L’´ equation de Dirac sur le cˆ one de lumi` ere Electrons de Majorana et Monopˆ oles magn´ etiques

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L’´ equation de Dirac sur le cˆ one de lumi` ere Electrons de Majorana et Monopˆ oles magn´ etiques

Georges Lochak

Fondation Louis de Broglie 23, rue Marsoulan 75012 - Paris

RÉSUMÉ. On montre que la condition de Majorana, qui réduit l’équation de Dirac à l’équation dite ”abrégée”, peut être remplacée par la condition équivalente (et invariante de jauge) quel’invariant chiral s’annule, ce qui revient à écrire l’équation de Dirac sur le cône de lumière. Ceci permet une dérivation lagrangienne. On montre que le champ obtenu a deux charges possibles, électrique ou magnétique. Le système se scinde toujours en deux composantes chirales (contrairement au champ de Dirac mais de fa¸con analogue

`

a celui du monopôle). On donne la solution de l’équation d’une telle composante chirale, dans le cas électrique, en présence d’un champ

´

electrique central. Les états sont toujours ionisants. La même étude est plus compliquée dans le cas magnétique, mais elle prouve qu’il s’agit indibutablement d’un monopôle et qu’il est plus stable que l’état ”électron”.

ABSTRACT. It is shown that the Majorana condition, that reduces the Dirac equation to the ”abbreviated” form, may be substituted by the condition that the chiral invariant equals zero, which is equivalent to write the Dirac equation on the null-cone. Owing that, we give a Lagrange derivation. The equation has two states : an ”electron”

and a ”monopole”. In both cases the equation splits into two chiral componants. In the electric case the equation is solved in a central field : all states are ionizing, independently of the sign of charge. In the magnetic case the equation is more difficult but it is proved that this state is indubitably the one of a massive monopole (contrary to the preceding massless equation precedingly given by the author) and that this state is more stable than the electric one.

1. Introduction. Comment le champ de Majorana apparaˆıt dans la théorie du monopôle magnétique.

J’ai proposé une théorie du monopôle magnétique dans le cadre de l’équation de Dirac [1][2][3][4][5][6][7]. Cette théorie est fondée sur la

(2)

remarque que l’équation de Dirac possède non pas une mais deux jauges locales invariantes (et deux seulement), la première correspondant à une charge électrique et la seconde à une charge magnétique.

La premi`ere est la jauge habituelle :

ψ→e^~cîe^φψ , Aµ →Aµ−∂µφ (1.1) qui conserve l’équation de l’électron¹ :

γµ(∂µ+ ie

~cAµ)ψ−m0c

~ ψ= 0. (1.2)

La seconde est lajauge chirale

ψ→eîgγ^~^c⁵φψ , Bµ→Bµ+i∂µφ (1.3) qui, contrairement à la précédente, n’est valable que pour une particule demasse nulle. Elle laisse invariante l’équation :

γµ(∂µ− g

~cγ5Bµ)ψ= 0, (1.4)

qui représente unmonopôle magnétique (voir travaux cités).

Elle possède toutes les bonnes lois de symétrie, elle redonne l’équa- tion de Poincaré à l’approximation de l’optique géométrique et la relation de Dirac [8]

eg

~c = n

2 (n ∈ Z) (1.5)

si on soumet ce monopôle à un champ électrique coulombien. Rappelons que e est la charge électrique et g la charge magnétique.

On a de plus :

A_µ= (A, iV~ ), B_µ= (−i ~B, W), (1.6) où A_µ est le quadripotentiel de Lorentz et B_µ le pseudo-potentiel de Cabibbo et Ferrari [9] au travers duquel le monopôle ”voit” l’électroma- gnétisme [1][2][6].A_µ est un quadrivecteur polaire, tandis queB_µ est le dual d’un tenseur antisymétrique de rang 3, ce qui veut dire que dans

1 Nous utiliserons les coordonn´eesxµ ={x, y, z, ict}et donc des matrices γ telles queγµγν+γνγµ= 2δµν .

(3)

R³, B~ est un vecteur axial et W un pseudo-scalaire. Notons encore que contrairement à d’autres théories, la charge g est, dans l’équation (1.4), une constante scalaire vraie, comme toute autre constante physique, et que le caractèrepseudo-scalaire de la charge magnétique appartient ici

`

al’op´erateur de charge

G=gγ5 (1.7)

qui est donc ici un q-nombre. Ceci est essentiel. En effet, en passant `a la repr´esentation de Weyl par la transformation :

ψ= 1

√2(γ4+γ5) µξ

η

¶

(1.8) où ξ et η sont des spineurs à 2 composantes ; l’équation (1.4) se scinde en deux :

(1 c

∂

∂t−~s. ~∇−ig

~c(W+~s. ~B))ξ= 0 (1.9) (1

c

∂

∂t +~s. ~∇+i g

~c(W −~s. ~B))η= 0,

où~sreprésente les matrices de Pauli et on montre que ces deux équations, enξet enη , s’échangent entre elles par chacune des transformations P, T et C. Mais, et c’est là le point important qui découle de l’expression (1.7) de l’opérateur de charge, la conjugaison de charge se réduit ici à un changement d’hélicité (comme pour le neutrino) sans changement du signe de g.

On peut maintenant se demander si ce monopôle magnétique est inévitablement de masse nulle ou bien s’il peut en être autrement. Or ce problème est apparenté à celui de la masse du neutrino et ceci d’autant plus que dans [2], on proposait l’hypothèse que le neutrino puisse être lui-même regardé comme un monopôle de charge magnétique nulle. En effet (1.5) signifie que :

g=ng₀ (g₀= ~c

2e). (1.10)

Donc, la charge magnétique étant un multiple de la charge fondamentale g₀, le neutrino se réduit simplement au cas n = 0, puisque les équa- tions (1.9) se réduisent respectivement aux équations du neutrino et de l’antineutrino à deux composantes.

