Soutenance de HDR

(1)

Soutenance de HDR

Frédéric Mouton

FOURIER INSTITUT

f

i

_(Grenoble)

13 décembre 2010

(2)

Point de vue hyperbolique sur le comportement asymptotique des fonctions harmoniques

et

Analyse globale des données environnementales

(3)

asymptotique des fonctions harmoniques et

Analyse globale des données environnementales

(L’arbre et le cyclone)

(4)

1 Fonctions harmoniques et géométrie hyperbolique

2 Analyses de données environnementales

3 Triangulations de polygones presque convexes

(5)

Fonctions harmoniques et

géométrie hyperbolique

(6)

Fonctions harmoniques et géométrie hyperbolique

Fonctions harmoniques

(7)

Fonctions harmoniques

u harmonique (∆u =0) ⇐⇒ propriété de la moyenne

(8)

Fonctions harmoniques

(9)

Fonctions harmoniques

x

(10)

Fonctions harmoniques

x y

(11)

Fonctions harmoniques

x y

u(x) = ¹ 4

∑

∼

u(y)

(12)

Fonctions harmoniques

x y

u(x) = ¹ 4

∑

∼

u(y)

(13)

Fonctions harmoniques

x y

u(x) = ¹ 4

∑

∼

u(y)

x

(14)

Fonctions harmoniques

x y

u(x) = ¹ 4

∑

∼

u(y)

x S

(15)

Fonctions harmoniques

x y

u(x) = ¹ 4

∑

∼

u(y)

x S

u(x) = I

S

u(y)dy

(16)

Théorème de Fatou (1906)

o

Si u≥0, il y a une limitenon-tangentielle en presque tout point du bord.

(17)

Théorème de Fatou (1906)

θ

o

point du bord.

(18)

Théorème de Fatou (1906)

θ

o

Si u≥0, il y a une limitenon-tangentielleen presque tout point du bord.

(19)

Théorème de Calderon-Stein

z= (x,y)

x θ y

1

R^ν α

Γ^θ_α

Pour presque tout point θ du bord, sont équivalentes :

1 ∀α<π/2, lim_z_→θ,_z_∈Γθ

αu(z)existe

2 ∀α<π/2,u est bornée sur Γ^θ_α

3 ∀α<π/2,R

Γ^θ_α|∇u(x,y)|²y¹^−νdxdy <+∞.

(20)

Théorème de Calderon-Stein

z= (x,y)

x θ y

1

R^ν R^?₊

α Γ^θ_α

αu(z)existe

3 ∀α<π/2,R

Γ^θ_α|∇u(x,y)|²y¹^−νdxdy <+∞.

(21)

Théorème de Calderon-Stein

z= (x,y)

x θ y

1

R^ν R^?₊

α Γ^θ_α

Pour presque tout point θ du bord, sont équivalentes :

αu(z) existe

(22)

Problématique initiale

plus naturelle si on munit le demi-espace de la métrique hyperbolique de Poincaré. Le plus remarquable est que l’intégrale d’airedevient uneénergie:

Z

Γ^θ_α

|∇u(x,y)|²y¹^−νdxdy = Z

Γ^θ_α

|∇hypu|²_hypdv_hyp. On espère qu’un point vue géométrique permettra d’obtenir des résultats de ce type pour une large classe d’espaces.

(23)

Problématique initiale

Remarque : plusieurs de ces objets ont une expression plus naturelle si on munit le demi-espace de la métrique hyperbolique de Poincaré. Le plus remarquable est que l’intégrale d’airedevient uneénergie:

Z

Γ^θ_α

|∇hypu|²_hypdv_hyp.

des résultats de ce type pour une large classe d’espaces.

(24)

Problématique initiale

Remarque : plusieurs de ces objets ont une expression plus naturelle si on munit le demi-espace de la métrique hyperbolique de Poincaré. Le plus remarquable est que l’intégrale d’airedevient uneénergie:

Z

Γ^θ_α

|∇hypu|²_hypdv_hyp. On espère qu’un point vue géométrique permettra d’obtenir des résultats de ce type pour une large classe d’espaces.

