Exercices de synthèse (2/2) La chute avec frottements. Si la goutte d eau est en chute libre, elle n est soumise qu à la seule action de son poids

(1)

Exercices de synthèse (2/2)

La chute avec frottements

Exercice 1

Référentiel : terrestre ; système : la goutte d’eau

1) Modèle de la chute libre

1.1.

loi horaire 𝑦𝑦(𝑡𝑡) du mouvement de chute libre

Si la goutte d’eau est en chute libre, elle n’est soumise qu’à la seule action de son poids Bilan des forces : ^P^→le poids de la goutte d’eau

D’après la seconde loi de Newton ΣF_ext =m. a^→⇒^→P = ×m a^→⇒ ×m g^→= ×m a^→

 ^→g =^→a

{

y

a a g

→

=  ^v v^→

{

y =gt cte+ or à t = 0 la vitesse est nulle donc on a  ^v v^→

{

y=gt

{

y

v v gt

→

=  ¹ ²

OM y^^→ = 2gt cte+

 or à t = 0 la goutte se trouve au point y0 = 0 donc on a  ¹ ² OM y^^→ = 2gt

 On a donc l’équation horaire

( )

¹ ²

y t =2gt

1.2.

vitesse au sol : Lorsque la goutte atteint le sol on a y = H 𝑦𝑦(𝑡𝑡) =¹₂𝑔𝑔𝑡𝑡²=𝐻𝐻 → 𝑡𝑡=�^2𝐻𝐻_𝑔𝑔 Or 𝑣𝑣=𝑔𝑔𝑡𝑡 → 𝑣𝑣=𝑔𝑔×�^2𝐻𝐻_𝑔𝑔 =�^𝑔𝑔²^×2𝐻𝐻_𝑔𝑔 =�2𝑔𝑔𝐻𝐻

1.3.

vitesse au sol : 𝑣𝑣 =�2𝑔𝑔𝐻𝐻=√2 × 10 × 1200 =155 m.s^-1 = 558 km.h^-1 !!

La vitesse atteinte par la goutte n’est évidemment pas de 558 km.h^-1 car la goutte n’est réellement pas en chute libre : elle subit les frottements de l’air

2) Prise en compte des actions de l’air 2.1.

Influence de la poussé d’Archimède

Poids de la goutte : 𝑷𝑷=𝒎𝒎𝒎𝒎=𝟒𝟒𝟒𝟒.𝟏𝟏𝟒𝟒^−𝟔𝟔×𝟏𝟏𝟒𝟒= 4.10^-4 N

Poussée d’Archimède : Π_𝑎𝑎=𝜌𝜌_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎}𝑉𝑉𝑔𝑔= 1,3. 10⁻³× 0,04. 10⁻³× 10 = 5,2.10^-7 N  _Π^𝑃𝑃

𝑎𝑎= _5,2.10^4.10⁻⁴₋₇^{= 770}

La valeur du poids est plus de 700 fois plus importante que la valeur de la poussée d’Archimède ; on peut donc négliger la poussée d’Archimède devant le poids.

2.2.

Equation différentielle Bilan des forces :

𝑃𝑃�⃗, le poids de la goutte d’eau de valeur 𝑃𝑃=𝑚𝑚×𝑔𝑔 f⃗ , la force de frottement de valeur f = k × v

D’après la seconde loi de Newton ∑ 𝐹𝐹��⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝑚𝑚×𝑎𝑎⃗  𝑃𝑃�⃗+𝑓𝑓⃗=𝑚𝑚×𝑎𝑎⃗

𝑃𝑃 ��⃗�𝑃𝑃𝑦𝑦=𝑃𝑃=𝑚𝑚×𝑔𝑔 ; 𝑓𝑓 ��⃗�𝑓𝑓_𝑦𝑦=−𝑓𝑓=−𝑘𝑘×𝑣𝑣

On projette suivant l’axe oy : 𝑚𝑚𝑔𝑔 − 𝑘𝑘𝑣𝑣=𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}→ 𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}+𝑘𝑘𝑣𝑣=𝑚𝑚𝑔𝑔 ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}

𝑑𝑑𝑒𝑒+_𝑚𝑚^𝑘𝑘𝑣𝑣=𝑔𝑔

(2)

2.3.