Le problème de la masse du monopôle peut donc se rattacher à celle du neutrino, et c’est lui qui va nous mener au champ de Majorana.

(4)

Mais auparavant, je voudrais rappeler que l’équation (1.4) admet une généralisation non linéaire avec masse [1][2] :

·

γ_µ(∂_µ− g

~cγ₅B_µ) +1 2

m(ρ²)c

~ (Ω₁−iΩ₂γ₅)

¸

ψ= 0, (1.11) Ω1= ¯ψψ, Ω2=−iψγ¯ 5ψ, ρ²= Ω²₁+ Ω²₂, (1.12) oùm(ρ²) représente une fonction scalaire. Cette équation reste invariante dans la transformation de jauge chirale (1.3) et, grâce à (1.8), elle devient :

1 c

∂ξ

∂t −~s. ~∇ξ−ig

~c(W +~s. ~B)ξ+im(|ξ⁺η|)c

~ (η⁺ξ)η= 0 (1.13) 1

c

∂η

∂t +~s. ~∇η+ig

~c(W−~s. ~B)η+im(|ξ⁺η|)c

~ (ξ⁺η)ξ= 0

On peut montrer que le terme non lin´eaire qui figure dans ces

équations est réellement un terme de masse. De plus, ces équations contiennent à la fois des étatsbradyons (moins rapides que la lumière), tachyons (plus rapides que la lumière),luxons (allant exactement à la vitesse c) [2]. Or les équations non linéaires (1.11) ou (1.13) admettent elles aussi (pour g = 0) le neutrino en tant que cas particulier. La coexistence des trois états précédents (bradyons, tachyons et luxons) dans l’équation signifie donc que le neutrino aussi devrait pouvoir se présenter sous ces trois états. Ceci rejoint une hypothèse formulée déja antérieurement par Mignani et Recami [10][11].

Remarquons maintenant que l’´etat luxon que nous venons de citer

`

a propos des équations (1.11) et (1.13) correspond évidemment à l’annulation des termes de masse non linéaires : les équations se réduisent alors aux équations linéaires (1.4) et (1.9). Or cette annulation peut se produire sans que s’annule pour autant aucun des deux champsξ et η.

Mais bien sˆur, une liaison s’ensuivra entreξetη et c’est cette liaison qui nous conduira au champ de Majorana.

En effet, annuler les termes non linéaires équivaut à annuler ce que nous avons appelé l’invariant chiral [2]. Soit :

ρ²= Ω²₁+ Ω²₂= 0, (1.14) ce qui peut s’´ecrire, en vertu de (1.8) :

ξ⁺η= 0. (1.15)

(5)

Les solutions particulières de (1.11) et (1.13), et donc de (1.9), qui obéissent à cette équation sont très remarquables parce qu’elles correspondent à un couple monopôle-antimonopôle pour lequel le courant magnétique total est nul. Cette propriété découle de la relation suivante qui est équivalente à (1.15) comme on le vérifie facilement [2] :

ξ=e²ⁱ^~cê^θis₂η^∗, η=−e²ⁱ^~cê^θis₂ξ^∗ (1.16) oùθ(~r, t) est une phase arbitraire (son coefficient 2e/~cnous servira plus loin). En appliquant (1.8) on trouve la relation équivalente écrite sur le quadrispineurψ :

ψ=e²ⁱ^~cê^θγ2ψ^∗=e²ⁱ^~cê^θψc. (1.17) Autrement dit, à une phase près, les étatsψ, définis par la condition (1.14) ou (1.15), qui annulent les termes non linéaires, seront leurs propres conjugués de charge. Ce qui veut dire qu’à cette phase près, la condition (1.14) ou (1.15) est la condition de Majorana [12] à [19].

Rappelons en effet que ce qu’on appelle ”champ de Majorana” ou

”équation abrégée de Majorana” n’est rien d’autre que l’équation (1.2) de Dirac assortie de la conditionψ=ψ_c, c. à d. (1.17) avecθ= 0.

Le fait que cette condition surgisse dans la théorie du monopôle, conduit à essayer de pousser plus loin le rapprochement, d’autant plus que l’équation abrégée de Majorana a déjà été proposée pour décrire le neutrino : alors pourquoi pas aussi un monopôle magnétique ? Nous

étudierons d’abord le comportement d’une particule de Majorana dans un champ électromagnétique en supposant que la particule est porteuse d’une charge électrique.

2. La repr´esentation lagrangienne et l’invariance de jauge du champ de Majorana.

Plusieurs auteurs [17][18][19] ont fait allusion au problème d’une représentation lagrangienne du champ de Majorana et ils ont admis qu’une telle représentation n’est pas possible. Nous verrons tout de suite que c’est inexact, mais il est intéressant de voir d’abord où est la difficulté.

D’après ce que nous avons dit, l’équation de Majorana peut s’écrire, d’après (1.2) etψ=ψ_c :

γ_µ(∂_µ+ ie

~cA_µ)ψ−m₀c

~ ψ_c= 0. (2.1)

(6)

Si on cherche directement un lagrangien sous cette forme, il devra contenir un terme tel que

ψψ¯ c=ψ⁺γ4γ2ψ^∗. (2.2) Or nous avons aussi

γ_k = iα₄α_k (k= 1,2,3), γ₄=α₄, γ₅=γ₁γ₂γ₃γ₄ α_k=

· 0 s_k s_k 0

¸ , α₄=

·I 0 0 −I

¸

, (2.3)

o`u less_k sont les matrices de Pauli.

En introduisant ces expressions dans (2.2), on trouve identiquement :

ψψ¯ _c= 0 (2.4)

et le terme correspondant disparaˆıt donc du Lagrangien, d’o`u la difficult´e en question.

