REACTIONS NUCLEAIRES
INDUITES PAR LE NEUTRON
2
INTERACTION NEUTRON NOYAU Description de l’interaction
On considère un neutron d’énergie cinétique En en interaction avec un noyau comprenant A nucléons. Le neutron est supposé avoir un moment orbital nul de sorte que l’interaction peut être décrite comme la diffusion d’une particule sur un puits de potentiel sans barrière centrifuge.
Les nucléons du noyau A sont répartis dans le puits de potentiel sur différentes orbites.
L’énergie et le nombre de nucléons de chaque orbite sont définis par le modèle en couche.
Les orbites sont toutes remplies jusqu’à un niveau d’énergie appelé le niveau de Fermi.
Au dessus du niveau de Fermi, les orbites sont vides.
Lorsque le neutron arrive au niveau du puits de potentiel, il y a deux possibilités :
1.Le neutron est réfléchi par le potentiel et conserve son énergie dans le centre de masse. Le noyau A reste dans son état fondamental. On appelle ce processus
DIFFUSION POTENTIELLE
2.Le neutron est capturé par le puits et occupe une des orbites vides au dessus du niveau de Fermi. On obtient un noyau A+1 qui est dans un état excité. L’énergie d’excitation est définie comme la somme de l’énergie de liaison du neutron et de son énergie cinétique. On appelle ce processus
FORMATION DU NOYAU COMPOSE
3
Énergie
n + A
A+1
n + A
En
Eo
Sn
Dans le cas du noyau composé, il y a deux possibilités :
1. Le neutron est réémis en ayant transmis une énergie E0 au noyau résiduel A.
Dans ce cas nous avons une diffusion inélastique qui ne peut se produire que si En > E0, où E0 est l’énergie du premier état excité du noyau A. En effet, le neutron apporte une énergie Sn+En et le neutron réémis emmène l’énergie Sn+En-E0, ce qui implique En>E0.
En’
4 2. Une deuxième possibilité est que le neutron ne soit pas réémis. Nous aurons
alors un noyau composé excité où nous pourrons observer une succession d’interactions nucléon-nucléon-trou que l’on appellera excitations de quasiparticules.
Cet état excité a une durée de vie Dt et une énergie E0 connue avec une incertitude DE.
Ces deux quantités sont reliées par le principe d’incertitude de Heisenberg :
DE est appelé largeur du niveau et notée G.
En se rappelant que le nombre total de désintégrations dN pendant un petit intervalle de temps dt à l'instant t est proportionnel au nombre de radionucléides N présents et à la durée dt de cet intervalle, on obtient la loi de décroissance exponentielle. Le constante de proportionnalité est la durée de vie, qui est l’inverse de la constante de désintégration. Mathématiquement, cette loi se déduit comme suit :
On peut écrire la probabilité d’observer cet état à un instant t comme:
ΔΕ Δτ
t t
e e
t
p
G
D
t)
( dt
t N t
dN ( ) ( ) D t
Dt
e
tN t t N
p
0
) ) (
t
(
D
t
e N t
N ( )
05 Construction de la fonction d’onde
La fonction d’onde du neutron dans le puits de potentiel est solution de l’équation de Schrödinger :
On fait l’hypothèse que le potentiel est indépendant du temps et que la fonction d’onde peut se factoriser en deux parties: l’une dépendant du temps, l’autre de l’espace.
L’équation de Schrödinger devient après la substitution et division par :
dt i d
m V
D
2
2
) ( )
( )
,
( r t r F t
dt t dF t
i F r V
r m
) ( )
( 1 )
( ) ( 2
2
D
) ( )
( r F t
6 Le premier membre ne dépend que de l’espace, le second membre ne dépend que du temps. Les deux membres de l’équation sont indépendants. Pour que l’équation soit satisfaite, il faut qu’ils soient égaux à une constante. Cette constante est une des valeurs propres de l’Hamiltonien. C’est l’énergie E0 associée au système. On a alors :
C’est un comportement périodique correspondant à un état stationnaire ayant une durée de vie infinie.