(25)

Devinette : trouver le point commun

(26)

Devinette : trouver le point commun

arbre

(27)

Devinette : trouver le point commun

arbre étoile

(28)

Devinette : trouver le point commun

arbre étoile

boule

(29)

Devinette : trouver le point commun

arbre étoile

boule

espace demi-

(30)

Devinette : trouver le point commun

arbre étoile

boule

espace demi-

(31)

Devinette : trouver le point commun

arbre étoile

boule

espace demi-

(32)

Devinette : trouver le point commun

arbre étoile

boule

espace demi-

(33)

Hyperbolicité

(34)

Hyperbolicité

(35)

Hyperbolicité

(36)

Hyperbolicité

(37)

Hyperbolicité

(38)

Méthodes flexibles pour objets rigides

O

O θ

Xt

θ Xn

t

Dém. probabiliste de Calderón-Stein par J. Brossard Conditionnement et propriétes stochastiques (CV,...) Loi de sortie = mesure harmoniqueµ

(39)

Méthodes flexibles pour objets rigides

O

O θ

Xt

θ Xn

t

Dém. probabiliste de Calderón-Stein par J. Brossard Conditionnement et propriétes stochastiques (CV,...) Loi de sortie = mesure harmoniqueµ

(40)

Méthodes flexibles pour objets rigides

O

O θ

Xt

θ Xn

Analyse-Probabilités :(u(X_t)) est une martingale

Conditionnement et propriétes stochastiques (CV,...) Loi de sortie = mesure harmoniqueµ

(41)

Méthodes flexibles pour objets rigides

O

O θ

Xt

θ Xn

Analyse-Probabilités :(u(X_t)) est une martingale Dém. probabiliste de Calderón-Stein par J. Brossard

Loi de sortie = mesure harmoniqueµ

(42)

Méthodes flexibles pour objets rigides

O

O θ

Xt

θ Xn

Analyse-Probabilités :(u(X_t)) est une martingale Dém. probabiliste de Calderón-Stein par J. Brossard Conditionnement et propriétes stochastiques (CV,...)

(43)

Méthodes flexibles pour objets rigides

O

O θ

Xt

θ Xn

Analyse-Probabilités :(u(X_t)) est une martingale Dém. probabiliste de Calderón-Stein par J. Brossard Conditionnement et propriétes stochastiques (CV,...)

(44)

Stratégie

discret délicat).

“Hyperbolicité” =⇒bord de Martin= bord géométrique.

−→comparaison “non-tangentiel” et “stochastique”.

Propriétés stochastiques non équivalentes aux propriétés non-tangentielles en général.

−→nécessité de passerelles revenant au “non-tangentiel”.

(45)

Stratégie

Traitement du “stochastique” par les martingales (cas discret délicat).

(46)

Stratégie

non-tangentielles en général.

(47)

Stratégie

(48)

Résultats

— soit une variété riemannienne complète simplement connexe de courbure négative pincée,

— soit un arbre vérifiant l’hypothèse d’uniformité

∃ε>0,∃η>0,∀x ∼y,ε≤p(x,y)≤ ¹ 2−η. Pour une fonction harmonique surX, convergence

non-tangentielle, bornitude non-tangentielle et finitude de l’énergie non-tangentielle sont trois propriétés µ-presque partout équivalentes.

(49)

Résultats

On considère X étant

∃ε>0,∃η>0,∀x ∼y,ε≤p(x,y)≤ ¹ 2−η.

non-tangentielle, bornitude non-tangentielle et finitude de l’énergie non-tangentielle sont trois propriétés µ-presque partout équivalentes.

(50)

Résultats

On considère X étant

∃ε>0,∃η>0,∀x ∼y,ε≤p(x,y)≤ ¹ 2−η.

Pour une fonction harmonique surX, convergence

non-tangentielle, bornitude non-tangentielle et finitude de l’énergie non-tangentielle sont trois propriétés µ-presque

(51)

Arbres : toutes les notions coïncident

L N J

de l’énergie, ^r = radial,^∗= stochastique.

J

^? ^⊂^∼

L

^? ^⊂

N

^?

∩ ∩ ∩

J

^r

L

^r ^⊂

N

^r

∪ ∪ ∪

J L

^⊂

N

^r ^⊂^∼

J

^r ^et

J

^r ^⊂^∼

J

^?

L

^? ^⊂

L

^et

N

^⊂

J

(52)

Arbres : toutes les notions coïncident

Notations :

L

⁼ convergence,

N

⁼ ^bornitude,

J

⁼ ^finitude

J

^? ^⊂

L

^? ^⊂

N

^?

∩ ∩ ∩

J

^r

L

^r ^⊂

N

^r

∪ ∪ ∪

J L

^⊂

N

^r ^⊂^∼

J

^r ^et

J

^r ^⊂^∼

J

^?