Mais ce n’est pas ainsi que nous procèderons : nous considérerons le champ de Majorana comme un état contraint du champ de Dirac et nous écrirons la contrainte sous la forme (1.14). Le lagrangien de Majorana L_M sera donc simplement le lagrangien de Dirac L_D auquel nous ajouterons un terme de contrainte en introduisant une variable canonique supplémentaireλ:

LM =LD+λ

2(Ω²₁+ Ω²₂), (2.5) où Ω1 et Ω2 sont donnés par (1.12). La variation de LM par rapport à ψnous donnera :

γ_µ(∂_µ+i e

~cA_µ)ψ−m0c

~ ψ+λ(Ω₁−iΩ₂γ5)ψ= 0, (2.6) Cette équation, qui ressemble à (1.11) avec un terme de masse et d’autres potentiels a été jadis proposée par Weyl dans un autre contexte et plusieurs fois retrouvée depuis [20]. Mais nous devons encore varierL_M par rapport à la variable canonique supplémentaireλ, ce qui donnera la relation (1.14) et fera donc disparaˆıtre le terme non linéaire dans (2.6). Et comme (1.14) est équivalente à (1.17), on trouve finalement l’équation :

γ_µ(∂_µ+i e

~cA_µ)ψ−m₀c

~ e²ⁱ^~c^e^θ ψ_c= 0, (2.7)

(7)

o`u la phaseθ, rappelons le, est arbitraire.

On serait tenté de faire tout de suiteθ= 0 pour retrouver l’équation de Majorana (2.1), mais ce serait une mauvaise idée parce que cette phase arbitraire est importante. En effet, c’est grâce à elle que l’équation (2.7) estinvariante de jauge tandis que (2.1) ne l’était pas (ce dont personne, soit dit en passant, ne paraˆıt s’être soucié).

L’invariance de jauge de (2.7) d´ecoule d’ailleurs directement de l’invariance du lagrangien (2.5). Mais on voit aussi, directement, que (2.7) se conserve par la transformation :

ψ→e^~cê^φψ, Aµ →Aµ−∂µφ, θ→θ+φ, (2.8) d’où il résulte que θ peut être absorbé par la jauge. Plus précisément, nous choisirons d’abord la jauge, puis nous annuleronsθet nous retrou- verons alors l’équation (2.1).

Mais soulignons encore que cette équation de Majorana pourra avant tout être considérée comme représentant un état de l’électron de Dirac.

Cependant, nous verrons qu’on peut aussi la regarder ”en elle-même” et que cette seconde interprétation n’est pas physiquement équivalente à la première.

3. Equation `a deux composantes. Lois de sym´etrie et de conser- vation.

En introduisant la première formule (1.6), la transformation (1.8) et les formules (1.16) et (1.17), dans l’équation (2.7), celle-ci se scinde en deux équations à deux composantes chacunes :

(π0+~π.~s)ξ−im0ce^2ie^~c^θs2ξ^∗= 0 (3.1) (π₀−~π.~s)η+im₀ce²ⁱ^~cê^θs₂η^∗= 0 (3.2) où nous avons posé :

π₀= 1 c(i~∂

∂t+eV), ~π= (−i~∇~ +e c

A).~ (3.3)

N’oublions pas que, jusqu’à présent, le système (3.1), (3.2) n’est rien d’autre qu’une représentation particulière de l’équation de Dirac (1.2) à laquelle on a appliqué lacontrainte (1.14) ou (1.15). Cette contrainte est manifestement C, P et T invariante mais il est intéressant de le vérifier

(8)

directement. Des calculs simples montrent qu’en effet, les deux équations (3.1) et (3.2) s’échangent, (ce qui laisse bien le système invariant) dans les trois transformations suivantes :

(C) : i→ −i, e→ −e, ξ→e²ⁱ^~cê^θis₂η^∗, η→ −e²ⁱ^~cê^θis₂ξ^∗ (3.4) (P) : ~x→ −~x, A~ → −A,~ ξ→iη η→ −iξ (3.5) (T) : e→ −e, t→ −t, V → −V, η→s2ξ^∗, ξ→ −s2η^∗ (3.6) Pour P et T, nous avons utilisé les lois de Curie [7]. D’autre part, la phaseθétant arbitraire, P peut encore s’écrire :

(P) : ~x→~x, A~ → −A,~ ξ ←→ η, θ→θ+π 2

~c

e , (3.5’) En outre, la transformation de jauge (2.8) s’´ecrit ici, pour le syst`eme (3.1), (3.2) :

ξ→eⁱ^~c^e^φξ, η→eⁱ^~c^e^φη, A~ →A~−∇~φ, (3.7) V →V +1

c

∂φ

∂t, θ→θ+φ

et on v´erifie que cette transformation laisse invariante chacune des

´equations (3.1) et (3.2).

A l’invariance (3.7) des deux ´equations (3.1) et (3.2) correspondent respectivement les deux lois de conservation :

1 c

∂(ξ⁺ξ)

∂t −∇.(ξ~ ⁺~sξ) = 0, (3.8) 1

c

∂(η⁺η)

∂t +∇~ .(η⁺~sη) = 0, (3.9) o`u les deux courants :

Xµ ={ξ⁺ξ,−cξ⁺~sξ}, Xµ={η⁺ξ, cη⁺~sη}, (3.10) sont lescourants chiraux que nous avons déjà rencontré dans la théorie du monopôle [1][2]. Rappelons qu’ils sont isotropes et que d’après (1.16), ils sont orthogonaux :

XµXµ =YµYµ=XµYµ= 0 (3.11)

(9)

Or il est intéressant de remarquer que, s’ils se conservent en vertu des équations (3.1), (3.2) qui sont, ne l’oublions pas, unétat contraint de l’équation de Dirac, en revanche ils ne se conservent pas si on prend l’équation de Dirac sous sa forme générale. Pour faire la comparaison, introduisons (1.8) dans (1.2) pour écrire l’équation de Dirac en termes de spineursξet η :