Pour un certain nombre de valeurs de E0, représentant les niveaux d’énergie du noyau A+1, l’interaction neutron noyau présente un comportement particulier. Ce sont les résonances. En fait, un état excité du noyau composé a une durée de vie finie donnée par la relation d’Heisenberg
et la probabilité d’observer le niveau au temps t après l’interaction est donné par
dt t E
F t
i dF
0) (
)
(
tiE
e t
F
0
)
(
Γ Δτ ΔΕ
ΔΕ
Δτ
e
tt
p
G
)
(
7 Cette probabilité est également proportionnelle au carré du module de la fonction d’onde, ce qui implique que l’amplitude de la fonction d’onde doit être proportionnelle à
La fonction d’onde de l’interaction neutron-noyau a la forme :
Modes de désexcitation
Après formation , le noyau composé se désexcite par une série de processus « i » de constante de décroissance li=1/Dti. A chacun de ces processus on associe une largeur partielle
La probabilité de désexcitation est donnée par le produit des probabilités partielles:
La largeur du niveau G est la somme des largeurs partielles.
t i i E
t r e
e t
F r
t
r , ) ( ) ( ) 2 ( ) (
02 ) (
G G
i
i
l
G
li
Gi t i Gii
t i
t
e e
e )
t (
p
2t
t
e
e
~
2~
G
G
8
SECTIONS EFFICACES
La section efficace est une fonction de l’énergie. Elle varie lentement dans le domaine du continuum, là où les résonances sont de faible amplitude et de grande largeur. Dans le domaine des résonances résolues, les fluctuations sont très rapides. En adaptant la largeur DE du domaine d’intégration, on peut toujours définir une section efficace moyenne comme suit :
Cette expression représente la forme générale de la section efficace en fonction de l’énergie. La section efficace totale est la somme des sections efficaces de diffusion potentielle et de formation du noyau composé:
Dans la suite nous allons chercher à exprimer ces sections efficaces en présentant les modèles courants utilisés pour leur représentation.
D
D
E
dE E ( E )
1 s
s
c p
t
s s
s
9 Programme du cours:
•Diffusion élastique neutron-noyau en utilisant une développement en ondes partielles. Le neutron garde son énergie dans le centre de masse et le noyau reste dans son état fondamental.
•Formation du noyau composé avec comme cible un noyau noir. Le potentiel nucléaire de la cible est décrit par un puits carré. Toutes les particules incidentes sur le puits restent capturées définitivement, ou elles passent sans être affectées par le potentiel.
•Formation du noyau composé avec le modèle optique, dans lequel la fonction d’onde interceptée a une probabilité non-nulle d’échapper. Le potentiel d’interaction a une partie réelle qui décrit le processus de diffusion et une partie imaginaire qui tient compte de l’absorption.
•Description statistique des résonances dans le noyau composé dans laquelle à chaque état résonante est attribué la même largeur moyenne et les résonances sont équidistantes.
• Le modèle de Breit-Wigner pour une résonance isolée utilisé pour la description des grandes variations de la section efficace dans le noyau composé. Des paramètres individuels sont attribués à chaque résonance, et le modèle reproduit les processus de diffusion , les résonances, les interférences, et l’absorption.
10
Section efficace de diffusion élastique neutron-noyau
La diffusion élastique (potentielle) est représentée par la diffusion d’une onde plane associée au neutron, par un puits de potentiel central représentant la cible.
L’onde plane incidente s’écrit :
où k est le nombre d’onde du neutron incident
L’onde réfléchie dans une direction q s’écrit en coordonnées polaires :
La fonction f(q), appelée amplitude de diffusion, est fonction de l’énergie du neutron et de la forme du potentiel de diffusion. La probabilité de diffusion dans la direction q est égale au carré du module de l’onde réfléchie
ikz i
e
k 2 1 mv
l
r f e
ikr
r
( q )
2 2
2
( )
)
( r
P
rf q
q
11 La section efficace différentielle de diffusion dans l’angle solide dW entourant la direction q est alors
et la section efficace de diffusion potentielle
Notre but est de déterminer f(q) afin de pouvoir calculer la section efficace de diffusion potentielle.