L

^? ^⊂

L

^et

N

^⊂

J

(53)

Arbres : toutes les notions coïncident

Notations :

L

⁼ convergence,

N

⁼ ^bornitude,

J

⁼ ^finitude

J

^? ^⊂^∼

L

^? ^⊂

N

^?

∩ ∩ ∩

J

^r

L

^r ^⊂

N

^r

∪ ∪ ∪

J L

^⊂

N

^r ^⊂

J

^r ^et

J

^r ^⊂

J

^?

L

^? ^⊂

L

^et

N

^⊂

J

(54)

Arbres : toutes les notions coïncident

Notations :

L

⁼ convergence,

N

⁼ ^bornitude,

J

⁼ ^finitude

J

^? ^⊂^∼

L

^? ^⊂

N

^?

∩ ∩ ∩

J

^r

L

^r ^⊂

N

^r

∪ ∪ ∪

J L

^⊂

N

^r ^⊂^∼

J

^r ^et

J

^r ^⊂^∼

J

^?

L

^⊂

L

^et

N

^⊂

J

(55)

Arbres : toutes les notions coïncident

Notations :

L

⁼ convergence,

N

⁼ ^bornitude,

J

⁼ ^finitude

J

^? ^⊂^∼

L

^? ^⊂

N

^?

∩ ∩ ∩

J

^r

L

^r ^⊂

N

^r

∪ ∪ ∪

J L

^⊂

N

^r ^⊂^∼

J

^r ^et

J

^r ^⊂^∼

J

^?

L

^? ^⊂

L

^et

N

^⊂

J

(56)

Densité d’énergie

courbure négative pincée.

Alors u converge non-tangentiellement enµ-presque tout point θ∈∂M tel que

−¹ 2

Z

Γ^θ_c

∆|u|(dx)<+∞.

(57)

Densité d’énergie

Soit u une fonction harmonique définie sur un variété M de courbure négative pincée.

point θ∈∂M tel que

−¹ 2

Z

Γ^θ_c

∆|u|(dx)<+∞.

(58)

Densité d’énergie

Soit u une fonction harmonique définie sur un variété M de courbure négative pincée.

Alors u converge non-tangentiellement enµ-presque tout point θ∈∂M tel que

−¹ 2

Z

Γ^θ_c

∆|u|(dx)<+∞.

(59)

Hyperbolic graphs (Camille Petit)

(GRBD) assumption (∃K ≥0 such that every x ∈S is at distance at most K from a geodesic ray starting fromo), equipped with an admissible markovian transition function p such thatp^∗ is submarkovian.

Theorem 1.(accepted for publication, Proc. of A.M.S.) For a harmonic function u, the following two properties are equivalent for µ-almost allθ∈∂S :

1 the functionu converges non-tangentially at θ,

2 the functionu is non-tangentially bounded at θ. Theorem 2. µ-almost equivalence with the finiteness of non-tangential energy at θ.

(60)

Hyperbolic graphs (Camille Petit)

Setting : A coercive hyperbolic graphS satisfying the (GRBD) assumption (∃K ≥0 such that every x ∈S is at distance at most K from a geodesic ray starting fromo), equipped with an admissible markovian transition function p such thatp^∗ is submarkovian.

For a harmonic function u, the following two properties are equivalent for µ-almost allθ∈∂S :

2 the functionu is non-tangentially bounded at θ. Theorem 2. µ-almost equivalence with the finiteness of non-tangential energy at θ.

(61)

Hyperbolic graphs (Camille Petit)

2 the functionu is non-tangentially bounded at θ.

non-tangential energy at θ.

(62)

Hyperbolic graphs (Camille Petit)

2 the functionu is non-tangentially bounded at θ.

(63)

Transition animalière

E o

(64)

Transition animalière

Γc(E)

E o

(65)

Analyse spatiale et statistique des données environnementales,

une approche globale

des catastrophes naturelles

(66)

Analyses de données environnementales

Pourquoi ? Comment ?

Pourquoi :un besoin d’interaction avec le monde extérieur Comment :

Genève,

2 certificat de “géomatique environnementale” (géomatique = “approche intégrée de mesure,

gestion, stockage, analyse et diffusion de données à référence spatiale”),

3 stage au GRID/Europe (UNEP)

(67)

Pourquoi ? Comment ?

Pourquoi :un besoin d’interaction avec le monde extérieur

Comment :

Genève,

2 certificat de “géomatique environnementale” (géomatique = “approche intégrée de mesure,

(68)

Pourquoi ? Comment ?

1 enseignements de statistiques à l’université de Genève,

(géomatique = “approche intégrée de mesure,

(69)

Pourquoi ? Comment ?