(π0+~π.~s)ξ+m0cη = 0

(π₀+~π.~s)η+m₀cξ = 0, (3.12) o`u π0et~πont les expressions (3.3). On trouve facilement d’apr`es (3.12) les relations suivantes :

1 c

∂(ξ⁺ξ)

∂t −∇~.(ξ⁺~sξ)−im0c

~ (ξ⁺η−η⁺ξ) = 0 1

c

∂(η⁺η)

∂t +∇~.(η⁺~sη) +im₀c

~ (ξ⁺η−η⁺ξ) = 0

(3.13)

On voit donc que, dans le cas général, les courants chiraux ne se conservent pas et qu’il s’introduit une source dans les équations de continuité. Cette source n’est autre que lepseudo-invariant Ω2de Dirac, car on a d’après (1.8) :

Ω2=−iψγ¯ 5ψ=i(ξ⁺η−η⁺ξ). (3.14) Par contre, on vérifie bien, d’après (1.15) que la contrainteξ⁺η= 0 qui fait passer des équations (3.12) aux équations (3.1), (3.2) annule les termes de source dans (3.13) et redonne les lois de conservation (3.8), (3.9).

Il est utile, maintenant, de revenir aux spineursψ (toujours grˆace

`

a (1.8)) en utilisant les matrices de Dirac α et σ. On trouve alors les identit´es :

Jµ= −iψγ¯ µψ={−iψ⁺ψ, ψ⁺~αψ} (3.15)

={−iξ⁺ξ, ξ⁺~sξ}+{−iη⁺η,−η⁺~sη} Σ_µ = −iψγ¯ _µγ₅ψ={−iψ⁺σ₄ψ, ψ⁺~σψ}

={−iξ⁺ξ, ξ⁺~sξ} − {−iη⁺η,−η⁺~sη} (3.16) Soit encore :

ψ⁺ψ = ξ⁺ξ+η⁺η, ψ⁺~αψ=ξ⁺~sξ−η⁺~sη

ψ⁺σ₄ψ = ξ⁺ξ−η⁺η, ψ⁺~σψ=ξ⁺~sξ+η⁺~sη (3.17)

(10)

Rappelons que : γ₄=α₄=

·I 0 0 −I

¸ , ~α_k =

·0 ~s

~s 0

¸ , ~σ=

·~s 0 0 ~s

¸

, σ₄=γ₅=

·0 I I 0

¸ , (3.18) On voit donc queJµ, c’est à dire ladensité de courant électrique est lasomme des deux courants chiraux, tandis que Σµ qui a été interprété dans [1] et [2] comme la densité de courant magnétique total, est la différence entre les deux courants chiraux.

A l’aide des formules de (3.13) à (3.16), on trouve aussitôt, toujours pour l’équation de Dirac :

∂_µJ_µ= 0, ∂_µΣ_µ+ 2m0c

~ Ω₂= 0. (3.19)

La première formule signifie la conservation de l’électricité. La seconde porte le nom de relation d’Uhlenbeck et Laporte [21],[22] et n’avait jamais été interprétée jusqu’ici. D’après les références [1] et [2], Σµ peut être regardé comme la somme des courants magnétiques gauche et droit ou encore des courants de monopôles et d’antimonopôles, chacun d’entre eux étant porté par l’un des deux courantsXµ, Yµ, ne se conservent que dans deux cas, qui annulent leur source :

1) Si m0 = 0 : c’est le cas des équations (1.4), (1.9), (1.11) précédemment étudiées.

2) Si Ω₂= 0 et c’est le cas de l’équation de Majorana, ou encore de l’équation invariante de jauge (2.7) et du système équivalent (3.1), (3.2), puisqu’on a alors les relations (1.14) et (1.15).

Mais il faut préciser un peu, car ces relations, et donc Ω2 = 0, ne sont évidemment pas satisfaites par n’importe quel couple de solutions ξ et η des équations respectives (3.1), (3.2), mais seulement pour les couplesξ, ηparticuliers qui obéissent à la relation (1.15), c. à d. tels que ξ⁺η = 0. Auquel cas, d’ailleurs, en vertu de (1.16) on vérifie facilement que :

ξ⁺η = 0→Xµ =Yµ→Jµ= 2Xµ, Σµ= 0. (3.20) Le courant électrique devient alors isotrope, tandis que le courant magnétique total disparait tout à fait. C’est l’isotropie du courant

électrique qui permet de dire que l’équation de Dirac est prise sur le cône de lumière.

(11)

Mais comme, en réalité, les équations (3.1) et (3.2) sont découplées nous pouvons en prendre une, (3.1) par exemple, et la regarderen elle- même en oubliant (3.2), ou tout au moins en ne nous limitant plus aux seuls couples de solutions tels queξ⁺η= 0.Alors (3.1) peut être regardée comme représentant un certainétat chiral de l’électron dont (3.2) est à la fois le conjugué de charge, l’image dans un miroir et l’inverse temporel, en vertu de (3.4), (3.5) et (3.6).

4. L’état chiral de l’électron dans un champ électrique coulom- bien.

Majorana considérait qu’en imposant l’égalitéψ=ψ_c dans l’équa- tion de Dirac, il obtiendrait en quelque sorte une théorie conjointe, ou simultanée, de l’électron et du positron. Ce n’est pas tout à fait exact puisque nous venons de voir qu’il s’agit plutôt d’une contrainte imposée

`

a l’électron. Mais pourtant, nous verrons qu’il s’agit bien d’un état hybride qui participe à la fois de l’électron et du positron. Pour le voir, nous allons résoudre l’équation (3.1) dans un champ électrique coulombien, en introduisant dans (3.3) :

eV =−e²

r , A~ = 0, (4.1)

ce qui correspond au champ d’un proton. Nous ferons le calcul en choisissant, dans (3.1), la phase arbitraireθtelle que :

θ= π 4

~c

e (4.2)

ce qui donne l’´equation :

·1 c(i~∂

∂t−e²

r)−i~~s. ~∇

¸

ξ+m₀cs₂ξ^∗= 0 (4.3) La difficulté proviendra évidemment de la présence du ξ complexe conjugué :ξ^∗.