Dans le cas d’un potentiel central, l’onde plane incidente s’exprime en coordonnées polaires en utilisant les polynômes de Legendre et les fonctions de Bessel:
où
W
q q q
q
s
2
2 4
2
2 ( ) sin
)
( d f d
p
f
0
) (cos )
( )
1 2
(
i
j kr P q e
ikzW
dS f d
r dS f
dS P
d
r 2 22
2
( ) ( ) ( )
) ( )
( )
( q q q
q q
q s
) 2 (
) (
2
1
kr kr J
kr j
l
l12 dont la valeur asymptotique loin du potentiel diffuseur est
Par analogie, on définie la fonction d’onde totale, somme de la fonction d’onde incidente et de l’onde réfléchie par le développement :
Loin du potentiel diffuseur la forme asymptotique de la fonction radiale Rl(kr) est
où dl est le déphasage produit par le potentiel sur l’onde partielle d’indice l. Il ne dépend que de l’énergie du neutron et de la forme du potentiel diffuseur, et est indépendant de q. Les amplitudes Al sont choisies pour que la fonction d’onde totale soit bien la somme d’une onde plane incidente et d’une onde sortante sphérique:
On obtient l’amplitude de diffusion f(q) en soustrayant la fonction d’onde incidente de la fonction d’onde totale:
0
) (cos )
( )
(
q
q
A R kr P
r f e
e
ikr ikz
t
i e
idA ( 2 1 )
0
2
1 ) (cos )
)(
1 2
2 ( ) 1 (
q
q e
dP
f ik
i2 ).
1 sin(
)
(
l kr kr
kr
j
l
2 ) 1 sin(
)
(
ll
kr l
kr kr
R d
13 La section efficace s’obtient par l’intégration de :
Les potentiels de diffusion réalistes ne permettent pas une expression analytique des déphasages dl et donc de la section efficace.
Uniquement dans le cas simpliste d’un potentiel sphérique de rayon a et de profondeur V0, les valeurs des déphasages sont obtenues en exprimant la continuité de la dérivée logarithmique de la fonction d’onde à la frontière du puits de potentiel r=a. Pour un neutron de moment orbital nul (neutron s), on obtient l’expression :
k étant le nombre d’onde du neutron incident ( ) et K le nombre d’onde à l’intérieur du puits ( ).
Les déphasages correspondant à des valeurs de l non nulles sont négligeables.
Il en résulte que seule l’onde l=0 contribue pratiquement à la diffusion potentielle, ce qui permet d’obtenir une écriture simplifiée de la section efficace totale :
Pour des neutrons thermiques, En<<V0. Trouver l’expression de la section efficace potentielle.
0
2
2
( 2 1 ) sin
4
d
s
p)
0
( tgKa
K Arctg k ka
d
0 2 2
sin
4 d
s
p
q q ) sin (
2f
mE
nk 1 2
(
01 2
V E
m
K
n
p ka
2 2sin 4 s
14
15
16
Section efficace de formation du noyau composé
De façon générale, une fonction d’onde plane se décompose en ondes partielles sphériques d’ordre
l.
A chaque onde partielle correspond une section efficace partielles
l.
La section efficace de formation du noyau composé s’écrit comme la somme des sections efficaces partielles :Une particule d’impulsion p et de paramètre d’impact b a un moment cinétique L=p·b.