2 certificat de “géomatique environnementale”

(70)

Pourquoi ? Comment ?

2 certificat de “géomatique environnementale”

(71)

Approche globale

permis le développement de bases de données globales (= mondiales).

Dans une analyse globale, on cherche une couverture des données la plus large possible =⇒

résolution spatiale ou temporelle assez grossière, nombre de variables réduit,

qualité des données très inégale (couverture, homogénéité, résolution, traitement informatique, accès, métadonnées)

(72)

Approche globale

Les progrès récents (satellites, traitement, stockage) ont permis le développement de bases de données globales (= mondiales).

données la plus large possible =⇒

qualité des données très inégale (couverture, homogénéité, résolution, traitement informatique, accès, métadonnées)

(73)

Approche globale

Les progrès récents (satellites, traitement, stockage) ont permis le développement de bases de données globales (= mondiales).

Dans une analyse globale, on cherche une couverture des données la plus large possible =⇒

qualité des données très inégale (couverture, homogénéité, résolution, traitement informatique,

(74)

Attentes et limites

robustes, automatisables.

Résultats

= tendances, influences qualitatives, comparaisons grossières,

6= prédictions, comparaisons précises, conclusions locales.

(75)

Attentes et limites

Méthode : modèles physiques et statistiques simples, robustes, automatisables.

(76)

Attentes et limites

Méthode : modèles physiques et statistiques simples, robustes, automatisables.

Résultats

(77)

Disaster Risk Index (avec P. Peduzzi...)

Développement a voulu estimer le niveau de vulnérabilité des populations aux catastrophes naturelles pour mieux cibler ses aides. Il a fait appel au GRID/Europe.

Méthodologie :

1 par type de risque et pays, calcul de l’exposition physique,

2 exp. physique + nb. de décès−→vulnérabilité,

3 vulnérabilité en fonction des variables

socio-économiques à l’aide d’un modèle statistique.

(78)

Disaster Risk Index (avec P. Peduzzi...)

En 2000, le Programme des Nations Unies pour le

socio-économiques à l’aide d’un modèle statistique.

(79)

Disaster Risk Index (avec P. Peduzzi...)

En 2000, le Programme des Nations Unies pour le

Méthodologie :

(80)

Cyclones (avec O. Nordbeck)

Calcul de l’exposition physique au risque cyclonique :

2 déterminer leszones-tampon (vents extrêmes),

3 zones-tampon + population−→exposition.

(81)

Cyclones (avec O. Nordbeck)

Calcul de l’exposition physique au risque cyclonique :

1 récupérer et unifier les données physiques (logiciel),

2 déterminer leszones-tampon (vents extrêmes),

3 zones-tampon + population−→exposition.

(82)

Modèle stationnaire de G.J. Holland

V_h(R) = ^b

ρ· ^R^max

R ·(P_env−P_centre)·e⁽^Rmax^R ⁾^b+^R ^f 4 −^Rf

2

où

Vh(R)est la vitesse du vent à distanceRde l’œil (ms⁻¹) ;

best un paramètre qui change la forme du profil radial (sans dimension) ; Pcentreest la pression au centre du cyclone (Pa) ;

P_envest la pression asymptotique environnementale (Pa) ; Rmaxest la distance de l’œil à laquelle le vent est maximal (m) ; Rest la distance de l’œil à laquelle on estime le vent (m) ; ρest la densité de l’air, supposée constante (1,15kg·m⁻³) ;

fest le paramètre de Coriolis (=2ωsin(lat)) avecω=0.0000729rad·s⁻¹, la vitesse angulaire de la terre, etlatla latitude.

(83)

Modèle stationnaire de G.J. Holland

V_h(R) = s

b ρ·

R_max R

b

·(P_env−P_centre)·e⁽^Rmax^R ⁾^b+^R

2f² 4 −^Rf

2

où

Vh(R)est la vitesse du vent à distanceRde l’œil (ms⁻¹) ;

best un paramètre qui change la forme du profil radial (sans dimension) ; Pcentreest la pression au centre du cyclone (Pa) ;

P_envest la pression asymptotique environnementale (Pa) ; Rmaxest la distance de l’œil à laquelle le vent est maximal (m) ; Rest la distance de l’œil à laquelle on estime le vent (m) ; ρest la densité de l’air, supposée constante (1,15kg·m⁻³) ;

(84)

Champ des vitesses de vent (1)

(85)

Champ des vitesses de vent (1)

(86)

Champ des vitesses de vent (2)

(87)

Zones tampon latérales

(88)

Zones tampon latérales

(89)

Zones tampons de trajectoires

(90)

Zones tampons de trajectoires

(91)

Inondations (avec C. Herold)

But : carte globale d’aléas d’inondations.