Nous introduirons les fonctions sph´eriques habituelles avec spin [22][23][24] que nous ´ecrirons :

Ω^m_l (+) =





³l+m 2l+1

´¹₂ Y_l^m−1

³l−m+1 2l+1

´¹₂ Y_l^m



 , Ω^m_l (−) =





³l−m+1 2l+1

´¹₂ Y_l^m−1

−³

l+m 2l+1

´¹₂ Y_l^m



 (4.4)

(12)

où lesY_l^m sont les fonctions sphériques de Laplace que nous écrirons :

Y_l^m(θ, φ) = (−1)^m 2^ll!

µ2l+ 1 4π

¶¹₂ µ

(l+m)!

(l−m)!

¶¹₂ e^imφ sin^lθ

d^l⁻^m

dθ^l−msin^2lθ (4.5) avec l=0,1,2,... ; m=-l,-l+1,...,l-1,l.

On peut alors montrer les relations suivantes (Appendice A) :

~s.~nΩ^m_l−1(+) = Ω^m_l (−) ; ~s.~nΩ^m_l (−) = Ωl−1^m(+) ; (4.6)

~s.~ns₂Ω^∗_l₋^m₁(+) =i(−1)^m+1Ω⁻_l^m+1(−) ;

~s.~ns₂Ω^∗_l^m(−) =i(−1)^mΩ⁻_l₋^m+1₁ (+) ; Rappelons que :

~n=~r

r ; x=rcosφ sinθ, y=rsinφ sinθ, z=rcosθ. (4.7) Nous allons maintenant chercher une solution de (4.3) sous la forme :

ξ=X

m

F_l−1^m (t, r)Ω^m_l−1(+) +X

m⁰

G^m_l ⁰(t, r)Ω^m_l ⁰(−) (4.8)

On voit bien qu’il n’est pas possible de séparer tout de suite l’une de l’autre les variables t et r. On peut seulement séparer les variables angulaires φ et θ. Suivant des procédés classiques en théorie de Dirac [22], [24], nous allons introduire (4.8) dans (4.3) et multiplier à gauche par~s.~n. Grâce à (4.6) on obtient d’abord :

1 c (i~∂

∂t −e² r)

"

X

m

F_l^m₋₁Ω^m_l (−) +X

m⁰

G^m_l ⁰Ω^m_l₋⁰₁(+)

#

= i~~s.~n ~s. ~∇

"

X

m

F_l−1^m Ω^m_l−1(+) + X0

m

G^m_l ⁰Ω^m_l ⁰(−)

#

−im₀c

"

X

m

(−1)^m+1F_l^∗m₋₁Ω⁻_l ^m+1(−) +X

m⁰

(−1)^m⁰G^∗m_l ⁰Ω⁻_l₋^m₁⁰⁺¹(+)

# (4.9)

(13)

Le second membre s’arrange grˆace aux relations classiques :

~s.~n ~s. ~∇= ∂

∂r −1

r~s.~Λ (4.10)

o`u ~Λ est le moment orbital :

Λ =~ −i~r×∇~. (4.11)

On trouve en outre les relations aux valeurs propres (Appendice B)

~s.~ΛΩl−1^m(+) = (l−1)Ωl−1^m(+)

~s.~ΛΩ^m_l (−) =−(l+ 1)Ω^m_l (−) (4.12) si bien qu’en tenant compte de ce que les Ω^m_l (±) sont orthonormés, on tire de (4.9) le système suivant d’où les angles sont éliminés :

(1 c

∂

∂t+iα

r)F_l^m₋₁= (∂

∂r+1 +l

r )G^m_l +χ(−1)^mF_l^∗−₋₁^m+1 (1

c

∂

∂t +iα

r)G^m_l = (∂

∂r+1−l

r )F_l−1^m −χ(−1)^mG^∗−m+1_l

(4.13)

o`u l’on a :

m=−l,−l+ 1, ..., l−1, l, α= e²

~c, χ= m₀c

~ (4.14)

Prenons le syst`eme complexe conjugu´e de (4.13) en changeant : m←→ −m+ 1. Nous aurons :

(1 c

∂

∂t−iα

r)F_l−1^∗−^m+1= (∂

∂r+1 +l

r )G^∗−_l ^m+1−χ(−1)^mF_l^m₋₁ (1

c

∂

∂t−iα

r)G^∗−m+1_l = (∂

∂r+1−l

r )F_l−1^∗−m+1+χ(−1)^mG^m_l

(4.15)

Nous allons maintenant combiner les ´equations (4.13) et (4.15) en introduisant le changement de fonctions :

A^m_l−1(r)

r e⁽⁻¹⁾^m^iωt=F_l^m₋₁+ (−1)^mF_l^∗−₋₁^m+1 ; B_l^m₋₁(r)

r e⁽⁻¹⁾^m^iωt=F_l^m₋₁−(−1)^mF_l−1^∗−^m+1 ; C_l^m(r)

r e⁽⁻¹⁾^m^iωt=G^m_l + (−1)^mG^∗−m+1_l ; D_l^m(r)

r e⁽⁻¹⁾^m^iωt=G^m_l −(−1)^mG^∗−_l ^m+1;

(4.16)

(14)

avec :

B_l−1^m = (−1)^m+1A^∗−m+1_l−1 ; D^m_l = (−1)^m+1C_l^∗−m+1 (4.16’) On v´erifie qu’avec la condition (4.16’) les notations (4.16) restent invariantes si on change m en -m+1, en prenant les complexes conjugu´es.

