
Je sais aussi qu’Abdul a obtenu 204 points lors de sa première partie, puis 195 lors de sa deuxième partie. Pour trouver le nombre de points de sa troisième partie, je n’ai plus qu’à soustraire les deux premières parties du tout.
Abdul a donc obtenu 219 points lors de sa troisième partie de quilles.
EXEMPLE 3
Mélanie, une élève de 5e année, est une athlète aguerrie. Elle a couru plusieurs courses de 80 m cette année. Voici ses 6 meilleurs temps dans le tableau :
Courses Temps (s)
Course 1 11,92
Course 2 12,20
Course 3 12,13
Course 4 11,98
Course 5 12,02
Course 6 11,95
Détermine les mesures de tendance centrale de Mélanie.
Pour déterminer la moyenne des courses de Mélanie, je dois faire la somme de tous les temps réalisés et diviser par le nombre de courses.
La moyenne des temps des 6 meilleures courses de Mélanie est donc d’environ 12,03 s.
Pour déterminer le mode, je dois trouver la donnée la plus fréquente. Parmi les six courses, Mélanie n’a jamais réalisé un temps identique. Cela signifie qu’il n’y a pas de mode.
Pour déterminer la médiane, je dois trouver la valeur centrale de toutes les
données. Ici, il y a 6 données (nombre pair) et je dois aussi les placer dans l’ordre croissant, soit 11,92 11,95 11,98 12,02 12,13 12,20. La médiane est située entre la 3e et la 4e donnée, soit entre 11,98 et 12,02. Je dois alors faire la moyenne de ces deux valeurs.
moyenne = 12 s
La médiane est donc de 12 s. Cela signifie que Mélanie a couru autant de fois en dessous de 12 s que de fois au-dessus de 12 s.
$ En avant, les maths!
Déterminer la moyenne, la médiane et le ou les modes d’ensembles de données
DONNÉES
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
Version de l’élève
cinquième année
5 e
année
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
TA STRATÉGIE EXEMPLE 1
a) Les Sénateurs d’Ottawa ont marqué en moyenne 4 points lors des 3 derniers matchs. Si au cours d’un de ces matchs, ils ont marqué 6 points, alors combien de points ont-ils pu inscrire durant les 2 derniers matchs?
Construis, à l’aide de cubes emboitables, des tours de hauteurs différentes pour résoudre ce problème. Justifie ta réponse.
b) Les Maple Leafs de Toronto ont marqué des points lors des 6 derniers matchs.
Si le mode correspond à 4 points, alors combien de points ont-ils inscrits durant chaque match?
Construis, à l’aide de cubes emboitables, des tours pour représenter le nombre de points inscrits lors des 6 derniers matchs. Justifie ta réponse.
c) L’équipe de hockey locale a marqué 3, 2, 7 et 5 points lors des 4 derniers matchs.
Quelle est la médiane de cet ensemble de données?
Construis, à l’aide de cubes emboitables, des tours pour représenter le nombre de points inscrits lors des 4 matchs. Justifie ta réponse.
TA STRATÉGIE EXEMPLE 2
a) Dessine ou construis à l’aide de cubes emboitables, 3 tours dont la médiane et la moyenne sont 7. Chaque tour doit être construite en utilisant un nombre de cubes emboitables différent. Justifie ta réponse.
b) Dessine ou construis, à l’aide de cubes emboitables, 6 tours dont la moyenne et le mode sont 8. Certaines des tours doivent être de hauteurs différentes.
Justifie ta réponse.
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
À ton tour!
EXEMPLE 1
Voici un tableau qui permet de comparer la teneur en protéines de différentes boissons froides. Enrico veut convaincre son ami, à l’aide des mathématiques, que ces boissons froides sont très riches en protéines, éléments indispensables pour notre santé.
Boissons froides (250 ml) Protéines (g)
Lait 3,25 % 8,5
Lait 2 % 8,6
Lait 1 % 8,5
Lait au chocolat 1 % 8,1
Lait de poule 9,6
Lait de chèvre 7,3
Boisson de soya enrichie 8,5
a) Quelle mesure de tendance centrale devrait-il utiliser? Justifie ta réponse.
b) Quels renseignements chaque mesure de tendance centrale donne-t-elle?
TA STRATÉGIE
EXEMPLE 2
Abdul a obtenu 204 points, puis 195 points lorsqu’il a joué les 2 premières parties de quilles. Combien de points a-t-il obtenus lorsqu’il a joué la troisième partie si la moyenne des 3 parties est de 206 points? Justifie ta réponse.
TA STRATÉGIE
EXEMPLE 3
Mélanie, une élève de 5e année, est une athlète aguerrie. Elle a couru plusieurs courses de 80 m cette année. Voici ses 6 meilleurs temps dans le tableau :
Courses Temps (s)
Course 1 11,92
Course 2 12,20
Course 3 12,13
Course 4 11,98
Course 5 12,02
Course 6 11,95
Détermine les mesures de tendance centrale de Mélanie.
TA STRATÉGIE