Utilité :Global Assessment Report (UNDP,International Strategy for Disaster Reduction), suite duDRI.

Méthodologie :

en utilisant le débit centenaire et un MNT

bassins avec station de mesure : débits estimés en modélisant la série des débits maximaux annuels bassins sans station de mesure : débits évalués par des régressions sur les variables climatiques,

hydromorphométriques et de couverture du sol

(92)

Inondations (avec C. Herold)

Méthodologie :

(93)

Inondations (avec C. Herold)

Méthodologie :

(94)

Inondations (avec C. Herold)

Méthodologie :

estimer les zones inondées par une crue centenaire, en utilisant le débit centenaire et un MNT

modélisant la série des débits maximaux annuels bassins sans station de mesure : débits évalués par des régressions sur les variables climatiques,

(95)

Inondations (avec C. Herold)

Méthodologie :

bassins avec station de mesure : débits estimés en modélisant la série des débits maximaux annuels

des régressions sur les variables climatiques, hydromorphométriques et de couverture du sol

(96)

Inondations (avec C. Herold)

Méthodologie :

(97)

Organigramme

RAW DATA

BASIN VARIABLES

MODELS

Climate Discharge

Stations

D.E.M. Landcover

SPATIAL ANALYSIS I Prod. of Basin Variables

Stations

Climatic Variables

Hydromorpho.

Variables

Production of Peak−Flow Estimates

Groups/Formulae

SPATIAL ANALYSIS II Estim. of Flooded Areas

Concl.

Recorded Floods

Landcover Variables Processed

STATISTICAL ANALYSIS

DISCUSSION Map

(98)

Première analyse spatiale

Landcover Climate

Discharge Stations

BASIN VARIABLES

Landcover Hydromorpho.

Climatic

D.E..M.

Hydro1K RAW DATA

Hydrologic Correction

Spatial Adjustment I: Hydrologic Network Spatial Adjustment II: Drainage Area Moving to Basin Outlet

Avoid Spatial Redundancy

G.I.S.

Compilation of Data

Processed Discharge Stations / Basins

(99)

Analyse statistique

FREQUENCY ANALYSIS

Estimates

Peak−Flow Except. Precipitation Estimates

Response Explicative Variables STATISTICAL

VARIABLES

TRANSFORMATION OF VARIABLES

REGRESSIONS BY GROUPS GROUPING Stations

Climatic Variables

Hydromorpho.

Variables

Landcover Variables BASIN Processed

VARIABLES

If Not Satisfactory If Satisfactory

(100)

Deuxième analyse spatiale

Hydroshed 90m

D.E.M. Climate Landcover Groups/Formulae

FREQUENCY ANALYSIS FOR PRECIPITATION TRANSFORMATION OF VARIABLES

PEAK−FLOW ESTIMATION

Peak−Flow Estimates

HYDRAULIC MODEL RAW DATA

AND MODELS

SELECTION OF SIGNIFICANT VARIABLES

G.I.S.

Computed Significant Variables

Stage Functions

ESTIMATION OF FLOODED AREAS

(101)

Triangulations de polygones presque convexes

(avec R. Bacher)

(102)

Triangulations de polygones presque convexes

Polygones strictement convexes

convexe est

C_n₋₂=

2(n−2) n−2

/(n−1).

On note la fonction génératrice des nombres de Catalans

G_C(t) =

∑

k≥0

C_kt^k =

∑

k≥0

2k

k

t^k

k+1.

Pour p(t) = ∑_k≥2α_kt^k, on pose p(t),t²G_C(t)

t =

∑

k≥2

α_kC_k₋₂.

(103)

Polygones strictement convexes

Le nombre de triangulations d’un polygone strictement convexe est

C_n₋₂=

2(n−2) n−2

/(n−1).

G_C(t) =

∑

k≥0

C_kt^k =

∑

k≥0

2k

k

t^k

k+1.

Pour p(t) = ∑_k≥2α_kt^k, on pose p(t),t²G_C(t)

t =

∑

k≥2

α_kC_k₋₂.

(104)

Polygones strictement convexes

C_n₋₂=

2(n−2) n−2

/(n−1).

G_C(t) =

∑

k≥0

C_kt^k =

∑

k≥0

2k

k

t^k

k+1.