Solution de l’équation différentielle 1^ère méthode

La solution d’une équation différentielle du type 𝑦𝑦^′+𝑎𝑎𝑦𝑦=𝑏𝑏 est une fonction de la forme 𝑦𝑦=𝐶𝐶.𝑒𝑒^{−𝑎𝑎𝑒𝑒}+^𝑏𝑏_𝑎𝑎 où C est une constante déterminée en utilisant la valeur de 𝑦𝑦 lorsque 𝑥𝑥= 0

La solution de l’équation ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}+_𝑚𝑚^𝑘𝑘𝑣𝑣=𝑔𝑔 se met sous la forme : 𝑣𝑣(𝑡𝑡) =𝐶𝐶𝑡𝑡𝑒𝑒 ×𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒+^{𝑔𝑔.𝑚𝑚}_𝑘𝑘 A t = 0 on a 𝑣𝑣(0) = 0 𝑣𝑣(0) =𝐶𝐶𝑡𝑡𝑒𝑒 ×𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^×0+^{𝑔𝑔.𝑚𝑚}_𝑘𝑘 = 0𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒+^{𝑔𝑔.𝑚𝑚}_𝑘𝑘 = 0→ 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒=−^{𝑔𝑔.𝑚𝑚}_𝑘𝑘 𝑣𝑣(𝑡𝑡) =−𝑔𝑔.𝑚𝑚

𝑘𝑘 ×𝑒𝑒^{− 𝑘𝑘}^{𝑚𝑚𝑒𝑒}+𝑔𝑔.𝑚𝑚

𝑘𝑘 =𝑔𝑔.𝑚𝑚

𝑘𝑘 �1− 𝑒𝑒^{− 𝑘𝑘}^{𝑚𝑚𝑒𝑒}� 2^nde méthode

𝑣𝑣(𝑡𝑡) =^{𝑔𝑔𝑚𝑚}_𝑘𝑘 �1− 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒�=^{𝑔𝑔𝑚𝑚}_𝑘𝑘 −^{𝑔𝑔𝑚𝑚}_𝑘𝑘 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒  ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒} =−^{𝑔𝑔𝑚𝑚}_𝑘𝑘 ×^−𝑘𝑘_𝑚𝑚 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒 =𝑔𝑔 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒 Donc : ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}+_𝑚𝑚^𝑘𝑘𝑣𝑣= 𝑔𝑔 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒+ _𝑚𝑚^𝑘𝑘 .^{𝑔𝑔𝑚𝑚}_𝑘𝑘 �1− 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒�=𝑔𝑔 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒+𝑔𝑔 �1− 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒�= g L’expression 𝑣𝑣(𝑡𝑡) =^{𝑔𝑔𝑚𝑚}_𝑘𝑘 �1− 𝑒𝑒⁻^𝑚𝑚^𝑘𝑘^𝑒𝑒� est bien une solution de l’équation différentielle.

On retrouve la condition initiale sur la vitesse : à t = 0, on a bien v= 0

2.4.

vitesse limite

1^ère méthode 2^nde méthode

La vitesse limite est solution de l’équation différentielle 𝑑𝑑𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}

𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑘𝑘

𝑚𝑚 𝑣𝑣^{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}=𝑔𝑔

Lorsque la goutte atteint sa vitesse limite, la vitesse reste constante :

𝑑𝑑𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0→ 𝑘𝑘

𝑚𝑚 𝑣𝑣^{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}=𝑔𝑔

La vitesse atteint sa vitesse limite lorsque 𝑡𝑡 → ∞ 𝑣𝑣𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚=𝑣𝑣(𝑡𝑡 → ∞) =𝑔𝑔𝑚𝑚

𝑘𝑘 �1− 𝑒𝑒^{− 𝑘𝑘}^{𝑚𝑚𝑒𝑒}� 𝑣𝑣𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚=𝑔𝑔𝑚𝑚

𝑘𝑘 (1− 𝑒𝑒^−∞) =𝑔𝑔𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}=𝑔𝑔×𝑚𝑚

𝑘𝑘 =10 × 40. 10⁻⁶

4,4. 10⁻⁵ =𝟗𝟗,𝟏𝟏 𝒎𝒎.𝒔𝒔^−𝟏𝟏≈𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒎𝒎.𝒉𝒉^−𝟏𝟏

2.5.

Temps caractéristique : 𝜏𝜏 =^𝑚𝑚_𝑘𝑘 = _4,4.10^40.10⁻⁶₋₅ = 0 ,91 s

2.6.

Régime permanent

- On dit que la goutte d’eau atteint le régime permanent lorsqu’elle atteint sa vitesse limite.

- Lorsque que la vitesse est constante, on a ΣF_ext =^→0

donc ^→P +^→f = ^→0

→P

et ^→f sont donc 2 forces opposées de même intensité - Le régime permanent est atteint au bout de 5 ×𝜏𝜏 ≈ 5 s environ.

2.7.

vérification graphique

1^ère méthode : 2^nde méthode :

On trace la tangente à l’origine du graphe.