En sommant et en retranchant (4.13) et (4.15) on trouve un système différentiel qui est seulement en r et de rang unité [25],[26]. il s’écrit :

rdX

dr = (M+N r)X, (4.17)

en introduisant les notations :

ω⁰ = (−1)^mω; X =





A^m_l−1(r) B_l−1^m (r) C_l^m(r) D^m_l (r)



 ; (4.18)

M =





l 0 0 iα

0 l iα 0

0 iα −l 0 iα 0 0 −l



 ; N =







0 0 i^ω_c⁰ −χ 0 0 χ i^ω_c⁰ i^ω_c⁰ χ 0 0

−χ i^ω_c⁰ 0 0





 ;

Nous allons d’abord diagonaliser N, ce qui s’obtient avec la matrice :

S = 1

√2







1 0 _µc^ω⁰ i^χ_µ 0 1 −i^χ_µ ^ω_µc⁰ 1 0 −^ω_µc⁰ −i^χ_µ 0 1 i^χ_µ −^ω_µc⁰





 ; µ=

rω²

c² −χ² (4.19)

Le changement de variable :

Y =SX (4.20)

permet d’´ecrire l’´equation (4.17) sous la forme : rdY

dr =

½ iµr

·I 0 0 −I

¸ +l

·0 I I 0

¸ +α

µ

·_ω0

c s1+iχs3 0 0 −^ω_c⁰s₁−iχs₃

¸¾ Y (4.21)

(15)

où µ est défini en (4.19), I est la matrice unité d’ordre 2 et s₁, s₃ les matrices de Pauli. Nous allons encore transformer (4.21) par le changement de fonctions inconnues :

Z =

·V 0 0 s1V

¸

Y ; V =

· ω⁰ 2µc

¸¹₂

 hω⁰/c

µ−iχ

i¹₂ h

µ−iχ ω⁰/c

i¹₂ hω⁰/c

µ+iχ

i¹₂

−h

µ+iχ ω⁰/c

i¹₂



 (4.22)

où V a été choisie telle que V(Ω⁰

c s1+iχs3)V⁻¹=µs3 (4.23) L’´equation prend alors la forme :

rdZ dr =

½ iµr

·I 0 0 −I

¸ +l

·0 s₁ s₁ 0

¸ +iα

·s₃ 0 0 s₃

¸¾

Z (4.24)

et en l’it´erant, on trouve :

· r d

dr

¸2

Z=

½

−µ²r²+µr µ

i

·I 0 0 −I

¸

−2α

·s₃ 0 0 −s₃

¸¶

+l²−α²

¾ Z (4.25) Toutes les matrices sont diagonales et on est ramené à des équations différentielles indépendantes pour les composantes de Z :

L

· r d

dr

¸2

Z_n=£

−µ²r²+µr(i²−2α²⁰) +l²−α²¤

Z_n (n= 1,2,3,4) (4.26)

²= 1,1,−1,−1 ; ²⁰= 1,−1,−1,1 (pour n= 1,2,3,4) (4.27) Si nous posons maintenant :

r= iρ

2µ , Wn=ρ¹²Zn, (4.28) l’équation (4.26) se ramène à la forme suivante, en omettant l’indice n :

d²W dρ² +

·

−1 4+

² 2−iα²⁰

ρ +

1

4+α²−l² ρ²

¸

W = 0. (4.29)

(16)

C’est une ´equation de Whittaker de coefficients [25][26] : k= ²

2−iα²⁰, m=p

l²−α² (4.30)

(bien entendu, k et m n’ont aucun rapport avec des indices précédemment utilisés, mais nous garderons cette notation consacrée pourW_k, m).

Nous pourrons prendre une fonction de Whittaker :

wk, m(ρ) =W₂^²₋iα²⁰,l²−α² (−2iµr) (4.31) pour calculer les fonctions radiales à condition, tout d’abord, que ces dernières soient de carré intégrable à l’origine, Or on sait [23] qu’au voisinage de l’origine, la solution régulière de (4.29) peut s’écrire, en tenant compte de (4.28) et 4.30) :

|W_k, m|= 2µr¹²^+m(1 +O(r)) (4.32) Observons que le coefficient m est le mˆeme pour toutes les compo- santesWn et doncZn dans (4.26). Donc, en remontant les changements de fonctions (4.28), (4.22), (4.20), (4.16), (4.8), nous pouvons affirmer que :

ξ⁺ξ ≈ r²(m−1) ( au voisinage der= 0) (4.33) et d’apr`es la valeur (4.30) de m, on voit queξ⁺ξsera toujours int´egrable

`

a l’origine puisquel= 0,1,2...

Mais le plus intéressant est lecomportement à l’infini. D’après une formule classique [26] :

Wk,m(ρ) =e⁻¹²^ρρ^k(1 +O(ρ⁻¹)) si|Arg(−ρ)| < π. (4.34) La condition de validité est satisfaite parce que : ρ = −2iµr d’après (4.28) et on a donc d’après (4.30) :

|Wk,m(ρ)|= 2µr²^²(1 +O(r⁻¹)) (4.35) avec²=±1 comme dans (4.26)

En remontant, comme précédemment, les changements de fonctions jusqu’àξ⁺ξon se trouve devant une petite difficulté parce que, contrairement à ce qui se passait pour r ≈ 0 où l’exposant dans (4.32) était le même pour toutes les composantes W ou Z, il n’en est pas de même

(17)

ici avec l’exposant ^²₂ dans (4.35). En utilisant `a nouveau (4.28), (4.22), (4.20), (4.16), et (4.8), on voit facilement que ξ⁺ξ admet la forme a- symptotique :

ξ⁺ξ=X

a_nn0r^²ⁿ^+²ⁿ⁰⁻³ (pourr→ ∞) (4.36) où²_n et²⁰_nreprésentent les valeurs²=±1, qui changent, d’après (4.27), selon la composante de Z dans (4.24). Ceci nous amène aux conclusions suivantes :

5. Conclusions physiques sur le comportement, dans un champ

´

electrique coulombien, d’un état chiral de l’électron de Dirac (électron de Majorana).