Pour p(t) = ∑_k≥2α_kt , on pose p(t),t²G_C(t)

t =

∑

k≥2

α_kC_k₋₂.

(105)

Polygones strictement convexes

C_n₋₂=

2(n−2) n−2

/(n−1).

G_C(t) =

∑

k≥0

C_kt^k =

∑

k≥0

2k

k

t^k

k+1.

Pour p(t) =∑_k≥2αkt^k, on pose p(t),t²G (t)

=

∑

^α ^C ⁻ ^.

(106)

Polygones convexes au sens large

(107)

Polygones convexes au sens large

Deux polygones convexes de poids 1,5,2,3,4 :

(108)

Triangulations maximales

p_m =

bm/2c k

∑

=0

(−1)^k

m−k

k

t^m⁻^k.

Théorème.

τ_max(a₁,a₂, . . . ,a_l) =

l

∏

i=1

p_a_i(t),t²G_C(t)

t.

(109)

Triangulations maximales

Polynômes maximaux d’arêtes :

p_m =

bm/2c k

∑

=0

(−1)^k

m−k

k

t^m⁻^k.

τ_max(a₁,a₂, . . . ,a_l) =

l

∏

i=1

p_a_i(t),t²G_C(t)

t.

(110)

Triangulations maximales

Polynômes maximaux d’arêtes :

p_m =

bm/2c k

∑

=0

(−1)^k

m−k

k

t^m⁻^k.

Théorème.

τ_max(a₁,a₂, . . . ,a_l) =

l

∏

i=1

p_a_i(t),t²G_C(t)

t.

(111)

Polynôme des triangulations

p_m =

m

∑

k=1

m−1

k−1

p_k(t)s^k.

Théorème. Le polynôme des trangulations est

∑

k

τ_k(a₁,a₂, . . . ,a_l)s^k =

l

∏

i=1

p_a

i(t),t²G_C(t)

t. Corollaire. La combinatoire des triangulations de P(a₁,a₂, . . . ,a_l) ne dépend pas de l’ordre des poids.

(112)

Polynôme des triangulations

Polynômes complets d’arêtes :

p_m =

m

∑

k=1

m−1

k−1

p_k(t)s^k.

∑

k

τ_k(a₁,a₂, . . . ,a_l)s^k =

l

∏

i=1

p_a

i(t),t²G_C(t)

t. Corollaire. La combinatoire des triangulations de P(a₁,a₂, . . . ,a_l) ne dépend pas de l’ordre des poids.

(113)

Polynôme des triangulations

p_m =

m

∑

k=1

m−1

k−1

p_k(t)s^k.

∑

k

τ_k(a₁,a₂, . . . ,a_l)s^k =

l

∏

i=1

p_a

i(t),t²G_C(t)

t.

P(a₁,a₂, . . . ,a_l) ne dépend pas de l’ordre des poids.

(114)

Polynôme des triangulations

p_m =

m

∑

k=1

m−1

k−1

p_k(t)s^k.

∑

k

τ_k(a₁,a₂, . . . ,a_l)s^k =

l

∏

i=1

p_a

i(t),t²G_C(t)

t. Corollaire. La combinatoire des triangulations de

(115)

Polygones presque convexes

(116)

Polygones presque convexes

(117)

Théorème

Il existe des polynômes de presque-arêtes P_E tels que le nombre des triangulations maximales de P(E₁, . . . ,E_l) soit

τ_max(P(E₁, . . . ,E_l)) =

l

∏

i=1

p_E_i(t),t²G_C(t)

t

∑

k

τk(P(E₁, . . . ,E_l))s^k =

l

∏

i=1

p_E_i(t),t²G_C(t)

t. Conséquence : La combinatoire des triangulations ne dépend pas de l’ordre des presque-arêtes.

(118)

Théorème

τ_max(P(E₁, . . . ,E_l)) =

l

∏

i=1

p_E_i(t),t²G_C(t)

t

et son polynôme des triangulations soit

∑

k

τk(P(E₁, . . . ,E_l))s^k =

l

∏

i=1

p_E_i(t),t²G_C(t)

t.

dépend pas de l’ordre des presque-arêtes.

(119)

Théorème

τ_max(P(E₁, . . . ,E_l)) =

l

∏

i=1

p_E_i(t),t²G_C(t)

t

et son polynôme des triangulations soit

∑

k

τk(P(E₁, . . . ,E_l))s^k =

l

∏

i=1

p_E_i(t),t²G_C(t)

t.

(120)