Cette tangente coupe la droite horizontale d’ordonnée vlim = 9 m.s^-1 au point d’abscisse t = 1 s. Cette valeur correspond à la durée caractéristique t

On cherche l’abscisse du point qui a pour ordonnée 2/3 de la vitesse limite (67% de la vitesse limite) soit une vitesse de 6 m.s^-1.

(1) régime transitoire (2) régime permanent

(3)

Exercice 2

Référentiel : terrestre ; système : la particule

1)

forces appliquées à une particule en train de se déposer Bilan des forces :

𝑃𝑃�⃗, le poids de la goutte d’eau de valeur : 𝑃𝑃=𝑚𝑚×𝑔𝑔=𝜌𝜌𝑎𝑎.𝑉𝑉.𝑔𝑔 f⃗ , la force de frottement de valeur : f = k. v

Π��⃗ , la poussée d’Archimède de valeur : Π=𝜌𝜌_𝑒𝑒.𝑉𝑉.𝑔𝑔

2)

D’après la seconde loi de Newton ∑ 𝐹𝐹��⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝑚𝑚×𝑎𝑎⃗  𝑃𝑃�⃗+𝑓𝑓⃗+Π��⃗=𝑚𝑚×𝑎𝑎⃗

𝑃𝑃 ��⃗�𝑃𝑃𝑦𝑦=𝑃𝑃=𝜌𝜌_𝑎𝑎.𝑉𝑉.𝑔𝑔 ; 𝑓𝑓 ��⃗�𝑓𝑓_𝑦𝑦=−𝑓𝑓=−𝑘𝑘×𝑣𝑣 ; Π ��⃗�Π𝑦𝑦=−Π=−𝜌𝜌_𝑒𝑒.𝑉𝑉.𝑔𝑔 𝑃𝑃�⃗+𝑓𝑓⃗+Π��⃗=𝑚𝑚×𝑎𝑎⃗  𝜌𝜌_𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔 − 𝑘𝑘𝑣𝑣 − 𝜌𝜌_𝑒𝑒.𝑉𝑉.𝑔𝑔=𝜌𝜌_𝑎𝑎.𝑉𝑉^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}

𝜌𝜌_𝑎𝑎.𝑉𝑉𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡+𝑘𝑘𝑣𝑣 =𝑉𝑉𝑔𝑔(𝜌𝜌_𝑎𝑎− 𝜌𝜌_𝑒𝑒) 𝑑𝑑𝑣𝑣

𝜌𝜌_𝑎𝑎𝑉𝑉 𝑣𝑣= 𝑔𝑔

𝜌𝜌_𝑎𝑎(𝜌𝜌_𝑎𝑎− 𝜌𝜌_𝑒𝑒) =𝑔𝑔 �1−𝜌𝜌𝑒𝑒

𝜌𝜌_𝑎𝑎� 𝑑𝑑𝑣𝑣

𝜌𝜌𝑎𝑎𝑉𝑉 𝑣𝑣=𝑔𝑔 �1−𝜌𝜌_𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑎𝑎�

3)

Vitesse limite : Lorsque la vitesse limite est atteinte : ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}^{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚} = 0 𝑑𝑑𝑣𝑣

𝜌𝜌_𝑎𝑎𝑉𝑉 𝑣𝑣=𝑔𝑔 �1−𝜌𝜌_𝑒𝑒

𝜌𝜌_𝑎𝑎� ⇒ 𝑘𝑘

𝜌𝜌_𝑎𝑎𝑉𝑉 𝑣𝑣^{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}=𝑔𝑔 �1−𝜌𝜌_𝑒𝑒

𝜌𝜌_𝑎𝑎� ⇒ 𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}=𝑔𝑔𝜌𝜌_𝑎𝑎𝑉𝑉

𝑘𝑘 �1−𝜌𝜌_𝑒𝑒 𝜌𝜌_𝑎𝑎� 𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚}=^{𝑔𝑔𝑉𝑉}_𝑘𝑘 (𝜌𝜌_𝑎𝑎− 𝜌𝜌_𝑒𝑒) =^10×3,4.10_3,8.10−6⁻¹¹× (1600−1000) =0,054 m.s^-1

4)

Temps caractéristique 𝜏𝜏 de la chute : 𝜏𝜏=^𝜌𝜌^𝑎𝑎_𝑘𝑘^𝑉𝑉=1600×3,4.10⁻¹¹

3,8.10⁻⁶ =𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟏𝟏𝟒𝟒 𝐬𝐬

5)

Régime permanent atteint

On estime que le régime permanent est atteint lorsqu’il s’est écoulé une durée égale à 5𝜏𝜏= 5 × 0,014=0,07 s Cette durée est extrêmement faible : on peut donc dire que la particule atteint sa vitesse limite dès son départ La vitesse est donc constante dès le départ : on peut déterminer la durée pour atteindre le fond par la formule : 𝑣𝑣= ℎ

∆𝑡𝑡 → ∆𝑡𝑡= ℎ

𝑣𝑣𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚= 1,20

0,054 =𝟐𝟐𝟐𝟐𝒔𝒔

(4)

Exercice 3

1) Mesure de la viscosité de la glycérine 1.1.