Le moment cinétique s’écrit aussi L =
l
ħ. On en déduit la valeur du paramètre d’impact:
0 l
l c
c
s
s
b
p
b
17 En conséquence toutes les particules ayant un moment cinétique compris entre
l
et(l
+1)
ont un paramètre d’impact compris entre et . Elles se trouvent sur une couronne de surface :Cette surface est la surface d’impacte la plus grande possible entre un projectile de moment angulaire l et une cible. La section efficace partielle de formation du noyau composé qui correspond à la pénétration dans le puits de potentiel représentant la cible peut ainsi s’écrire:
où Tlest la probabilité qu’un neutron de moment angulaire l pénètre dans le noyau. Ce coefficient s’appelle transparence de surface ou coefficient de transmission. On écrit la section efficace moyenne de formation du noyau composé :
Le calcul des coefficients de transmission se fait à partir de l’Hamiltonien de l’interaction neutron-noyau. Cependant, seuls quelques modèles simplifiés permettent une approche réaliste de ces valeurs.
( 1 ) ) 1 2
( )
1
(
2
2
2
2
2
T
c
2( 2 1 )
s
( 2 1 ) T
0 2
c
s
18 Modèle du noyau noir
Dans ce modèle, le noyau est représenté par un puits de potentiel carré de rayon R et de profondeur V0 à l’intérieur du noyau, associé à une barrière centrifuge à l’extérieur du noyau.
V(x) = -V0 pour IxI<R
l
(l
+1)
2/
2mx2 pour IxI>RToute particule pénétrant dans le noyau est complètement absorbée et n’a aucune chance d’en ressortir.
Le coefficient de transmission est le produit du coefficient de pénétration de la barrière centrifuge vl par la probabilité pl de passer de l’extérieur du noyau à l’intérieur du noyau.
Tl = pl · vl
Dans le cas d’une onde plane, on peut calculer les probabilités pl pour un puits de potentiel situé en x=-R.
La fonction d’onde incidente se déplaçant dans le sens des abscisses positives s’écrit pour x< -R:
La fonction d’onde dans le puits (x > -R) s’écrit :
, Be
Ae
ψ
1(x)
ik(Rx)
ik(Rx), Ce
ψ
2(x)
iK(Rx) K 1 2m(En V0)mEn
1 2 k
19 La probabilité pl est définie comme le rapport du nombre de particules pénétrant dans le puits au nombre de particules incidentes, soit:
Compte tenu des conditions de continuité des fonctions d’ondes et de leur dérivée en x= -R, on obtient :
à démontrer
Etant donné que la profondeur du puits (de l’ordre de 40 MeV) est beaucoup plus grande que l’énergie cinétique du neutron incident, k<<K , la probabilité se réduit à
Pour les énergies des neutrons considérés en physique des réacteurs, on a généralement r = kR << 1 et on peut également calculer les coefficients de pénétrabilité de la barrière centrifuge
v0 = 1
v1 = r2/(1+r2) v2 = r4/(9+3r2+r4)
A basse énergie, vl décroît très vite avec l et seule l’onde s est prépondérante.
2 2 2
A B p A
)
2( 4
K k
p kK
K p 4 k
20 La transmission de la barrière de potentiel peut être reliée à un coefficient indépendant de l’énergie et sans dimension appelé fonction densité et défini par la relation
La section efficace moyenne de formation du noyau composé s’écrit alors
Dans le modèle du noyau noir, lorsque l’énergie du neutron incident est faible devant la profondeur du puits de potentiel, on a
Il vient donc
E
neV v
T
s π 1
2 1
n
c
π ( ) s v E
σ
0 2
2
2 1
2
0
4
4 V
E K
k v
T
n
0
1 2
π V
s
l
21 La fonction densité est alors indépendante du moment angulaire, et comme la profondeur du puits est voisine de 40 MeV pour tous les noyaux quelque soit la masse A, on obtient
La section efficace moyenne varie alors comme
c’est-à-dire comme
Elle ne dépend de la masse du noyau que par l’intermédiaire des coefficients de pénétrabilité de la barrière centrifuge vl.
Ce modèle montre vite ses limites spécialement dans la région des masses A=140 où des écarts très importants sont observés.
Pour améliorer cette description des modèles de potentiel plus réalistes ont été élaborés.
10
4
s
n l
E v
n n
n n n
n n
c
E
E v E v
E m p v
E
σ v
2
1
2 2 2
22
Modèle optique
Dans ce modèle, le noyau est représenté par un puits de potentiel avec possibilité d’absorber et de réémettre la particule incidente.