Tout d’abord, la forme asymptotique (4.36) montre queξ⁺ξne serait int´egrable sur tout l’espace que s’il ne subsistait dans la somme qui figure au second membre de (4.36) aucun nombre²_n= 1. En effet, les diff´erentes valeurs de²_n et ²⁰_n donnent des termes en :

r⁻⁵( pour²n+²n⁰ =−2); r⁻³( pour²n+²n⁰ = 0); r⁻¹( pour²n+²n⁰ = 2).

Or seul le premier type de terme donne une int´egrale convergente

`

a l’infini et, pour que l’intégrale de ξ⁺ξ converge, il faut donc bien supprimer les ²n = 1, ce qui revient à annuler identiquement les composantesZ1etZ2dans l’équation (4.24). Mais si on fait cela, on vérifie que l’on a identiquementZ≡0 et la fonction d’onde disparaˆıt.

Donc ξ⁺ξ n’est jamais sommable sur tout l’espace et on voit que l’électron de Majorana ne possède pas d’états liés dans un champ coulombien. Le spectre sera continu et tous les états seront d’ionisation.

Il faut noter que le signe de α dans l’´equation (4.24) n’intervient pas.

Or ce signe est celui du potentiel central dans l’équation (4.3). Donc l’électron de Majorana aura un comportement diffusant qui sera du même type, qu’il soit dans un champ coulombien positif ou négatif.

Et il est facile de comprendre pourquoi. En effet, dans l’étatξ(4.8), qui est associé à une valeur propre ^l−1₂ du moment cinétique total, les termes correspondant aux différentes valeurs de m auront, d’après (4.16) des facteurs exponentiels e⁽⁻¹⁾^m^ωt. Or ω n’est autre que l’énergie et on voit donc que ξ est une superposition d’états à énergies positives et négatives : donc d’états ”électrons” et d’états ”positrons”.

(18)

On voit donc que le champ de Majorana n’est pas à proprement parler, une théorie simultanée de l’électron et du positron.

C’est un ´etat hybride de l’´electron de Dirac dans lequel celui-ci

”ne sait pas” quelle est sa charge électrique. On comprend donc qu’il ne puisse plus avoir d’états liés. Mais ses états diffusifs seront très différents de ceux d’un électron rapide dans son état ”normal”, puisque les fonctions d’onde ne sont pas les mêmes que celles d’un système keplerien ordinaire dans un état d’ionisation.

Pour nous en rendre compte, nous allons refaire le calcul pr´ec´edent,

`

a la limite classique. Nous verrons, en effet, que toutes les trajectoires sont hyperboliques, mais que les hyperboles en questionne sont pas ke- pleriennes. Et nous verrons aussi que, la limite classique ignorant la superposition quantique, il y aura deux sortes d’hyperboles qui corres- pondront respectivement `a une diffusion dans un champ attractif et dans un champ r´epulsif.

6. L’électron de Majorana à l’approximation de l’optique géométrique.

Reprenons l’équation générale (3.1) en ξ avec les définitions (3.3) et, la jauge électromagnétique étant supposée fixée, choisissons pour θ la valeur (4.2) et introduisons dans (3.1) l’expression :

ξ=a(t, ~r)e⁻^~ⁱ^S(t,~^r)+b(t, ~r)e⁺^~ⁱ^S(t,~^r), (6.1) o`u a(t, ~r) etb(t, ~r) sont de nouveauxspineurs.

En n´egligeant les termes qui ont~en facteur, il reste l’´equation :

½·1 c(∂S

∂t +eV)−(∇~S−e cA).~s~

¸

a+m₀cs₂b^∗

¾ e⁻^~ⁱ^S

−

½·1 c(∂S

∂t −eV)−(∇~S+e cA).~s~

¸

b−m₀cs₂a^∗

¾

e⁺^~ⁱ^S= 0

(6.2)

Si ~ → 0, les phases ±^S_~ deviennent infiniment rapides et, en multipliant alternativement le système (5.2) par eîS^~ et e^−iS^~ , on trouve l’approximation de l’optique géométrique :

·1 c(∂S

∂t +eV)−(∇~S−e cA).~s~

¸

a+m₀cs₂b^∗= 0

·1 c(∂S

∂t −eV)−(∇~S+e cA).~s~

¸

b−m₀cs₂a^∗= 0

(6.3)

(19)

Introduisons maintenant un spineur ˆbtel que

ˆb=s2b^∗, (6.4)

prenons le complexe conjugu´e de la seconde ´equation (6.3) et multiplions pars2. Il vient :

·1 c(∂S

∂t +eV)−(∇S~ −e cA).~s~

¸

a+m0cˆb= 0

·1 c(∂S

∂t −eV) + (∇S~ +e cA).~s~

¸

ˆb−m0c a= 0

(6.5)

Multiplions la premi`ere ´equation par la matrice qui multiplie ˆbdans la seconde. Nous aurons :

½ ·1 c(∂S

∂t −eV) + (∇S~ +e cA).~s~

¸

·1 c(∂S

∂t +eV)−(∇~S−e cA).~s~

¸

−m²₀c²

¾ a= 0

(6.6)

Soit encore :

½1 c(∂S

∂t +eV)(∂S

∂t −eV)−(∇~ S+e

cA)(~ ∇~ S−e

cA)~ −m²₀c² + 2e

c

·

V ~∇S+1 c

∂S

∂tA~+i ~∇S × A~

¸ .~s

¾ a= 0

(6.7)