Voir schéma.

1.2.

Poids de la bille : P m g= × = ρ× ×V g

1.3.

Poussée d’Archimède : P_A = ρ_glycérine×V_immergé× = ρ × ×g ₀ V g

1.4.

La vitesse limite est atteinte avant le passage au niveau de R1. Entre les deux repères R1 et R2 , le vecteur vitesse

v

 de la bille est donc constant (norme v = vlim , direction selon l’axe Oy et sens celui de j

). La bille a un mouvement rectiligne et uniforme

 La première loi de Newton (principe d’inertie) indique que les forces se compensent.

Alors

Σ F

_ext

=

0 P

+

P

_A + f

= 0

1.5.

Expression de la viscosité

{

y

P P P Vg

→

= = ρ

; ^

P P

A^→

{

Ay

= − P

A

= −ρ

0

Vg

; ^

f f

^→

{

_y

= − = − πη f

6

rv

lim

P +

P

_A

+ f = 0

0 6 lim 0 0 6 lim

Vg Vg rv Vg Vg rv

ρ − ρ − πη = → ρ − ρ = πη

3 0 3 2

0 0 0

lim lim lim lim

4 ( )

( ) 3 4 ( ) 2 ( )

6 6 3 6 9

Vg r g r g r g

rv rv rv v

π ρ − ρ

ρ − ρ π ρ − ρ ρ − ρ

η = = = =

π π × π

1.6.

Calcul de la viscosité

lim 0,4

' 1,66 v h

= t = =

∆ ^{0,24 m.s}^-1

( )

2 3 3

2 0

lim

2 0,005 9,81 7,8.10 1,3.10

2 ( )

9 9 0,24

r g v

× × × −

ρ − ρ

η = = =

×

^{1,48 kg.m}^-1^.s^-1

2) Étude théorique du mouvement de la bille

2.1.

Equation différentielle : On applique la deuxième loi de Newton à la bille, de masse m, dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen :

Σ F

_ext

= m.a

 _⇔

P +

P

_A

+ f =

m.a

 Après projection on a

0

dv

Vg Vg kv m

ρ − ρ − = dt



m dv kv Vg (

0

)

dt + = ρ − ρ



dv k v Vg (

0

)

dt m + = m ρ − ρ

Or m= ρ×V dv k v Vg

(

0

)

dt + V = V ρ − ρ

ρ ρ ^

1 0

dv k v g dt V

 ρ  + ρ =   − ρ  

On a bien une équation sous la forme

dv Av B

dt + =

_avec_A ^K

= V

ρ ^et

B g 

1

ρ 

⁰

=   − ρ  

(5)

2.2.

Valeurs des constantes

3 7

0,14 7,8.10 5,2.10 A k

V ⁻

= = =

ρ × ^{34,5 s}^-1

0 3

3

1,3.10

1 9,81 1

7,8.10

B g =    − ρ  ρ   = × −       =

^{8,18 m.s}

-2

2.3.

Vitesse limite atteinte par la bille :

Lorsque la bille atteint sa vitesse limite on a v = cte = vlim 

dv

0

dt =

lim lim lim lim 8,18

34,5

dv Av B Av B v B

dt + = → = → = A = =0,24 m.s^-1

On retrouve la valeur de la vitesse limite déterminée dans la 1^ère partie

2.4.

Le rapport 1/A s’exprime en s (car A s’exprime en s^-1). Donc 1/A est homogène à une durée : 1/A correspond à la durée caractéristique τ de chute de la bille dans la glycérine.

2.5 .

Le régime 1 est le régime transitoire et le régime 2 est le régime permanent

1^ère méthode : 2^nde méthode :

On trace la tangente à l’origine du graphe.

Cette tangente coupe la droite horizontale d’ordonnée vlim = 0,24 m.s^-1 au point d’abscisse t = 0,03 s. Cette valeur correspond à la durée caractéristique t

On cherche l’abscisse du point qui a pour ordonnée 2/3 de la vitesse limite (67% de la vitesse limite) soit une vitesse de 0,16 m.s^-1.