Le potentiel comprend une partie réelle et une partie imaginaire
La partie réelle est usuellement un potentiel de Wood-Saxon, V(r)=-V0f( r) avec
La partie imaginaire qui représente l’absorption et la réémission différée d’une partie de l’onde incidente est généralement prise égale à la dérivée d’un puits de Wood-Saxon.
Ce potentiel décrit aussi bien les noyaux sphériques que les noyaux déformés.
L’introduction de cette forme de potentiel dans l’équation de Schrödinger permet d’obtenir les coefficients de transparence Tl et les fonctions de densité qui dépendent de la masse du noyau cible. Il permet d’obtenir des résultats en bon accord avec la réalité.
La difficulté réside dans la détermination de la variation des paramètres du potentiel avec le nombre de masse et l’énergie des neutrons incidents.
) ( )
( )
( r V r iW r
U
a R r
e r
f
1 ) 1 (
dr r W df
r
W ( )
)
(
023
Modèle du noyau composé (modèle statistique)
Ce modèle a été développé pour décrire la région des résonances qui sont traitées de façon statistique.
On affecte à chaque niveau d’énergie du noyau composé des paramètres moyens. Chaque niveau a une largeur identique G et l’espacement entre les niveaux a une valeur commune D.
Si E0 est l’énergie du premier niveau, l’énergie du m+1ième niveau et sa fonction d’onde sont donnés par
mD E
E
m
0
t i mD i E
m
m ( r , t ) ( r ). e (
02 )
G
La fonction d’onde associée à ce niveau s’écrit donc
24 Si on prend un grand nombre de niveaux, la fonction d’onde associée à ces N niveaux est
La sommation amm est le développement d’une fonction périodique eiwt dont la période p=2/w correspond au terme fondamental m=1, soit
Remarquons que cette période est beaucoup plus grande que le temps de parcours d’une orbite individuelle (T=1/n=h/E, D<<E => p>>T) .
Le coefficient de décroissance du noyau composé par émission d’un neutron est égale au produit de la transparence de la barrière par le nombre de fois que le neutron se présente devant cette barrière. Pour un neutron de moment orbital l,
d’où :
n N
n m
i mDt m
m Γ )t
i i (E N
n
n m
m m
N a Ψ e a e
Ψ
02
p 2 D
p T T
n l
G n l
D T
p
nl n
G G
2
25 On déduit un coefficient de transparence moyen
en prenant <Dl> =D.
On déduit également un fonction densité
ou
D
π Γ
T 2
nE
neV v
T
s π 1
2 1
n n
E eV D
s v 1 1
G
26 On définie une largeur neutronique réduite
ce qui permet de simplifier l’expression de la fonction densité
Le modèle du noyau composé permet de définir la fonction densité dans le domaine des résonances comme le rapport de la largeur neutronique réduite moyenne par l’espacement moyen entre deux niveaux.
On peux alors écrire la section efficace moyenne de formation du noyau composé :
n n
n
E
eV
v G
G 1 1
D
s G
n
D
n c
G
0 2
2
( 2 1 )
2
s
27 La section efficace de désexcitation du noyau composé suivant une voie i de largeur Gi s’écrit
La section efficace moyenne de désexcitation du noyau composé dans la voie i devient :
Pour une voie d’entrée « a » et une voie de sortie « b" on définit le facteur de fluctuations statistiques par
Il peut être calculé à partir des lois de distribution statistique des paramètres.
G
cG
ii
n
s
s
,Γ Γ Γ ) D
π (
σ
n,i n i
1
1 2
2
0 2
2
Γ Γ Γ
Γ Γ Γ S
b a
b a
ab
28 En introduisant ce facteur, on peut définir la section efficace moyenne de désexcitation de la voie « i » en fonction des valeurs moyennes des paramètres de résonance:
ni i
n
n,i
S
Γ Γ Γ
) D π (
σ
1
1 2
2
0 2
2