Pour quea6= 0, nous devons annuler le déterminant de la matrice, ce qui nous donne une équation de Hamilton-Jacobi, que nous n’écrirons que pourA~= 0 :

"

1 c²

µ∂S

∂t

¶2

−³

∇S~ ´2

−e²

c²V²−m²₀c²

#2

−4e² c² V²

³∇S~ ´2

= 0 (6.8)

Une factorisation nous donne alors deux équations qui s’écrivent, dans le cas coulombien (4.1), sous la forme suivante, qui montre bien que le signe des charges en présence ne joue finalement aucun rôle (bien entendu, le ² = ±1 ne correspond pas au choix du signe de la charge

(20)

de la particule ou du champ central, mais provient simplement de la factorisation de (6.8)) :

1 c

µ∂S

∂t

¶2

− µ

|∇S| −~ ²e² c

1 r

¶2

−m²₀c²= 0 (²=±1) (6.9)

On voit que ces deux équations de Hamilton-Jacobi sont différentes de celles que l’on connait habituellement pour un électron dans un champ coulombien de signe quelconque qui s’écrit :

1 c

2µ

∂S

∂t −²e² r

¶2

−(∇S~ )²−m²₀c²= 0 (²=±1) (6.10)

Introduisons maintenant, dans (6.9) la d´ecomposition :

S=−Et+W (6.11)

On obtient : E²

c² −m²₀c²=

·

|∇W~ | −²e² c

1 r

¸2

, (6.12)

ce qui montre d´ej`a que :

E ≥ m₀c² (6.13)

Autrement dit, il n’y aurapas d’états liés et doncpas de trajectoires fermées.

De (6.12), on tire maintenant les deux ´equations : (∇~W)²= 1

c² µq

E²−m²₀c⁴+²e² r

¶2

(²=±1) (6.14) Nous aurons alors, en coordonn´ees polaires :

(∇W~ )²= µ∂W

∂r

¶2

+ 1 r²

µ∂W

∂φ

¶2

(6.15) et, en posant :

W =J φ+f(r) (J= Const.), (6.16)

(21)

l’´equation (6.14) donnera : f(r) =

Z µ

A²+2B r + C

r²

¶¹₂

dr, (6.17)

avec :

A=1 c

q

E²−m²₀c⁴, B= A²e²

c , C= e⁴

c² −J². (6.18) Dans (6.17), le discriminant est positif :

∆⁰=B²−A²C=A²J²≥0 (6.19) et les racines sont donc r´eelles :

1

r =A(^²e_c²±J) J²−^e_c⁴2

(²=±1) (6.20)

Nous supposerons d´esormais queJ 6= 0 et comme nous sommes `a la limite d’un probl`eme quantique, nous aurons :

J ≈ ~→J ≈ 137e² c À e²

c . (6.21)

Après cette approximation, qui ne s’impose pas mais qui est com- mode pour l’exposé, nous écrirons la racine positive réelle dans (6.20) sous la forme :

1 r^∗ =A

J →r^∗= J c

pE²−m²₀c⁴ (6.22) La trajectoire sera donn´ee par (6.16) et (6.17). Elle s’´ecrira :

∂W

∂J =φ₀→φ−φ₀=J Z _r

r^∗

−1

¡A²+^2B_r +_r^C2

¢¹₂ dr

r² (6.23)

En prenant φ0 = 0 et en restant à la même approximation qu’en (6.22), l’équation de la trajectoire devient :

1

r =e²p

E²−m²₀c⁴

J²c² (²+J c

e² cosφ) (²=±1). (6.24)

(22)

C’est unehyperbole, puisqu’en vertu de (6.21), son excentricité est supérieure à l’unité :

J c

e² > 1. (6.25)

Il n’y a donc pas d’états liés, comme on l’a vu d’avance, mais il ne faut pas oublier qu’il y a deux types de trajectoires possibles, selon le signe de ², qui correspondent respectivement aux deux équations (6.9) que nous avons tirées de (6.8) par factorisation. En effet :

- Si²= +1, la trajectoire tourne saconcavit´e vers le champ central et le mouvement est du typeattractif.

- Si²=−1, la trajectoire tourne saconvexit´e vers le champ central et le mouvement est donc r´epulsif.

Et nous voyons qu’en accord avec le traitement quantique, les deux cas sont possiblesquelles que soient les charges respectives de la particule et du champ.

Il est int´eressant de comparer nos r´esultats avec le cas habituel d’un

électron relativiste dans un potentiel coulombien : nous reprendrons donc l’équation classique (6.10) en y introduisant (6.15) et (6.16) d’où une intégrale qui a la même forme que (6.17) et que nous écrirons :

f(r) = Z µ

A²+2B⁰ r + C

r²

¶¹₂

dr (6.26)

avec les constantes : A= 1

c q

E²−m²₀c⁴ , B⁰ =E²e²

c² , C= e⁴

c² −J² . (6.27) Nous nous pla¸cons ici dans lecas diffusant (E≥m0c²) et on voit, en comparant avec (6.18), que le seul coefficient différent est B, où le facteur A qui figurait dans l’expression (6.18) de B est remplacé ici par

E

c, ce qui veut dire que les deux cas se rejoindront à la limiteEÀm₀c². Mais il faut souligner que, dans le cas précédent, la condition (6.13) : E >=m₀c²était nécessaire, tandis qu’ici, dans le cas classique, ce n’est que l’une des possibilités, puisque nous pourrions avoir aussiE < m0c², ce qui correspondrait à des trajectoires elliptiques (états liés).

En reprenant le calcul pr´ec´edent avec les valeurs (6.27) des constantes, nous trouverons les trajectoires :

1

r = e²E J²c²

Ã

²+c

p(E²−m²₀c⁴)J²+m²₀c²e⁴

Ee² cosφ

!

(6.28)